_~~~ ~~I CONSTRUCTJEFON1WERP IBEREKENING ICONSTRUCTIEF BETON XIBEPERKEN VAN DOORBUIGING DOOR MIDDEL VANVOORSPANNINGprof.dr.ir.A.S.G.BruggelingIn de vorige aflevering van deze serie is een ligger in gewapend beton behandeld enis de scheurw?jdte, alsmede de doorbuiging bij maximale belasting berekend. Dezedoorbuiging bleek aanzienlijk te zijn. Hier zal worden aangetoond hoe, door middelvan kunstmatig belasten met behulp van voorspanning, de doorbuiging kan wordenbeheerst.Voor de grootte van cis voorgesteld[2,3]:Ge?njecteerde voorspanelementen werkenals wapeningsstavenOm dit effect in de berekening vanscheurwijdte e.d. te kunnen verdiscon-teren wordt een reductiefactor c inge~voerd, waarmee de doorsnede van hetvoorspanstaal moet worden vermenig-vuldigd teneinde de 'effectieve' wape-ningsdoorsnede in de scheurwijdtebe~rekening te kunnen bepalen.een trekstaaf van gewapend beton ookvoorspanelementen bevinden, dezelaatste een rol kunnen spelen als wape-ning wanneer de trekstaafis gescheurd.De voorspanelementen kruisen immersook deze scheuren.Indien een voorspansysteem zonderaanhechting is toegepast (VZA) vervul-len de voorspanelementen uiteraardgeen rol als 'wapening'.Gaat het echter om ge?njecteerde voor-spanelementen, dan zullen deze via deverharde injectiemortel wel hechtinghebben aan het omhullende beton.Evenwel zal een voorspanelement, metbijvoorbeeld een diameter van de om-hullingsbuis van 60 mm, veel mindergoed met het beton verbonden zijn daneen wapeningsstaaf van bijvoorbeeld12mm.Alvorens tot het e?genlijke onder-werp van deze afleveringover tegaan, zal eerst het kunstmatigvoorbelasten vaneen trekstaaf van ge-wapend beton worden besproken.Tijdsafhankelijke effectenDoor een, later op trek te belasten, ele-mentvan gewapend beton voor te span-nen, wordt een drukkracht ge?ntrodu~ceerd. Ten gevolge van krimp en kruipvan het beton en relaxatie van de span-ning in het voorspanstaal zal in de loopvan de tijd de (aanvangs)drukspanningin het beton afnemen.Uit onderzoek [1] is gebleken dat menvoor de berekening van de 'voorspan-verliezen' de invloed van de wapenings-doorsnede, op de zogenaamde tijdsaf-hankelijke herverdeling van spannin-gen, kan verwaarlozen. Het sterker af-nemen van de betondrukspanning in detijd, als gevolg van toenemen van dedrukspanning in de wapening, wordtgecompenseerd door een geringere toe-name van de betontrekspanningen bijbelasten, als gevolg van de versterkendeinvloed van de wapening. Door de in-vloedvan de wapeningin beidegevallen- tijdsafhankelijke effecten en kortston-dig belasten - niet in rekening te bren-gen, blijkt via een eenvoudige bereke-ning het werkelijke gedrag goed te be-naderen.De afname van de betondrukspanning(bij constante belasting) in de tijd,wordtdus berekend via de verliezen aan voor-spanning ten gevolge van krimp- enkruipverkorting van het ongewapendgedachte beton en de relaxatieverliezenin het voorspanstaal.Bijdrage voorspanstaal als wape-ning in de gescheurde faseHet zal duidelijk zijn dat, indien zich in52cn1 . 