O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eM odellerencement 2005 780dr.-ing. S. Zimmermann, prof.ir. C.S. Kleinman, prof.dr.ir. D.A. Hordijk, TU Eindhoven, faculteit BouwkundeIn het materiaalonderzoek worden homogenisatieme-thoden toegepast om materiaaleigenschappen vast teleggen die representatief zijn voor een in feite heterogeenmateriaal. In dit artikel wordt na een korte inleiding dehomogenisatie-techniek verfijnd en toegepast op eencementgebonden composiet met een korrelstructuur.De microstructuur wordt geschematiseerd en het span-nings-vervormingsgedrag wordt beschreven. Daarnaworden de uitdrukkingen voor de in de praktijk welbe-kende elasticiteitsmodulus afgeleid. Met een parameter-studie worden de invloed van de korrelstructuur en deeigenschappen van de uitgangsmaterialen op de elastici-teitsmodulus onderzocht.In het modelleren van het gedrag van cementge-bonden materialen kunnen twee benaderingenworden onderscheiden. De eerste categorie is een`discrete' benaderingswijze. Voorbeelden zijn dedeeltjes- [1] en de staafwerkmodellen [2]. Met dezemodellen wordt getracht het macrogedrag van eenmateriaal te beschrijven door zo gedetailleerd alsmogelijk de details van het heterogene materiaalte beschrijven en de eigenschappen van de compo-nenten te modelleren. De tweede categorie zijn de`homogeniseringsmethoden', waarbij de micro-structuur wordt beschreven met een representa-tief volume-element (RVE) [3] dat wordt veronder-steld representatief te zijn om het heterogenemateriaal te kunnen beschrijven als een homo-geen continu?m. Figuur 1 geeft ter illustratie aanhoe een bouwdeel in eindige elementen wordtopgedeeld, waarbij het gedrag van het bouwdeelhet resulterende gedrag is van het gedrag van allesamenstellende elementen. Het macroscopischgedrag van een element zelf is de resultante vanhet gedrag, c.q. de eigenschappen van de er in teonderscheiden micromechanische componenten.Bij het vastleggen van een RVE moet aan een aan-tal voorwaarden worden voldaan. Zo is bijvoor-beeld vereist dat de afmetingen van inhomogeni-teiten in het uitgangsmateriaal en de daarmeeverbonden vervormingsmechanismen voldoendeklein zijn ten opzichte van het RVE. Denk hierbijvoorbeeld aan plastische zones rond een scheur-tip. Anderzijds moet een RVE weer voldoendeklein zijn om de invloedszones van op het materi-aal uitgeoefende krachten voldoende nauwkeurigte kunnen beschrijven.C e m e n t g e b o n d e n k o r r e l m a t e r i a l e nBij het modelleren van het gedrag van materialenmet een korrelstructuur moeten de gradatie en deafmetingen van de korrelmaterialen worden mee-genomen bij het afleiden van de eigenschappen opmacroniveau. Hiertoe wordt een volume-eenheidEigenschappen van cementgebonden materialen met een korrelstructuurHet homogeniseren vanheterogene materialenW e t e n s c h a pVGSD"compositielement"1 |De hi?rarchie bij homo-genisatie: een bouwdeelwordt opgebouwd uiteindige elementen(links), die elk op zichmateriaaleigenschappenbezitten (midden). Hetgedrag van een elementzelf is de resultante vanhet gedrag van de opmicroniveau te onder-scheiden samenstellendedelen van het op zichzelfheterogene materiaal(rechts)2 |Het modelleren