I ICONSTRUCTIEF ONTWERP IDYNAMISCHE BELASTINGEN ~II), ~COMPUTERPROGRAMMA'S VOORDYNAMICA-BEREKENINGENprof.dr.irJ.Blaauwendraad en ir.R.].Mooyman, TU Delft, faculteit Civiele Techniek, vakgroep Mechanica enConstructiesir.P.HM.Barten, Witteveen +Bos, Deventering.P.Nauta, TNO-Bouw, RijswijkDe tweede bijdrage in de artikelenserie over dynamische belastingen is gewijd aancotnputerprogramtna's voor dynamische berekeningen. Voor het analyseren vandynamische belastingen en het gedrag van dynamisch belaste constructies is de inzetvan rekenprogramtna's in feite onmisbaar. In deze bijdrage worden drieprogramtna's besproken. In volgorde van cotnplexiteit zijn dat: MVS (ontwikkeld bijTU Eindhoven), TILLY (van TU Delft) en DIANA (van TNO-Bouw). Per programtnakotnen de tnogelijkheden en beperkingen aan de orde. Daaraan voorafgaand is, voorde liefhebbers, infortnatie gegeven over dynamische rekentechnieken in hetalgetneen.Ontwerpenvan constructies onder dynamische belas-ting vergt kennis en inzicht in een divers aantalaspecten. Deaard van de belastingis daarvanwel eenhele belangrijke. Bij het ontwerpen van machines ofhet be-strijden van trillingshinder ervan, is kennis van periodieketrillingen in het elastisch domein een eerste vereiste. Voor hetvermoeiingsonderzoek van constructies onder golven enwind is kennis van stochastischedynamica noodzakelijk. Hei-enenverkeersproblemenvragen ominzichtingolfvoortplan-ting en bij explosies en andere kortstondige zware niet-perio-dieke belastingenwordteenberoep gedaan op hetniet-lineai-re gedrag van de materialen om voldoende energie te dissipe-ren.Dit artikel gaat over de inzet van rekenprogramma's bij hetanalyseren van de diverse probleemgebieden.Rekenprogrannna'sHet maakt grootverschil waarvoor een rekenprogramma no-dig is. Een ontwerper vraagt niet steeds de grootste nauwkeu-righeid, maar wil met ingenieursaccuratesse weten waar hijaan toe is. Hij bezietzijn constructiegraag 'doorzijn oogharen'en probeert het hoofdgedrag te vangen in een model met bijvoorkeur slechts ??n graad van vrijheid.In handboeken staan echter slechts standaard-oplossingenvoor een beperkt aantal a-periodieke belastings-tijdfuncties.Nu kunnen zulke eenvoudige systemen ook worden onder-zocht met PC-programma's. Een voorbeeld daarvan is hetprogramma MVS, datwordt besprokendoorBarten. Dit pro-gramma kaneenaantalvrijheidsgraden aan, staat ookplastici-teit toe en is toegesneden op ingenieursbureaus.HetprogrammaTILLY, te besprekendoorBlaauwendraad enMooyman, heeft ook de pretentie constructies te idealiserenmeteenbeperktaantalvrijheidsgraden.Ditprogrammais op-gezet als veelzijdig niet-lineair rekenhart, waar omheen des-gewenst gebruikersvriendelijke schillen voor speciale toepas-singengebouwd kunnenworden. Hetvindttoepassing bij on-derzoek en onderwijsen is beschikbaarvoor ontwerpbureaus.Geheel aan het andere einde van het spectrum van program-Cement 1992 nr. 6ma's liggen de grote general-purpose pakketten zoalsSTRUDL, MARC, ANSYS, DIANA enz. Voor lineair-elasti-sche berekeningen, met modale analyse ofdirecte integratie,zijn ze alle meer ofminder geschikt. Het verschil komt tot ui-ting bij het modelleren van niet-lineair materiaalgedrag. In. STRUDL kan dat vrijwel niet en MARC is in dat opzicht ergmetaal-geori?nteerd. In ANSYS is al meer aanbod op beton-gebied en DIANA is voor het domein beton duidelijk toon-aangevend.Nauta zal de mogelijkheden van DIANA toelichten. Met ditprogramma kan eenconstructie f~nschalig wordengemodel-leerd en kanook detailgedragworden onderzocht.Toepassin-gen zijn te vinden in het controleren van ontworpen con-structies en in onderzoek.Alvorens met de bespreking vap. de drie afzonderlijke pro-gramma's te beginnen volgt eerst nog wat informatie over re-kentechniekeninhetalgemeen.Voordegoede orde:hetis nietnoodzakelijk dit in detail te begrijpen om de verdere bijdra-gen te kunnen lezen.REKENTECHNIEKENALGEMEENHet stelsel van bewegingsvergelijkingen dat de dynamischeresponsie van een gediscretiseerd constructiefsysteem weer-geeft, kan in algemene vorm worden geschreven als [1]:M?