ir.C.Hartsuijker en irJ.Brakelmedewerkers leerstoel 'Gewapend beton',TH-DelftBijdrage aan de reeks artikelen over oor-spronkelijk theoretisch en experimenteelonderzoek verricht door de leerstoel'Gewapend Beton' van de TH-Delft,gepubliceerd in Cement XXI (1969) nr. 7MntMnsitieve vloeilijnsts'tvfig. 2fig.3a-bCement XXI (1969) nr. 10nfig. Ianfig.lbxnHetnormaalmomentenkriteriumU.D.C.624.073:624.0461. InleidingTot voor kort werden de meeste constructies berekend met behulp van de elasticiteitstheorie.Deze theorie heeft echter zijn beperkingen. Zo gedragen de meeste materialen zich vooral inde buurt van het bezwijkstadium niet meer elastisch en ontbreken dus de grondslagen van deelasticiteitstheorie. Het is dan onmogelijk geworden met deze theorie een nauwkeurige infor-matie te verkrijgen omtrent de veiligheid van een constructie tegen bezwijken.Voor het ontwerpen kan in plaats van de elasticiteitstheorie ook gebruik worden gemaakt vaneen berekeningsmethode, die zijn uitgangspunt vindt in het bezwijken van de constructie.Behalve een inzicht in het bezwijken en de kennis van mogelijke bezwijkmechanismen, is eenbezwijkkriterium daartoe onontbeerlijk. Een bezwijkkriterium geeft aan welke kritieke span-ningscombinaties aanleiding tot bezwijken kunnen geven.Na een korte beschouwing over het gedrag van loodrecht op hun vlak belaste gewapendebetonplaten, zullen hier enkele algemene eigenschappen van een zgn. 'normaalmomenten-kriterium' worden behandeld en de manier waarop dit 'bezwijkkriterium voor platen' kan wor-den voorgesteld. Ten slotte zullen enkele bezwijkkriteria, die zijn afgeleid voor isotroopgewapende betonplaten, worden getoetst aan dit normaalmomentenkriterium.2. Notaties en tekenafsprakens een positieve vloeilijn (fig. Ia);s' een negatieve vloeilijn (fig. 1b);n, t de assen van een Cartesiaans co?rdinatenstelsel met in de oorsprong 0 de n-asloodrecht op en de t-as rakend aan een vloeilijn of een te verwachten vloeilijn;u, v de assen van een Cartesiaans co?rdinatenstelsel, tevens hoofdmomenten-richtingen (fig. 2);x, y de assen van een Cartesiaans co?rdinatenstelsel, dat als referentie-assenstelselwordt gebruikt (fig. 2);mi, mi in de plaat optredende buigende momenten per eenheid van lengte in eeni-j-co?rdinatenstelsel (fig.3a);mij = -mji in de plaat optredende wringende momenten per eenheid van lengte in eeni-j-co?rdinatenstelsel (fig.3a);mn normaalmoment, d.i. het in de plaat optredende buigende moment per eenheidvan lengte in een doorsnede, waarvan de normaal n in het beschouwde puntloodrecht op een vloeilijn of een te verwachten vloeilijn staat;mt tangenti?le moment, d.i. het in de plaat optredende bUigende moment per een-heid van lengte in een doorsnede waarvan de normaal t in het beschouwde puntraakt aan een vloeilijn of een te verwachten vloeilijn;ml, m2 hoofdmomenten, Imll >Im21;Mn, Mi het positieve vloeimoment van de plaat per eenheid van lengte in een doorsnedemet normaal n, resp. i (fig. la);M'n, M'i het negatieve vloeimoment van de plaat per eenheid van lengte in een doorsnedemet normaal n, resp. i (fig. 1b);M nt het wringend moment per eenheid van lengte dat volgens het normaalmomenten-kriterium werkt in een positieve vloeilijn s (fig. la);M'nt het wringend moment per eenheid van lengte dat volgens het normaalmomenten-kriterium werkt in een negatieve vloeilijn s' (fig. 1b);(I. de hoek tussen de u-hoofdmomentenrichting en de x-as van het x-y-co?rdinaten-stelsel (fig. 2);cp de hoek tussen de normaal n op een vloeilijn of een te verwachten vloei lijn en dex-as van het x-y-co?rdinatenstelsel (fig. 2);ei de hoek die de