Draagvermogen betonplaten5200980DraagvermogenbetonplatenZijdelingse opsluiting verhoogt het draagvermogen van een gewapend-betonconstructie. In dit artikelwordt nader ingegaan op het gedrag van platen in gewapend beton onderworpen aan een geconcen-treerde belasting. Met het oog op het beoordelen van het draagvermogen van bestaande constructies (bijv.brugdekken) is dit momenteel een belangrijk onderzoeksgebied. Het artikel beschrijft een methode om hetwerkelijke draagvermogen van een betonplaat te berekenen, rekening houdend met mogelijke zijdelingseopsluitende werking. De rekenmethode wordt geverifieerd door vergelijking met experimenteel verkregenuitkomsten. Een computerprogramma is ontwikkeld om de berekeningsprocedure sneller te doorlopen.Invloed zijdelingse opsluiting onderzochtAchtergrondPlaten worden traditioneel gedimensioneerd op buiging enpons zonder rekening te houden met in-het-vlak krachten diekunnen ontstaan als de in-het-vlak vervormingen van de plaat(gedeeltelijk) worden belemmerd. De hierdoor ontstanemembraanwerking (`boogwerking') wordt meestal buitenbeschouwing gelaten; enerzijds door onzekerheid over het aldan niet optreden ervan en de daarmee verbonden randvoor-waarden, anderzijds door vragen over de grootte van de optre-dende spanningen en de toe te passen rekentechnieken.Als een geconcentreerd belaste plaat in de nog ongescheurdefase vervormt, zijn de in-het-vlak verplaatsingen dermategering, dat nagenoeg geen in-het-vlak krachten door (gedeelte-lijke) zijdelingse opsluiting worden ge?ntroduceerd. Zodraechter scheurvorming optreedt, nemen de vervormingen/ENCI StudieprijsDit is een artikel op basis van het afstudeerdonderzoek`Assess-ment of a real loading capacity of concrete slabs'dat ir. XuyingWei verrichtte aan de TU Delft (fac. CiTG). De studie ontving de2e prijs bij de ENCI Studieprijs 2008. Het artikel is onderdeel vaneen serie over deze studieprijs waarin alle prijswinnaars eneervolle vermeldingen aan bod komen.De ENCI Studieprijzen worden jaarlijks tijdens de Betondaguitgereikt door het ENCI Studiefonds. Met de prijzen wordtbeoogd belangstelling te wekken voor het bouwen met betonen nieuwe ontwikkelingen op dit gebied te stimuleren. De daad-werkelijke organisatie van de Studieprijs is in handen van deBetonvereniging.ENCI StudieprijsDraagvermogen betonplaten 52009 81verplaatsingen in sterke mate toe. Het belaste en gescheurdeplaatdeel kan zich, indien de randvoorwaarden het toelaten,`afzetten' tegen de aangrenzende plaatdelen. Dit is de eerdergenoemde membraanwerking (`inwendige boogwerking').Twee groepen onderzoekers zijn pioniers geweest op dit onder-zoeksgebied. Door Ockleston [1] is de toename van het draag-vermogen op buiging onderzocht. Een gebouw met drie bouw-lagen werd beproefd. De gepubliceerde resultaten gaven deaanzet tot verder onderzoek naar de invloed van membraan-druk-werking. Niet lang na het verschijnen van de resultatenvan Ocklestons experiment hebben Wood [2], Brotchie [3],Christiansen [4], Park [5] en Liebenberg [6] belangrijke bijdra-gen geleverd. Twee decennia later publiceerde Eyre [7] eenfiguur (de `Force-Deflection Straight Line Graph') waarmee deinvloed van de in-het-vlak drukkracht op de buigweerstand opeen relatief eenvoudige wijze in rekening kon worden gebracht.Een tweede onderzoeksgroep richtte zich vooral op de