? bruggenbouw ? constructief ontwerp?prof.lr.J.W.Kamerling, oud-hoogleraar constructief ontwerpen TU EindhovenIn Rotterdam is een fascinerende tuibrug gebouwd, die door zijn bijzondere vormgevingveel aandachttrekt. Een brugdie in dubbele zin een kunstwerk is. Een kunstwerkindege-bruikelijke technische of waterstaatkundige betekenis en in de culturele betekenis meteen grote K. Hetoverstijgen van de gebruikelijkefunctionele en economische overwegin-gen die bij dergelijke grote ingenieurswerken normaliter de prioriteit krijgen, wordt ken-nelijk als een grote deugd beschouwd.DE KUNSTVANHETONTWERPENVANTUIBRUGGENENDE ERASMUSBRUG*)')Dit artikel was reeds bij de redactie ingediend v??rde opening van de brug op 4 september 1996.(ij Dwarsdoorsnede van een gebouwDe kosten van een bouwwerk worden in deeerste plaats bepaald door de functioneleeisen, vastgelegd in het programma van ei-sen, en in de tweede plaats door het ont-werp. Beide groepen hebben hun eigen logi-ca. In het programma van eisen bijvoorbeeldin dit geval de logica van de afwikkeling vande verschillende verkeersstromen met hunprofielen van vrije ruimte en bij het ontwerpde logica van de wijze waarop de belastingenworden gedragen en naar de fundering wor-den overgebracht.Aan de hand van voorbeelden zal stapsge-wijs worden geprobeerd logische oplossin-gen te vinden voor het constructieve ont-werp, waarbij zal worden nagegaan op welkewijze zo weinig mogelijk materiaal kan wor-den gebruikt.Theorie?n over het minimum-materiaalge-bruik zijn vooral ontwikkeld bij de vliegtuig-bouw.Uiteraard wordt bij de vliegtuigbouwernaar gestreefd iedere overbodige kg te eli-mineren.Vliegtuigbouwers beweren, dat als civiel-in-genieurs een vliegtuig zouden moeten ont-werpen, dit nooit van de grond zou komen.Omgekeerd denken civielen, dat als zij brug-gen zouden bouwen die per kg even duurzouden zijn als vliegtuigen, er nu nog met depont naar de overkant zou moeten wordengegaan.Om verschillende alternatieven met enigeobjectiviteit met elkaar te kunnen vergelij-ken, zullen van de theorie?n over het mini-mum-materiaalgebruik alleen de eenvou-digste worden gebruikt.Een 'eenvoudige' opgaveStel dat een gebouw met de in figuur 1 ge-schetste dwarsdoorsnede moet worden ver"bouwd. Grote kolomvrije ruimten zijn nodig,waarvoor de kolommen C en Emoeten wor-den verwijderd. Daarbij moeten de bedrijfs-werkzaamheden zo weinig mogelijk wordengehinderd. Dit kan bijvoorbeeld worden be-reikt door boven het dak voor de nieuweoverspanning BD twee balken te plaatsen,die samen een driehoek vormen (fig. 2) ende kolombelasting van de te vervangen ko-lom C met een trekstang naar de top van dedriehoek overbrengen. De schoren BT en TDstaan onder druk; zij oefenen hierdoor op desteunpunten B en Dkrachten naar buiten uit,de zogenaamde spatkrachten. De construc-tie wil 'spatten'. De spatkracht moet wordenopgenomen door een trekstang.De minimum"hoeveelheid materiaal wordtbereikt als de schoorbalken onder een hoekvan 45' worden geplaatst (fig. 3).Als de doorsnede van een balk rechtevenre-dig is met de grootte van de op te nemenkracht, wordt het minimum-materiaalge"bruik evenredig aan Mat = 8 FL.Voor de goede orde, het materiaalgebruik ishier dus evenredig gesteld aan de krachtmaal de staaflengte, Mat is kracht maal weg.Voor de overspanning DFgeldt hetzelfde, zo-dathettotale materiaalgebruik 16FL wordt.1 I ? I ? I 120A'"LBl'L[,r Lo,y LE?r LF'"LG,yOpmerkingVoor dit speciale belastingsgeval is met bo-venstaande oplossing niet het echte mini-mum bereikt. Als op de steunpunten inplaats van schoren een halfcirkelvormigeboogwordtgeplaatst, waarbij de kracht 2 FinCEMENT1997/165 "L L443::J:::I-.J2+-.JI::J:::i 00 1 11 2 3 4 ~l...2 2 H1 1 1 --?Hco 2 "3 "4 L? Oplossing met een schoorconstructiepSl1'F FJ L il2Fx L *@ Oplossing met een boogconstructie ? Mater/aalgebruik als functie van a; Mat = 4 FL (LjH + H/L)het middelpunt aangrijpt en door middel vaneen oneindig aantal, in ieder geval zeer veeltrekstangen straalsgewijze naar de boogwordt overgebracht, wordt de benodigdehoeveelheid materiaal evenredig aan 2 nFLof circa 78%van dievoorde schoorconstruc-tie (fig. 4).Keuze druk-of