i-wapeningsrichting maakt met de x-as van het x-y-co?rdinaten-stelsel (fig. 2).De richting waarin de hoeken worden gemeten is aangegeven in fig. 2. Het verband tussende vektornotatie en de draairichting van de momenten is in fig. 3b aangegeven.465fig.4a-bfig. 5boogwerking~rfM1JJlllJjJj JJ~~zellwerking[J LJschijfwerkingfig.6a-b-cZie litteratuur blz. 472Cement XXI (1969) nr. 10'"c ~r---------------------------o0;.QBo vervorming vervorming li>"3. Het plastisch gedrag van tot op het uiterste draagvermogen belaste gewapende betonplatenWordt een gewapende betonplaat onderworpen aan een langzaam toenemende belastingloodrecht op zijn vlak, dan kan het verband tussen de belasting en vervorming schematischmet een trilineair diagram worden weergegeven (fig.4a).De drie stadia, die kunnen worden onderscheiden, zijn [1] *:? het ongescheurde stadium OA,het gescheurde stadium AB,o het plastische of bezwijkstadium BC.In het ongescheurde stadium OA mag worden aangenomen dat de momentenverdeling in deplaat in overeenstemming is met de elasticiteitstheorie. De (elastische) vervormingen zullenin dit stadium betrekkelijk klein zijn.Zodra de eerste scheurtjes optreden begint het gescheurde stadium AB. Deze eerste scheur-tjes hebben de neiging om de spanningstrajectori?n uit de elasticiteitstheorie te volgen enzullen dan ook enigszins gekromd zijn. Onder invloed van een verdere toeneming van debelasting worden de scheuren langer en wijder en breidt het aantal zich uit. Deze scheur-vorming geeft aanleiding tot een herverdeling van de momenten in de plaat.Zodra ter plaatse van een scheur door het vloeien van de wapening aanzienlijk grotere ver-vormingen optreden dan in de aangrenzende gebieden waar de wapening niet vloeit, zal descheur de gedaante moeten aannemen van de doorsnijding van twee vrijwel vlakke plaat-delen die in de scheur een zekere hoek met elkaar maken. De scheur, die dus vrijwel rechtmoet zijn, zal als een plastisch lijnscharnier (vloeilijn) gaan werken. Men is nu in het plasti-sche stadium BC gekomen.Na verloop van tijd zal de plaat door verschillende vloeilijnen in een aantal breukstukken zijnverdeeld, die als een kinematische ketting samenhangen, me1 andere woorden de plaat heefteen bezwijkmechanisme gevormd (fig. 5). In dit stadium zal een geringe toename van de be-lasting gepaard gaan met een zeer snelle toename van de vervormingen, totdat in C (fig. 4a)bezwijken optreedt door verbrijzeling van het beton in de drukzone.4. Het ge?dealiseerde gedrag van een gewapende betonplaatWorden de vervormingen van de plaat in het ongescheurde en het gescheurde stadium ver-waarloosd ten opzichte van die in het bezwijkstadium, dan kunnen de breukdelen van deplaat, die door enkel vloeilijnen of door vloeilijnen en ??n of meer plaatranden worden be-grensd, als volkomen vlak worden beschouwd. Het bezwijkmechanisme, dat door de plaat inhet bezwijkstadium wordt gevormd, bestaat dan uit enkel stijve breukdelen met als door-snijdingen rechte lijnen, de vloeilijnen. In deze vloeilijnen zijn alle (plastische) vervormingenvan de plaat geconcentreerd en is het plastisch moment, het 'breuk-' of vloeimoment, bereikt.De relatie tussen belasting en vervorming, die bij het hier beschreven ge?dealiseerde gedragvan de plaat behoort, kan nu worden voorgesteld door een horizontale lijn ter hoogte van debezwijkbelasting [2] (fig.4b).N.B.: Gekromde vloeilijnen kunnen worden opgevat als het limietgeval van een groot aantaldiscrete re?hte vloeilijnen, wanneer de hoek tussen deze lijnen nadert tot nul. Ze kunnenonder meer bij geconcentreerde belastingen, c.q. steunpunten