L--_ _- ~ - --I-B_ERE_?_KE_~N~IN~G~ -KNIK TEN GEVOLGE VANVOORSPANKRACHTENprofJr.WR.de Sitter, Technische Universiteit EindhovenHoewel knik als gevolg van voorspanning niet kan optreden, kan het door devormverandering van de constructie wel degelijk een rol spelen. Dezevormverandering is ook van belang, indien voorspan- en krommingskrachten alsbelasting in computerprogramma's worden ingevoerd. Als gevolg van devervorming wijzigt namelijk de richting van deze belasting.Ontwerpers van constructiesvan voorgespannen beton we-ten, dat knik onder invloedvan voorspankrachten niet kan optre-den.Waarom dat zo is, is echter mindergoed bekend. In de navolgende be-schouwing wordt het wiskundig bewijsgeleverd, datknik inderdaad in normalegevallen geen probleem is.Dat betekent echter niet, dat knik bijtoepassing van voorspanning nooit eenrol kan spelen. Uit de beschouwingvolgt, dat wanneer de voorspanele-menten niet over de volle lengte tegende voor te spannen constructie aanlig-gen, er wel degelijk rekening met twee-de-orde effecten moet worden gehou-den. De voorgespannen wand bij hetHuis van de Toekomst in Rosmalen iseen voorbeeld van dit geval.Ook is voorzichtigheid geboden indienmen de voorspanning in de vorm vanverankerings- en krommingskrachtenals belasting invoert in computerpro-gramma's. Wanneer men in dat geval detweede-orde effecten ten gevolge vangeometrische niet-lineariteit berekent,moeten de verankerings- en de krom-mingskrachten als belastingen wordeningevoerd, waarvan de richting varieertmet de vormveranderingen van de con~structie. Dat zijn zogenaamde niet-con-servatieve belastingsstelsels.Klassieke knikstaafAls eerste wordt een staaf beschouwddie aan de uiteinden wordt belast doortwee Pllntlasten P met een beginuitbui-ging y~ f(x) (fig. 1).In elk punt van de staafontstaan bijko-mende momenten Py. Daardoor buigtde staaf wat verder uit. Als gevolg vandeze verdere uitbuiging nemen de mo-menten toe. Daardoor nemende uitbui-gingen weer toe enz. Dit is het klassiekeknikgeval.Knik bij voorgespannen betonNu beschouwt men een voorgespannenconstructie-onderdeel. Opde uiteindenwerken de voorspankrachten Fdie doorde verankeringen ofvia aanhechting opyhet beton worden overgebracht (fig. 2).Langs de voorspanelementen werkeneventueel krommingskrachten q. Dekrachten Fen de eventuele krommings-krachten vormen een evenwichtssys-teem. Er wordt verondersteld dat hetconstructie-onderdeel (evenals de knik-staafj bijkomende vervormingeny~ f(x)ondergaat (fig. 3). Voor x ~ 0 is f(x) ~ o.De afgeleiden naar x worden met eenaccent (') aangeven.Deze bijkomende vervorming heefttwee gevolgen voor de krachten die devoorspanelementen op het beton uitoe-fenen, te weten:- de voorspankrachten Fbij de uitein-den veranderen van richting als ge-volg van de hoekverdraaiingen f'(O)en ['(1) bij de uiteinden;- de krommingskrachten veranderenvan grootte, omdat de krommingenvan de voorspanelemenren verande~ren met f"(x). De bijkomende krom-mingskrachten p(x) zijn:p(x) ~ - F. f"(x)1 De klassieke knikstaafy= f(x)------------~ ---- -----. ~---4~w. ~ X2 Schema voorgespannenconstructie-onderdeel3 Bijkomende vervorming van hetconstructie-onderdeelCement 1990 nr. 2y ~~~~/~~ Xf'(O)-f(x)~/'rY=f(X)/ / -----:~~----~,,_~ p(x) f(x)........,.