I ICONSTRUCTIEFONTWERP IBEREKENING IDYNAMISCHE BELASTINGEN (VI)BEWEGING VAN GEBOUWEN ALS GEVOLG VAN WIND].A.Wisse, TU Eindhoven, faculteit Bouwkundep.c.van Staalduinen, TNO-Bouw, Rijswijk ZHVariaties van de windsnelheid in de luchtstroom waarin gebouwen zijn opgesteld,hebben een fluctuerende belasting op het gebouw tot gevolg. Bovendien geeft deomstroming van het gebouw aanleiding tot het ontstaan van wervels en daarmeeook tot een fluctuerende belasting. In dit artikel wordt ingegaan op de dynamischeeffecten hiervan bij gebouwen, vooral ten aanzien van de bruikbaarheid.2001601208040-------'1..- tijd (s)200 ,-----'---~~-----~--~~-,Figuur 2 toont dat in het experiment de gemiddelde uitwij-king in de windrichting (x-richting) ongeveer evenredig ismet de windsnelheid in het kwadraat, dus evenredig met destuwdruk. Bij een dimensieloze snelheid 10 is de gemiddeldeuitwijking 0,2% van de hoogte boven open terrein. Naarmatehet terrein ruwer wordt neemt de gemiddelde uitwijking inde windrichting met een factor 2 aftot 0,1%van de hoogte.De standaarddeviatie van de uitwijking inde windrichtingbedraagt bij een dimensieloze snelheid 10 boven open terrein0,005% van de hoogte en boven ruw terrein 0,02% de hoogte(althans bij een demping van circa 1%).delen door!eD, dat is het produkt van de eigenfrequentie enbreedte van het gebouw.T.....EIDI(i) 100'---':x.~t 00Degemiddelde uitwijking wordtveroorzaakt door de gemid-delde windbelasting. Deze is direct terug te voeren op de ge~middelde windsnelheid. De amplitude van de bewegingenvarieert met de windvlagen die in de aanstromende luchtvoorkomen en met de wervels die van het gebouw loslaten.Deze variaties zijn alleen in statistische zin te beschrijven. Defluctuerende responsie van het gebouw wordt beschrevenmet de standaarddeviaties van de uitbuiging, a(ux) en a(uy)envan derotatie a(e).De x- eny-as zijnhorizontaal, de x-as in dewindrichting, de y-as loodrecht erop.Overzicht van de stochastische bewegingen vangebouwenFiguur 1 geeft een beeld van de dynamische belasting op eenhoge mast tijdens de storm van 25januari 1990. Duidelijkis inhet gepresenteerde verloop van de rek te herkennen dat zich 1--1--D-yn-a-nu-'s-ch-e-re-s-p-on-s-i-e~v-an-e-en~b~o-uww--e-rk-~a-ls-g-e-v-ol-g~v~a-n---ieen dynamische responsie voordoet. Dit uit zich ook in de be- de wind: rekken inde kolotn vaneen antennetnast tijdenwegingen van een bouwwerk. de stortn van 25 januari 1990Beschrevenzullenworden de bewegingenvan een bouwwerk ~---------~---~--~--~~---'met een gemiddelde uitwijking in de gemiddelde windrich~ting, metvari?rende bewegingen in de windrichting en lood-rechtop dewindrichting eneventueel meteenvari?rende tor~sie-hoekverdraaiing.Bij het ontwerp van bouwwerken wordt de fluctu-erende belasting op drie effecten beoordeeld: schadebij extreme windsnelheden, trillen van het gebouw inverband met de bruikbaarheid en vermoeiing. Vermoeiing isalleen onder bijzondere omstandigheden van belang enmeestal bij slanke bouwwerken, zoals lichte stalen schoorste-nen en masten. In dit artikel wordt niet op vermoeiing als ge-volg van de wind ingegaan. Het onderstaande betreft dus al~leen dedynamische effectenvangebouwen die methetoogopde uiterste grenstoestand en de bruikbaarheid moeten wor-den beschouwd. In het bestek van dit artikel volgt een kortebeschrijving van de stand van zaken, waarbij vooral op debruikbaarheidsaspecten zal worden ingegaan.Het bewegenvaneengebouw als geheel is toegelichtin figuur2 aan de hand van meetresultaten vaneen bepaald gebouw ineen windtunnel~experiment. De gemiddelde uitwijking enstandaarddeviaties van de fluctuerende uitwijking van de topvanhetgebouwzijnweergegeven