optreden.5. Voorwaarden voor het plastisch gedrag van een gewapende betonplaat in het bezwijkstadiumOpdat bezwijken van een doorsnede kan worden ingeleid door sterk vloeien van de wape-ning, moet het wapeningsstaal een duidelijk vloeigebied hebben en dient een onder- enbovengrens aan het wapeningspercentage te zijn gesteld [3].Behalve door een te hoog of te laag wapeningspercentage, kan ook door boogwerking, zeil-werking en/of schijfwerking worden verhinderd dat de tot het uiterste draagvermogen belastebetonplaat een volledig bezwijkmechanisme met plastische eigenschappen vormt [3], [4](fig. 6a-c). In die gevallen treden normaal- en schuifkrachten op in het middenvlak van deplaat. Om dit te voorkomen wordt hier gesteld dat de belasting werkt in een richting lood-recht op het middenvlak van de plaat en dat geen boog- of zeilwerking op kan treden.466fig. Ba-b-cfig. 9//./III...-----------Cement XXI (1969) nr. 10fig. 7nOok wordt aangenomen dat de schuifkrachten in de plaat (loodrecht op het middenvlak) nooitaanleiding tot bezwijken zullen geven; bezwijken op dwarskracht, C.q. pons, wordt dus uit-gesloten.6. Het normaalmomentenkriterium als een bezwijkkriterium voor platenEen bezwijkkriterium geeft voor een punt van de plaat alle kritieke spanningstoestanden, diebezwijken van een doorsnede in dat punt tot gevolg kunnen hebben. Ontbreken krachten inhet middenvlak van de plaat en is bezwijken op dwarskracht, C.q. pons, uitgesloten, dan zalbezwijken van een doorsnede alleen kunnen optreden ten gevolge van een kritieke combina-tie van momenten mx, my en mxy [5]. Zoals tot op heden gebruikelijk is wordt de invloed diede dwarskracht op deze kritieke combinatie van momenten kan hebben verwaarloosd [2].Daar het plastisch gedrag van een bezwijkmechanisme alleen tot uiting komt in de bUigendemomenten die in de vloeilijnen werken, zal voor het vormen van een bezwijkmechanisme inalle punten van de te verwachten vloeilijnen het normaalmoment (zie de definitie in 2) dewaarde van het vloeimoment van de plaat in de beschouwde doorsnede van die puntenmoeten aannemen.Deze voorwaarde kan als een bezwijkkriterium worden opgevat en zal als het normaa/-momentenkriterium (hierna af te korten tot n.m.k.) worden aangeduid [2], [6], [7], [8]:In een punt 0 van de plaat kan alleen dan een positieve vloeil?n s (negatieve vloeil?n s')optreden, rakend aan een t-as, als in 0 het normaalmoment mn de waarde heeft bereikt vanhet positieve vloeimoment Mn (negatieve vloeimoment M'n) van de plaat in dat punt (fig. 7).De kritieke combinatie van momenten mn = Mn (of mn = M'n), mt en mnt. die aanleiding geefttot vloeien van een doorsnede met normaal n, lijkt op het eerste gezicht onafhankelijk van dewaarden die het tangenti?le moment mt en het wringend moment mnt in de vloeilijn aannemen[2], [6], [8]. Dat deze momenten, die niet direct van invloed zijn op de plastische eigenschap-pen van het bezwijkmechanisme, echter niet elke willekeurige waarde kunnen aannemen, zalhierna worden aangetoond./I/I---/"y---'--"-\\\ xL7. Grafische voorstelling van een normaalmomentenkriteriumxyMet behulp van poolco?rdinaten kan het n.mk voor elk punt v'an de plaat op eenvoudigewijze grafisch worden weergegeven.Beschouw in een willekeurig punt 0 van de plaat verschillende doorsneden, waarvan denormaal n een hoek rp maakt met de x-as van een aangenomen x-y-co?rdinatenstelsel en steldat voor elk van deze doorsneden de waarde van het positieve en negatieve vloeimoment isgegeven als een functie van de hoek rp: resp. Mri(rp} en M'n(rp).Voor iedere doorsnede in 0 kan nu de waarde van het vloeimoment