HET BEREKENEN VANTIJDSAFHANKELIJKE EFFECTENIN SAMENGESTELDE LIGGERSir.J.Niemantsverdriet en ir.J.C.W.M.de Wit, Witteveen+Bos, Raadgevende ingenieurs, DeventerTen behoeve van het berekenen van tijdsafhankelijke effecten in samengestelde,voorgespannen liggerconstructies is een numerieke oplossingsmethodiek uitgewerktdie gebaseerd is op de intervalmethode. Kenmerkend voor deze methode is dat hetgebruik van differentiaalvergelijkingen wordt vermeden en dat met voordeel vanmeerdere en willekeurige krimp- en kruipfuncties en andere tijdsafhankelijkerelaties gebruik kan worden gemaakt. In dit artikel wordt de methode uiteengezeten wordt vervolgens een computerprogramma beschreven, geschikt voor hetdoorrekenen van geprefabriceerde, betonnen liggers met in het werk gestortedruklaag.et specifieke probleem van de belastingopbouw enhet gedrag in de loop der tijd van een samengesteldeligger is schematisch afgebeeld in figuur 1. Op fa-brieksmatige wijze worden voorgespannen liggers geprodu-ceerd van hoogwaardig beton (a). Veelal wordt na 1 dag devoorspanning aangebracht (b), waardoor de ligger opbuigt envanaf dat moment naast de belasting door voorspanning ookde eigengewichtsbelasting draagt. Het krimp-, kruip- en re-laxatieproces vangt op dit moment aan. Na tijdelijke opslag,transport en montage worden de liggers in het werk voorzienvan een druklaag (c). De belasting door de druklaag wordt dannog door de prefabligger alleen gedragen. Na het verhardenvan de druklaag worden de overige belastingen (rustende be-lasting en veranderlijke belasting) door de samengestelde lig-ger als geheel opgenomen (d en e).Door het verschil in krimp- en kruipgedrag van ligger c.q.druklaag als gevolg van verschillen in ouderdom, betonkwali-teit, aanvangs- spanningen etc, en door de interactie tussenstaal en beton in ligger en druklaag, vindt er een complextijdsafhankelijk vervormingsproces plaats, waardoor er eenbelangrijke herverdeling van spanningen zal optreden. In deaanvankelijk spanningsloze druklaag zal, afhankelijk van eenaantal factoren, geleidelijk een drukspanning worden opge-bouwd, waarbij de voorspanning vanuit de ligger als het warenaar de druklaag vloeit.Bij een extreme herverdeling (grote kruipvervorming van deligger) kan zelfs de situatie worden benaderd alsof ligger endruklaag van het begin af aan als een geheel werden voorge-spannen.RekenmodelHet rekenmodel gaat uit van een willekeurige doorsnede alsbasis voor de beschrijving van het vervormingsgedrag van eensamengestelde constructie. De doorsnede kan daarbij vari?rennaar vorm, aantal samenstellende betondelen, grootte en lig-ging van voorspannings- en wapeningslagen, tijdsafhankelij-ke vervormingen en andere materiaaleigenschappen, uitwen-dige belastingen enz. Voor de beschrijving van het gedrag vaneen ligger wordt de ligger opgevat als een aaneenschakelingvan een eindig aantal doorsneden met alle bijpassende eigen-schappen per snede. Het vervormingsgedrag volgt daarbij uitnumerieke integratie van de afzonderlijke, specifieke vervor-mingen per doorsnede. Aldus wordt het totale liggerpro-bleem teruggebracht tot de sommatie van een aantal doorsne-deproblemen. Het vervormingsgedrag van een doorsnede on-42 Cement 1989 nr. 1Hder invloed van de belasting kan conform de verplaatsingsme-thode worden beschreven met een stijfheidsmatrix S, waarbijde volgende vergelijkingen gelden (zie ook literatuur 1):k-S --^-kwaarin:, ? , , normaalkracht _____ Fk is de kracntvector: -- . .moment Mf is de vervormingsvector: , . =? kromming S is de stijfheidsmatrix:_|_ _L _ _|_ _LJbcton ' Jvoorsp. ' ?staal ^b ' Jp ' JaSi is de inverse stijfheidsmatrixAlle grootheden zijn gedefinieerd ten opzichte van een vastereferentielijn aan de onderzijde van het liggerprofiel. Detekenafspraken zijn overeenkomstig de aanduidingen infiguur 2.De vervormingen en spanningen in een doorsnede wordenbepaald door de rek- en de hoekverdraaiingscomponent vande 2-dimensionale vervormingsvector en door de volgendealgemene uitgangspunten:- vlakke doorsneden blijven vlak;- alle vervormingen in beton, staal en voorspanstaal blijven inhet lineair-elastische gebied;- volledige aanhechting tussen beton en (voorspan)staal.Onder deze aannamen verkrijgt de stijfheidsmatrix S de vol-gende gedaante:_ ?Eh.Ab + . + , 2 .5 + .5 + [ ^ + . + + . + ,4waarin: is de elasticiteitsmodulus van beton, voorspanstaal enstaal;A, S, I is respectievelijk netto oppervlak, statisch moment entraagheidsmoment ten opzichte van de referentielijn;b, , a is de index voor respectievelijk beton, voorspanstaal,staal; is de sommatie over de verschillende doorsnededelen,De krachtvector k is gedefinieerd in de referentielij n. Een wil-lekeurige, uitwendige belasting op een doorsnede dient steedsvertaald te worden in twee componenten F en Min deze refe-rentielijn. Met behulp van bovengenoemd stelsel van vrij-heidsgraden en de bijbehorende, makkelijk te hanteren stijf-heidsmatrix S kunnen alle vervormingen in de doorsnede opeenvoudige wijze worden berekend [1,2].Ook voor het in rekening brengen van tijdsafhankelijke effec-ten wordt op een bijzondere wijze gebruik gemaakt van de-zelfde stijdheidsmatrix S [3,4]. Aan de hand van een voorbeeldin figuur 3 wordt dit ge?llustreerd.De interval-methodeBeschouw een zeker tijdsinterval di waarin de voorgespannenbetondoorsnede een onbelemmerde krimpverkorting zouwillen ondergaan ter grootte van de'r. Andere vervormings-componenten van de doorsnede blijven in dit voorbeeld voor-alsnog buiten beschouwing. Denkbeeldig wordt de krimp-verkorting in eerste instantie voorkomen door een vasthoud-kracht Eh die daartoe een waarde zal moeten hebben vande'r.Eb.y4b, en aangrijpt in het zwaartepunt van de netto be-tondoorsnede. In het beton heerst nu een initi?le trekspan-ning groot dE'r.?b.Omdat de vasthoudkracht er in werkelijkheid niet kan zijn,wordt deze met tegengesteld teken op de volledige doorsnede(beton en staal) aangebracht en worden de drukspanningen inalle onderdelen van de doorsnede met behulp van de kracht-vector k en de matrix S bepaald. Na superpositie op bovenge-noemde initi?le spanningen is het spannings- en vervor-mingsbeeld ten gevolge van de krimpverkorting de'r. com-pleet, resulterend in lineair verlopende trekspanningen in hetbeton en drukspanningen in het staal.In het beschouwde tijdsinterval di zal er niet alleen sprakezijn van krimp, maar ook van een zekere kruip en van span-ningsverliezen in het voorspanstaal door relaxatie. Ook deaanwezige druklaag zal een zekere tijdsafhankelijke vervor-ming willen ondergaan. Al deze vervormingen kunnen wor-den vertaald in vasthoudkrachten (en bijbehorende initi?lespanningen) die, gesommeerd tot ??n krachtvector, op dehierboven geschetste wijze worden verwerkt. Kruipvervor-mingen zijn in het algemeen niet constant over de doorsnedeverdeeld, en vereisen daarom naast een vasthoudkracht ookeen vasthoudmoment.Voor de berekening van alle tijdsafhankelijke effecten vanaft -- 0 tot t -- oo wordt de totale levensduur van een liggercon-structie opgedeeld in een eindig aantal tijdsintervallen. Voorieder tijdsinterval worden