van hetgedrag van beton (links).In het kleinste volumedat representatief is voorhet macrogedrag en datde informatie over kor-relgradering en -diame-ters bevat, het VGSD(mid-den), wordt voor elkekorreldiameter een RVEonderscheiden (rechts)O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eM odellerencement 2005 7 81ge?ntroduceerd die het kleinste volume is waarmeede invloeden van de korrelgradatie en -afmetingentot uitdrukking kunnen worden gebracht, het zoge-noemde VGSD(GSD = grain size distribution).Figuur 2 illustreert deze gedachtengang voor mate-riaal dat vergelijkbaar is met beton.In figuur 3 is de opbouw van de kleinste compo-nent, het RVE, getoond. Onderscheiden worden hettoeslagmateriaal zelf, een contactzone en de omhul-lende cementmatrix. Elk van deze drie materialenheeft een E-modulus en dwarscontractieco?ffici?nt,alsmede een buitenstraal. Het vervormingsgedragvan dit RVE kan worden uitgedrukt in de eigen-schappen en afmetingen van de drie materialenwaaruit het is opgebouwd. De berekeningen wor-den uitgevoerd voor een aantal karakteristieke kor-relafmetingen. Als de zeefkromme bekend is enaangegeven is hoe groot de volumeaandelen vantoeslag en contactzone en cementmatrix zijn, volgtna sommatie het gedrag van het VGSD. Voor eenuitgebreide beschrijving van de achtergrondenwordt verwezen naar [4].E l a s t i c i t e i t s m o d u l u s - p a r a m e t e r s t u d i eDe modelresultaten worden ge?llustreerd door para-meterstudies met de E-modulus uit te voeren. Tabel1 geeft de eigenschappen van de drie componentenvan het RVE. De berekeningen gaan uit van eencement CEM 32,5 R, een water-cementfactor 0,5 eneen hydratatiegraad van 0,9.Achtereenvolgens komen aan de orde de korrelgra-dering, de grootste korrelafmeting, de volume-aan-delen van de componenten van het RVE en destijfheid van het toeslagmateriaal.KorrelgraderingHet uitgangspunt zijn de drie graderingen A, B en Cuit de Duitse norm DIN 1045-2 (07.01). Hierbij staatA voor de `grove' zeefkromme; C voor degene methet meeste `fijne' materiaal.Figuur 4 geeft de resultaten als wordt uitgegaan vaneen grootste korrelafmeting van 16 mm. De grade-ringen worden gecodeerd met A16, B16 en C16.Resultaten worden getoond voor de gemiddelde kor-reldiameters (d) binnen de onderscheiden interval-len, namelijk 0,375 mm (0,25-0,5 mm); 0,75 mm(0,5-1 mm); 1,5 mm (1-2 mm); 3 mm (2-4 mm);6 mm (4-8 mm) en 12 mm (8-16 mm). In de figuuris steeds een relatieve stijfheid berekend. Dit isgedaan door alle waarden ten opzichte vanE' = 10 000 N/mm2te geven. Een `fijne' zeefkrommeblijkt te resulteren in hogere E-moduli dan een`grove' zeefkromme. Dit is ook te zien in de tabelrechts in de figuur waar de resulterende E-modulusvan het GSD is gegeven. Dit is dus in feite de E-modulus van `het beton' en als zodanig vergelijkbaarmet waarnemingen in de praktijk of in een laborato-rium.In de figuur is voor de korrelafmeting d = 3 mminformatie opgenomen over de verhouding tussende straal van de toeslagkorrel (r1in fig. 3) en debuitenstraal van de cementmatrix (r3in fig. 3):1= r1/r3. Uit de figuur blijkt dat deze verhoudinghet kleinste is bij de `fijnste' korrelgradatie. Dit isals volgt te verklaren: de verhouding