worden voorgesteld doorde lengte van de lijnstukken OMn(rp) en OM'n(rp), die vanuit 0 op de n-as zijn afgezet. Ziebijv. de figuren 8a en Bb.Daar uit symmetrie-overwegingen geldtMn(rp) = Mn(rp + '11:) en M'n(rp) = M'n(rp + '11:)wordt voor 0:(; rp < '11: de m.p. van punten Mn(rp) door een getrokken lijn en die van puntenM'n(rp) door een streepjeslijn voorgesteld. Voor '11: :(; rp < 2'11: is dit net andersom.Ter verduidelijking volgen hier enkele voorbeelden.Als in een punt 0 van de plaat geldt Mn(rp) = M = constant, dan heeft de plaat in elke wille-keurige doorsnede in 0 hetzelfde positieve vloeimoment Dit kan worden voorgesteld doorde cirkel in fig. 8a.Geldt in 0 verder M'n(rp) = M'n = constant, dan heeft de plaat in elke willekeurige doorsnedein 0 ook hetzelfde negatieve vloeimoment. Dit wordt voorgesteld door de cirkel in fig. 8b.Voor het beschouwde punt van de plaat wordt de grafische voorstelling van het n.mk nuverkregen door de figuren 8a en 8b samen te voegen tot fig. 8c. Daarbij is gesteld datMi=IM'I?In fig. 9 is op dezelfde manier het n.m.k. geschetst voor een punt van de plaat, als de positie-ve en negatieve vloeimomenten beide een functie van rp zijn.Is een plaat homogeen, d.w.z. heeft deze van punt tot punt dezelfde eigenschappen, dangeldt voor al die punten hetzelfde n.m.k.8. Grafische voorstelling van de buigende momenten in een punt van de plaatEvenals het n.mk kunnen ook de optredende buigende momenten voor elk punt van de plaatmet behulp van poolco?rdinaten worden weergegeven.Stel dat in een bepaald punt 0 van de plaat u en v de hoofdmomentenrichtingen zijn en467--...........__~__________~~__Tr____~~m~=m=-~xvm1 =m2 = m>Omn(.pl=mfig. 10//----............,I "'y/ "\I "'I\fig. 11tyfig. 12fig. 13a-bCement XXI (1969) nr. 10num1:rn. ffi2'Omn{ip)=m.cos2 (ifI- lX)mu = m1 en mv = m2 de hoofdmomenten. De u-as maakt een hoek ex met de x-as van eenaangenomen x-y-co?rdinatenstelsel. Voor iedere doorsnede in 0, waarvan de normaal neenhoek q> maakt met de x-as, volgt de grootte van het buigend moment mn uit:mn(q? = m1 . cos2(q> -- ex) + m2 . sin'(q> -- ex) . (8.1)De waarde van mn kan nu, als functie van q>, worden voorgesteld door de lengte van hetlUnstuk Omn(q?, dat vanuit 0 op de n-as is afgezet.Ook hier kan uit symmetrie-overwegingen voor 0:;( q> < TC de m.p. van punten mn(q? >0door een getrokken IUn en die van punten mn(q? < 0 door een gestreepte lijn worden voor-geste(d.Voor TC :;( q> < 2 TC is dit weer andersom.Ter verduidelijking volgen hier weer enkele voorbeelden.Als in 0 geldt m1 = m2 = m = constant, dan volgt uit (8.1):mn(q? = m = constantDit wordt voorgesteld door de cirkel in fig. 10 als m > 0; is m < O,dan verwisselen degetrokken en gestreepte lijn.is m1 = 3. m2 > 0, dan worden de buigende momenten in de verschillende doorsnedenvolgens (8.1) voorgesteld door fig. 11.is m1 = m > 0 en m2 = 0, dan volgt uit (8.1):mn(q? = m . cos'(q> -- ex)Dit komt overeen met fig. 12.In het geval van zuivere wringing in 0 geldt m1 = -- m2 = m.Volgens (8.1) is dan:mn(q? = m . cos'(q> -- ex) -- m . sin'(q> -- ex) = m . cos 2 (q> -- ex)is m > 0, dan correspondeert hiermee fig. 13a; is m < 0, dan is dit fig. 13b.9. De wringende momenten volgens het normaalmomentenkriteriumGeheel in overeenstemming met de in 6 gegeven definitie van het n.m.k. geldt:a. dat geen enkele doorsnede van de plaat in 0 zal vloeien als in iedere doorsnede in 0 (d.w.z.voor elke waarde van q>, waarbij men zich uit symmetrie-overwegingen kan beperken toto:;( q> < TC) het normaalmoment mn(q? in absolute zin kleiner is dan het vloeimoment van deplaat in de betrokken