de momentane krimp- en kruip-verkortingen in de doorsnede in rekening gebracht, evenals deper tijdsinterval optredende relaxatie in het voorspanstaal.De duur van een tijdsinterval is beperkt. Dit is essentieel voorde intervalmethode, omdat binnen een tijdsinterval veron-dersteld wordt dat de verschillende tijdsafhankelijke effectenelkaar niet be?nvloeden.Zo wordt de kruipvervorming de'kr gedurende het tijdsinter-val di berekend volgens:de'^-^yE'^dcpjCement 1989 nr. 1 43waarin 'b de actuele betonspanning bij aanvang van het tijds-interval di voorstelt die voor de rest van het interval constantwordt verondersteld. De kruipfactor qp: neemt over de periodedi toe met dtp:. De resulterende kruipvervorming wordt alshet ware trapsgewijs in het rekenproces ingevoerd, waardoorhet in werkelijkheid vloeiende verloop van de kruipkrommezich manifesteert als een trapjeslijn zoals geschetst in figuur 4.Op analoge wijze geldt dit voor de krimp- en relaxatie-krommen.Overigens valt vzxmitfiguur 4 ook af te leiden dat in de model-aanpak niet gekozen is voor een verdeling in gelijke tijdsinter-vallen, maar voor een verdeling in gelijke kruipstappen dep:,met bijbehorende, toenemende tijdsintervallen.Voor het hier besproken rekenmodel is bij Witteveen en Boshet computerprogramma COMPO ontwikkeld.Krimp- en kruipfuncties, VB versus CEB-FIPDe interval-methode met de bijbehorende oplossingsmetho-diek maakt het in principe mogelijk iedere willekeurigekrimp- en kruipfunctie in de berekening in te voeren en des-gewenst van meerdere (in de tijd aangepaste) functies gebruikte maken. Om praktische redenen is echter gekozen voor een2-tal standaardmogelijkheden naar keuze voor wat betreft hetverloop van de kruip in de voorgespannen ligger en verdervoor een vast tijdsverloop conform de VB 1974/1984 voor dekruipvervormingen in het dek en de krimpverkortingen in deligger en (afzonderlijk) in het dek.Voor het bepalen van de tijdsafhankelijke kruipvervormingonder invloed van een in de tijd veranderlijke belasting geldtin het algemeen:'(0) = 1/Fb[o'bo ? cp(t,tO) + ;' ? cp(t,ti)]Als eerste optie is in het model COMPO de kruipfunctie vol-gens de VB 1974/1984 ingebouwd, waarbij met betrekking totlatere spanningsveranderingen in principe de methode Di-schinger wordt gevolgd. Dat wil zeggen dat er slechts sprake isvan ??n kruipkromme (bepaald door de ouderdom van hetbeton op het moment van belasten, dat willen zeggen voor-spannen), en dat voor alle latere belastingstappen alleen derestwaarde van deze kruipkromme in rekening wordt ge-bracht ('rate of flow'-methode). In formulevorm luidt dit:E'qp(t,tO) ={ - 0- - / \)[ \0- +^ \ ^)-^De E-modulus wordt door Dischinger constant veronderstelden heeft een waarde die correspondeert met een ouderdomvan 28 dagen.De methode Dischinger voldoet minder goed in het geval vaneen sterk vari?rende belasting; vooral in het geval van een be-lastingafname leidt Dischinger tot een overschatting van detotale kruipvervorming. Volgens R 12.31 van de 'Principlesand Recommendations' van CEB-FIP, uitgave juni 1970 [5]geldt daarom als betere benadering voor het superpositiebe-ginsel dat de oorspronkelijke spanning voor de kruipbereke-ning constant aanwezig blijft, terwijl alle latere spanningsver-anderingen een eigen kruipkromme gaan volgen. Met behulpvan de VB-notaties luidt dit in formulevorm:') -(kc kb V- ' ? ^do ? *j(t,t0) + ,- ? kdi ^(t,ti)]In figuur 5 is schematisch het verloop van de kruipverkortingvolgens beide methoden (Dischinger c.q. CEB-FIP) toegelichten wel voor het geval van een