als functie vandewindsnel-heid op gebouwhoogte U, die dimensieloos is gemaaktdoor teDe responsie van een dynamisch gevoelig gebouw heeft hetkarakter van een smalle band random proces, met als domi-nante frequentie de eigenfrequentie van het gebouw. In hetinleidende artikel in deze seriein Cement 1992, nr. 5 is op pagi~na 20 geconstateerd dat.de maximale uitwijking te bepalen isuit g maal de standaardafwijking, waarin:52 Cement 1992 nr. 12I ICONSTRUCTIEF ONTWERP IBEREKENING IDYNAMISCHE BELASTINGEN (VI)BEWEGING VAN GEBOUWEN ALS GEVOLG VAN WIND].A.Wisse, TU Eindhoven, faculteit Bouwkundep.c.van Staalduinen, TNO-Bouw, Rijswijk ZHVariaties van de windsnelheid in de luchtstroom. waarin gebouwen zijn opgesteld,hebben een fluctuerende belasting op het gebouw tot gevolg. Bovendien geeft deom.strom.ing van het gebouw aanleiding tot het ontstaan van wervels en daarm.eeook tot een fluctuerende belasting. In dit artikel wordt ingegaan op de dynam.ischeeffecten hiervan bij gebouwen, vooral ten aanzien van de bruikbaarheid.Bij het ontwerp van bouwwerken wordt de fluctu-erende belasting op drie effecten beoordeeld: schadebij extreme windsnelheden, trillen van het gebouw inverband met de bruikbaarheid en vermoeiing. Vermoeiing isalleen onder bijzondere omstandigheden van belang enmeestal bij slanke bouwwerken, zoals lichte stalen schoorste-nen en masten. In dit artikel wordt niet op vermoeiing als ge-volg van de wind ingegaan. Het onderstaande betreft dus al-leen dedynamische effectenvangebouwen die methetoog opde uiterste grenstoestand en de bruikbaarheid moeten wor-den beschouwd. In het bestek van dit artikel volgt een kortebeschrijving van de stand van zaken, waarbij vooral op debruikbaarheidsaspecten zal worden ingegaan.Overzicht van de stochastische bewegingen vangebouwenT.....EIDI~:x.~t200 , - - - - - - - - - - - - - - - - - ,10000 40 80 120 160 200.. tijd (s)Figuur 1 geeft een beeld van de dynamische belasting op eenhoge mast tijdens de storm van 25januari 1990. Duidelijkis inhet gepresenteerde verloop van de rek te herkennen dat zich 1--1--D-yn-a-nu-?s-ch-e-re-s-p-on-s-i-e-v-an-e-en-b-o-uww--e-rk-a-ls-g-e-v-ol-g-v-a-n-ieen dynamische responsie voordoet. Dit uit zich ook in de be- de wind: rekken in de kolotn van een antennetnast tijdenwegingen van een bouwwerk. de stortn van 25 januari 1990Beschrevenzullenworden de bewegingenvaneen bouwwerk L-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _---'met een gemiddelde uitwijking in de gemiddelde windrich-ting, metvari?rende bewegingen in de windrichting en lood-rechtop dewindrichting en eventueel meteenvari?rende tor-sie-hoekverdraaiing.Degemiddelde uitwijking wordtveroorzaakt door de gemid-delde windbelasting. Deze is direct terug te voeren op de ge-middelde windsnelheid. De amplitude van de bewegingenvarieert met de windvlagen die in de aanstromende luchtvoorkomen en met de wervels die van het gebouw loslaten.Deze variaties zijn alleen in statistische zin te beschrijven. Defluctuerende responsie van het gebouw wordt beschrevenmet de standaarddeviaties van de uitbuiging, a(ux) en a(uy)envan de rotatie a(e).De x- eny-as zijnhorizontaal, de x-as in dewindrichting, de y-as loodrecht erop.Het bewegenvaneengebouw als geheel is toegelichtin figuur2 aan de hand van meetresultaten van een bepaald gebouw ineen windtunnel-experiment. De gemiddelde uitwijking enstandaarddeviaties van de fluctuerende uitwijking van de topvanhetgebouwzijnweergegeven als functie vandewindsnel-heid op gebouwhoogte U, die dimensieloos is gemaaktdoor te52delen doorjp, dat is het produkt van de eigenfrequentie enbreedte van het gebouw.Figuur 2 toont dat in het experiment de