doorsnede, ofwelM'n(q? < mn(q? < Mn(q? voor 0:;( q> < TC (9.1)b. dat alleen dan in 0 ??n of meer positieve vloeilijnen sen/of negatieve vloeilijnen s' kunnenoptreden als het normaalmoment mn(q? voor ??n of meer waarden van q>, met 0:;( q> < TC,het positieve of negatieve vloeimoment van de plaat in de betrokken doorsnede heeft bereikt,ofwelmn(q? = Mn(q? en/of mn(q? = M'n(q? } (9.2)bijv. voor q> = q>1, q>2, enz.c. dat in geen enkele doorsnede van de plaat in 0 (dus voor geen enkele waarde van q>, meto:;( q> < TC) het optredende normaalmoment mnCq? in absolute zin groter kan zijn dan hetvloeimoment van de plaat in de betrokken doorsnede.Een en ander kan gemakkelijk worden gecontroleerd door de figuur die het n.m.k. in 0 voor-stelt, bijv. fig. 9, te combineren met de figuur die de optredende buigende momenten in 0~~~ -Stel u en v zijn de hoofdmomentenrichtingen in 0 en mu = m1 en mv = m2 zijn de hoofd-momenten. De u-as maakt een hoek ex met de x-as van het aangenomen x-y-co?rdinatenstelsel.Het buigend moment in een doorsnede waarvan de normaal n een hoek q> maakt met de x-asis gegeven door uitdrukking (8.1). Is m1 > 0 en m2 > 0, dan is dit normaalmoment mn(q?voor elke waarde van q> positief en kan men zich eenvoudigheidshalve beperken tot datgedeelte van het n.m.k. dat betrekking heeft op de positieve vloeimomenten Mn(q?.",...-----........../ "-II\\"'468'-' ...."'"\\\m1=-m2=m)Omn{41):m.cos2. (~-od'X?m,.:-m2: m >Omo(~)' m.eD.' (~-O()fig. 14afig.14bCement XXI (1969) nr. 10//"//""'------IIIIII!//-----~ ".---.-/ / ' /'/' //(,\\\v-- ---yy------.................."""-n--------.................."n'\\u"-'\\\,\u\\\1xUit fig. 14a blUkt dat, met m1 = 2. m2 C> 0), voor geen enkele waarde van cp het normaal-moment mnCCP), voorgesteld door de binnenste IUn, het positieve vloeimoment MnCCP), gegevendoor de buitenste lijn, heeft bereikt. Hier is voldaan aan C9.1).Wordt m1 = 3. m2 C> 0), dan blUkt uit fig. 14b dat de binnenste IUn voor mnCCP) in cp = CP1de buitenste lijn voor MnCCP) raakt, d.w.z. in de doorsnede waarvan de normaal n een hoek CP1maakt met de x-as heeft het buigend moment de waarde van het positieve vloeimoment vande plaat bereikt. Overeenkomstig C9.2) zal in dat geval de positieve vloeilUn s op kunnentreden. Opgemerkt zij, dat deze vloeilUn dus niet met een van de hoofdmomentenrichtingenbehoeft samen te vallen!Wordt m1 = 3,5. m2 C> 0), dan volgt uit fig. 14c dat voor CP1 < cp < CP2 de normaalmomentenmnCCP) groter zijn dan de positieve vloeimomenten MnCCP) van de plaat in de betrokken door-sneden. Daar de optredende buigende momenten nooit groter kunnen zijn dan de vloei-momenten van de plaat, mag de binnenste lijn voor mnCCP) nooit de buitenste lijn voor MnCCP)overschrijden. Dit betekent dat de mnCCP)-IUn en MnCCP)-lijn in de gemeenschappel?ke punteneen gemeenschappel?ke raakl?n moeten hebben.Het zelfde geldt voor de mnCcp)-lijn en de M'nCCP)-lijn als het negatieve vloeimoment van deplaat wordt bereikt.Geldt dus voor een positieve vloeilUn s of negatieve vloeilijn s':s : mnCCP) = Mn CCP) voor cp = CP1 }s': mn(cp) = M'nCCP) voor cp = CP1 C9.2)dan moet tevens gelden:d d1s : dcp mnCCP) = dcp M n (CP) voor cP = CP1d C d ,r(9.3)Sf :dcp mn CP) = dcp M n(CP) voor cP = cp]469fig. 14cmfig. 15Cement XXI (1969) nr. 10III\\\vDifferentiatie van (8.1) naar cp levert:y----............"""""-n'"\\\xd .dcp mn(cp) = - 2. (m1- m2) . sm (CP- IX) . cos (CP - IX) = - 2 . mnt(cp) (9.4)Hierin is mnt(cp), in overeenstemming met de cirkel van Mohr (fig. 15), het optredendewringende moment in een doorsnede, waarvan de normaal n een hoek cp maakt met de x-as.Zijn Mn(CP) en M'n(cp) continue functies van cp met bestaande afgeleiden, dan is (9.3) ook teschrijven als:s,: mnt?