0 kIii 0 paantal draden in een voorspan-element. Alle draden tellen,d.w.z. per streng invullen 7diameter betonstaaldiameter voorspandraad ofvoorspanstaaf. Voor een strengdus invullen de diametervan ??nder samenstellende dradenBij voorspanning zonder aanhechting isc~ 0Iniedergeval als maximumwaarde aan-houden c ~ 1.Omdat de grootte van cnog nader on-derzoek vraagt, dient men de invloedvan cop de grootte van de scheurwijdte,de staalspanningen inde scheuretc. na tegaan. Men dient daarbij ook te beseffendat door spreiding in het aanhechtge-drag van het betonstaal ook spreiding inde scheurwijdten optreedt.Voorspanning alskunstmatige belastingDe grootte van de voorspanningNuwordt hetvoorbeeldvan de T-liggeruit de vorige aflevering (X) in deze serieweer opgepakt. Deze ligger had, ondervolbelasting en in de tijd, een grotedoorbuiging. De vraag is nu in hoeverredeze doorbuiging zou kunnen wordengereduceerd.De stijfheid van de ongescheurde liggerwas groot. Door middel van voorspan-,ning zou men de scheurbelasting kun-nen vergroten en dus tot een hogere be-lasting de ligger een grote stijfheid doenbehouden. Men kan nu varianten be-denken, waarbij de voorspanning eenrol kan spelen. Zo zou menhetvoUedigeeigen gewicht van de ligger door de op-waartse belasting ten gevolge van devoorspanning kunnen compenseren.Hier wordt aangenomen dat de ligger,in de maatgevende zone, onder eigen-gewichtsbelasting in .de uiterste vezelnog geen trekspanning mag vertonen.Hiermee kan de berekening het bestworden ge?llustreerd. De grootte van devoorspanning kan, op grond hiervan,Cement 1988 nr. 1worden bepaald, indien de ligging vande voorspanelementen in die zone be~kend is.Aanpak vanuit de maatgevende doorsnedeDe belasting door eigen gewicht is10 kN/m; in de middendoorsnede be-draagthet buigend moment ten gevolgevan het eigen gewicht 320 kNm.Van dezuiverebetondootsnedeis debo-venkernstraal119 mmoAangenomenwordt dat het hattvan hetvoorspanelement ligt op 100 mm uit deonderzijde van de ligger.Wanneer de trekspanning in de onder-ste vezeljuist nul is, bedraagt de inwen-dige hefboomsarm bij belastingdoor ei-gen gewicht:(520 - 100 + 119) ~ 539 mmHieruit volgt de grootte van de werk-voorspanning P00 in de middendoot-snede:320' 106Poo ~ 539 595 . W N ~ 595 kNControle vanuit de aanpak van voorspan-ning als kunstmatige belastingOmdatde pijlvan de boogvanhetvoor-spanelement (520 - 100) ~ 420 mm is,bedraagt de krommingsstraal van hetvoorspanelement:8 . 042 ~ 76,2m,Ten gevolge van het eigen gewichtwerkt op de ligger een belasting van 10kN/m. Door de opwaartse belastingdoor de voorspanning werkt tevens eentegenbelasting, namelijk:De resterende, naar beneden gerichtebelasting is dus groot 2,2 kN/m.Doorde centrischevoorspanning (viadeuiteinden in de ligger gevoerd) werkteen drukkracht van 595 kN. Hieruitvolgt een gemiddelde drukspanning(berekend op de zuivere betondoorsne-de) van -1,45 N/mm2? Door de belas-ting van 2,2 kN/m werkt in de onderstevezel van de middendoorsnede eentrekspanning met grootte:i 2,2 W' W ~ + 145 NI 248,8 106 , mmDe grootte van de voorspanningGekozen wordt voor een voorspanele-ment FeP 1860, opgebouwd uit 7stren-gen van elk 7 draadjes 0 p 3,6.Doorsnede 74 mm2per streng, dus 518mm2?Aanvangsstaalspanning 1395 N/mm2?De verkorting door krimp is 250 . 10-6?Het verlies aan staalspa.nning bedraagthierdoor 51 N/mm2?De verkorting door kruip van het betonten gevolge van langdurige belastingdoor eigen gewichtwordthierverwaar-loosd, omdat de zone rondom hetvoot-spanstaal nagenoeg spanningsloos is.Het spanningsverlies door relaxatie inhet voorspanstaal na 1000 uur is 60N/mm2?Totaal relaxatieverlies (YB 1974/1984art. A-201.2.3):3 . 