ir.C.van derVeenprof.dr.ir.J.Blaauwendraaddr.ir.J.C.WalravenTH-Delft, afdeling Civiele Techniek,vakg roep BetonconstructieslToegepasteMechanicaIn bijgaand artikel wordt verslag gedaan vanhet afstudeerwerk dat ir.C. van der Veenheeft verricht bij de vakgroep ToegepasteMechanica, onder leiding van prof.dr.ir.J.Blaauwendraad. Een deelstudie is verrichtbij de vakgroep Betonconstructies met be-geleiding van dr.ir.J.C. Walraven. ?Er is een numeriek modt!1 ontwikkeld waar-mee het incasseringsvermogen van degewapend-betondoorsnede Van een tunnelonder explosiebelasting is nagegaan.Het verslag is te uitgebreid om in de rubriek'Uit de researchlaboratoria' te worden op-genomen. Verdere verkorting zou het be?toog echter moeilijk te volgen maken.Gezien het belang van het onderwerp lijkthet gerechtvaardigd het verslag in dezevorm te publiceren. Red.lOm wat...ht =l,2m {,\ 1111111r=- .."plosi.."~'lIl J IJ I l' _.//l5m //015m1Lokatie van een tunnel waarin een explosieplaats vindtCement XXXV (1983) nr. 4Explosieweerstand van tunnelsInleiding en probleemstellingHet onderzoek vindt plaats in het kader van studies omtrent de vraag of explosiegevaarlijkestoffen doortunnels mogen worden gevoerd. De belangstelling gaat daarbij hoofdzakelijk uitnaar het gedrag van een tunneldak onder explosiebelasting (fig. 1).Bij een explosie (detonatie) kunnen zeer hoge drukken van 25 ? 30 bar ontstaan. De bijbeho-rende faseduur td is kort, maar over de ware grootte heerst onzekerheid. In de studie is eendrietal waarden in beschouwing genomen, te weten 50 ms, 100 ms, en 150 ms. Om eendergelijke belasting te kunnen opnemen is hetgebruik van het plastisch vormveranderings?vermogen van de betondoorsnede noodzakelijk.In een eerder afstudeerproject is het tunneldak geschematiseerd tot een ??n-massa-veersysteem, dus een systeem met ??n graad van vrijheid. In die aanpak is de berekendedwarskracht discutabel. Toch is juist de dwarskracht een belangrijke grootheid voor hetbepalen van de rotatiecapaciteit van een plastisch scharnier en voor het vaststellen van desterkte van een doorsnede voor combinaties van moment en dwarskracht. Om nu de dwars-kracht, als functie van plaats en tijd, correct te berekenen moet een rekenmodel met eenvoldoende aantal massa-vrijheidsgraden worden gebruikt.Het toepassen van een numeriekemethode is noodzakelijk om een oplossing voor dit fysisch niet-lineaire, tijdsafhankelijkeprobleem te verkrijgen.Resumerend komen we tot de volgende twee probleemstellingen:a. ontwikkelen van een numeriek model met een voldoende aantal massa-vrijheidsgraden;b. onderzoek naar het incasseringsvermogen van een gewapend-betondoorsnede onder im-pulsieve belasting.RekenmodelUit het tunneldak wordt een strook beschouwd met een breedte van ??n meter. Deze conti-nue ligger (de strook) wordt omgezet in een discreet model (fig. 2a). Uitgangspunt voor ditdiscrete model is een balk die bij belasting loodrecht op de staafas uitsluitend een vorm-verandering t.g.v. buiging in het vlak van de belasting laat zien. Dit discrete model bestaat uiteen aantal onvervormbare moten (= elementen) met aan de uiteinden 'scharnieren' (=k'1.open), waar de moten door middel van veren aan elkaar zijn verbonden. Hierbij is de massa(m) van elke moot en de gelijkmatig verdeelde dynamische belasting geconcentreerd in descharnieren. Hierin is y de mootlengte.We vervangen dus de gelijkmatig verdeelde belasting (q) dooreen aantal puntlasten (y q), dieaangrijpen in de scharnieren. Van belang is nu hoe groot de elastische veereonstante (C) is,die in de uiteindelijk elasto-plastische veerkarakteristiek wordt gehanteerd.Elastische veerconstanteIndien een continue ligger, met een constante buigstijfheid EI, belast wordt