%)) = MM~d(%)) voor % = %1 } . (9.5)s: mnt T = nt T voor T = T 1waarin:Mnt(CP) = - ~ d~ Mn(CP) en M'nt(cp) = - ~ d~ M'n(CP) (9.6)Uit (9.2) en (9.5) volgt dus dat in elk punt van een vloeil?n zowel het normaalmoment als hetwringend moment eenduidig is bepaald door het n.m.k.De relatie tussen het normaalmoment mn en het wringend moment mnt in een vloeilijn, resp.volgens (9.2) en (9.5), wordt bepaald door de voor een n.m.k. noodzakelijke voorwaarde (9.6).10. De tangenti?le momenten volgens het normaalmomentenkriteriumIn elk punt van een gegeven vloeilijn zijn het normaalmoment mn en het wringend moment mnteenduidig bepaald door het n.m.k. Het tangenti?le moment mt (zie de definitie in 2) is daar-entegen niet eenduidig bepaald.Volledigheidshalve zij vermeld dat dit moment-volgens het n.mok tussen zekere waarden kanvari?ren, met dien verstande dat in geen enkele doorsnede het positieve of negatieve vloei-moment van de plaat mag worden overschreden.In het geval van de in fig. 14b gegeven positieve vloeilijn is in 0: mn(CP1) = Mn(CP1) enmnt(CP1) = Mnt(CPT) en kan mt(CP1) al die waarden aannemen waarbij mn(cp) voor 0 :;( cp :;( TCnog voldoet aan (9.1) of (9.2).Hierin is:mn(cp) = Mn(CP1) . cos2(CP - CP1) + mt(CP1) . sin2(cp - CP1) - Mnt(CP1) . sin 2 (cp - CP1).De hoofdmomentenrichtingen en de verhouding der hoofdmomenten worden in een punt 0van een gegeven vloeilijn mede bepaald door de waarde van het tangenti?le moment mt in O.11. Het normaalmomentenkriterium voor gewapende betonplatenUitgaande van de eigenschap dat een plaat in het bezwijkstadium een bezwijkmechanismevormt, met in de vloeilijnen het vloeimoment van de plaat, werkte Johansen, nog voor deontwikkeling van de bezwijkanalyse, in zijn 'Brudlinieteorier' [9] twee methoden uit voor deberekening van de bezwijkbelasting van platen.Min of meer intu?tief ging Johansen daarbij uit van de veronderstelling dat in een vloeilijn allewapeningsstaven vloeien en hun oorspronkelijke richting behouden. Dit betekent dat devloeilijn voor elke wapeningsrichting als een trapjeslijn, met trapjes loodrecht op en even-wijdig aan de betrokken wapeningsrichting, kan worden opgevat [2], [4], [8], [9] (fig. 16a).Maakt van een wapeningssysteem met r wapeningsrichtingen de i-wapeningsrichting eenhoek ei (i = 1,2, ... , r) met de x-as en is in die richting Mi het positieve en M/i het negatievevloeimoment van de plaat voor de wapening in de i-richting, dan geldt voor de buigende enwringende momenten in een vloei lijn, waarvan de normaal n een hoek cp maakt met de x-as(fig. 16a en 16b):rs: Mn = L Mi . coS2(cp-ei);=1470fig. 16a-b-efig. 17Cement XXI (1969) nr. 10nMnt?l/cos(I[I-8jlr~IynMnt = L Mi . sin(~-ei). cOS(~-ei)1=1rs': M'n = L M'i. COS2(~-ei)1=1rM' = L M' . sin(~-ei). COS(~-ei)1=1sxnHet bl?kt dat dit kriterium van Johansen voldoet aan de voor een n.m.k. noodzakelijke voor-waarde (9.6), m.a.w. dit kriterium van Johansen kan als een n.m.k. worden opgevat.In het geval van een orthogonaal wapeningsnet, waarvan de wapeningsrichtingen samen-vallen met de x- en y-as, wordt het kriterium van Johansen - als we ons hierna eenvoudig-heidshalve beperken tot de positieve vloeimomenten - :Mn = Mx . COS2~ + My . sin2~ .Mnt = (Mx-My) ? sin~. cos~ .Dit kriterium is ook door Nielsen afgeleid [5].