tussen devolume-aandelen toeslagmateriaal en contactzone/cementmatrix is vast gekozen. Bij een fijne korrel-verdeling zijn er relatief veel toeslagkorrels. Iederekorrel moet dan relatief weinig cementmatrixvolu-me binden. Dit leidt tot een voor de E-modulusgunstiger verhouding dan die gevonden voor degrovere korrelgraderingen. Immers, omdat decementmatrix een veel kleinere E-modulus heeftdan het toeslagmateriaal (zie tabel 1), heeft eenhoge een gunstige invloed op de stijfheid.De verhouding tussen de E-moduli van de RVE'smet d = 0,375 mm tot d = 12 mm, waaruit het GSDis opgebouwd, is voor de `fijne' korrelgradering ookiets lager (31%) dan voor de meest `grove' korrelgra-dering (35%). Bij fijne korrelgraderingen wordt duseen homogener materiaal verkregen.Als wordt gekeken naar de E-modulus van hetGSD, blijkt dat de fijnste korrelgradering tot de4 |De relatieve groottevan de E-moduli van deonderscheiden toeslag-fracties (RVE's) voor driezeefkrommen A-C (max.toeslagkorrel 16 mm)en de daaruit volgendeE-moduli van het beton-mengsel (GSD)cementmatrix (E3, 3): = 3contactzone (E2, 2): = 2toeslag (E1, 1): = 1r3r2r1IIIIII4,204,003,803,603,403,203,002,800,375 0,75 1,5 3,0 6,0 12,0+31%+33%+35%A16B16C161,C16= 0,9511,B16= 0,9311,A16= 0,902d (mm)?E(d)/E'(-)GSD ?E(GSD)(MPa)A16 35 100B16 34 100C16 33 7003 |De schematische opbouwvan het RVE met van bin-nen naar buiten: toeslag-materiaal, contactzoneen cementmatrixTabel 1 | Uitgangswaarden voor variabelen gehanteerd in de parameterstudiemateriaal E-modulus dwarscontractie volume-aandeel(N/mm2) co?ffici?nt (-)toeslagmateriaal 50 000 0,2 70%contactzone 13 000 0,2cementmatrix 17 000 0,2 samen met contactzone 30%O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eM odellerencement 2005 782laagste resulterende E-modulus leidt. Dit ondankshet feit dat de samenstellende RVE's op zichzelf bijeen bepaalde korrediameter d de grootste E-modulihebben. Hier moet echter worden bedacht dat bijgrove korrelgraderingen het volume-aandeel van degrotere korrelfracties hoger is. En, bij een toenamevan de korreldiameter d wordt een toename van deE-modulus gevonden (zie fig. 4). De E-modulus vanhet GSD is immers een op basis van volume-aande-len gewogen gemiddelde voor alle korreldiameters.Zo heeft bijvoorbeeld korrelgradering A een volu-me-aandeel van 40% voor de fractie 8-16 mm(d = 12 mm), terwijl dit slechts 12% is voor korrel-gradering C.Hier moet worden opgemerkt dat in de praktijk hetvolume-aandeel van de cementmatrix niet constantzou worden gehouden, maar op de zeefkrommezou worden afgestemd en daarom bij meer fijntoeslagmateriaal verhoogd zou worden. Dan liggende krommen uit figuur 4 dichter bij elkaar en zijnde verschillen tussen de E-moduli van de GSD'sgroter.Grootste korrelafmetingDe invloed van de grootste korrelafmeting is zicht-baar gemaakt in figuur 5. Uitgegaan is van zeef-krommen A en C. Onderzocht zijn grootste korrel-afmetingen van 8, 16 en 32 mm. In de figuurbehoren hierbij de intervalgemiddelden d = 6 mm(4-8 mm), d = 12 mm (8-16 mm) en d = 24 mm(16-32 mm). De uitgangspunten vermeld in tabel 1zijn weer gehanteerd. De relatieve toename van deE-modulus van de grootste fractie ten opzichte vande