gemiddelde uitwij-king in de windrichting (x-richting) ongeveer evenredig ismet de windsnelheid in het kwadraat, dus evenredig met destuwdruk. Bij een dimensieloze snelheid 10 is de gemiddeldeuitwijking 0,2% van de hoogte boven open terrein. Naarmatehet terrein ruwer wordt neemt de gemiddelde uitwijking inde windrichting met een factor 2 aftot 0,1%van de hoogte.De standaarddeviatie van de uitwijking in de windrichtingbedraagt bij een dimensieloze snelheid 10 boven open terrein0,005% van de hoogte en boven ruw terrein 0,02% de hoogte(althans bij een demping van circa 1%).De responsie van een dynamisch gevoelig gebouw heeft hetkarakter van een smalle band random proces, met als domi-nante frequentie de eigenfrequentie van het gebouw. In hetinleidende artikel in deze serie in Cement 1992, nr. 5 is op pagi-na 20 geconstateerd dat de maximale uitwijking te bepalen isuit g maal de standaardafwijking, waarin:Cement 1992 nr. 122Gemiddelde uitwijking Ux enstandaardafWijking van defluctuerende uitwijkingen a (Ux) ena(uJ van een vierkante toren (H =6,SD) boven glad, ruwen zeer ruwterrein. Ontleend aan [1]RUW ZEER RUW10 20 30_UlfD10 20 30_UtfDHierbij is b een karakteristieke afmeting van het voorwerploodrecht op de stroming. In dit geval is datde breedte ofdia-meter. De gemiddelde windsnelheid op de desbetreffendehoogte wordt aangegeven met U Bij rechthoekige gebouwenblijkt experimenteel St = 0,1.Opslingering kan optreden als de wervelfrequentieisen de ei-genfrequentie van het bouwwerkie ongeveer gelijk zijn. Uitfiguur 2 blijktdanookeengrotere responsiebij eendimensie-loze snelheid van ongeveer 10.Het spreekt vanzelfdat een gebouw in het zog van een anderDe zijdelingse windvlagen zijn in het algemeen van minderbelang dan de door het gebouw gegenereerde wervels. Dewervels in het zog van een gebouw blijken bij een bepaaldevoorkeursfrequentie is los te laten. Uit windtunnel-experi-menten blijktdat deze frequentieisafhankelijkis vah de vormvan de horizontale doorsnede van het gebouwen kan wordenuitgedrukt in het dimensieloze getal van Strouhal StFiguur 2 toont ook dat een beweging loodrecht op degemid-deldewindrichting optreedt. Boven ruw terrein is de stan-daarddeviatievande uitwijking loodrechtop de windrichtingzelfs van dezelfde orde van grootte als in de windrichting.Een bouwwerk ondervindt een fluctuerende zijdelingse be-lasting door twee oorzaken:- het loslatenvanwervels die bij omstromingvan het gebouwontstaan;- zijdelingse windvlageh.(4)(5)p =. p Vup = 1.- p (V + u) 22Berekening van de dynamische responsie in dewindrichtingVerondersteld wordt dat de wind gedurende een uur statio-nair is en berekend wordt het variantiespectrum Suu van desneIheidvariaties om het gemiddelde. De windsnelheidsva-riaties zijn inhetspectrum Suu ontbonden in eenserie harmo-nische variaties van de windsnelheid. Variantiespectra van dewindsnelheidsfluctuaties zijn gebaseerd op metingen. Er be-staat een groot aantal beschrijvingen van variantiespectra. Inde TGB 1990 isvan eenaloude formuleringvan hetvariantie-spectrum uitgegaan (het zogenaamde spectrum van Daven~port). Hethierna gegevenspectrumisvanrecenterdatum enisbeter ?h overeehstemming met theoretische overwegingen enheeft een goede overeenstemming met meetresultaten. Ditvariantiespectrum van de wind Suu is een functie van de ge-middelde windsnelheid, de ruwheid van het terrein en dehoogte.S (I') 105nu; (3)uu },z = (1 + 33n)5/3jmetn = jz/U(z),waarinzdehoogteisinm, V(z)degemiddel-de windsnelheid op hoogte z en u* de wrijvingssnelheid inmis.Vervolgens wordt het variantiespectrum Suu vertaald in hetvariantiespectrum Spp van de stuwdruk. Daartoe wordt ge-bruik gemaakt van de relatie tussen de stuwdruk en de wind-snelheid::vaarin V de gemiddelde en ude vari?rende windsnelheidlSoBij verwaarlozing van de kwadratische term van uvolgtvoor de vari?rende druk:gebouw extra kan worden belast door de wervels ih de aan-stromende lucht, afkomstig van het bovenstrooms gelegengebouw. Bovendien kah worden verwacht dat de wervels diede extra belastihgveroorzaken, bijbepaaldefrequenties zullenoptreden.