(11.1 )(11.2)Is Mx =1= My dan zijn in een vloeilijn die niet samenvalt met een van de wapeningsrichtingen7t(~ =1= 0, ~ =1= "2)' de wringende momenten volgens (9.5) en (11.2) ongelijk aan nul en zijn devloeimomenten volgens (9.2) en (11.1) dus geen hoofdmomenten.Indien de richting van de vloeilijn niet door de opleggingen is gefixeerd behoeft de vloeil?ndus niet samen te vallen met een van de hoofdmomentenrichtingen, hetgeen reeds b? fig. 14bwerd opgemerkt. Dit is experimenteel bevestigd door Lenschow en Sozen, die verschillendeplaten in de proefopstelling van fig. 17 op zuivere buiging hebben belast [10].Is Mx = My = M, dan zijn de vloeimomenten volgens het kriterium van Johansen alt?d hoofd-momenten, daar in dat geval geldt Mn = M en Mnt = O. Uit experimenten is gebleken dat ditkriterium voor isotroop gewapende platen een ongeveer 16% te lage waarde geeft voor hetvloeimoment van de plaat in richtingen onder 45? met de wapeningsrichtingen [4]. [12]. Woodheeft naar voren gebracht dat de oorzaak hiervan mogelijk in het kinken van de wapening kanworden gevonden [4]. Zou de wapening in een vloeil?n volledig kinken en tevens vloeien,dan wordt voor een positieve vloeilijn in een wapeningssysteem met r wapeningsrichtingen(fig. 16b en 16e):rMn = L Mi. cOS(~-ei)1=1Mnt = 0Het valt dadelijk op dat dit kriterium niet voldoet aan de voor een n.m.k. noodzakelijke voor-waarde (9.6). Het kinkkriterium als zodanig kan dus niet als een n.m.k. worden opgevat.Vallen de wapeningsrichtingen van een orthogonaal wapeningsnet samen met de x- en y-as7t(dus ex = 0 en e y = "2) en is Mx = My = M, dan is het positieve vloeimoment van de plaatin een doorsnede waarvan de normaal n een hoek ~ maakt met de x-as, volgens het kink-kriterium:Mn = M. (cos~ + sin~)Mnt = 0Ter vergel?king met het als n.m.k. op te vatten kriterium van Johansen voor een isotroopgewapende betonplaat met Mn(~) = M, dat in fig. 18 door cirkel a wordt voorgesteld, Z?n indezelfde figuur met I?n b de vloeimomenten volgens het kinkkriterium als een funktie van ~471fig. 18Litteratuur[1] Etude exp?rimentale des crit?res derupture par flexion dans les dalles enb?ton arm?; H.Louis, Ch.Massonnet, R.Baus et S.Tolaccia; Bulletin d'lnforma-tion no. 38, C.E.B., mars 1963.[2] Yield-line analysis of slabs; R.H.Woodand L.L.Jones.[3] CUR-rapporten 26A. B en C; Betonver-eniging, 's-Gravenhage, 1962.[4] Plastic and elastic design of slabs andplates; R.H.Wood; Thames and Hudson,London, 1961.[5] Limit Analysis of reinforeed concreteslabs; M.P.Nielsen; Acta PolytechnicaScandinavica, no. Ci. 26, 1964.[6] The yield-criterion for orthothopicallyreinforeed concrete slabs; K.O.Kemp;International Journalof MechanicalSciences. vol. 7. pp. 737-746, PergamonPress Ltd, 1965.[7] Recent developments in yield-line theo-ry; K.O.Kemp, C.T.Morley, M.P.Nielsen,R.H.Wood and L.L.Jones; M.C.R. SpecialPublication, May 1965; Cement and Con-crete Association, London.[SJ Bulletin d'lnformation no. 67, C.E.B.,avril 1968.[9] Yield-line theory (Engelse vertaling);K.WJohansen; Cement and ConcreteAssociation, London.[10] A yield criterion for reinforeed concreteunder biaxial moments and forces;R.J.Lenschow and M.A.Sozen; Civil-+---t+-t----------------'-'i'-.:...:...----+ x? wapeningsrichtingMy=M 1..-=='---'\'I:tT.Z9Mde positieve vloeimomenten volgensverschillende bezwijkkriteria vooreen isotroop gewapende plaato. kriterium van Johansen en van Nielsen;tevens kriterium volgens Prince enKemp voor k=oob. kriterium volgens Prince en Kemp voor k=3c_ kriterium volgens Prince en Kemp voor k:Od. kriterium gebaseerd op onvolledig kinkenvan de wapening (Kwiecinski)e_ kriterium gebaseerd op volledig kinken vande wapening (Wood)--voldoet aan de voor een n.m.k. noodzakelijkevoorwaarden (9.6)_._- voldoet niet aun de voor een n.m.k. noodzakelijkevoorwaarden (9.6)11:uitgezet. Uit