Grafieken voor centrisch en excentrisch belasteconstructiedelen met rechthoekige doorsnededoorir. P. H. DeibeI (Ing.bur. Dwars, Heederik en Verhey N.V.)Afleiding bij a s y m m e t r i s c h e wapeningBij de doorsnede met symmetrische wapening --zie het eerstegedeelte van dit artikel*-- werd ter verkrijging van de gewensteformules het evenwicht der krachten en het momentenevenwichtom het hart van de doorsnede beschouwd.Wil men vrij blijven in de verdeling' van de wapening over dedoorsnede, dan is een andere keuze van de basisvergelijkingenraadzaam. Wanneer men het momentenevenwicht zowel omde trekwapening als om de drukwapening bepaalt dan verkrijgtmen twee betrekkingen tussen Nu en et. De eerste betrekkingis onafhankelijk van de hoeveelheid trekwapening, de tweedeonafhankelijk van de hoeveelheid drukwapening.Men kan hiermee nu grafieken samenstellen, identiek aan de be-kende, op de n-methode gebaseerde, grafieken van M?rs c h.Momentenevenwicht om D'a (zie fig. 4, die dezelfde is als fig. 1van het eerste gedeelte *).fig. 4Bij gegeven waarden van en e bestaan oneindigveel combinaties van waarden voor en ' die aan de verge-lijkingen (3) en (4) voldoen. De enige voorwaarde is dat in beidevergelijkingen dezelfde waarde voor wordt ingevuld.Dit heeft in een grafiek de consequentie dat, indien men opde horizontale as uitzet en en ' bij voorbeeld onder enboven de as in beeld brengt, elke combinatie mogelijk is mits d?aflezingen maar plaatsvinden op een verticale lijn.Voor de uitwerking van de vergelijkingen (3) en (4) maken wijweer gebruik van de in het eerste gedeelte bepaalde hulpgroot-heden. Evenals bij de afleiding van de formules voor de sym-metrisch gewapende doorsneden werd gedaan, zal ook hiervoor 'u de veel voorkomende waarde van 135 kg/cm2wordengekozen.tabel 2functie interval functiewaardef() 0< < 1 > 11-9() 0 < < 0,0380,038 < < 0,074 > 0,074, 7-?'153+ 1h() 0,027 < < 0,7160,716 < < 1,41 > 1,41+ 12,913,06+ '-- 1f() . ?() 0 < < 1 > 1?2366 Cement XV (1963) Nr. 61) Het eerste gedeelte van dlt artikel is gepubliceerd in cementxv (1963) Nr. 4, blz. 235/244In de grafieken wordt nu als hulpgrootheid op de horizontaleas uitgezet. Verticaal zijn vanuit deze horizontale as en 'resp. naar boven en naar beneden uitgezet. Boven de horizon-tale as krijgt men zodoende het gebied waar met behulp van deuitgewerkte vergelijking (3) de lijnen voor gelijke waarde van 'kunnen worden bepaald, evenzo onder deze as met behulp vanvergelijking (4) de lijnen voor gelijke a.Men ziet in de grafieken plaatselijk een vrij plotselinge krom-ming in de lijnen voor en ' verschijnen. De lijnen lopen danvrij steil naar een oneindige waarde van of '. Dit islogisch indien men bedenkt, dat op de horizontale as staat aan-gegeven waar de neutrale lijn zich in het breukstadi?m zal be-vinden. Valt deze neutrale lijn samen met de plaats van de trek-of drukwapening dan verdwijnt theoretisch de invloed van dezewapening, ongeacht de hoeveelheid die aanwezig is.De vrij plotselinge kromming wordt veroorzaakt door de knik inhet ge?dealiseerde --diagram van het staal.Grote waarden van , d.w.z. vrijwel centrische belastingen,konden in deze grafieken buiten beschouwing worden gelaten.Artikel 35 van de G.B.V. 1962 schrijft immers voor, dat bij kleineexcentriciteit van de normaalkracht (-?