(2)St = isb/Vg= J2ln(IeT) (1)Alsie = 0,2 Hz en T = 3600 sisg = 3,6. De 'maximale' uitwij-king in dewindrichting is dus te bepalendoor hetgemiddeldete vermeerderen met 3,6 maal de standaardafwijking. Demaximale uitwijking voor open en ruw terrein bedraagt dusbij eendimensielozesnelheid 10 respectievelijk 0,22%en0,17%van de hoogte van h~t gebouw. De afneming van de responsieten gevolge van de gemiddelde windsnelheid door de toege-nomen wrijving wordt gedeeltelijk gecompenseerd doof eengrotere responsie als gevolg van de toegenomen turbulentie.Cement 1992 nr. 12 532 Gemiddelde uitwijking Ux enstandaardafWijking van defluctuerende uitwijkingen a(~) ena(uJ van een vierkante toren (H =6,SD) boven glad, ruwen zeer ruwterrein. Ontleend aan [1]g = J2 In (ie T) (1)Alsie = 0,2 Hz en T = 3600 sisg = 3,6. De 'maximale' uitwij-king in dewindrichting is dus te bepalendoor hetgemiddeldete vermeerderen met 3,6 maal de standaardafwijking. Demaximale uitwijking voor open en ruw terrein bedraagt dusbij een dimensieloze snelheid 10 respectievelijk 0,22%en0,17%van de hoogte van h~t gebouw. De afneming van de responsieten gevolge van de gemiddelde windsnelheid door de toege-nomen wrijving wordt gedeeltelijk gecompenseerd door eengrotere responsie als gevolg van de toegenomen turbulentie.Figuur 2 toont ook dat een beweging loodrecht op de gemid-delde windrichting optreedt. Boven ruw terrein is de stan-daarddeviatievan de uitwijking loodrechtop de windrichtingzelfs van dezelfde orde van grootte als in de windrichting.Een bouwwerk ondervindt een fluctuerende zijdelingse be-lasting door twee oorzaken:- het loslatenvanwervels die bij omstromingvan het gebouwontstaan;- zijdelingse windvlagen.De zijdelingse windvlagen zijn in het algemeen van minderbelang dan de door het gebouw gegenereerde wervels. Dewervels in het zog van een gebouw blijken bij een bepaaldevoorkeursfrequentie J.los te laten. Uit windtunnel-experi-menten blijktdat deze frequentieJ.afhankelijkis van de vormvan de horizontale doorsnede van het gebouwen kan wordenuitgedrukt in het dimensieloze getal van Strouhal StSt = J.b/U (2)Hierbij is b een karakteristieke afmeting van het voorwerploodrecht op de stroming. In dit geval is datde breedte ofdia-meter. De gemiddelde windsnelheid op de desbetreffendehoogte wordt aangegeven met U. Bij rechthoekige gebouwenblijkt experimenteel St = 0,1.Opslingering kan optreden als de wervelfrequentieJ.en de ei-genfrequentie van het bouwwerkie ongeveer gelijk zijn. Uitfiguur 2 blijktdanookeengrotere responsiebij eendimensie-loze snelheid van ongeveer 10.Het spreekt vanzelfdat een gebouw in het zog van een anderCement 1992 nr. 12RUW ZEER RUW13,50%10 20 30_U/fD10 20 30_UtfDgebouw extra kan worden belast door de wervels in de aan-stromende lucht, afkomstig van het bovenstrooms gelegengebouw. Bovendien kan worden verwacht dat de wervels diede extra belastingveroorzaken, bij bepaaldefrequenties zullenoptreden.Berekening van de dynamische responsie in dewindrichtingVerondersteld wordt dat de wind gedurende een uur statio-nair is en berekend wordt het variantiespectrum Suu van desnelheidvariaties om het gemiddelde. De windsnelheidsva-riaties zijn inhetspectrum Suu ontbonden in eenserie harmo-nische variaties van