(t) + Cu(t) +Ku(t) = fext(t) (1)waarin ?, U, en u de N-dimensionale, tijdsafhankelijke ver-plaatsings-, snelheids- en versnellingsvector van het systeemzijn, M de massamatrix, C de visceuze dempingsmatrix, K destijfheidsmatrix van het systeem en fext de externe belastings-vector, dieinhetalgemeen inde tijdvarieert [2,3].In gevalvan57ICONSTRUCTIEF ONTWERPniet-lineair gedragzijn de stijfheidsmatrixK ende dempings-matrix C niet langer meer constant en wordt de beweg-ingsvergelijking meestal weergegeven in de vorm(2)waarin (nt(u,ti,t) de inwendige krachtenvector in het systeemrepresenteert die kan zijn opgebouwd uit twee bijdragen: ??ndie correspondeert met de optredende vervormingen en eenander die de interne dissipatie weergeeft.Uit de bewegingsvergelijkingen (1) en (2) blijkt dat verplaat-singen, snelheden en versnellingen geen onafhankelijkegrootheden zijn. Om aan vergelijking (1) of (2) te voldoenkunnen slechts twee van de drie grootheden als initi?le voor-waarden op het tijdstip t = 0 worden voorgeschreven. Het isgebruikelijk hiervoor de initi?le verplaatsingen en de initi?lesnelheid te kiezen.De basis voor de bepaling van de dynamische responsie is ver-gelijking (1) of(2). De vier componenten hieruit (massa, dem-ping, stijfheid en berekeningsmethode) zullen hier verderworden toegelicht.Voor het opstellen van (1) en (2) staan verschillende wegenopen. Uitgegaan kan worden van een volledig continue be-schrijving van de verschillende verplaatsingsvelden en span-ningsvelden. Dit is de weg die in de eindige-elementenme-thode (EEM) wordt gevolgd. Ookkan getrachtworden het fY-sischeprobleemeerstmetdehand teherleiden toteendiscreetsysteem van veren, dempers en massa's. Het zal duidelijk zijndatbeide methodenhunvoor en tegen hebben endat ook nogtussenwegen denkbaar zijn. In het verdere verloop van dit ar-tikel zullen enkele uitwerkingen worden gegeven. Eerst zalnog worden ingegaan op enkele algemene rekentechnischeaspecten die de oplossing van (1) en (2) betreffen.Frequentiedomeiu versus tijdsdomeinVoor het berekenen van de responsie kan de oplossing zowelin het frequentiedomein als in het tijdsdomein worden be-paald.Bij de berekening in hetfrequentiedomein moet de belastings-input worden geschematiseerd als een som van harmonischefuncties00f(t) = ~ [ancos(wnt) + bnsin(wnt)] (3)n=Oieder met een eigen frequentie wen amplitude.De corresponderende oplossing is harmonisch met dezelfdefrequentie enkanvooreen typischevrijheidsgraadrichting iineen knoop worden weergegeven als(4)waarin U de verplaatsingsamplitude is en () de faseverschui-ving aangeeft. Dit is het stationaire deel van de oplossing,waarbij wordt verondersteld dat het initi?le transient deel isuitgedempt. Voor iedere harmonische belasting afzonderlijkwordt de steady-state oplossing berekend en via superpositiekan de totale responsie worden gevonden. Vanwege het su-perpositiebeginsel mag deze strategie alleen worden gehan-teerd voor lineaire systemen.Voor de berekening in het tijdsdomein worden de bewe-gingsvergelijkingen (1) of(2) numeriek, stapsgewijs in de tijdge?ntegreerd. Hiervoor bestaan vele vormen van inte-gratieschema's;de meest effectieveen toegepaste schema's be-horen tot de Newmark-farnilie. Deze schema's zijn zoge-naamde ??n-stap methodes, datwilzeggendatu, ti en? op het58tijdstip tn+l = tn +L1tworden bepaald alleen gebruik makendvan de toestand op het vorige tijdstip, ~ [2].In het algemeen worden directe integratieschema's vaak ge-classificeerd als zijnde een expliciete methode dan wel als eenimpliciete methode. Bij een expliciete methode wordt de op-lossing op het tijdstip tn+l verkregen waarbij de evenwichts-voorwaardenop het tijdstip tn worden gebruikt, terwijl bij eenimpliciete methode de oplossing op het tijdstip tn+l wordt ge-vonden uitgaande van de bewegingsvergelijking op het tijd-stip tn+!"Een veel gebruikte expliciete methode is het zogenaamde'centrale differentiescherna'; ditschemaisvoorwaardelijksta-biel. Integratieschema'sdievoorwaardelijkstabiel zijnhebbende restrictie datde tijdstapgrootte L1tkleiner moetzijn daneenkritische waarde L1te," Wanneer L1t groter is dan L1ter zal hetproces instabielworden,watermeestal in resulteertdatdiver-gentie optreedt en de gevonden responsie onzin is. Aange-toond kan worden dat de ondergrens voor deze kritischewaarde kan worden geschreven als:(5)waarin TN de kleinste periode is van het ongedempte gedis-cretiseerde