60 . (1 - 2 . 51/1395) - 167 N/mm2Totaal verlies aan voorspanning be-draagt dus 218 N/mm2?Werkvoorspanning in het voorspan-staal:1395 - 218 ~ 1177 N/mm2een werkvoorspanning van 1150N/mm2,dus:Poo~ 595 kNDoorsnede van de normale wape-ning in de trekzoneE?n der uitgangspunten van construc-tiefbetonis datinbetonconstructies - aldan niet voorgespannen - altijd een mi-nimum doorsnede aan op aanhechtingverankerd wapeningsstaal aanwezig is.De grootte van deze minimum door-snede hangt afvan de aard van de con-structie. In dit voorbeeld zal deze door-snede circa 2 . 10-3Acbedragen, dus on-geveer800 mm2verdeeldoverde gehelebetondoorsnede.De doorsnede van de wapening in detrekzone wordt ook bepaald door degrootte van het vereiste bezwijkmo-ment van de constructie.In dit geval bedraagt dit bezwijkmo-ment1,7 . 544 ~ 925 kNmIndien wordt uitgegaan van dezelfdeligger zoals behandeld in de vorige afle-vering (X), moet, bij een inwendige hef-boomsarm van 670 mm, de bezwijk-kracht in voorspanstaal en betonstaalten minste gelijkzijn aan 1380 kN.Om-dat de in rekening te brengen bezwijk-trekkrachtinhetvoorspanstaal ten min-ste 930 kN is, dient als wapeningFeB 500 ten minste 900 mm2te wordenaangebracht. Gekozen is voor 8 0 12 ~905 mm2?Hiermee is de wapening en de voor~spanning voor dit geval bepaald. In fi-guur 11.1 is de de middendoorsnede vande ligger afgebeeld.59576,2~ 7,8kN/m In verband met wrijvingsverliezen bijhet voorspannen wordt uitgegaan van111 Doorsnede van de ligger in? veldmidden. Het gearceerdegedeelte duidt de trekstaafaan, diedoor middel van voorspanning isvoorbelast [ ??1200? ? ???- 1-. --zwaartelijnbeugels c;/lk10Cement 1988 nr. 1835FeB 500oNIJ")I.. 320 .1} I,ek,'aa'maten in mm53ICONSTRUCTIEFONTWERP IBEREKENINGDus: M - 482 kNm1,2 . 121 ~ 145 N/mm2595 + 1153 . 145 . 10-3 - 762 kN0,17 mm849kN1,33 . 116 . 220w max - 2050005440,641De maximum-scheurwijdte bedraagt,bij verwaarlozing van de bijdrage vanbeton onder trek:Het buigend moment waarbij de eerstescheur optreedt is, als gevolg van hetkunstmatig belasten, toegenomen van128 tot 463 kNm. De moment-krom-ming relatie van de voorbelaste ligger isin de figuur aangegeven met een nieuwassenkruis, met als nulpunt het bui-gend moment (ontspanmoment) vanw ~ 115 '(12 . 1452)?.85 . 10-6 -gem , .0,045mmHet gedeelte van deze trekkracht datdoor hetwapeningsstaal wordt opgeno-men, is:Maximum scheurwijdte bij volbe-lastingDe trekkracht in de trekstaafbij volbe-lasting bedraagt:849 - 595 ~ 254kNOpmerk?ng:Hierwordt niet ingegaan opde gevoeligheid van de berekening vande scheurwijdte voor de grootte van c.Dit onderwerp is behandeld in [3] voorditzelfde voorbeeld.1150 + 0,48 . 220 - 1260 N/mm2De scheurwijdte w is dan:Despanning in het wapeningsstaal is nu220 N/mm2, de spann?ng in het voor-spanstaal is groot:De gemiddelde scheurafstand is:1~'375 . 103? 0,045 ~ 116gem 145 mmDe doorbuiging bij volbelastingIn figuur 11.3 is het moment-krom-ming-diagram van deze T-ligger afge-'beeld. Tevens is in de figuur het mo-ment-kromming-diagram opgenomenvan de T-ligger in gewapend beton uitaflevering X.Men ziet in deze figuur belangrijke ver-schillen in gedrag tussen de gewapend-betonligger en deze ligger.0,4818 . 10-3734 kN1153320 . 2004630,6311150 + 0,48 . 