82 cement 2007 8opinie82 cement 2006 71501501700150150700 300280400NokTanda)b)c)d)Tandconstructies boeien mijomdat er in mijn groep veel overis nagedacht toen Pierre Hoog-enboom in de jaren `90 zijn doc-torsgraad haalde met het ontwik-kelen van het programmaSpanCad voor dit soort proble-men [2]. Ook wij waren natuur-lijk niet de eersten die met ditprobleem hebben gestoeid. InDuitsland was toen al menigeproef uitgevoerd en een uitvoe-rige DAfStb-publicatie met resul-taten is beschikbaar[3]. Leonard[4] heeft er in zijn collegedictaatook aandacht aan besteed.De tand hoeft niet onder te doenvoor de nok als de ophangwape-ning aan beide einden goed isverankerd. Dat kan door die uitte voeren in de vorm van geslo-ten beugels (fig. 2a) zoals ook decommissie VB 20 onderstreeptin het bijschrift bij het derdeartikel van Cees. Je kunt de con-structie ook sterk genoeg makendoor de vertikaal naar bovengebogen onderwapening voort tezetten in de tand, zodat eenZ-vormige wapening ontstaat(fig. 2b). Ik denk dat het ook eenwerkbaar alternatief is om hetopgebogen verticale deel aan debovenkant een T-eind te geven(fig. 2c).In al deze opties zal een schuinescheur optreden vanuit deinspringende hoek, zeker in deUGT maar waarschijnlijk ook alin de BGT. Het lijkt me eenijdele hoop deze scheur tebeheersen met de scheurwijdte-formules uit de voorschriften.Die zijn helemaal niet ontwik-keld voor dit dominante scheur-type. De sympathiekste scheur-wijdte krijgen we door eenschuin opgebogen wapening toete passen als geschetst infiguur 2d.L a a t c o n s t r u c t e u r sm e e d e n k e nEerst een bekentenis. Ik hebnogal moeite om al de somme-tjes van Cees te volgen. Onge-twijfeld maakt hij ze volgens deregels der kunst, maar wat eengedoe met al die co?ffici?ntenvan NEN 6720. Bewonderingvoor de constructeur die snaptwat achter al dat getalgegoochelschuilgaat en nog gevoel over-houdt voor de krachtswerking inde constructie. Het voorschriftlaat ons denken in termen van1, 2en d, werken met de slank-heid v, vraagt ons de groothe-den g, ken khte hanteren engeeft ons cryptische formulesom die grootheden te berekenen.De voorschriftschrijver heeft ditde constructeur aangereikt metde welgemeende bedoeling omhet gemakkelijk te maken.Het komt mij voor dat het voor-schrift primair is opgesteld voorslanke liggers van constantehoogte in het ongestoorde balk-gebied en dat de aanpak vervol-gens ook geschikt gemaakt isvoor gedrongen liggers,wederom van constante hoogte.Een constructeur moet dan nietverwachten dat je dit klakkelooskunt toepassen op een balkdeelwaarin het klassieke beeld vanmomenten en dwarskrachtengestoord is, zoals bij tandcon-structies het geval is. Daarintreedt een andere spanningstoe-stand op die niet is te vergelijkenmet de krachtsverdeling in eenongestoorde balk. Het voor-schrift treft daarom geen schuld.Het voorschrift lijkt me gewoonniet ontwikkeld voor tandcon-structies, zeker niet in eersteinstantie. Oppassen dus met(klakkeloos) aanwenden. De con-structeur zou veel liever zelfmoeten nadenken, goed lettenop evenwicht en voor een pas-sende detaillering zorgen. Alssimpele beoefenaar van toege-paste mechanica lijkt me dit eenveel betere weg. Van mij had decommissie VC20 dit ook mogenzeggen in het naschrift.Ik wil met de lezer nagaan wateen beetje evenwichtsbeschou-wing oplevert voor de tandcon-structie en stel me voor om datop twee verschillende manierente doen. We doen het eerst meteen eenvoudig vakwerkmodelle-tje en daarna met een zoge-naamd staaf-paneelmodel. Inbeide gevallen is het zaak eerstvast te stellen welk deel van deAlternatieve gedachten van de zijlijnCees' tandtechniek1 |Proefopstelling van Kleinman voor tand (links) en nok (rechts)2 |Mogelijke wapeningsschema's vooreen tandoplegging (beugels en haar-spelden zijn niet getekend)prof.dr.ir. J. Blaauwendraad, emeritus