^ < 0,10) de Wapeningn,regelmatig langs de omtrek van de doorsnede moet worden ver-deeld; het is in dat geval eenvoudiger om gebruik te maken vande in het eerste gedeelte van dit artikel gegeven grafieken, diealleen voor symmetrische wapening gelden.Het gebruik van de grafieken voor asymmetrische wapeningverloopt als volgt.Het meest voorkomend zal weer zijn, dat men bij gegeven N enet de afmetingen van de doorsnede schat en zo de waarde vanZoals in het voorgaande reeds uiteengezet is, zijn nu verschil-lende combinaties van waarden voor en ' mogelijk, mitsdeze waarden maar worden afgelezen bij ??n en dezelfdewaarde van .Dit zal met het volgende voorbeeld verduidelijkt worden.Stel men vindt = +0,24 en '= +0,02 (zie figuur 5). Steltmen de eis: + '= minimaal, dan vindt men,door het puntte zoeken waar de lijnen = + 0,24 en '= +0,02 elkaar inverticale zin het dichtst genaderd zijn, bijv.: = 0,7 en '= 1,1.Geeft men toch maar de voorkeur aan symmetrische wapeningdan wordt de opgezocht waarvoor dit klaarblijkelijk geldt(zie wederom figuur 5); men vindt dan bijv. = 1,0 en '= 1,0.Zo zijn nog diverse combinaties mogelijk.Men is dus, binnen zekere grenzen, vrij in de keuze van eenwaarde voor en vindt d?n bij die gekozen en bij gegevenwaarden van en ' de bijbehorende percentages voor druk-en trekwapening.Uitbreiding van de gebruiksmogelijkheden der grafiekenBij de in dit artikel gegeven afleidingen en grafieken is uit-gegaan van wapening, die voor de beschouwde buigingsrich-ting langs de uiterste zijden van de doorsnede is gelegen, d.w.z.fig 5.Cement XV (1963) Nr. 6 367dat eventuele wapening langs de andere zijden (de staven infig. 6) werd verwaarloosd.fig. 6Deze niet in de berekening meegenomen wapening zal dikwijlsvan geringe betekenis zijn. Het kan echter om bepaalde redenenonvermijdelijk zijn, dat een vrij groot deel van de wapening indit verwaarloosde gebied komt.Door een kleine correctie toe te passen kan met behulp van degegeven grafieken toch een juiste uitkomst worden verkregen.Dit zal hier voor het geval van een vrij centrisch aangrijpendenormaalkracht worden uitgewerkt. Ook bij grotere excentriciteitgeldt echter hetzelfde principe.We noemen de kracht die in het breukstadium geleverd wordtdoor de verwaarloosde staven: Dam en beperken ons tot midden-staven, d.w.z. tot staven gelegen in het midden van de aan debuigingsrichting evenwijdige zijden.Nu wordt de op de beschouwde doorsnede werkende normaal-kracht N met excentriciteit et vervangen gedacht door een nor-maalkracht N ---------r^p met excentriciteit -------------- =?---- . et plus een1,8. Nnormaalkracht -^~ in het zwaartepunt van de doorsnede (zie1,8fig. 7a-b).fig. 7a-bDit verandert niets aan de totale belasting van de doorsnede,want ook in geval b is de totale normaalkracht N en het totalemoment om het zwaartepunt N . et.De kracht Dam wordt in de bezwijktoestand juist door de daarter plaatse aanwezige wapening opgenomen; de gecorrigeerdewaarden voor normaalkracht en totale excentriciteit (resp.N --r^ en ---------------------. et) kunnen nu zonder meer dienen voor' 1 __am1,8.Nberekening van de hoeveelheid overige wapening met behulpvan de betreffende grafiek.Maar eerst zal dan de grootte van Dam moeten worden bepaald,oftewel