O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eFund er i ngen76 cement 2008 7Wind- of golfbelastingen veroorza-ken een cyclisch moment in devorm van M = Mmaxcos(2pft). Deconstructie beweegt met eigenfre-quentie f in zijn eigentrillingsvorm.Hij oefent een cyclisch kantelmo-ment uit op het fundatieblok, resul-terend in een hoekverdraaiing avan dit blok die volgt uit:a = (2pf Dw)-1Mmaxcos(2pft ? ?p)De factor Dwwordt berekend uitde eigenschappen van de bodemen de geometrie van het funda-tieblok. In het volgende wordt debodem opgevat als een isotroopelastisch medium met een elasti-citeitsmodulus E, een dwarscon-tractieco?fficient n en volumiekemassa r. Vanzelfsprekend is diteen simplistische voorstellingvan zaken. Essentieel is echterdat de volumieke massa eendoorslaggevende rol speelt bij debenadering van de responsie vande bodem op cyclische belasting.Ook in meer complexe materiaal-modellen moet de massa wordenmeegenomen bij de berekeningvan de responsie. Opvallend isdat Dwde dimensie heeft van eenrotatiedemper, namelijk [Nms].Dat heeft niets van doen metmateriaaldemping in de bodem,maar wordt veroorzaakt door dewijze waarop het cyclisch bewe-gende fundatieblok spannings-golven uitzendt in de bodem,analoog aan het epicentrum vaneen aardbeving. Opvallend is ookde verschuiving van de fase vana met ?p ten opzichte van hetcyclische moment. Deze fasever-schuiving is inherent aan detijdsvertraging met ?T van eengedempte harmonische trillingmet periode T = 1/f . Voor hogegebouwen is T in de orde vangrootte van 5 ? 10 s [1] . DeGeometrische demping vancyclisch belaste funderingenprof.ir. W.R. de SitterIn een wind- en/of golfklimaat komen cyclisch belaste constructies veel voor.Dergelijke constructies, zoals windmolens en hoge gebouwen, oefenen eencyclisch kantelmoment uit op de fundatieblokken. Die fundatieblokken zen-den op hun beurt spanningsgolven uit in de bodem. In een cyclus wordt eengrondmassief met afmetingen van 5 ? 10 km aangesproken. Daarmee is veelenergie gemoeid, die wordt onttrokken aan het cyclisch bewegende fundatie-blok. Dit fenomeen wordt geometrische demping genoemd. EEM program-ma's gaan niet altijd correct om met deze geometrische demping. De ontwer-per moet daarom voldoende achtergrond hebben om de resultaten kritisch tekunnen beoordelen. In dit artikel een toelichting op het fenomeen.1 |Cyclisch belaste con-structies komen veelvoor bij windmolensO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eFund er ingencement 2008 7 772 |Uitvoering van een fun-dering van eenwindmolenfoto: Andr? Domhof3 |Fundatieblok belast doorcyclisch windmoment MbdhMvoortplantingssnelheid van tril-lingen in de bodem is in de ordevan grootte van 1000 m/s.T h e o r e t i s c h e a c h t e r -g r o n d e nWanneer, conform de klassieketheorie van seismische verschijn-selen, de bodem wordt opgevat alseen isotroop elastisch mediumkan de elasticiteitsleer worden toe-gepast zie [2]. De voortplantings-snelheden van longitudinale- enafschuifgolven en de impedantiekunnen worden benaderd met:c = _____(E/r) (2a)c3= _____(G/r) (2b)Z = ____(Er) (2c)In het kader van dit artikel wordtverondersteld:E = 1500 MPa = 15108N/m?r = 1500 kg/m? = 1500 Nm-4s2n = 0,2Hieruit volgt:c 1000 m/sG = ?E/(1+n) = 625 MPaZ = 1,5106N m-3sVolgens de elasticiteitsleer volgende spanningen als gevolg van eendeeltjessnelheid v uit: s = v ____(Er)en t = v ____(Gr). De termen met____(Er) en ____(Gr) worden ook welaangeduid met geometrischedemping omdat de bijdragen aande normaal- en schuifspanningen,overeenkomstig met visceuzedempers, evenredig zijn met dedeeltjessnelheid v. In de civieletechniek zijn de deeltjessnelhedenlaag en bij statische belastinggelijk aan nul. Daarom worden dedempingstermen meestal buitenbeschouwing gelaten. Uitzonde-ring is de klassieke heitheoriewaar de heikracht wordt berekendals het product van de valsnelheidvan het heiblok en de impedantievan de paal (F = Zv).Aangenomen wordt dat een con-structie, bijvoorbeeld een hooggebouw, is gefundeerd op een fun-datieblok, zoals een kelder, metgrondvlak b?h [m?] en hoogte d [m].De bodem wordt door het blokbelast met een cyclisch mo- mentM in de h-richting (fig. 3). Onderinvloed van M ondergaat de funda-tie een hoekverdraa?ng a met eenhoeksnelheid w = da/dt. De snel-heid v langs de randen van het blokv = ?hw. De normaalspanningendie de bodem uitoefent op het fun-datieblok genereren een momentWv ____(Er) (W is het weerstandmo-ment bh?