121 - 1208 N/mm2De relatieve wapeningsdoorsnede in deverborgen trekband is groot:Scheurwijdte bij voltooid scheu-renpatroonBij voltooidscheurenpatroon is de staal-spanning:(905 + 0,48 . 518) - 1153 mm2Deinwendige hefboomsarm is 0,633 m.Omdat de voorspankracht, juist v??rscheurvorming, is aangehouden op 595kN, moet de 'gewapende'trekband eenkracht opnemen van 139 kN. De afme-ting van de betondoorsnede van de ver-borgen trekband volgt uit:Het buigend momentvolgt uit de totaletrekkracht in de trekband. De trek-kracht bedraagt:De spann?ng in het betonstaal is dus 121N/mm2; de spanning in het voorspan-staal is groot:dus a - 1,15 (zie aflevering IX)A - 139000 - 320? 200 mm2c 2,2De staaldoorsnede, die in rekeningwordt gebracht, bedraagt1 12c ~ h . 7 . 3,6(zie hiervoor)Inde berekening is uitgegaan van eenfactor cgroot:Defactor n(verhoudingelasticiteitsmo-dulus, staal en beton) is aangehouden op6,5 en de bijdrage van beton onder trekop de stijfheid op 1,45.Uit de figuur blijkt dat voor M ~ 463kN de inwendige hefboomsarm 631mm bedraagt.Daaruit volgt een trekkracht in de trek-band (trekwapening) groot:Na wat proberenvindt men a- 0,32 m,dus:De grootte van het buigend momentwaarbij de eerste scheur optreedt is dus:Poo - 595 kNocr! ~ 2,2 N/mm20cm - - 1,45 N/mm2Berekening van de staalspannin-genin de trekzone van de ligger di-rect na het optreden van .de eerstescheurOok in de gescheurde fase wordt in ditgeval de ligging van de neutrale lijn me-de bepaald door de grootte van het bui-gend moment. Daarnaast spelen ook degrootte van de voorspankracht, de stijf-heid van de trekband en de vorm van dedoorsnede een rol.Hetzou, inhet kadervan dit artikel,veelte ver voeren op de bedoelde relaties inte gaan. Daarvoor moge naar de litera-tuur [2,3] wordenverwezen. Debereke-ning is overigens betrekkelijk eenvou-dig.In figuur 11.2 is, als resultaat van dezeberekeningen, de relatie aangegeventussen buigend moment (en MIP00) ende inwendige hefboomarm (hoogtedrukzone) van de lineair-elastische fase.Men ziet uit de figuur dat in dit geval deinwendige hefboomsarm weinig vari-eert bij veranderend buigend moment.Berekening van het buigend mo-ment, waarbij de eerste scheur inde trekzone ontstaatOmdat de grootte van de voorspann?ngbekend is, kan dit buigend momenteenvoudigwordenbepaald, als de hoog-te avan de trekzone bekendis. Zie hier-toe de vorige aflevering (X). Aangeziende liggers naast buiging ook door eennormaalkracht wordt belast, zal de lig-ging van de neutrale lijn veranderen alsfunctie van dit buigend moment. Om-dat de grootte van het buigend momentmede wordt bepaald door de buigtrek-sterkte moet hier iteratief worden ge-werkt om de goede oplossing te vinden.Gevonden wordt:0cr,fl ~ (0,8 + 0,26 a-O?6) ? 2,2- 2,9N/mm2Mer -595, 103 . (520 - 100 + 119) +2,9 . 48,8 . 106Mer -463? 106Nmm- 463 kNmBepaling van descheurwijdten en dedoorbuiging54 Cement 1988 nr. 1Relatie tussen buigend moment en inwendigehefboomsarm in de voorbelaste ligger:1M(kNmlassenkruis met als nulpunt het ontspanmoment, maakt deinvloed van de voorbelasting du?delijk8050hx(mml65 J358!l71482 544~T~1/V1V 11/ In=6.5a.t.s =1/.5641 177/1200633I631 215635645205630 2200.84 1D1 1.18 1.34 1.51655640M(kNml-660 500 600 700 800 900 20t 650z (rom)11.211 3 rechtsboven: Moment-krommings-diagram van de? ? voorbelaste ligger.Ter vergelijking is ook de moment-krommings-relatie vande ligger zonder