constante belasting met een tij-delijke verdubbeling (blokbelasting).Een strikte toepassing van de methode CEB-FIP impliceertdat voor ieder tijdsinterval een nieuwe kruipkromme aan de44 Cement 1989 nr. 1berekeningsgang zou moeten worden toegevoegd. Vergelij-kend onderzoek heeft echter aangetoond dat deze aanpak toteen onnodige verfijning van de Tekenprocedure en een nave-nante toename van de rekentijd en het geheugenbeslag leidt.Volstaan kan worden met een eenmalige introductie van eenextra kruipkromme en wel op het moment dat het dek op devoorgespannen ligger wordt aangebracht, omdat dit gepaardgaat met een relevante verandering van de spanningssituatiein de ligger (zie vooruitlopend figuur 7).Enkele overige kenmerken van COMPOEnkele belangrijke overige kenmerken van het model zijn:- meerdere configuraties voorspanstaal en wapeningsstaalzijn mogelijk;- relaxatieverloop volgens een e-macht, zodanig dat-310()0;- na iedere tijdstap wordt het relaxatieverloop aangepast aanhet momentane spanningsniveau in het voorspanstaal;- er worden spanningscontroles uitgevoerd op basis van deVB-eisen deel F en eventuele aanvullende eisen;- berekening van het breukmoment in de middendoorsnede;- variabele invoer van het aantal kruip-(tijd)stappen voor enna storten van de druklaag;- eventueel kan een extra plastische vervormingsfactor in re-kening worden gebracht.Deze laatste factor dient voor het voorspellen van de in depraktijk geconstateerde extra vervormingen in het nog jongebeton van de voorgespannen ligger gedurende de eerste dag nabelasten. De berekening van deze 'plastic flow'-factor is geba-seerd op de CEB-FIP Model Code 1978 [6] en het Bulletind'Information Nr. 136 van het , juni 1980 [7].Voorbeeldberekeningen met COMPOEen voorgespannen 1 -ligger met een lengte van 20 m, sterk-teklasse 55 en afmetingen volgens figuur 6, wordt in hetwerk voorzien van een druklaag met een dikte van 160 mm.Sterkteklasse druklaag: 25 of 35 (variabel).Enkele relevante berekeningsgegevens zijn:- (fictieve) ouderdom beton op moment van spannen: t0 -- 14dagen;- idem bij storten druklaag: it -- 60 dagen;- 32 voorspanstrengen 0 12,9 waarvan 10 stuks aan de uitein-den worden opgebogen;- vochtig milieu (RV - 75%);- overige materiaaleigenschappen conform de VB 1974/1984.De periode tot aan het storten van de druklaag (60 dagen) isvoor de berekening opgedeeld in 5 kruipstappen en de perio-de daarna tot aan ,, in 10 stappen. In figuur 7 is het berekendespanningsverloop in de tijd weergegeven in beide buitenstevezels van zowel de prefab-ligger als de druklaag. Als gevolgvan de excentrisch aangrijpende voorspanning is de aanvangs-drukspanning in de ondervezel het grootst en die in de boven-vezel het kleinst. Tijdens de eerste 60 dagen treden enige voor-spanverliezen op, waardoor de twee uitersten enigszins naarelkaar toe lopen, om vervolgens bij het aanbrengen van dedruklaag geheel om te slaan; de ondervezel wordt ontlast tenkoste van de bovenvezel.Tijdens en na het verharden van de druklaag zal zich in eersteinstantie vooral het krimpgedrag van de druklaag manifeste-ren. Daardoor treedt in deze fase een verdere afname van dedrukspanning in de ondervezel op. Dit verschijnsel is echterrelatief snel uitgewerkt en wordt in een later stadium min ofmeer weer gecompenseerd doordat het nog steeds doorgaan-de kruipproces in de ligger tot een gunstige herverdeling vanspanningen aanleiding geeft. E?n en ander verklaart waaromde minimale spanning in de ondervezel niet optreedt op hetmoment t--oe maar in een eerdere levensfase van