de staalspanning in deze middenstaven.In het algemeen is de werkwijze als volgt:Met behulp van de oorspronkelijke waarden van N en et wordtin de betreffende grafiek, bij verwaarlozing van de midden-staven, de waarde van afgelezen. Met behulp hiervan schatmen de waarde van die zal optreden indien men de midden-staven niet verwaarloosd zou hebben (het verschil zal niet grootzijn) en met behulp van deze waarde wordt de staalspanning inde middenstaven en daarmee Dam berekend.Eenvoudig is na te gaan bij welke waarde van de stuikgrensin de middenstaven wordt bereikt: bij gebruik van QR 24 is voor > 0,74 de staaldrukspanning in de bezwijktoestand steeds2400 kg/cm2.Voor QR(n)40 wordt de drukspanning van 4000 kg/cm2pas be-reikt voor >,09.Is kleiner dan de genoemde grenswaarden maar groter dan0,5 dan kan men voor de bepaling van de drukspanning in demiddenstaven bij beide staalkwaliteiten gebruik maken van deformule aam = 7350 (1--~) kg/cm2**).Nu kunnen de waarden voor normaalkracht en excentriciteitworden gecorrigeerd en met deze gecorrigeerde waarden wordtde overige wapening bepaald. In de grafiek is dan tevens af telezen, of de waarde van juist is geschat. Zo niet, dan wordt deberekening herhaald met een herziene waarde van .Tot slot zal het vorenstaande in praktijk worden gebracht in hetvoorbeeld dat reeds genoemd is aan het einde van het eerstegedeelte van dit artikel.Gegeven :N =100 ton staalkwaliteit QR 24P- = 0,25 betonkwaliteit K 225htb . ht = 40 cm X 40 cmStel dat twee middenstaven ? 25 onontbeerlijk zijn (zie fig. 8).fig. 8Met verwaarlozing van de middenstaven:N _a'u-b.rit-' (grafiek2) -* ?)t = 2,85i =0/25 en =0,88"tHoewel bij het niet-verwaarlozen van de middenstaven eenweinig zal afnemen, wordt verondersteld dat blijft gelden: > 0,74 (dus am = 2400 kg/cm2).Hieruit volgt:Dam = Am . am = 10 .2,4 = 24 tonN3ec0rr. = 100 -~ = 87 - -?^ = 0,40, g. (et3?-'?"--=--L_ ,0,25 = 0,29180(grafiek 2) -* , = 2,4en = 0,84( blijkt inderdaad groter dan 0,74 te zijn, de aanname am = 'eis dus juist geweest).Door de twee middenstaven ? 25 in de berekening te betrekken,is het wapeningspercentage van de overige wapening dus ge-daald van 2,8 tot 2,4.Hoewel het in rekening brengen van de middenstaven met zichbrengt dat een waarde van moet worden geschat, heeft menbij deze, schatting een belangrijke steun aan de uitkomsten vande berekening met verwaarlozing van de middenstaven.De iteratie wordt hierdoor aanzienlijk bekort en kan zelfs insommige gevallen (zoals in het voorgaande voorbeeld) geheelachterwege blijven.Tot slot kan nog worden opgemerkt dat voor tussenstaven dieniet in de middens van de zijden zijn gelegen een in principegelijke methode kan worden opgesteld.**) Ook voor < 0,5 geldt de gegeven formule, men verkrijgtdan negatieve waarden voor am, wat in dit geval wil zeggendat in de middenstaven een trekspanning optreedt en dat eennegatieve waarde van Dam in de correctietermen moet wordeningevuld. Voor < 0,377 (QR 24) of < 0,324 (QR(n)40) treedtde vloeispanning in de middenstaven op.368 Cement XV (1963) Nr. 6grafiek 7Cement XV (1963) Nr. 6 369grafiek 8370 Cement XV (1963) Nr. 6grafiek 9Cement XV (1963) Nr. 6 371grafiek 10372 Cement XV (1963) Nr. 6grafiek 11Cement XV C1963) Nr. 6 373grafiek 12374 Cement XV (1963) Nr. 6