door een con-stant moment, geldt de volgende relatie tussen de kromming (K)en hetbuigend moment (M):M = EI, K. Wanneer in het discrete model in vervormde toestand tussen twee naast elkaarliggende moten een knik cp optreedt, heerst in het scharnier een moment M=Ccp. De elasti-sche veereonstante C wordt zo gekozen, dat onder dezelfde belasting de scharnieren op dejuiste uitbuigingslijn liggen die zou optreden voor de werkelijk continue ligger.Nu geldt EI.K = C cp, waarin cp = Ky.Voor de elastische veerconstante vinden we dus C=EI/y (fig. 2b). Uit de dynamische even-wichtsvergelijking van een scharnier uit het discrete model volgtOi - Oj = yq-mjW] (1)De elastische veerkracht in het continue model, weergegeven door de term EI W,xxxx, is in hetdiscrete model gelijk aan het dwarskrachtenverschil Oi - Oj (fig. 2a). Hierdoor is de parti?ledifferentiaalvergelijking van de 48 orde (continu model) omgezet in een aantal gewonedifferentiaalvergelijkingen van de 28 orde (discreet model).255CONTINUq(x;t)DISCREET1rY?/ Y?/ }'!let)@ - -t)EI~kNm2)M=K.EI~=JKdX~4;t:~., .....,. ..... !?'\:S " ._:' '.;. ._ ~). C;~kNm/rad)Mi= ~,Ci"h-2w,+wl~i= Y I&i~'"l &!o,xp.'lidx~-Q,x= qdx -pdx wIElw,."",,=q-,VII2a-cVergelijking tussen continu balkmodel endiscreet model (a), bepaling van veerstijfheid(b)en verticaal dynamisch evenwicht (c)3Explosiebelasting als functie van tijdlTaf N/~5204Gemiddelde dynamischemateriaaleigenschappen voor beton en staalCement XXXV (1983) nr. 4Plastisch gebiedVia de relatie die er bestaat tussen het moment (M) en de dwarskracht (Q) is formule (1) gelijkaan(- Mi + 2Mj - Mk)/Y= yq - mjlilij '.' (2)Voor elk van deze momenten kennen we reeds een uitdrukking in de hoekverdraaiingM = C cp, waarbij cp wordt uitgedrukt in de zakking (differentierekening). Opgemerkt wordtdat de evenwichtsvergelijking van het discrete model ook in het plastische gebied geldig is.Dit blijkt direct uit formule (2) waarin we, nadat in een scharnier het plastisch moment(Mp = Me) is bereikt, hetplastisch moment kunnen opnemen.De maximale rotatie cpu wordt voor elk scharnier benaderd door cpu = Ku y. Hierbij is Kuonderandere bepaald door de betonstuik. Verder geldt als voorwaarde dat de mootlengte y onge-veer gelijk is aan de hoogte Van de ligger.RekenmethodeVereenvoudigd weergegeven verloopt de berekening in beginsel als volgt. Aan het begin vaneen tijdstap L.t hebben de zakkingen een bekende waarde, dus ook cp en M, en derhalve ookQ. Waar dat relevant is wordthet plastisch moment Mp ingevoerd. Uit (1) of (2) laat zich danover de tijdstap een aangroeiing L.w van de verplaatsingen berekenen. Aan het begin van devolgende tijdstap begint men dan weer met nieuwe beginwaarden voor w enzovoorts. Voordeze numerieke uitwerking is het Dynamo-programmasysteemvan de TH-Delft gebruikt.voorbeeldMet het ontwikkelde rekenmodel wordt de respons van een tunneldak (fig. 1) onder eenexplosiebelasting gesimuleerd (fig. 3). Hierbij zijn elasto-plastische materiaaleigenschap"pen verondersteld en is de invloed van de belastingssnelheid op de materiaaleigenschappenmeegenomen. De grootte van de positieve faseduur (td) is gevarieerd.In alle knopen van het rekenmodel worden dezelfde materiaaleigenschappen toegepast.Doordat in elke knoop een andere vervormingssnelheid zal optreden kunnen we echter beterspreken over gemiddelde dynamische materiaaleigenschappen. Er wordt verwacht dat hetvloeimoment in de betondoorsnede bij benadering binnen 0,1 s wordt bereikt. We kunnendan de a-E-diagrammen toepassen zoals die gegeven zijn in figuur 4. Het blijkt dat desterkte-eigenschappen van beton (B 22,5) en staal (FeB 400) met circa 30% toenemen t.o.v.de statische waarden.We veronderstellen voorlopig dat geen dwarskrachtbreuk optreedt, dus dat momentbreukmaatgevend is voor de sterkte. Het tunneldak is symmetrisch gewapend 000= 00'0 = 2,5%) ende invloed van de console op de buigstijfheid is verwaarloosd. We vinden in dit voorbeeld devolgende rekenresultaten:Pmax = 26 bar bij td = 150 ms,Pmax =34 barbij td = 100 ms,Pmax = 60 bar bij td = 50 ms;- plastische scharnieren komen tot ontwikkeling bij de 'inklemming' en in het midden van deoverspanning (fig. 5a);- door de hoge optredende nominale schuifspanningen (1: = Q/bh = 6 ? 