de windsnelheid. Variantiespectra van dewindsnelheidsfluctuaties zijn gebaseerd op metingen. Er be-staat een groot aantal beschrijvingen van variantiespectra. Inde TGB 1990 isvan een aloude formuleringvan hetvariantie-spectrum uitgegaan (het zogenaamde spectrum van Daven-port). Hethierna gegevenspectrumisvanrecenterdatum enisbeterinovereenstemming met theoretische overwegingen enheeft een goede overeenstemming met meetresultaten. Ditvariantiespectrum van de wind Suu is een functie van de ge-middelde windsnelheid, de ruwheid van het terrein en dehoogte.S ({') 105nu; (3)uu },z = (1 + 33n)5/3fmetn = fz/U(z),waarinzdehoogteisinm, U(z)degemiddel-de windsnelheid op hoogte z en u* de wrijvingssnelheid inmis.Vervolgens wordt het variantiespectrum Suu vertaald in hetvariantiespectrum Spp van de stuwdruk. Daartoe wordt ge-bruik gemaakt van de relatie tussen de stuwdruk en de wind-snelheid:p = ~ p (U + u) 22(4):vaarin U de gemiddelde en ude vari?rende windsnelheidIS.Bij verwaarlozing van de kwadratische term van uvolgtvoor de vari?rende druk:p == p Uu (5)53ICONSTRUCTIEFONTWERP IBEREKENING(10)1,00,9.0,8N0,7;S_0t0,6..0,5..0,40,3.0,2..0,1 .060 100 150 200 250 300 350 400 4503 Laagste eigenfrequentie van enkele gebouwen en torens[5]Een ruwe schattingvan de eigenfrequentieIe van hoge gebou-wen volgt volgens figuur 3 uit:~1 is de demping van het gebouw (als fractie van de kritischedemping);k1 is de stijfheid van het gebouw bij de eerste eigentrilling;SFxFxif,) is de naar de eerste eigentrillin$ ontbondenwaardevan het belastingsspectrum bij}e, waarvoor bij een li-neaire trillingsvorm geldt SFxFxif,) = 0,25SFFif,).Voor de achtergronden zie het rekenvoorbeeld in dit artikel.Ie = 50lH(7)(6)waarin pde dichtheid van lucht is (1,25 kg/m3), Ctdevorm~factor van het gebouwenAhet aangestroomde oppervlakvanhet gebouw in m2?Bij de berekening van SpF uit Suu wordt daarom meestal eencorrectie toegepast. Deze correctie is frequentie-afhankelijk ~~~~~~~~~ ~__~_~_hO_og1_e~(_m_)_~_--?enstaatbekend als de aerodynamische admittantie xA(f).Dezeis maar voor een beperkt aantal vormen en onder bepaaldeomstandigheden uit experimenten bekend [2,3]. Voor anderegevallen wordt de correctiefactor voor de ruimtelijke samen-hang van drukfluctuaties in de aanstromende wind meestalberekend op basis van modellen voor de ruimtelijke samen-hang van de drukfluctuaties (zgn. coherentie-modellen). Ditlaatste is ook in NEN 6702 (TGB 1990 -Belastingen en Ver-vormingen)toegepast [4].Het spectrumvande windkrachtopeen gebouw is nu:Het variantiespectrum van de stuwdruk is dan:Dit laatste moet worden vertaald ineen variantiespectrumvan krachten SF!'" Daarvoor is allereerst de vormfactor Ct vanhet gebouw nodig. Deze kan uit windtunnelproeven wordenbepaald of is voor eenvoudige gevallen in normen gegeven.Verder moet de ruimtelijke samenhang van de drukfluc-tuaties bekend zijn. Immers, te verwachten is dat niet alledrukfluctuatieshetgebouwvolledig gecorreleerd overhetto-tale geveloppervlak zullen belasten. Dit geldt met name voorkleine wervels, dus voor hoge frequenties.metj, < Ie. De dynamische responsie bij de eigenfrequentiewordt berekend met een eenvoudige betrekking, afgeleidvoor de responsie van systemen op witte ruis (signaal waarvanhet variantiespectrum voor elke frequentie dezelfde waardeheeft). Gevonden wordt:De vari?rende verplaatsing van een gebouw bestaat nu uittwee bijdragen: een deel voor frequenties kleiner dan de ei~genfrequentie (de quasi-statische responsie) en een deel datoptreedtbij de eerste eigenfrequentie (de dynamischerespon-sie). De standaardafwijking van de quasi-statische responsiewordt bepaald uit:Berekening van de responsie