symmetrieoverwegingen is voor cp het interval 0 ~ cp ~"2 aangehouden.Vergeleken met experimentele resultaten geeft het kinkkriterium te hoge waarden voor devloeimomenten. Het werkelijke kriterium zal mogelijk tussen dat van lohansen en het kink-kriterium in liggen.Uitgaande van de veronderstelling dat de wapening in een vloeilijn niet volledig kinkt en dewringende momenten in een vloeilijn gelijk aan nul zijn, ontwikkelde Kwiecinski een uitdruk-king voor het vloeimoment als functie van de hoek cp en een experimenteel te bepalen para-meter!1 [1.1]. [12]. In fig. 18 zijn met lijn c de positieve vloeimomenten volgens Kwiecinskiuitgezet voor een isotroop gewapende plaat.Uit deze figuur blijkt dat d~ Mn (CP) =1= 0 voor cP =1= 450, ofwel volgens (9.6) dat Mnt (CP) =1= 0voor cP =1= 450?Daar Kwiecinski in zijn afleiding stelde dat in een vloeilijn moet gelden mnt = 0, wordt hierniet voldaan aan (9.5) en is dit kriterium dus geen n.m.k.In de voorgaande beschouwingen werd in de wapeningsstaven enkel axiale trek veronder-steld. Prince en Kemp hebben onlangs een bezwijkkriterium-voor isotroop gewapende platenafgeleid, waarbij ook de (horizontale) schuifkrachten in de wapening terplaatse van de vloei-lijn in acht worden genomen [13].De vloeimomenten volgens dit kriterium, dat voldoet aan de voor een n.m.k. noodzakelijkevoorwaarde (9.6), zijn behalve van de ori?ntatie van de vloeilijn t.o.v. de wapeningsrichtingentevens afhankelijk van k, de verhouding scheurwijdte/staafdiameter.In fig. 18 is dit kriterium voor k = 0 en k = 3 met de lijnen d en e aangegeven. Voor k...,. 00gaat dit kriterium over in dat van Johansen. In de praktijk zal k echter zelden groter dan 2worden.Engineering Studies, Structural Re-12. Slotbeschouwingsearch Series no. 11; University of Het oorspronkelijke kriterium van Johansen [9]. het later (in termen van de bezwijkanalyse)"linois, Urbana, July 1966. afgeleide kriterium van Nielsen [5] en het normaalmomentenkriterium met als uitgangspunt[11] Yield criterion for initially isotropie rein- slechts de voorwaarden (9.2) en 9.3), zijn in feite drie verschillende gedaanten van eenzelfdeforced slabs; M.W.Kwiecinski; Maga- bezwijkkriterium. Het is dan ook niet vreemd dat dit in het verleden aanleiding heeft gegevenzine of Concrete Research, vol. 17. tot misverstanden.no. 51: lune 1965; Cement and Con- Dat voor het n.m.k. ook andere uitdrukkingen voor Mn(CP) en M'n(cp) mogelijk zijn dan diecrete Association, London. volgens lohansen, blijkt uit het recente werk van Prince en Kemp [13J voor een isotroop[12] Some tests on the yield criterion for a gewapende plaat. Volgens dit kriterium g.edraagt een dergelijke plaat zich in het bezwijk-reinforeed concrete slab; Discussions; stadium niet meer isotroop!Magazine of Concrete Research, vol. 18.no. 54: March 1966; Cement and Con-crete Association, London.[13] A new approach to the yield criterionfor isotropically reinforeed concreteslabs; M.R.Prince and K.O.Kemp; Maga-zine of Concrete Research, vol. 20. no.62: March 1968; Cement and ConcreteAssociation, London.Cement XXI (1969) nr. 10In dit artikel is slechts uiteengezet welke de consequenties zijn ten aanzien van de wringen-de en tangenti?le momenten in een vloeilijn, wanneer het bezwijkkriterium voor platen alseen normaalmomentenkriterium zou worden gedefinieerd.Er is niet ingegaan op de moeilijkheden, zoals die in het bijzonder naar voren komen in devloeilijnentheorie, wanneer men bij een gevonden vloeilijnenpatroon een passende momen-tenverdeling zoekt, die in elk punt van de plaat voldoet aan de voorwaarden (9.2) en (9.5).472