7 N/mm2) zal weldwarskrachtbreuk optreden (fig. 5b);- na de explosie blijft het tunneldak 'bol' staan (fig. 5c).Omdat dwarskrachtbreuk zal optreden is het belangrijk om eerst na te gaan hoe groot hetafschuifdraagvermogen is voor liggers onder dynamische belasting. Daarvoor is een deel"studie uitgevoerd onder leiding van prof.Dr.-lng.H.W.Reinhardt.AfschuifdraagvermogenBeschouwd worden liggers zonder schuifwapening. Het afschuifgedrag van rechthoekigebalken is sterk afhankelijk van de M/Qh-verhouding. Afhankelijk van deze verhouding treedter een bepaald breukmechanisme op. Voor elk mechanisme kan de sterktecapaciteit wordenberekend. Bij statische belastingsgevallengaat men gewoonlijk uit van de volgende onder-verdeling in breukmechanismen:- momentbreuk (rotatiecapaciteit),- afschuifbuigbreuk (afschuifscheur uit buigscheur),- afschuiftrekbreuk (diagonale scheur in lijf),- afschuifdrukbreuk (bezwijken drukdiagonaal),- verankeringsbreuk.2565De respons als functie van de tijda. veld- en inklemmingsmomentb. nominale schuifspanningc. verplaatsing van het veldmiddenExplosiebelasting: Pmax = 26 barbij td = 150 ms'--./ ............/ .~//1~ 2fXl-+t(msl(mn) VliRPLAATSING co50W7-150400-50SCHUIFSPANNING ?4 \J "" \I/"'""\ ./ V '\2!\ >~ ,.-\;, I /\, 1'1Omdat in tunneldaken geen dwarskrachtwapening aanwezig is en ook de langswapeningdoorloopt over meer dan ??n tunnelbuisoverspanning, zijn de laatste twee breukmechanis-men niet in beschouwing genomen.AfschuifbuigbreukEen van de beste formules om het afschuifdraagvermogen te berekenen is gegeven doorRafla. Bij zijn statistische afleiding wordt een 5% ondergrens van de afschuifsterkte gegevendoor-200'tu = 0,85 au fbk';' wov, h-V4 (N/mm2) (3)~ Ir--"''--"=--''--~-'''-''''-'\.'-.''-'+.,LI-'-I-r?--=-'l,.;I'"'_"'\.""r_---tJU(;~4 " _i\...6/-'-"-,\-'fr7L/_,1_?-__-'-+-~ j-1)~ I---_-V-\i-'-'-_-...L-~---------.Ji? ~MM2)Hierbij hangt de factor au af van de moment-dwarskrachtcombinatie (MlO hl. Deze formuleis door ons aangepast voor de toepassing op dynamisch belaste constructies. Hierbij zijn devolgende invloeden verwerkt:- gelijkmatig verdeelde (dynamische) belasting I.p.v. puntlast in proevenserie;- MIQh verhoudingen onafhankelijk van 'slanke' of 'gedrongen' balk;- invloed betontreksterkte op schuifsterkte.~?\\ ......MpDoor de dwarskrachtoverdracht in een gescheurde betondoorsnede na te gaan kan de1nvloed van de verhoogde (dynamische) betontreksterkte op de schuifsterkte worden ver-klaard. Het blijkt dat bij een stijging van de betontreksterkte met 30% de totale dwarskracht-overdracht (Ob) met minimaal 15% toeneemt. Een 5% ondergrens voor de dynamischeschuifsterkte bij explosiebelastingen wordtnu gegeven door:'tu =0,98 ad wo1f3 fbkV2 h-V' (N/mm2) ?..?...........???..??.?.??..??.??..?...?....?..? (4)met ad = 0,9 - 0,3 MlO hAfschuiftrekbreukAfschuiftrekbreuk ontstaat door het overschrijden van de hoofdtrekspanningen, waardooreen diagonale scheur in het lijf ontstaat. Na het optreden van deze schuine inwendige scheurtreedt onmiddellijk breuk op. Bij benadering is de gemiddelde schuifsterkte 'tu = 0,67 fbdyn,waarin de dynamische betontreksterkte f!,dyn= 1,3 fbk en de korteduurtreksterktefbk = 0,87(1,15 +0,072 fb) (5)t u t s