loodrecht op dewindrichtingZoals eerder uiteengezet, laten wervels met een zekere perio-diciteit van een object los. De periodiciteit is afhankelijk vande vorm van het gebouw, van de stromingscondities envan deturbulentie in de aanstromende wind. Bij hoge turbulentiewordt de periodiciteit van het loslaten van wervels onder-drukt.waarin H de hoogte van het gebouw is in m enIe de eigenfre-quentie in Hz. De hier gevolgde berekeningswijze is weerge-geven in figuur 4.Indien de dynamische responsie te groot is, bijvoorbeeld uithet oogpunt van bruikbaarheid, is het vergroten van de dem-ping een goede oplossing. Dit kan bijvoorbeeld door toepas-sing van dynamische dempers. De gunstige invloed van dedemping op de responsie bleek al uit de resultaten van dewindtunnel-experimenten die zijn weergegeven in figuur 2.Een opmerking over de nauwkeurigheid van de demping ishier op zijn plaats: metingen aan diverse gebouwen en con-structies wijzen immers uit dat de demping een zeer grotespreiding vertoont en daardoor kan verschillen van waardendie bijvoorbeeld in NEN 6702 staan vermeld.Het loslaten vanwervels van het object leidt tot een asymme-trische stroming in het zog achter het gebouw. Daardoorontstaan belastingen loodrecht op de windrichting en torsie-belastingen. Bij de responsie loodrecht op de windrichting alsgevolgvan het loslatenvanwervels moet onderscheid wordengemaakt in twee situaties:- de responsie is zodanig klein, datde bewegingvanhet objecthet stromingspatroon niet be?nvloedt;- de responsie is zodanig groot, dat de beweging van het ob-ject het stromingspatroon wel be?nvloedt.(9)(8)nfe SFxFx (Je)4 ~1 k?Jof SFx~~f) dfo 1waann:Bij de vertaling van het belastingsspectrum SFF in de dynami-sche responsie van het gebouw in termen van verplaatsingenofversnellingen zijn de dynamische eigenschappen, zoals ei-genfrequenties, eigentrillingsvormen, meewerkende massa,demping en stijfheid nodig. Deze kunnen worden bepaaldmet bijvoorbeeld eindige-elementenmodellen van gebou-wen. Omdat doorgaans de eerste eigenfrequentie de belang~rijkstebijdrage inde responsie leven,wordthetgebouwopge-vatals een??n-massa-veersysteem metdemping. De eerste ei-gentrillingsvorm wordt ter vereenvoudigingvaak lineair metde hoogte verondersteld.54 Cement 1992 nr. 12ICONSTRUCTIEF ONTWERP IBEREKENINGHet variantiespectrum van de stuwdruk is dan:(6)Dit laatste moet worden vertaald in een variantiespectrumvan krachten SF\'- Daarvoor is allereerst de vormfactor Ct vanhet gebouw nodig. Deze kan uit windtunnelproeven wordenbepaald of is voor eenvoudige gevallen in normen gegeven.Verder moet de ruimtelijke samenhang van de drukfluc-tuaties bekend zijn. Immers, te verwachten is dat niet alledrukfluctuatieshetgebouwvolledig gecorreleerd overhetto-tale geveloppervlak zullen belasten. Dit geldt met name voorkleine wervels, dus voor hoge frequenties.N;S_0t1,00,9.0,80,70,6.0,5.0,40,30,20,1060..... .100 150 200 250 300 350 400 450Bij de berekening van S'pF uit Suu wordt daarom meestal eencorrectie toegepast. Deze correctie is frequentie-afhankelijk 1--______________- ___ho_ogt_e_C_m_)___--lenstaatbekend als de aerodynamische admittantie xA(f).Dezeis maar voor een beperkt aantal vormen en onder bepaaldeomstandigheden uit experimenten bekend [2,3]. Voor anderegevallen wordt de correctiefactor voor de ruimtelijke samen-hang van drukfluctuaties in de aanstromende wind meestalberekend op basis van modellen voor de ruimtelijke samen-hang van de drukfluctuaties (zgn. coherentie-modellen). Ditlaatste is ook in NEN 6702 (TGB 1990 -Belastingen en Ver-vormingen) toegepast [4].Het spectrumvandewindkrachtopeen gebouw is nu:(7)waarin p de dichtheid van