- f'(O)~""",,,=-+---'-'c:::L_~---------'''"=x:--~-- ~9IBEREKENING~~~~~~~~-~----'-~~~~~~~-~-x x~ FI (x - X) f"(x)dx ~ F I (x - x) d(f'(x))o 0- -Ix x~F[(x-x)f'(x) ~I f'(x)d(x-x)].0 0 ,3 x 0,10 " 0,30 mafdekplaat prefabbetonIV-+---- baksteenmetselwerk-i"---;HHhf- - funderingssloofI" 4,50 m-~F[-xf'(O)+f(x)I:] ~~F(Xf'(O)-f(x)]-xMp~-~ (x-x) p(x)dxIn het navolgende wordt het bijko-mende moment berekend in een door-snede gelegenop een afstand X ~xvanafhet linker uiteinde. Dit moment is desom van het bijkomende moment MFten gevolge van de verandering van Fenhet bijkomende moment Mp ten gevol-ge van de bijkomende kiommings-krachten p(x).Uit nevenstaande afleiding blijkt, dat desom van Mp en MF gelijk nul is voor elkewaarde van xen onafhankelijk van degekozen v~rm voor f(x). Er ontstaan dusgeen bijkomende momenten. Hetvoor-gespannen constructie-onderdeel be- Hieruit volgt:hoeft dus met te worden gedimensio- Mp ~ - MF of (Mp + M F) o.neerd op knik ten gevolge van de voor- 1--_~~~__~~_~~_~_~ -1spankrachten; de tweede-orde effectenzijn nul.Het bewijs voor dit in de praktijk uiter-aard reeds lang bekende gegeven wordthiermee geleverd (zie nevenstaande af-leiding).In deze afleiding is impliciet veronder-steld dat de vormveranderingenzo kleinzijn, dat de sinus en tangens van eenhoek gelijkgesteld kunnen worden aande hoek zelfin radialen en dat de krom-ming gelijk is aan de tweede afgeleide.Deze beperkingen leiden tot de voor-waarde dat de eerste afgeleide van debijkomende vervormingen (f'(x)) kleinmoet zijn ten opzichte van 1. Een meeruitgebreide afleiding voor grotere ver-vormingen leidt echter tot hetzelfdere-sultaat.Voorgespannen gemetselde wandHetvoorgaande geldtalleenwanneer devoorspanelementen over de volle lengtecontact maken met dan wel aanliggentegen het beton. Alleen dan ontstaan debijkomende krommingskrachten p(x).Bij het Huisvan deToekomstinRosma-len is een diafragmawandgemetseld (fig.4,.foto 5). De spouwbladen zijn op regel-matige afstanden door in verband ge-metselde dammen verbonden, zodateen samenwerkend I-vormig profielontstaat. In de spouw bevinden zichArapree-voorspanelementen, waarmeede wand in verticale richting is voorge-spannen. Bij een bijkomende vormingvan dewand ontstaangeenkrommings-krachten. De resultante van de voor-spankracht ondergaat echter wel eenhoekverdraaiing. Omdat het voorspan-element recht blijft, is in dit geval dehoekverdraaiing 011.Wanneer .de voorspankracht niet vanrichting zou veranderen, zou de kmk~lengte Ik overeenkomen met die van eeningeklemde staaf(ik ~ 2~.Uit figuur 4 blijkt,dat dankzij de veran-dering van richting de kmklengte gelijkis aan de hoogte van de wand (ik ~ ~.4 Kra?htswerking in voorgespannenwand. Het gaat hier om een wanddie onderdeel is van het Huis van deToekomst, gebouwd bij het Autotron teRosmalen. De vrijstaande, gebogenwand is gemetseld van baksteen enverticaal voorgespannen5 Aanbrengen van de voorspanningop de gemetselde wand, bij hetHuis van de Toekomst. Voor devoorspanelementen is Arapreetoegepast (V?rvolg op blz, 12)10 Cement 1990 nr. 2feet' en 'David en Goliath'. De essentievan deze voordrachten was steeds dathet bouwen een dienende taak heeft.Dicke registreerde de stelling: 'De con-structieleer is in hoofdzaak gebouwd opde grondslag van twee wetenschappen,die zich beide bezighouden met de le-venloze materie. Dat zijn de toegepastemechanica en de materiaalkunde. Hetzijn beide verklarende wetenschappen,wals alle wetenschappendie zichbezig-houden met de levenloze materie datzijn. Ze sluiten, zoals Schumacher hetstelt, alle innerlijke ervaring, zoals liefdeen haat, hoop en vrees, vreugde en ver-driet, uit'.Hij reageert hierop als volgt'De ontwerperzal de toegepaste mecha-nica, de materiaalkunde en de bouwfy-sica moeten integreren in zijn ontwer-pen, niet alleen controlerend achteraf,maar als denkwereld achterdezeWeten-schappen ter ontwikkeling van zijncreativiteit, van zijn intu?tie, zijn inspi-ratie, zijn fantasie en van een nuchterkritisch denken'.Een hoogleraar die officieel afscheidneemt doet datmet eenvoordracht. De-ze keer koos Dicke als titel 'creatie enevolutie' Het is de neerslag gewordenvan zaken die voor hem essentieel zijn.Bouwen is geen doel maar een middel.'Middel om antwoord te geven op vra-gen van mensen'. En over de computerwaarmee zoveel mogelijkis, datwij