/6). Langs de zijkantenvan het blok worden over de hoogted schuifspanningen gegenereerddie resulteren in een bijkomendmoment. In totaal:Met:D= ?h[W____(Er)+(dh?/3+bdh)____(Gr)]wordt gevonden: M = wDw.De eerste term tussen [..] repre-senteert de in neerwaartse rich-ting gegenereerde spanningsgol-ven (fig. 4) en de tweede term deM=[W____(Er)+(dh2/3+bdh)____(Gr)]v (3)O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eFund er i ngen78 cement 2008 7in zijwaartse richting gegene-reerde schuifspanningsgolven (fig.2). Deze termen zijn van dezelfdeorde van grootte. Het cyclischeuitwendig moment M = Mmaxcos(2pft) genereert een hoeksnel-heid:w = Dw-1Mmaxcos(2pft). De hoek-verdraa?ng wordt verkregen doorintegratie van w: a = wdta = (2pf Dw)-1Mmaxcos(2pft ? ?p) (1)G e d e m p t e o f v e r e n d e r e s -p o n s i eBij eenvoudige berekeningen vooreen (voor)ontwerp wordt de respon-sie van de bodem op belasting dooreen moment M opgevat als eendirect reagerende rotatieveer metveerconstante Ca . Bij een cyclischmoment volgt de hoekverdraai?ngvoor verende responsie uit:a = (Ca)-1Mmaxcos(2pft) (4)Bij een, als gevolg van de radiaaldispergerende golven, gedempteresponsie bleek:a = (2pf Dw)-1Mmaxcos(2pft - ?p)(1)Voor een fundatieblok met grond-vlak b?h kan de waarde van Ca grofworden benaderd:Ca = bh?/6E = WE. Ook bijmeer nauwkeurige uitdrukkingenblijkt de veerconstante Ca evenre-dig te zijn met de elasticiteitsmodu-lus E van de bodem. Daarentegenblijkt Dwevenredig te zijn met____(Er). Uitgedrukt in consistenteeenheden blijkt daarom Ca in deorde van 10? x groter dan Dw tezijn. Bij een veronderstelde verenderespons zijn de hoekverdraaiingenin de orde van 10? ? kleiner dan bijeen gedempte respons. De in eenbepaalde tijdsperiode door de fun-dering aan de bodem overgedragenenergie is gelijk aan de integraalover het product van het momenten de hoeksnelheid over die tijds-periode: (Mw)dt. Bij een verendeondersteuning wordt de in de eer-ste helft van de cyclus in de rotatie-veer opgeslagen vormveranderings-arbeid in de tweede helftteruggeleverd aan de fundering.Over de gehele cyclus wordt dannetto geen energie afgedragen aande bodem. Bij het gedempte me-chanisme wordt vanzelfsprekendw?l energie door de bodem opge-nomen. Voor een vergelijking moetmen de in een gedeelte van de cyc-lustijd overgedragen energie be-zien. Gezien het grote verschil tus-sen de veerconstante Ca en dedempingsconstante Dw, wordt hierafgezien van een dergelijke vergelij-king. De per cyclus aan de bodemovergedragen energie is volgens hetgedempte mechanisme verrewegMM4 |Het moment M genereertaan de onderkant neer-waarts voortlopendecompressie- en decom-pressiegolven5 |Cyclisch windmoment Mgenereert aan de zijdenzijwaarts voortlopendeafschuifgolven in debodem6 |Ook hoge gebouwen worden cyclischbelast, zoals de Maastoren inRotterdam van Dam & PartnersArchitectenbron: Dam & Partners ArchitectenO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eFund er ingencement 2008 7 79dominant in vergelijking met hetgeveerde mechanisme. Het vraagtmet andere woorden minder in-spanning materie in beweging tebrengen dan materie te comprime-ren of uit te rekken. Voor hoge ge-bouwen ligt de eigen frequentie inde orde van 0,2 ? 