voorspanning aangegeven. Het verschoven11 4 rechtsonder: Krommingsverdeling over de? ? liggerlengte, bij volbelasting, zowel voor devoorbelaste lig~er (lijn 2) als voor de ligger zondervoorspanning tlijn 1)320 kNm. Het gedeelte van hetdiagramdaaronder is in feite de invloed van devoorbelasting.Menziet uitde figuur ookzeerduidelijkdatin de gescheurdefase de stijfheidvanvoorbelaste ligger belangrijk minder isdan die van de gewapend-betonliggeruit het vorige voorbeeld. Deze laatstehad immers een belangrijk groteredoorsnede aan trekwapening.Opmerking: Voor de berekening van hetvloeimoment is in het moment-krom-ming-diagram aangehouden c~ 1. Hetvoorspanstaal bereikt dus een staalspan-ning van 1650 N/mm2?In figuur 11.4 is ter vergelijking dekrommingsverdeling over de ligger-lengte bij volbelasting afgebeeld, zowelvan de gewapend-betonligger van hetvorige voorbeeld als de voorbelaste lig-ger.Men ziet uit de figuur dat de gewapend-betonligger nagenoeg over de gehelelengte een gescheurde trekzone heeftendeze deels voorgespannen ligger slechtsover 2 x 3 meter.DoorbuigingMet behulp van deze figuur kan dedoorbuiging onder kortstondige belas-ting worden berekend. Men vindt eenwaarde van 42 mmo Ook kruip- enkrimpinvloedenzulleninditgeval min-der sterk uitmonden in doorbuiging,zodat de totale doorbuiging, inclusiefdie tengevolge van tijdsafhankelijke ef-fecten circa 55 tum zal bedragen.Ook deze doorbuiging blijft relatiefgroot. De figuren 11.3 en 11,4 makenduidelijk waarom men nog zo'n grotedoorbuiging bij volbelasting vindt. Devoorbelaste ligger wordt door scheur-vorming belangrijk minder stijfdan deoorspronkelijke ligger van gewapendbeton.Op grond van dit inzicht kan men nueen beslissing nemen ofmen de gekozenoplossing kan aanvaarden.Wanneer de maximale belasting weinigzal optreden, zijn bij die belasting detijdsafhankelijke effecten niet van be-lang.Na ontlasten zal - door de voorspan-ning - de oorspronkelijke stijfheid vande ligger worden hersteld. In dat gevalzou de gekozen oplossing aanvaardbaarzijn.Is de doorbuiging bij volbelasting echterte groot, dan verdient het aanbevelingde kunstmatige belasting door voor-spanning zodanig te verhogen dat bijvolbelasting nog juist een eerste scheuroptreedt. De doorsnede van de beton-staalwapening kan dan worden geredu-ceerd omdatde doorsnedevan hetvoor-spanstaal toeneemt. De minimum ver~eiste doorsnede aan betonstaal moetevenwel in acht worden genomen.Het zal nu duidelijk zijn hoe men zelfmet deze aanpak tot goede oplossingenkan komen.SamenvattingAande handvaneenvoorbeeld is duide-lijk gemaakt op welke wijze men voor-spanning in de dimensionering van lig-gers inconstructiefbetonkan opnemen.Uiteraard is ??n oplossing aangegevenen is de theorie slechts beknopt behan-deld. Ookis niet ingegaan op invloedenvan aanvangsvoorspanning (opbuiging)op de vervormingvan de ligger.Met deze aanpak is het nu mogelijk omscheurwijdte, doorbuiging en sterktevanuit een consistent model te bepalen.Literatuur1. AS.G.Bruggeling, Towards a simplemethod ofanalysis for partial prestres-sed concrete; Research report 5-82-b16,University ofTechnologyofDelft, 19822.AS.G.Bruggeling, Theorieen praktijkvan hetvoorgespannen beton, ProfessorBakkerfonds 19823.AS.G.Bruggeling, Structural Concre-te - Science to Practice; Heron 1987, Vol.32,No.2Cement 1988 nr. 1 55