pons-weerstand. Hewitt en Bachelor (H&B) [8] gaven een implicieterekenmethode voor het berekenen van de ponsweerstandwaarin de randvoorwaarden van de plaat waren meegenomen.De oplossing was gebaseerd op het ponsmodel van Kinnunenen Nylander (K&N) [9]. Een nieuwe term, de opsluitings- ofbelemmeringsfactor (restraint factor), werd ge?ntroduceerd.H&B-model voor de ponsweerstandIn het H&B-model wordt aan de bestaande modellen voor hetbeschrijven van het ponsdraagvermogen een opsluitings- ofbelemmeringsfactor toegevoegd. Deze factor geeft de nogonbekende horizontale opsluitkracht Fb,H&Ben het opsluitmo-ment Mb,H&Buitgedrukt in de maximaal mogelijke waardenFb(max)en Mb(max). In figuur 1 is ter illustratie een vervormdplaatdeel met lengte l/2 getoond. Het plaatdeel is een segmentvan een cirkelvormige plaat met diameter l. Links in de figuurgrijpt, in het midden van de plaat, de geconcentreerde verticalekracht P aan; rechts is het segment opgelegd. Verondersteldwordt dat de lengte-as recht blijft; het geheel roteert alleen. Dezakking in het midden van de plaat is . Verondersteld wordtdat aan de plaatrand een normaalkracht en een momentkunnen worden overgedragen; de grootte ervan is mede afhan-kelijk van de opsluitingsfactor.De grootst mogelijke opsluitkrachten treden op als het plaat-segment aan de rand oneindig stijf is ingeklemd en niet hori-zontaal kan verplaatsen. Onderin stelt zich een betondrukzonein; bovenin vloeit het betonstaal op trek. De hoogte van debetondrukzone volgt uit de geometrie van het geroteerdesegment dat wordt verondersteld recht te blijven. Aangenomenwordt dat het beton in de uiterste vezel de grenswaarde van debetonstuik bereikt. De door de inklemming ge?ntroduceerdecentrisch in de doorsnede aangrijpende kracht volgt uit hetkrachtenevenwicht:Fb(max) = Fc ? Ftwaarin:Fc = 0,8 1 fck (1__2h ?1__4)Ft = dfsyHet moment volgt uit het momentenevenwicht in de door-snede:Mb(max) = Ft (2d ? h) ? Fc (d ?13___16h ?3___32)Als sprake is van een niet-oneindig starre inklemming, danzijn, overeenkomstig de definitie van de eerder genoemdeinklemmingsfactor , deze krachten:Fb,H&B = Fb(max)ir. Xuying Wei 1)Fluor BVdr.ir. Cor van der Veen, prof.dr.ir. JoostWalraven en dr.ir. Pierre HoogenboomTU Delft, fac. CiTGprof.dr.ir. NingXu HanVan Hattum en Blankevoort1 Geschematiseerde verplaatsingen (boven) en rand (doorsne-de-)krachten (onder) bij een plaatsegment bij een oneindigstijve inklemming1) Dit artikel is vertaald uit het Engels en bewerkt door dr.ir.drs. Ren? Braam (TUDelft, fac. CiTG).242lP42-h)42(-h)42(83 -hsupportFt= d syFthd0.8 ckFc= 0.81 ck1Een verklaring van de symbolenstaat op www.cementonline.nlDraagvermogen betonplaten52009822 Gemodificeerd model voor het schematiseren van het ponsdraagvermogen [10]a: ponsbelasting en membraankrachtenb: losgescheurd segment met de er op uitgeoefende krachtenc: langsdoorsnede over het segment: scheurhellingen en aangrijpingspuntenkrachten3 Gedrag van een enkel wigvormig segment als plasticiteit optreedta: model met verende inklemming als translatie- en rotatieveerb: rekverdeling over de hoogte bij de wigzijdec: idem bij de verende inklemmingd: segment in vervormde toestand, de rotatie geconcentreerd verondersteldaan de beide uiteindentoond of dit een correcte aanname is. Ook is de toepassing vanhet H&B-model beperkt vanwege beperkingen van het K&N-model. Zo