0,5 s-1. De getals-waarde van de factor 2pf speelt voordeze conclusie, waar het immersgaat om verschillen in de orde vangrootte 10?, daarom geen rol.F u n d e r i n g e n o p s t a a l o fo p p a l e nWat de invloed van geometrischedemping betreft is er geen funda-menteel verschil tussen funderin-gen op staal of op palen. Palen fun-geren als intermediair ombelastingen op de bodem over tebrengen. Voorzover de draagkrachtwordt ontleend aan schachtwrij-ving worden bij cyclische (wind-)belasting schuifspanningsgolvengegenereerd. Puntdraagvermogenresulteert in longitudinale golven.Bij de berekening van de dem-pingsconstante kan men met ditverschil rekening houden.G e t a l l e n v o o r b e e l dVeronderstel een 120 m hooggebouw met 40 bouwlagen. Hetgrondvlak van de kelder bedraagt30?50 m, de hoogte van de kelderis 2 m. De gemiddelde spanningten gevolge van eigen gewicht pluspermanente belasting bedraagt 0,4MPa. Het cyclische windmomentbedraagt 200cos(2pft) MNm. Demaximum-minimum randspannin-gen zijn 0,56 - 0,24 MPa . Het fun-datieblok blijft daarom onder drukstaan. Verder: Dw = 5,82?1011Nmsen Ca = 187,5?1011Nm .G e b r u i k v a n E E MToepassing van rekenprogram-ma's op basis van 3D eindige ele-menten, zoals PLAXIS, verlangtvolume-elementen dxdydz in x-, y-en z-richtingen. In deze elemen-ten moet de massatraagheidrdxdydz voor versnellingen indrie richtingen zijn verwerkt.Evenals de rotatietraagheden voorrotaties om de drie assen en demassatraagheidskrachten bij ver-vormingen onder invloed vanafschuifkrachten (schranken). Eencorrecte verwerking van de mas-satermen voor rotaties en schran-ken blijkt wel eens op problemente stuiten. Een controle aan dehand van bekende standaardge-vallen is daarom op zijn plaats.Daarnaast vraagt het probleem vande randvoorwaarden de nodige aan-dacht. Langs de begrenzingen vanhet in de berekening meegenomengebied moeten de golven onge-stoord kunnen doorlopen. De rand-voorwaarden moeten een eindeloosdoorlopende ruimte simuleren. Hetprogramma moet daarvoor optiesbieden. Onvoldoende ruimtelijkesimulatie kan worden herkend aande verstoringen in de resultaten on-der invloed van door de randen vanhet gebied gereflecteerde golven.A c t i e v e d e m p i n gEr zijn voorbeelden van gebouwenwaarbij met behulp van eensysteem voor actieve dempingwordt getracht de horizontale slin-geringen te dempen. In beginselwerkt zo'n systeem met versnel-lingsopnemers die richting engrootte van horizontale versnellin-gen detecteren. Afhankelijkhiervan worden hulpmassa's integengestelde beweging gebracht.De tegengestelde beweging vandeze hulpmassa's dempt de doorde uitwendige belasting ge?niti-eerde slingeringen, analoog aansystemen voor `antigeluid' . Bij hetontwerp van een dergelijk systeemen de software voor de besturingmoet rekening worden gehoudenmet de significante invloed vangeometrische demping. nL i t e r a t u u r1. Nijsse, R, `Over sterkte, stijf-heid en beweging, de latentekoppeling tussen voelbarebeweging en veiligheid'.Intreerede TU-Delft, februari2008.2. Timoshenko, Goodier, Theoryof Elasticity,. Mc Graw Hill,hfdst. 15 `Propagation ofwaves in Elastic Solid Media'.S y m b o l e nE elasticiteitsmodulus van de bodem [MPa = MN/m-2]G glijdingsmodulus van de bodem [MPa = MNm-2]Z impedantie van de bodem [Nm-3s]W weerstandsmoment bh?/6 van fundatieblok met grondvlakb?h [m3]n dwarscontractie co?ffici?nt van de bodem [1]r volumieke massa van de bodem [kgm-3= Nm-4s2]n.b. volgens Newton: 1 kg = 1 Ns?m-1c voortplantingssnelheid van longitudinale geluidsgolven [ms-1]c3voortplantingssnelheid van afschuifgolven langs hetoppervlak [ms-1]Ca veerconstante van rotatieveer [Nm]v snelheid van deeltjes langs de rand van fundatieblok [ms-1]y verplaatsing van de rand van fundatieblok [m]a hoekverdraa?ng van fundatieblok [1]w snelheid van de hoekverdraa?ng van fundatieblok [s-1]t tijdco?rdinaat [s]f frequentie van cyclisch kantelmoment [s-1], [Hz]T trillingstijd = 1/f [s]s longitudinale spanning in de bodem [MPa]e longitudinale rek in de bodem [1]g hoek van afschuiving [1]Dw rotatiedemping [Nms]Mmaxamplitude van cyclisch kantelmoment [Nm]