hoogleraar Toegepaste mecha-nica, TU DelftMet grote belangstelling heb ik de serie artikelen gevolgd die onzeEindhovense collega Cees Kleinman publiceert over het verstandig ont-werpen van tandconstructies als oplegdetail van balken in gewapendbeton [1]. Kennelijk is hij in zijn praktijk veel oplegconstructies tegenge-komen die niet bestand zijn tegen aan-de-tand-voelen. We menen allente weten dat de tand even sterk is als een nok, maar de werkelijkheid paktanders uit. Hij heeft dat aangetoond met de proefopstelling van figuur 1met links een tand en rechts een nok. Ik begrijp dat Cees ontwerpenonder ogen krijgt waarin de wapening verkeerd wordt gekozen en hij wilzijn ongerustheid met ons delen. De verticaal opgebogen wapeningwordt dan als horizontale U-wapening teruggebogen de balk in. Het isgoed dat hij ons nog eens met de neus op dit fenomeen drukt en laat ziendat een verkeerd gekozen wapening niet goed kan functioneren. Ja, jekunt de tand uitrekenen als nok, maar alleen met de juiste wapenings-vorm. Ik zie dan ook uit naar zijn in het vooruitzicht gestelde inzichtenvoor het wapenen en detailleren van de tandconstructie. Voor mij zijn dedrie verschenen artikelen een welkome aanleiding om een aantal alterna-tieve gedachten met de lezer te wisselen. Het zou me niet verbazen alsmijn oprispingen uitpakken als steuntje-in-de-rug voor de aanbevelingendie nog in het vat zitten.cement 2006 7 83berichtenc)b)a)280400150 1507001,17 F1,17 FF600F1,17 F1,17 FFF1,17 F1,17 FFF200400467233200400467233DaDcDa DbDcc)b)a)280400150 1507001,17 F1,17 FF600F1,17 F1,17 FFF1,17 F1,17 FFF200400467233200400467233cbacabalk met de tand wordt meege-rekend als gestoord gebied envervolgens op dit gestoordegebied een belasting te bepalendie een evenwichtssysteemvormt.V a k w e r k m o d e lWe beschouwen een symme-trisch belaste balk onder sym-metrische belasting zoals isgetekend in het linkerdeel vanfiguur 1. De belasting bestaatuit twee puntlasten F. In hetmiddengebied tussen de punt-lasten ? 600 mm lang ? treedtzuivere buiging op, maar detwee eindzones tussen puntlasten oplegging ? elke zone700 mm lang ? zullen gestoordzijn. In het middengebied metzuivere buiging heerst een con-stant moment met een druk-kracht D in de drukzone en eentrekkracht T in de trekzone. Detrekzone valt samen met deonderwapening en de werklijnvan de drukkracht kiezen we inhet centrum van een verstandiggekozen drukzone. We makenhet vakwerk dus voor degescheurde toestand.Bij mijn keuze wordt de hef-boomsarm tussen de druk- entrekzone 600 mm en hebbenzowel D als T in absolutewaarde de grootte 1,17 F.Hiermee ligt de belasting op degestoorde zone vast en dezebelasting vormt een evenwichts-systeem (fig. 3a). De krachtsver-deling in deze zone onderzoe-ken we met behulp van eenvakwerk. Het meest eenvoudigeen triviale vakwerk dat bij debelasting past is getekend infiguur 3b. De hartlijn van deophangwapening is daarbij opbasis van ervaring gekozen opeen afstand tussen 80 en85 mm, zeg 83 mm van hetvrije balkeind. Die afstand gaatuit van een dekking van enkelecentimeters en de verwachtingdat een paar beugels wordengebruikt voor het realiseren vande ophangwapening.De drie diagonalen Da, Dben Dcnemen de dwarskracht op,waarbij Daevident de vollekracht F krijgt toebedeeld en Dben Dcsamen een kracht Fmoeten opnemen. De vraag ishoe de verdeling over Dben Dczal zijn. Het vakwerk is statischbepaald, dus er is maar ??noplossing. Het blijkt dat dekracht Dbbij de gekozen geo-metrie juist nul wordt. Die dia-gonaal is dus een nulstaaf,zodat de volledige dwarskrachtF wordt opgenomen door diago-naal Dc. Het krachtenspel kanin zijn kern worden terugge-bracht tot figuur 3c. Het wordtzo eenvoudig, omdat in hetgekozen vakwerk de diagonalenDaen Dcjuist evenwijdig lopen.Als de geometrie enigszinsanders is, zodat de hellingenvan