lucht is (1,25 kg/m3), Ct de vorm-factor van het gebouwenAhet aangestroomde oppervlakvanhet gebouw in m2?Bij de vertaling van het belastingsspectrum SFP in de dynami-sche responsie van het gebouw in termen van verplaatsingenofversnellingen zijn de dynamische eigenschappen, zoals ei-genfrequenties, eigentrillingsvormen, meewerkende massa,demping en stijfheid nodig. Deze kunnen worden bepaaldmet bijvoorbeeld eindige-elementenmodellen van gebou-wen. Omdat doorgaans de eerste eigenfrequentie de belang-rijkstebijdrage inderesponsie levert,wordthetgebouwopge-vatals een??n-massa-veersysteem metdemping. De eerste ei-gentrillingsvorm wordt ter vereenvoudiging vaak lineair metde hoogte verondersteld.De vari?rende verplaatsing van een gebouw bestaat nu uittwee bijdragen: een deel voor frequenties kleiner dan de ei-genfrequentie (de quasi-statische responsie) en een deel datoptreedtbij de eerste eigenfrequentie (de dynamische respon-sie). De standaardafwijking van de quasi-statische responsiewordt bepaald uit:Jof Spx~~f) dfo '(8)metj, < 1-De dynamische responsie bij de eigenfrequentiewordt berekend met een eenvoudige betrekking, afgeleidvoor de responsie van systemen op witte ruis (signaal waarvanhet variantiespectrum voor elke frequentie dezelfde waardeheeft). Gevonden wordt:waann:54nfe SpxPx (Je)4~, k?(9)3 Laagste eigenfrequentie van enkele gebouwen en torens[5]~, is de demping van het gebouw (als fractie van de kritischedemping);k, is de stijfheid van het gebouw bij de eerste eigentrilling;Spxpx(f,) is de naar de eerste eigentrillin,g ontbonden waardevan het belastingsspectrum bij}e, waarvoor bij een li-neaire trillingsvorm geldt spxpx(f,) = 0,25SPF(f,).Voor de achtergronden zie het rekenvoorbeeld in dit artikel.Een ruwe schattingvan de eigenfrequentieievan hoge gebou-wen volgt volgens figuur 3 uit:ie = 50/H (10)waarin H de hoogte van het gebouw is in m eniede eigenfre-quentie in Hz. De hier gevolgde berekeningswijze is weerge-geven in figuur 4.Indien de dynamische responsie te groot is, bijvoorbeeld uithet oogpunt van bruikbaarheid, is het vergroten van de dem-ping een goede oplossing. Dit kan bijvoorbeeld door toepas-sing van dynamische dempers. De gunstige invloed van dedemping op de responsie bleek al uit de resultaten van dewindtunnel-experimenten die zijn weergegeven in figuur 2.Een opmerking over de nauwkeurigheid van de demping ishier op zijn plaats: metingen aan diverse gebouwen en con-structies wijzen immers uit dat de demping een zeer grotespreiding vertoont en daardoor kan verschillen van waardendie bijvoorbeeld in NEN 6702 staan vermeld.Berekening van de responsie loodrecht op dewindrichtingZoals eerder uiteengezet, laten wervels met een zekere perio-diciteit van een object los. De periodiciteit is afhankelijk vande vorm van het gebouw, van de stromingscondities envan deturbulentie in de aanstromende wind. Bij hoge turbulentiewordt de periodiciteit van het loslaten van wervels onder-drukt.Het loslaten vanwervels van het object leidt tot een asymme-trische stroming in het zog achter het gebouw. Daardoorontstaan belastingen loodrecht op de windrichting en torsie-belastingen. Bij de responsie loodrecht op de windrichting alsgevolgvan het loslatenvanwervels moet onderscheid wordengemaakt in twee situaties:- de responsie is zodanig klein, datde bewegingvanhet objecthet stromingspatroon niet be?nvloedt;- de responsie is zodanig groot, dat de beweging van het ob-ject het stromingspatroon wel be?nvloedt.Cement 1992 nr. 124 Verschillende stappen bij despectrale berekening van dedynamische responsie van een gebouwin de richting van de windvariantiespectrum van de windoverdrachtsfunctie40~ 300