trekstavenTot nu toe is geen verschil gemaakt tussentrek- en drukstaven. Bekend is dat trek-krachten doorslappe kabels kunnen wordenopgenomen, maar dat er voordrukkrachtensteviger materiaal nodig is. Drukstavenmoeten worden berekend op knik en zono-dig op stabiliteit. De basisformule voor knikis:Fk= JilEI/Lk2,terw?l voor de stabiliteit een vergrotingsfac-tor voor de belastingen in rekening moetworden gebracht, die evenredig is aan Fk ?Voor een massief vierkante staaf is het op-pervlak A = b2 en het kwadratisch opper-vlaktemoment I == f2 b4 ?Wordt de belasting cp groter, dan is het beno-digde oppervlak cpb2, de zijde neemt toe totb Jcp en hiermede wordt I = f2 cp2b4?I neemt dus kwadratisch toe.Voor een dunwandige vierkante buis is hetoppervlak van de doorsnede A = 4 db metd < b en I = ~ db3.Als de belasting toeneemt met cp, wordt hetbenodigde oppervlak van de doorsnede4 cpdb, de zijde wordt cpb, hiermede wordtI = ~ cp3db3.I neemt toe met de derde macht.Voor drukstaven volgt uit een en ander dathet gunstig is:? Lk zo klein mogelijkte kiezen, bijvoorbeelddoor, als dit constructief mogelijk is, dekortste staaf op druk te belasten;? de afmetingen van de doorsnede zo grootmogelijk maken door drukbelastingen opzo weinig mogelijk elementen te concen-treren;? voor de doorsnede een zo gunstig mogelij~ke vorm te kiezen (materiaal naarbuiten).Conclusie:Trekkrachten kunnen zonder bezwaar overmeer elementen worden verdeeld, terwijldrukkrachten zoveel mogelijk geconcen-treerd moeten worden, liefst op ??n con-structie-element.De oplossing met een tuiconstructieTerugkomend op het eerste voorbeeld wor-den nu de belastingen die ontstaan tenge-volge van het wegnemen van de kolommenCen E, opgenomen doorde tuien CTen TE eneen drukstaaf DT als pyloon (fig. 5).De benodigde minimum-hoeveelheid mate~riaal is evenredig aan 16 FL. In dit specialegeval is de hoeveelheid materiaal voor beideoplossingen gelijk, behoudens dat de oplos-sing met de tuien een gunstiger verhoudingheeft tussen druk- en trekstaven dan deschoorconstructie en hierdoor in de praktijkgunstigerzal uitpakken. ~? Een tuiconstructie voor twee overspanningenMat = 2 . 2Fj2? Lj2+ 4FL + 2 . 2FL = 16FL? Vervorming tuiconstructie voor twee overspanningen bij asym-metrische belastingI'/I----? 0,f' LI'L L LCEMENT1997/1 21? bruggenbouw ? constructief ontwerp?o1 12FL L L L b Lt LJLJLI'a t t ,I' ,([) Tuiconstructie voor ??n hoofdoverspanninga. met ??n pyloon; Mat =2 . 2F[2 . L[2+ 4FL + 2F . 2L =16FLb. met twee pylonen; Mat =4 F[2 . L[2+ 2 . 2FL + 4FL =16FLE~lI qLI3 qLI3a I. Ll3 L/3 L/3 L/3 L/3~"'!I qL/3 qLI3b t L/3 L/3 L/3 L/3 L/3? Oplossing met twee tuiena. met ??n pyloon2 qL L[2=8[2. 2- - qL23 3 92 qL L 4,2- - qL23 3 92 qL L 4,2- - qL23 3 92qL[2.L[2=4- ~qL23 3 92 qL L 2- ~ qL23 3 92 qL L 2- -qU3 3 9Bij beide oplossingen worden de noodzake-IUke versterkingen van de kolommen B, DenE en hun funderingen buiten beschouwinggelaten. In de kabel ontstaat over de gehelelengte CTE een constante kracht.De voorgestelde oplossing (tig. 6) is met alzijn scharnieren een ongelukkige construc-tie: er ontstaat een soort balans, die alleenin evenwicht is als de belastingen in de pun-ten C en E aan elkaar gelijk zijn. Als alleen inbijvoorbeeld punt C een belasting aangrijpt,isgeen evenwichtmogelijk. De constructie isniet stabiel.In de praktijk zal men bijvoorbeeld de liggersBCD en DEF als doorgaande liggers uitvoe-ren. Door de puntlast in C zal de ligger BCDdoorbuigen. Daarbij ontstaat een kracht inde tui die, als de tui niet vervormt, in punt Eeen kracht omhoog veroorzaakt, die evengrooiis als die in C. De ligger DF buigt even-veel op als de ligger BD doorbuigt. De belas-ting in C wordt door twee liggers gedragen.De constructie is stabiel, maar heteffectvande tuien op het draagvermogen van de lig"gers is beperkt en wordt daarenboven nogverminderd door de rek van de tuien. Alleenals de eenzijdige belasting klein is ten op-zichte van de symmetrische belasting, heeftdeze oplossing zin.lijkt bijzonder onlogisch om tuiconstructiestoe te passen. Het geheim zit in de invloedvan het eigen gewicht van de hoofdligger enin de uitvoering.De gelijkmatig verdeelde