kleinste fractie (d = 0,375 mm) is vermeld. Dezeblijkt kleiner te zijn naarmate de korrelgradering`fijner' is. Vergelijk hiertoe bijvoorbeeld de 42%(fig. 5a) en 31% (fig. 5b) voor d = 24 mm voor zeef-krommen A en C. Het is opvallend dat zeefkrommeC leidt tot een zeer kleine invloed van de grootstekorrelafmeting op de E-moduli van de onderschei-den korrelfracties. Zo is bij zeefkromme C hetverschil tussen de E-modulus voor het RVEd = 0,375 mm en het RVE d = 6 mm 27%, terwijl ditverschil slechts toeneemt tot 31% voor het RVEd = 24 mm. Bij zeefkromme A is sprake van eentoename van 30 tot 42%.Volume-aandelen componentenHet volume-aandeel van het toeslagmateriaal isgevarieerd tussen de grenzen 60 en 80%. Dit isongeveer de bandbreedte die in de praktijk wordtaangetroffen. Tabel 2 geeft de uitgangswaarden vande berekeningen. Resultaten zullen alleen wordengetoond voor zeefkromme A, bij een grootste kor-relafmeting van 16 mm (fig. 6).Op basis van ervaringsgegevens mag worden ver-wacht dat een toename van het volume-aandeel vanhet toeslagmateriaal leidt tot een toename van deE-moduli van de onderscheiden fracties (de RVE's)waaruit het mengsel is opgebouwd. Dit is in figuur6 goed te zien voor bijvoorbeeld d = 3 mm end = 6 mm. Het verhogen van het volume-aandeel v1leidt tot een toename van de E-moduli met 10%,respectievelijk 8%. Deze invloed is uiteraard ookzichtbaar voor de E-moduli van het beton als geheelTabel 3 | Uitgangswaarden voor variabelen gehanteerd in de studie naar de invloed van de E-modu-lus van het toeslagmateriaalmateriaal E-modulus dwarscontractie volume-aandeel(N/mm2) co?ffici?nt (-)toeslagmateriaal 30 000 - 90 000 0,2 70%contactzone 13 000 0,2cementmatrix 17 000 0,2 met contactzone 30%4,204,003,803,603,403,203,002,800,375 0,75 1,5 3,0 6,0 12,0+30%A8A16A32d (mm)?E(d)/E'(-)GSD ?E(GSD)(MPa)A8 34 400A6 35 120A32 35 660(16-31,5)(0,25-0,50)24,0+35% +42%4,204,003,803,603,403,203,002,800,375 0,75 1,5 3,0 6,0 12,0+27%C8C16C32d (mm)?E(d)/E'(-)GSD ?E(GSD)(MPa)C8 33 260C16 33 700C32 34 230(16-31,5)(0,25-0,50)24,0+29% +31%Tabel 2 | Uitgangswaarden voor variabelen gehanteerd in de studie naar de invloed van het volume-aandeel van het toeslagmateriaalmateriaal E-modulus dwarscontractie volume-aandeel(N/mm2) co?ffici?nt (-)toeslagmateriaal 50 000 0,2 60 - 80%contactzone 13 000 0,2cementmatrix 17 000 0,2 met contactzone 40 - 20%5 | De relatieve groottevan de E-moduli van deonderscheiden toeslag-fracties (RVE's) voor tweezeefkrommen C en A (5a,resp. 5b) en de daaruitvolgende E-moduli vanhet betonmengsel (GSD)abO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eM odellerencement 2005 7 83(het GSD). Dan blijkt sprake te zijn van een toena-me van de E-modulus met 7%.Stijfheid toeslagmateriaalTabel 3 geeft de uitgangswaarden die zijn gehan-teerd bij deze parameterstudie. De E-modulus vanhet toeslagmateriaal is tussen ver uiteen liggendegrenzen gevarieerd; 30 000 ? 