ir. J.G. Hagernanraadgevend ingenieur De stabiliteit van een gebouwOp welke wijze zou deze in de statische berekening kunneworden verwerkt?lozen, is de invloed van de uitbuiging (zie figuur 1). Door dehorizontale verplaatsing van de verticale belasting Quv ontstaatextra momenten, normaalkrachten en dwarskrachten (zgn. momenten en krachten van de 2e orde), die evenredig zijn met heprodukt Quv. dus met y. Qov .TOESTAND EVEN VOOR BEZWIJKEN+ . Qov =+ o.y . Qov . =o===GEBRUIKSTOESTANDnormaalkracht: y.N odwarskracht:waarinStel voor een bepaalde doorsnede deze evenredtqheidsfactoreiresp. en dan geldt in de breuktoestand voor de werkelijk optredende krachtsverdeling resp.:moment: y.Mo + . Qov . = y.Mo + =y.(Mo +y.(No + Ny.(D o + D?OYQohfig. 11. SarnenvattingDe tendentie bestaat, niet alleen hoger maar ook slanker te gaanbouwen, waardoor de beoordeling van de stabiliteit van eengebouw, in zijn totaliteit gezien, steeds belangrijker wordt.Een berekening volgens de elasticiteitstheorie leidt weliswaar toteen zgn. Euler'ee veiligheidsco?ffici?nt n, maar deze theoretischen-waarde blijkt onvoldoende inzicht te verschaffen in de werkelijkestabiliteitsveiligheid.In dit artikel is getracht een methode aan te geven, waarbij destabiliteit van de tot a I i t e i t in de sterkteberekening wordt ver-werkt, daarbij als uitgangspunt kiezend het vermoedelijk gedragvan de constructie bij het naderen van de bezwijktoestand.De verrichte studie leidt tot het invoeren van zgn. toeslag-momen-ten en -krachten, waarvan de waarden afhankelijk gesteld wordenvan de slankheid van de constructie.2. Inleiding, definities,probleernstellingDe in de gebruikstoestand optredende belastingcombinatie wordtaangeduid met Qo, de belastingcombinatie, die optreedt bij bezwij-ken van de constructie met Qu.De veiligheidsco?ffici?nt bedraagt Qu: Qo, waarbij wordt aan-genomen, dat alle belastingen gelijktijdig, geleidelijk en evenredigworden opgevoerd.De deugdelijkheid van deconstructie wordt uitsluitend beoordeeldop zijn veiligheid Constructies met eenzelfde y-waarde geldenin dit artikel dus als gelijkwaardig; een eventueel verschillendgedrag in de gebruikstoestand blijft buiten beschouwing.Het onderzoek beperkt zich tot 2-dimensionale raamwerken, waar-op, in het vlak van de constructie, zowel horizontale (Qoh) alsverticale (Qov) belastingen aangrijpen.De krachtsverdeling in de gebruikstoestand wordt met behulp vande elementaire toegepaste mechanica (zgn. theorie van de 1e orde)berekend en leidt tot buigende momenten, normaalkrachten endwarskrachten, die aangeduid worden met resp. Mo, No en Do.Bij de berekening van de gebruikstoestand worden de uitbuigingenvan constructie en staven klein verondersteld, zodat geldtM o = f1 (Qoh, Qov)No = f2 (Qoh, Qov)Do = f3 (Qoh, Qov)waarin f1 , f2 en f3 een functioneel verband aanduiden.Dit verband tussen de inwendige krachtsverdeling (Mo, No, Do) ende uitwendige belastingen (Qoh en Qov) wordt, bij gegeven con-structie en belastingschema, in belangrijke mate bepaald door deonderlinge verhouding van de buigingsstijfheden. (Men denke bij-voorbeeld aan de toepassing van de methode Cross).Bij opvoeren van de belastingen zullen, als gevolg van het niet-lineaire verband tussen spanning en vervorming (plastische ver-vormingen, scheurvorming!), de buigingsstijfheden in absolutewaarde verminderen.Het wordt echter acceptabel geacht, als benadering een gelijk-blijvende onderlinge verhouding aan te houden.Bovengenoemd functioneel verband (f], f2, f3) kan zodoende onaf-hankelijk gesteld worden van de grootte van de uitwendige belas-tingen.Volgens deze elementaire theorie zou dan bij de Qu-belastinggelden voor de momenten en krachten van de 1e orde:t, (Quh, Quv) = f] (y.Q"h, y.Qov) = y.f] (Qoh, Qov) = y.Moen f2 (Quh, Quv) = y.N ot? (Quh, Quv) = ?o;Wat men echter in de bezwijktoestand niet meer mag verwaar-Bestudering van de breuktoestand leidt dus tot de conclusie, dain de statische berekening de doorsneden zodanig gedimensioneermoeten worden, dat resp. M o + No + Do + met eey-voudige veiligheid kunnen worden opgenomen.en worden berekend door de krachtsverdeling tbepalen, die bij de gebruiksbelasting Oov zou zijn opgetrederindien het gebouw aan de top een uitwijking zou hebben geha1?010nfig. 4in klemmi ngs momentDe grootste waarde van treedt op bij het bereiken van de top Uin de grafiek; de hierbij behorende wordt aangeduid met= waarin per definitie de re?le veiligheid van de constructievoorstelt.De uitbuiging, die optreedt bij het bereiken van de top U wordtaangeduid metHet inklemmingsmoment bedraagt op het ogenblik van bezwijkenvan de constructie:+ Y.Oov = . (Mo +waarin = Oov. = toeslagmoment.Indien