is het alleen toepasbaar binnen grenzen aan de over-spanning/hoogte-verhouding, wapeningsverhouding etc. [12].Nieuw ponsmodel met randvoorwaardenIn de hier beschreven studie [10] is het ponsmodel van Hall-gren [13] gebruikt als basis. Dit is gedaan om niet noodzakelijkbeperkt te blijven tot de toepassingsgebieden van bestaandemodellen. In het model worden, net als in het eerder beschre-ven H&B-model, een in-het-vlak normaalkracht Fben eenmoment Mbgebruikt om de krachten uit de randvoorwaardenweer te geven. De details van het model zijn opgenomen infiguur 2.In het model wordt uitgegaan van een axiaal-symmetrischebetonplaat, in het midden belast door een geconcentreerdepuntlast P. De plaatsegmenten worden verondersteld teverplaatsen als starre lichamen. De totale kracht P volgt uit hetevenwicht van de afzonderlijke segmenten. De grootte van eensegment is vastgelegd met de hoek . Met de breukenergie-theorie zijn het bezwijkgedrag en het bezwijkdraagvermogenbeschreven [13]. Hierdoor is het model in theorie toepasbaarvoor alle gewapend-beton platen.EvenwichtsvergelijkingenHet verticale krachtenevenwicht kan worden geschreven als(fig. 2c):P___2= T___2sin P = T sin waarin is de hellingshoek met de horizontaal van de beton-drukkracht die door het segment wordt uitgeoefend.De uitdrukking voor het horizontale krachtenevenwicht vanhet gehele segment luidt:T___2cos + RcT = RsR___2+ RsT +Fbc__2Mb,H&B = Mb(max)De belemmeringsfactor is een belangrijke parameter bij hetbeschrijven van het werkelijke draagvermogen van een beton-plaat. Als de invloed van de zijdelings werkzame krachtenveroorzaakt door de randvoorwaarden in rekening wordtgebracht, neemt het theoretisch draagvermogen toe. Experi-menten hebben uitgewezen dat een waarde = 0,5 en 0,9 eengoede weergave is van het werkelijke draagvermogen vanrespectievelijk een gewapende en voorgespannen betonplaat.Deze aanpak heeft enkele nadelen. Zo wordt de factor zelf nietontleend aan een beschrijving van het werkelijke gedrag van deconstructie, maar wordt deze afgestemd op proefresultaten.Tevens is aangenomen dat de `opsluitende' normaalkracht enhet moment evenredig toenemen. Het is echter nog niet aange-PcFbFbMb MbFbMbMbP ?T? / 2 RsR? / 2 / 2 RcTRsTRsTRsTsR2/c2/By = xm(1+tan)2/hQxmxbFbMbRcT? RsT? T? / 2P? / 21.5xm2a2b2cENCI StudieprijsDraagvermogen betonplaten 52009 83spanning (op de symmetrielijn) en de rek ter plaatse van degedeeltelijke inklemming. Aangenomen wordt dat de rek dieoptreedt nabij de `afgeknotte' wigzijde, de vervorming over dehalve segmentlengte bepaalt, terwijl de rek bij de inklemmings-zijde over de andere halve segmentlengte werkzaam is.In de lengte-as van de doorsnede (halverwege de hoogte)worden de vervormingen van een segment berekend.De rek ter hoogte van de lengte-as van de doorsnede aan dewigzijde is (zie fig. 3):m = cTu ( h____2xm? 1)Deze rek is werkzaam over een afstand gelijk aan de helft vande lengte van het segment (c ? B) minus de horizontaal gepro-jecteerde lengte van de beide hellende scheurvlakken nabij desymmetrie-as (hellingshoek 45? resp. 1,5 ):lm =1__2(c ? B) ? xm ? (h__2? xm )cos (1,5 )De vervorming veroorzaakt door de betonrek nabij de `afge-knotte' wigzijde is dan:waarin een factor 1/2 is toegevoegd omdat wordt veronderstelddat het rekverloop lineair is; maximaal nabij de wigzijde; nulhalverwege de