90 000 N/mm2. Dezegrenzen stemmen ongeveer overeen met de gren-zen die in de praktijk worden gevonden. De studieis wederom uitgevoerd voor zeefkromme A,gebruikmakend van een grootste korrelafmetingvan 16 mm. Figuur 7 toont de resultaten. Omdatook nog sprake is van een invloed van de cement-matrix en contactzone op de E-modulus van hetRVE (zie fig. 3) komen de verschillen tussen de E-moduli van het toeslagmateriaal minder sterk naarvoren in deze E-moduli. Dit wordt getoond infiguur 7, waar een toename van de E-modulus vanhet toeslagmateriaal met 200% (van 30 000 N/mm2(bijv. zandsteen) tot 90 000 N/mm2(bijv. basalt))leidt tot een toename van de E-moduli van de frac-ties d = 0,375 mm en d = 12 mm met, respectieve-lijk, 55% en 83%.Binnen de bandbreedte van de fracties (d =0,375 mm tot d = 12 mm) blijkt het materiaal eenmeer heterogeen verdrag te vertonen naarmate deE-modulus van het toeslagmateriaal groter is.Figuur 7 geeft ten opzichte van d = 0,375 mm eentoename van de E-modulus van het RVE behorendebij d = 12 mm met 23% als de E-modulus van hettoeslagmateriaal 30 000 N/mm2is. Deze toename is48% bij een E-modulus van het toeslagmateriaalvan 90 000 N/mm2.S a m e n v a t t i n gHomogeniseringsmethoden kunnen bijdragen aande technologische ontwikkeling van heterogenematerialen. Het leggen van een duidelijk verbandtussen waarnemingen en de achterliggende oorza-ken is daarbij van groot belang. Met simulatie kaninformatie worden verkregen over te verwachtenmateriaaleigenschappen zonder dat steeds moetworden teruggevallen op een uitgebreide proeven-serie of ervaringsgegevens. De laatste ontbrekenook vaak als nieuwe materialen, zoals zelfverdich-tend beton, worden ontwikkeld. Parameterstudieskunnen aangeven in welke richtingen moet wordengezocht om verbeteringen te kunnen doorvoeren.Uiteraard blijft het uitvoeren van experimentennoodzakelijk; zij zullen de informatie moeten bie-den aan de hand waarvan de grootte van modelpa-rameters kan worden vastgelegd. L i t e r a t u u r1. Roelfstra, P.E., H. Sadouiki & F.H. Wittmann,Le b?ton num?rique. Materials and Structures18, 1985.2. Lilliu, G. & J.G.M. van Mier, 3D lattice type frac-ture model for concrete. Engineering FractureMechanics 70, 2003.3. Hill, R., Elastic properties of reinforced solids:some theoretical principals. Journal of the Mecha-nics and Physics of Solids 11, 1963.4. Zimmermann, S, Nonlinear Homogenizationof Concrete-Like Material Structures. Disserta-tion, Technische Universiteit Eindhoven, 2004.4,103,903,703,503,303,102,902,700,375 0,75 1,5 3,0 6,0 12,0+10%v1= 0,60d (mm)?E(d)/E'(-)v1?E(GSD)(MPa)0,60 33 9600,70 35 3100,80 36 350(8-16)(0,25-0,50)+8%6 |De relatieve grootte van de E-moduli van de onderscheidentoeslagfracties (RVE's) voor zeefkromme A en een grootstekorrelafmeting van 16 mm bij drie volume-aandelen van hettoeslagmateriaal; v1= 60%, 70% en 80% en de daaruit volgendeE-moduli van het betonmengsel (GSD)7 |De relatieve grootte van de E-moduli van de onderscheidentoeslagfracties (RVE's) voor zeefkromme A bij een grootste kor-relafmeting van 16 mm voor vier E-moduli van het toeslagma-teriaal en de daaruit volgende E-moduli van het betonmengsel(GSD)v1= 0,70v1= 0,80zeeflijn: A165,204,704,203,703,202,702,200,375 0,75 1,5 3,0 6,0 12,0E1= 90 000 (MPa) ( basalt)d (mm)?E(d)/E'(-)E1?E(GSD)(MPa) (MPa)30 000 27 60050 000 35 30070 000 41 90090 000 47 800(8-16)(0,25-0,50)E1= 70 000 ( Gabbro)E1= 50 000 ( Rijngrind)zeeflijn: A16E1= 30 000 ( zandsteen)+48%+23%