belasting van dehoofdligger bestaat uit het eigen gewichtvan het brugdek, uitbelastingen door kabelsen leidingen, leuningen enz., uit de gelijkma-tig verdeelde verkeersbelasting en uit hetei-gen gewichtvan de constructiesom deze be-lastingen naar de hoofdligger over te bren-gen. Deze belastingen hangen af van debreedte van de brug.Het eigen gewicht van dehoofdligger(s)neemt toe met de overspanning.Met de tuiconstructie kan bij wijze van spre-ken de overspanning in evenveel stukkenworden verdeeld als wenselijk wordt geachtom het eigen gewicht van de hoofdHgger(s)te beperken.Een schoorconstructie mist op dit punt iede-re flexibiliteit. De overspanningwordtin tweestukken verdeeld en dat is het dan.Naarmate de overspanning groter is, komtde tuiconstructie meer in het voordeel. Deschoorconstructies zullen in allerlei spant-vormen voor niet al te grote overspanningenworden toegepast, bijvoorbeeld als dakcon-structie van gebouwen.24Mat =- qL2916Mat = - qL29b. met twee pylonenqL4- [2.32qL2-34 qL3L [2=3L3L38_qL294-qU94_qL29De constructie met ??nhoofdoverspanningWordt in ons voorbeeld maar ??n kolom weg-gelaten, bijvoorbeeld in C, dan kan een tui-constructie zowel met??n als mettwee pylo-nen worden toegepast (tig. 7). Het materi-aalgebruik voor beide oplossingen is 16 FL.Uitvergelijkingvan het materiaalgebruik metdat van de schoorconstructie voor ??n over-spanning blijkt dat dit opeens het dubbele isgeworden. De tuiconstructie van figuur 7a isprecies hetzelfde als van figuur 5, maar be-dient nu nog maar ??n overspanning. HetVergelijking materiaalgebruik bij construc-ties met ??n en met twee pylonenWordt de overspanning in twee gelijke stuk-ken verdeeld, dan is het materiaalgebruikvoor beide oplossingen dus hetzelfde (tig.7). Logischer is de oplossing met drie velden(tig. 8). De oplossing met ??n pyloon vergtMat = 2,66 qU en die met twee pylonen1,77 qU, dus voor ??n pyloon 1,5x zoveelals voor twee pylonen. Naarmate de over-spanning in een groter aantal velden wordtverdeeld, neemt het quoti?nt toe met als li-miet 2 (fig. 9).22 CEMENT1997/19 11a 2nc. verhouding-=b n + 1? Vergelijking minimum-materiaalgebruikbij een eenzijdige (a) en een tweezijdige tui-constructie (b)4 (n - 1) 2a. qLn(n2 - 1)b. 2 - - - qUn2cb320-1------.--------.,---------.-------.--------3 5 7~ aantal velden nrInvloed van spanningsverhoudingen, ver?vormingen enz. op de tuihoekUit figuur 3 bl?kt dat de meest economischeoplossing wordt verkregen als de tuien on"der een hoek van 45- met de ligger wordenaangebracht. Dit is het geval als in alle ele-menten dezelfde spanning optreedt. Wor"den verschillende materialen met verschil-lende toelaatbare spanning toegepast, dankan de gunstige hellingshoek vari?ren.4of hulpconstructies nodig z?n die het ver-keer onder de brug belemmeren ofonmoge"I?k maken.Een tuiconstructie kan worden beschouwdals een vanaf de opleggingen uitkragendeconstructie. Dit geeft voor de uitvoering hetgrotevoordeel, datb? de bouwgeen steigersDe keuze van het aantal tuien en de invloedvan mobiele belastingenVolgens figuur 9 neemt het materiaalgebruikvan het constructieve hoofdsysteem toemet het aantal tuien. Als echter de invloedvan de buigende momenten in de hoofdlig-ger in rekening wordt gebracht, neemt hetmateriaalgebruik wel af.Echter, een brug wordt niet alleen belastdoor gel?kmatig verdeelde belastingenmaar ook door verkeersbelastingen, die inde voorschriften worden geschematiseerdals onder meer mobiele laststelsels. Een-voudigheidshalve zal hier worden volstaanmet ??n puntlast P. Naarmate qL groter is,zal de invloed van P kleiner Z?n.In de figuren 10 en 11 z?n enkele combina-ties van qL en Puitgewerkt. In een afzonder-I?k kader aan het slot van dit artikel z?n deformules voor figuur 10 afgeleid.Hoewel b? de oplossing met ??n pyloon hetmateriaalgebruik toeneemt met het aantalvelden(fig. 10), zal, alsde afnamevan hetei-gen gewicht van de hoofdligger in rekeningwordt gebracht, deze toename meestal wor"den gecompenseerd. De keuze van het aan-tal tuien zal dan door andere overwegingenworden vastgesteld, onder meer ten aan-zien van de uitvoering.876d41---------------=-----5-l--- ~~ ------~a -5--