de vorm van de uitbuigingslijn bekend verondersteld wordt,bestaat er een bepaald verband tussen de uitbuiging aan detop en de specifieke hoekverdraaiing bij de inklemming.Bij een sinusvormige uitbuigingslijn geldt bij voorbeeld:= .ofwel, daar de kniklengte Ic in het beschouwde geval gelijk is aan2/:Het lnklemminqsmornent bedraagt in de gebruikstoestand volgensde theorie van de 1e orde:M = Ooh. 1 = MoZou de in deze toestand optredende uitbuiging in rekeningworden gebracht, dan zou aan dit moment Mo van de 1e orde hetmoment Oov. van de 2e orde moeten worden toegevoegd, d.W.Z.:M = Mo + Oov.Voert men de beide uitwendige belastingen evenredig op totOv = en Oh = dan zal de uitbuigingtoenemen tot . Het lnklemmlnqsrnornent bedraagt in dit geval:M = . Ooh . I + .Oov . = . Mo + .Oov.Terwijl de term van de 1e orde evenredig toeneemt, neemt de termten gevolge van de verticale belasting als gevolg van het toenemenvan de uitbuiging m??r dan evenredig toe.In figuur 4 is het verband tussen en het inklemmingsmoment Mgrafisch weergegeven.Voorgespannen beton zal uiteraard, door het later optreden vanscheurvorming, de rechte lijn langer volgen dan gewapend beton.Bij ongewapend of zeer licht gewapend beton zal het diagramrelatief meer van het lineaire verloop gaan afwijken.Essentieel voor alle diagrammen echter is, dat bij nadering van hetbreukmoment Mu, de raaklijn aan de kromme een steeds kleinerwordende hoek met de X-as gaat vormen om ten slotte bij hetbereiken van Mu horizontaal te gaan lopen (ddM= 0).. XDe met deze 'topwaarden' Mu corresponderende X-waarden wor-den aangeduid metVervolgt men in gedachten het gedrag van een constructie tot aanbezwijken, dan is het gezien de vorm van de diagrammenduidelijk, dat men bij de beschouwde materialen, in tegenstellingtot de gebruikelijke elastictteltstheorle, nauwelijks een splitsingtussen 'sterkte-breuk' en 'stabiliieitsbreuk' kan aanbrengen.Bezwijken van de constructie kan met evenveel recht beschouwdworden als een sterkte-verschlinsel. waarbij de materiaalsterktein een bepaalde doorsnede wordt bereikt, dan wel als een stabili-teitsverschijnsel, doordat bij het naderen van de hogere spanningende 'equivalente' buigingsstijfheidonevenredig snel daalt.Uit de diagrammen blijkt tevens, dat een elasticiteitstheorie geba-seerd zoals te doen gebruikelijk op de waarden (E .1)0 tot eenrekenkundige veiligheidsco?ffici?nt n zal leiden, die aanzienlijkgroter is dan de werkelijk aanwezige veiligheidsco?ffici?ntBovendien zal dit verschil tussen n en groter worden, naarmatehet M--diagram meer van het lineaire verloop afwijkt.Uit enkele ori?nterende berekeningen is gebleken, dat een wer-kelijke veiligheid = 2 bij normaal gewapende betonconstructles(Eb = 240000 kgf/cm', I gerekend voor de volle doorsnede) cor-respondeert met een n-waards van 8 ? 10; bij ongewapend betonen metselwerk zullen al ri-waarden in de grootte-orde van 20 ? 40ge?ist moeten worden om een zelfde re?le veiligheid = 2 teverkrijgen.Uit het bovenstaande moge blijken, dat de Euler'se veiligheid nzo zonder meer niet te gebruiken is als een criterium voor dedeugdelijkheid van de constructie.De verwarring op dit gebied wordt nog vergroot door de omstan-digheid, dat geen enkel Nederlands voorschrift aanwijzingen geeftop welke wijze deze stabiliteit van de tot a I i t e i t in de bere-kening of het ontwerp betrokken moet worden.Parti?le knik wordt wel behandeld, daarbij wordt echter meestalstilzwijgend aangenomen, dat de stabiliteit van de totaliteit vol-doende is. Beziet men bij voorbeeld de in de G.B.V. 1962 (Art. 47)gegevenkniklengten voor skeletbouw (Ic 0,9/1) , dan wordt hierin feite aangenomen, dat de regels van het skelet niet horizontaalverplaatsbaar zijn, hetgeen wil zeggen, dat in of naast het gebouwnog een stabiliserend element aanwezig moet zijn. Zou dit elementontbreken, dan kan met zekerheid gezegd worden, dat bij eenskelet Ic nooit kleiner dan de verdiepinghoogte maar tenminste gelijk aan (oneindig stijve regels) en meestal echter groterdan I1 zal zijn., Sterkte, stabiliteitAan de hand van een eenvoudig voorbeeld zal het voorgaandenader worden toegelicht.Beschouwd wordt een verticale, aan de onderzijde ingeklemdestaaf, die in de gebruikstoestand is belast met een verticale krachtOov en een horizontale kracht Ooh (fig. 3).Cemenl XIX (1967) Nr. 1 520-----5):3,5.10-32__ -----I"fig. 5 fig. 6oe0,5 1,0Bezwijken van de maatgevende doorsnede treedt op bij een spe-cifieke hoekverdraaiing corresponderend met de top van hetvoor deze doorsnede. De met deze specifieke hoek-verdraaiing corresponderende uitbuiging wordt aangeduid met'u uNu kunnen zich twee gevallen voordoen, namelijk:a . = =of b. <