systeem met N vrijheidsgraden.Een effectieve enveel gebruikte methodevoor structurele dy-namicaproblemen is de zogenaamde'constant-average-acce-leration'-methode, ook wel de trapeziumregel genoemd. Ditschema is onvoorwaardelijk stabiel en bezit een tweede-ordenauwkeurigheid [4]. Bij integratiemethodes die onvoorwaar-delijk stabiel zijn behoeven in principe geen restricties aan detijdstapgrootte L1t te worden opgelegd, voor zover het om li-neaire systemen gaat. De maximale stapgrootte L1t die kanworden gehanteerd, wordt meestal bepaald door de gewenstenauwkeurigheid van de oplossing en niet door de stabiliteitvan het integratieproces.De keuze welke tijdsintegratiemethode moet worden ge-bruikt, is in zekere mate afhankelijk van het probleem watmoet worden opgelost, een golfvoortplantingsprobleem ofeen zogenaamd structureel dynamicaprobleem. Bij structu-rele dynamicaproblemen; die verwant zijn met een lange-duur karakteristiek van de belasting, worden alleen de laagstefrequenties of een paar frequenties van het systeem aange-stoten door de belastingsvector.Een praktische regel is dat het model ten minste frequentiestotongeveer Weo :;; 4wu nauwkeurigmoetkunnenweergeven,waarbij Wu de hoogste, nog significante voorkomende fre-quentie is die in het belastingsspectrum voorkomt. Meestal ishet toepassenvan een implicietintegratieschemade meest ef-fectieve en robuste methodevoorhetoplossenvan deze klassevan problemen. Methetoog op nauwkeurigheid mag de stap-grootte L1t niet groter zijn dan ongeveer 1/20 7;;0' met 7;;0 =2 Jt /weo?Bij golfvoortplantingsproblemenwordt daarentegen eenveelgroter aantal frequenties in het systeem aangestoten. Belang-rijkis omeenvoldoende hoge afbreekfrequentie Weo te hante-ren, waarmee de vereiste c.q. verwachte nauwkeurigheid vande oplossing wordt verkregen. De moeilijkheden liggen danook meestal bij het vaststellen van de afbreekfrequentie diegebruikt moet worden en de keuze van een bijbehorendEEM-model.Cement 1992 nr. 6Modale superpositie versus volle matrixbewerkingNaast de keuze tijdsdomein versus frequentiedomein kan ernog voor worden gekozen de bewerking uit te voeren op basisvan de natuurlijke verplaatsingen, dan wel over te stappen opdewgenaamde modale co?rdinaten. De natuurlijkeverplaat-singen zijn de verplaatsingen ofrotaties van iedere knoop inhet massa-veer-model ofin hetEEM-systeem. Op de modalecoordinaten wordt nog nader ingegaan.Ook hier geldtweer dat er geen algemene voorkeurvalt uit tespreken: soms is het??nen soms is het ander handiger.Boven-dien kennen beide methoden nog een aantal varianten. Ge-bruikelijk is om de berekening in het tijdsdomein uit te voe-ren in de natuurlijkeverplaatsingen, terwijleen berekeninginhet frequentiedomein vaakwordt uitgevoerd metmodale co-ordinaten. Noodzakelijk is dit echter niet en soms niet eenshet meest handig.Een aantrekkelijk aspect van de modale rekentechniek is dateerst de eigenfrequenties eneigentrillingsvormenvande con-structie worden bepaald. Ter toelichting: een eigentrilling iseen harmonische oplossing van (1) waarbij de belasting nul isgesteld. Een dergelijke eigentrilling wordt gekenmerkt dooreen (eigen)frequentie en een (eigen)trillingsvorm. Fysisch iseeneigentrillingalsvolgtvoorte stellen: brengeenconstructieuit de evenwichtsstand en laat die vervolgens los. Als de con-structie meer graden van vrijheid heeft, dan komt deze in hetalgemeen in een ingewikkelde slingerbeweging terecht. Bijsommige beginvormen echtervoeren alle punten vande con-structie eenperfectsynchroneharmonische beweging uit metdezelfde frequentie.Een dergelijke beginvorm wordt een eigenvorm genoemd ende bijbehorende trillingstijd een eigenperiode. De hiermeesamenhangende informatie is zo waardevol, dat ook bij hetuitvoeren van een berekening in het tijdsdomein vaak eersteen aantal eigenfrequenties en -trillingsvormen worden be-paald. De informatie is met name waardevol om te komen toteen goede modellering en om de berekeningsresultaten tekunnen interpreteren.Hetprincipevan de modale superpositietechniekis gebaseerdop de veronderstelling dat de responsie van een lineair sys-teem op een willekeurige, tijdsafhankelijke belasting kanworden opgebouwd uit een lineaire combinatie van de eigen-vectoren:Nu(t) = L