de ligger.Het toepassen van een druklaag met weinig krimp is bevor-derlijk voor het spanningsverloop in de ligger (fig. 7).Het vervormingsgedrag van de ligger loopt in grote lijnen pa-rallel met het hierboven geschetste spanningsbeeld. In figuur8 is de tijdsafhankelijke doorbuiging weergegeven voor desterkteklassen 25 en 35 voor de druklaag. Krimp van dedruklaag heeft een grote invloed op de uiteindelijke resulte-rende opbuiging van de ligger.Figuur 9 bevat vergelijkende resultaten voor zowel een kruip-berekening volgens de VB 1974/1984 als een volgens de me-thode CEB-FIP. Hieruit blijkt dat geheel in overeenstemmingCement 1989 nr. 1 45Conclusies en verdere ontwikkelingenHet ontwikkelde rekenmodel is een belangrijk hulpmiddelbij het berekenen van het tijdsafhankelijke spanningsverloopin samengestelde liggerconstructies en het voorspellen vanhet vervormingsgedrag van dergelijke constructies. Op een-voudige wijze is het mogelijk de invloed van verschillendeontwerp- en materiaalparameters te onderzoeken.Uit een representatieve voorbeeldberekening van een brug-ligger is onder andere gebleken dat de sterkte van de druklaageen relevante invloed heeft op de ontwikkeling van het span-ningsverloop in de ligger evenals op het uiteindelijke vervor-mingsgedrag.In de praktijk wordt in de fase tijdens en kort na de produktievan prefab-liggers vaak een van de voorspellingen afwijkendvervormingsgedrag geconstateerd, in die zin dat de opbuigingveelal groter is dan verwacht. In het model COMPO is hierin(optioneel) reeds tegemoet gekomen door de introductie vaneen extra 'plastic-flow'-factor conform de CEB-FIP ModelCode 1978. Nader onderzoek hiernaar, zowel theoretisch alspraktisch, is gewenst.Andere nieuwe ontwikkelingen gaan in de richting van hetmodelleren van scheurvorming van het beton in zowel dedrukzone (tijdens het krimpen hiervan) als ook in de trekzonevan de voorgespannen ligger (gedeeltelijk voorgespannen be-ton).Literatuur1. rakel, J., Mulder, G.S. en Wolsink, G.M., Gedeeltelijk voor-gespannen beton 5. Een algemeen rekenmodel;PT/Civiele Techniek, 1982 nr. 102.STUMICO-rapport 3, Wisselwerking tussen beton en staalonder invloed van kruip en krimp3.de Hond, R. en Jager, H.C., Gedeeltelijk voorgespannen be-ton 3. Tijdsafhankelijk gedrag van beton;PT/Civiele Techniek 1982 nr. 54. Feron, M., Een computerprogramma voor de berekeningvan tijdsafhankelijke effecten op samengestelde betoncon-structies; afstudeerverslag TU Eindhoven, oktober 19865. Principles and Recommendations, CEB-FIP, juni 19706. CEB-FIP, Model Code for Concrete Structures, Third edi-tion, 19787. Bulletin d'Information nr. 136, Design Manual: Struc-tural effects of time-dependent behaviour of concrete; juni1980met de verwachtingen de eerste methode (Dischinger) eenoverschatting geeft van de verliezen, maar ook dat na verloopvan tijd beide methoden weinig verschillen meer laten zien.Met het rekenmodel is het goed mogelijk om zogenaamd va-riantenonderzoek te verrichten. Op snelle en eenvoudige wij-ze is het mogelijk bepaalde parameters in de berekening vaneen liggerconstructie herhaald te wijzigen en de invloed hier-van op de spannings- en vervormingsresultaten vast te stellen.Voorbeelden hiervan zijn de invloed van de hoeveelheid voor-spanning, het tijdstip van belasten van de ligger, het momentvan het aanbrengen van de druklaag, de afmetingen en desterkte van de druklaag enz.Vooral in het ontwerpstadium van een project kan met voor-deel gebruik worden gemaakt van de snelle rekenfaciliteiten.46 Cement 1989 nr. 1
Reacties