segmentlengte.Hieruit volgt:T =RsR + 2 (RsT ? RcT) + Fbc_____________________cos Het momentenevenwicht om punt Q levert:P___2(c__2?B__2? xm )=T___2cos xm ? T___2sin xm + RcT2__3xm + RsT (d ? xm) +RsR___2(d ? xm) + Mb c__2+ Fbc__2(h__2? xm)Waaruit volgt:Kinematische vergelijkingenIn het model getoond in figuur 3 wordt de gedeeltelijkeinklemming vervangen door een translatie- en een rotatieveer.Verondersteld wordt dat de vervorming van het segment kanworden berekend uit de betonrek in het midden van de over-P =1_________c__2?B__2? xm[ T xm______2 cos + 2 (2__3xmRcT + RsT (d ? xm))+ RsR (d ? xm) + c (Mb + Fb (h__2? xm))]xmxbt? (c-B)S?St?m- ?bxmcTucTuhh2-12xm1-xbbbh2xbh2memebtbsegmentbegrenzing3b 3d3a 3cem =1__2mlm =1__2cTu ( h____2xm? 1)(1__2(c ? B) ? (xm + (h__2? xm )cos (1,5 )))Draagvermogen betonplaten5200984Constitutieve vergelijkingenDe hoekverdraaiingen m en b nabij de wigdoorsnede (delinker doorsnede van het segment), respectievelijk de door-snede nabij de verende inklemming zijn:m =em___xm=cTu____2 xm(1__2(c ? B) ? (xm + (h__2? xm )cos (1,5 )))b =eb___xb=cb____2 xb(1__2(c ? B) ? (xm + (h__2? xm )cos (1,5 )))De rotatie die de veer nabij de verende inklemming ondergaat,is het verschil tussen beide hoekverdraaiingen.De zijwaartse verplaatsing wordt uitgedrukt in de axiale trans-latie-stijfheid Stvan de omliggende constructie:t =Fb___St Fb = St tDit wordt ook gedaan voor de rotatiestijfheid S:Mb = (m ? b ) SDe reactiekrachten die ter plaatse van de verende inklemmingoptreden, zijn gekoppeld aan de krachten die in een gescheurdegewapend-betondoorsnede optreden. Uit krachtenevenwichtvolgt:Fb = Fc ? FtDeze krachten worden uitgedrukt in de rekken die het beton enhet betonstaal in de betreffende doorsnede ondergaan:Fc = {0,5xbcbEc cb < fck / Ec (beton, elastisch)c fckxb cb fck / Ec (beton, elastisch-plastisch)c = 1?cy___cTcy =fck___EcFt = {d sbEc sb < fsy / Es (staal, elastisch)d fsy sb fsy / Es (staal, plastisch)Als de aangrijpingspunten van de resulterende krachten in hetbeton en betonstaal bekend zijn, kan het moment ter plaatsevan de verende inklemming worden berekend:Mb = Fc (h__2?xb__3)+ Ft (d ?h__2)Bij de inklemming is de betonrek ter hoogte van de lengte-asvan het segment (zie fig. 3):b = cb (1 ?h____2xb)Deze rek treedt op over dezelfde afstand lmals de eerder bere-kende rek m.Dan is de bijdrage aan de vervorming in de lengte-as van dedoorsnede:Ook nu is weer de factor 1/2 gebruikt om rekening te houdenmet het verondersteld lineaire rekverloop.In figuur 3d is weergegeven hoe het segment als een starlichaam transleert en roteert. In werkelijkheid is het elementniet star; de werkelijk optredende rotaties worden geconcen-treerd gedacht aan het linker (rotatie over m) en rechteruiteinde (rotatie over b) van het segment.Het segment met oorspronkelijke lengte c/2 heeft een verkor-ting ondergaan ter grootte van em ? eb. Tevens is het segmentgeroteerd gedacht over een hoek m. De verplaatsing van hetsegment nabij de aansluiting op de translatieveer kan wordenberekend. Nu is t de afstand waarover de translatieveer van deverende inklemming wordt ingedrukt:em ? eb + (1__2(c ? B) ? (xm + (h__2? xm )cos (1,5 )))cos (m)= (1__2(c ? B) ? (xm + (h__2? xm )cos (1,5 )))+ tOmdat de hoek m bijzonder klein is, is cos (m) = 1 zodat geldt:em ? eb = t2501750110 140175014010100100ring uit hoekstaal4eb =1__2cblm =1__2cb (1 ?h____2xb)(1__2(c ? B) ? (xm + (h__2? xm )cos (1,5 )))ENCI StudieprijsDraagvermogen betonplaten 52009 854 Afmetingen en karakteristieken van deproefstukken (maten in mm) [14]Hierin is:ct = 100____h____200en c is de diameter van het gebied van de plaat waarin sprake isvan een negatief buigend moment.VooruitblikEen nadere studie met de eindige-elementenmethode wordtaanbevolen om de nauwkeurigheid van het model te onderzoe-ken. De invloed van de ouderdom van het beton en tempera-tuurspanningen in gewapend-betonplaten verdient ook nadereaandacht. Voor de praktijk zou een parameter kunnen wordenafgeleid waarmee de invloed van de inklemming op het draag-vermogen kan worden meegenomen. Het ponsdraagvermogen kan worden berekend door voor-gaande vergelijkingen uit te werken. Hiertoe is een computer-programma met gebruikersinterface opgesteld. Uit parameter-studies blijkt het volgende:Een toename van de rotatiestijfheid van de verende inklem-ming zorgt voor een toename van het draagvermogen. Deinvloed ervan is echter relatief gering. Vergeleken hiermeeheeft de translatiestijfheid van de verende inklemming eenrelatief grote invloed. Een afname van de lengte/hoogte-verhouding, een toename van de plaatdikte en een toenamevan de hoeveelheid betonstaal hebben alle in zekere mate eengunstige invloed op het ponsdraagvermogen.Theoretische versus experimentele resultatenDoor Walraven [14] zijn resultaten van ponsproeven gerappor-teerd. Proefstukken 14 en 17 uit de proevenserie lenen zichvoor analyse met het ontwikkelde model. De afmetingen enkarakteristieken van de proefstukken zijn getoond in figuur 4.De platen hebben een diameter van 1750 mm en een dikte van140 mm. De ronde platen waren voorzien van een orthogonaalwapeningsnet en opgelsoten door een rondgaand hoekstaal.Het effect van deze `opsluiting' kan door het gerepresenteerdemodel in rekening worden gebracht. In tabel 1 zijn de resulta-ten zoals verkregen met het model vergeleken met die uit deexperimenten.Een vergelijking tussen de experimenteel verkregen en theore-tisch berekende resultaten geeft aan dat het model goed in staatis de bezwijklast te voorspellen.TranslatiestijfheidDoor modelresultaten te vergelijken met experimenteel verkre-gen resultaten is een voorstel gedaan voor de translatiestijfheidvan de veer in de verende inklemming. Voor gewapend-beton-platen is een schatting voor deze zijdelingse stijfheid:St = 0,48 ctEcAc____cVoor voorgespannen gewapend-betonplaten:St = 0,82 ctEcAc____c Literatuur1 Ockleston, A.J. Structure Engineer,33,304 (1955)2 Wood, R.H., Plastic and Elastic Design ofSlabs and Plates, Ronald, NewYork (1961)3 Brotchie, J.F. and Holley,M.J. ACI SpecialPub. SP-30, 345 (1971)4 Christiansen, K.P., Structure Engineer,41, 261(1963)5 Park, R., Reinforced Concrete Slabs,1980 Edition, Chapter 126 Liebenberg, A.C., Arch Action inConcrete Slabs South African Councilfor Science and Industry Research,R234, National Building Research Insti-tution Bulletin 40 (1966)7 Eyre, J.R., Direct Assessment of SafeStrength of RC Slabs under MembraneAction, Journal of Structural Enginee-ring, Oct. 19978 Hewitt, B.E., An Investigation of thePunching Strength of Restraint Slabswith Particular Reference to the DeckSlabs of Composite I-Beam Bridges,PhD Thesis, Queen's University atKinston, Ontario, Canada (1972)9 Kinnunen, S. and