hemmenselijke eigenschappen als intelli-gentie en denkvermogen toekennen, ci-teert Dicke een uitspraak vanJohn Os-borne 'de logische voortzetting vanmenselijke ontwikkeling:? intelligentiezonder moraal'.In wetenschappelijke teksten wordtveelvuldig verwezen naar de bronnenwaaruit wordt geciteerd. De hier ge-raadpleegde literatuurvan Dicke is vooreen deel van filosofische aard. Hij legtandere verbindingen, die wij doorgaansniet in een technisch tijdschrift als Ce-ment aantreffen. Wij zouden hem on-recht aandoen hier niet op te wijzen,omdat ze karakteristiek zijn voor de le-vensinstelling van Dicke.Ten slotte een citaat van Gustave Eiffel:'Denktmen soms, omdatwij ingenieurszijn, dat schoonheid ons niet bezig-houdt bij onze scheppingen en dat we,terwijl we tegelijkertijd solide en duur-zaam bouwen, niet alle moeite doen omer ook elegantie in te brengen?' 'De fa-culteit der Civiele Techniek zou daarbestwelwatmeer aankunnendoen', be-sluithij, 'inelkgevalvooral voor die stu-denten die graag ontwerperwillenwor-den'.M.G.P.NellssenLiteratuur:1. Creatie en evolutie; rede uitgesprokenbij het afscheidvanprof.irDDicke. Uit-gave Delftse Universitaire Pers.2. Visie op de constructief ontwerper;voordrachten gehouden bij het afscheidvan proEirDDicke. Uitgave DelftseUniversitaire Pers.Vervolg van blz. 10 (Knik ten gevolge van voorspankrachten)Tweede-orde computerbereke-ningenEr is een trend om bij berekeningenvanvoorgespannen constructies de voor-spankrachtenbij deverankeringenendekromrningsbelastingen langs de voor-spanelementen als uitwendige belastin-gen in te voeren. 'Voorspannen is gelijkaangunstig belasten' is het motto. Bij dekomende herziening van de voorschrif-ten wordt deze lijn ook gevolgd.Bij gebruik van computerprogramma'sheeft men dan de mogelijkheid om opeenvoudige wijze verschillende combi-naties van belastingen, belastingsfac-toren en materiaalfactoren te beschou-wen.Wanneer men echter met zo'n pro-gramma ook de tweede-orde effectenten gevolge van geometrische niet-li-neariteiten in rekening wenst te bren-gen, zal men de voorspanning toch alseen bijzondere, afwijkende soort belas-ting moeten behandelen. In het bijzon-der moet men erop letten, dat het pro-12gramma de veranderingen van de rich-tingvan de voorspankrachten bij de ve-rankeringen en de veranderingen in dekromrningsbelastingen als gevolg vandevormveranderingenvande construc-tie correct verwerkt. Uit het- vooraf-gaande blijkt dat indien dat niet het ge-val is, de tweede-orde effecten volledigverkeerd kunnen worden berekend.De verankeringskrachten en de krom-mingsbelastingen vormen een stelselvan belastingen, waarvan de richtingwordt be?nvloed door de vervormingenvan de constructie. Dat is een zoge-naamd niet-conservatiefstelsel van be-lastingen. Dergelijke belastingen kun-nen alleen correct worden verwerkt,wanneer hiervoor in het 'hart' van hetprogramma voorzieningen zijn getrof-fen. Bij voldoende kleine vervormingenzijn de veranderingen van de belastingevenredig met de verplaatsingen enhoekverdraaiingen. In dat geval kanmen de invloed van de veranderingenvan richting verwerken door een uit-breiding van de stijfheidsmatrix mettermen die evenredig zijn met de voor-spankrachten.Bij de opzetvan een programmavoor deberekeningvan de bewegingenvandrij-vende lichamen in zeegang en veran-kerdaanvoorgespannenankerdraden, isdeze werkwijze met succes gevolgd. Degemeten bewegingen van werkschepenbij de stormvloedkering Oosterseheldebleken goed met de berekeningen ove-reen te sternmen.Gezien de reeds genoemde trend in deopvatting over het verwerkenvan voor-spanning in de berekening vaneen con-structie, is het te verwachten dat pro-grammamakers dergelijke aanpassin-gen zullen ontwikkelen en ter beschik-king zullen stellen van gebruikers.Cement 1990 nr. 2