Nylander,H., Trans.Royal Inst. Technology, Stockholm, No.158 (1960)10 Wei, X. Assessment of Real LoadingCapacity of Concrete Slabs, MScThesis, Delft University of Technology,June 200811 Hillerborg, A., Modeer,M., PeterssonP.E.. Analysis of Crack Formation andGrowth in Concrete by Means of Frac-ture Mechanics and Finite Elements.Cement and Concrete Research, Vol.6,Pergamon Press Inc., pp 773-78212 Moe, J., Shearing Strength of Rein-forced Concrete Slabs and Footingsunder Concentrated Load, BulletinD47, Research and DevelopmentDepartment, Portland Cement Asso-ciation, Skokie, I11, 196113 Hallgren, M., Punching Shear Capacityof Reinforced High Strength ConcreteSlabs, Royal Institution of TechnologyStockholm, Sweden, S-100 44, 199614 Walraven, J.C., Pat,M.G.M., Markov,I.,The Punching Shear Resistance ofFibre-Reinforced Concrete Slabs, DelftUniversity of Technology, report nr.25.5-92-6, July 1992proefstuk no.experiment -bezwijklast [kN]modelresultaat -bezwijklast [kN]Pexp./Pmodel14174595054394801,051,05Tabel 1 Vergelijking tussen experimentele en theoretische (model) resultatenSymbolenlijst bij artikelDraagvermogen betonplatencA oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de betonplaatB diameter van het belaste gebiedcE tangent elasticiteitsmodulus van betonsE elasticiteitsmodulus van betonstaalbF totale opsluitkracht in het ponsmodel, &b H BF totale opsluitkracht in het H&B-ponsmodel [8](max)bF grootst mogelijke opsluitkracht (bij oneindig translatie-stijve inklemming)cF opsluitkracht door drukspanningen in het betontF opsluitkracht door trekspanningen in het betonstaalbM totaal inklemmingsmoment in het ponsmodel, &b H BM totaal inklemmingsmoment in het H&B-ponsmodel [8](max)bM grootst mogelijk inklemmingsmoment (bij oneindig rotatie-stijve inklemming)P ponsdraagvermogen (ponsweerstand)sRR horizontale kracht in het betonstaal evenwijdig aan de radiale scheurrichting [13]cTR horizontale kracht in de betondrukzone in een radiale scheur [13]sTR horizontale kracht in het betonstaal dat een radiale scheur loodrecht doorsnijdt [13]tS translatiestijfheid per eenheid van lengte geleverd door de omringende betonconstructieS rotatiestijfheid per eenheid van lengte geleverd door de omringende betonconstructieT drukkracht onder een hellingshoek, geleverd door onder een druk staand centraalgelegen conusvormig betonlichaamd nuttige hoogte van een doorsnedec diameter van het plaatgebied waarin sprake is van een negatief buigend momentme verplaatsing veroorzaakt door vervormingen in het midden van de overspanningbe verplaatsing veroorzaakt door vervormingen nabij de verende inklemmingckf karakteristieke 28-daagse beton cilinderdruksterktesyf vloeigrens van betonstaalh dikte (hoogte) van de betonplaatt zijdelingse verplaatsing (translatie) van de verende inklemmingmx ligging van de neutrale lijn in het midden van de overspanning of in een plastischscharnierbx ligging van de neutrale lijn nabij de verende inklemming1 verhouding tussen de hoogte van een equivalente rechthoekige spanningsfiguur en deafstand van de meest gedrukte betonvezel tot de neutrale lijn verplaatsingcTu grenswaarde van de betonstuik volgens de breukmechanica [11]cb druk-rek in beton nabij de verende inklemmingsb trek-rek van betonstaal nabij de verende inklemming belemmerings- of opsluitingsfactor wapeningsverhouding2009/5