deze diagonalen een beetjeverschillen, zal de staaf Dbnietlanger een nulstaaf zijn, maarkan het een drukstaaf of eentrekstaaf worden. Als het eendrukstaaf is, gaat een klein deelvan de dwarskracht door de`bovenbalk', maar nog steedswordt het overgrote deel van dedwarskracht opgenomen in de`onderbalk'. Als het een trek-staaf wordt, vervangen we hemdoor de andere diagonaal in hetbewuste veldje, die dan weerdrukstaaf wordt. In dat gevalwordt de dwarskracht in de`onderbalk' zelfs iets groter danF.Voor de proefopstelling dieCees in Cement bespreekt kanmen veilig stellen dat 100% vande dwarskracht wordt opgeno-men in de `onderbalk'. Omredenen van evenwicht kan datniet anders.S t a a f - p a n e e l m o d e lEen vakwerk is maar eenvakwerk, weet de constructieervan dat hij zich als vakwerkmoet gedragen? Om deze vraagte beantwoorden bekijken wehetzelfde probleem nog eensmet een heel ander model zoalsis getekend in figuur 4.Dit model bestaat uit staven enpanelen. De staven (in hetEngels `stringers') in hetgekozen staaf-paneelmodelkunnen uitsluitend normaal-krachten opnemen en depanelen (`panels') alleen schuif-krachten. Het modelleren vantweedimensionale problemenvan gescheurd beton met strin-gers en panels is ge?ntrodu-ceerd door de befaamde collegaM.P. Nielsen uit Kopenhagen inzijn boek `Limit Analysis andConcrete Plasticity' [5].De normaalkracht N in eenstaaf kan zowel trek als drukzijn. Binnen een paneel is deschuifspanning constant (dusook de schuifkracht nxy= h,waarin h de dikte is). Depanelen passen in het orthogo-nale rooster van de staven enzijn daaraan schuifvast verbon-den. De staven worden dus overhun lengte belast door een con-stante schuifstroom, met hetgevolg dat de normaalkrachtlineair verloopt.In figuur 4 komen drie schuif-panelen voor, dus drie verschil-lende schuifspanningen a, ben c, en het probleem is sta-tisch bepaald. De normaal-krachten N en de schuifspan-ningen kunnen geheel opgrond van evenwicht wordenbepaald en er is maar ??n even-wichtsoplossing mogelijk. Die3 |TU/e-proef met vakwerkmodel. Belasting (a),startvakwerk (b), eindvakwerk (c).4 |TU/e-proef met staaf-paneelmodel. Belasting (a),startmodel (b), eindmodel (c).84 cement 2007 8opiniea)1,17 F1,17 F1,17 F1,17 F1,17 F1,17 FFFFFFFb)1,17 F1,17 F1,17 FFFFFF1,08V - 0,48H1,08V + 0,48H84034034020160 220 460630330300VHVis door enig puzzelen gemakke-lijk te vinden. Het resultaat isdat bnul wordt, net als diago-naalkracht Dbin het vakwerkmo-del. In figuur 5a zijn de schuif-krachten getekend als deschuifstroom langs de paneel-rand wordt ge?ntegreerd. De bij-behorende normaalkrachtenstaan in figuur 5b, waarbij dedikte van de lijn een maat isvoor de grootte van de normaal-kracht. Drukkrachten zijn groenen trekkrachten rood.Ook nu geldt dat bij een geringewijziging van de geometrie deschuifspanning bin de `boven-balk' van nul zal afwijken, maarweer blijft deze zeer klein verge-leken met de schuifspanning conderin de balk. Ook het schuif-paneelmodel leert dus dat de`onderbalk' bij de gegeven belas-ting alle dwarskracht moetopnemen.W a p e n i n gZowel de uitkomsten van hetvakwerkmodel als het staaf-paneelmodel laten zich vertalentot een wapeningschema. Webeperken ons in dit artikel toteen aanzet voor die wapening,laten het maken van echte som-metjes over aan de verbeeldingvan de lezer en doen een enander alleen voor het staaf-paneelmodel.Waar een trekkracht optreedt ineen staaf, leggen we een gecon-centreerde wapening of bundelvan wapeningstaven (fig. 6).Bedenk dat de staven getekendzijn zonder de extra lengte voorverankering. Voor de ophangwa-pening is deze keer een Z-wape-ning verondersteld.In de tand en in de `onderbalk'is schuifwapening nodig vooreen schuifstroom nxy= ah res-pectievelijk ch [eenheid kN/m].Het wapeningnet wordt zowel inhorizontale als in verticale rich-ting gedimensioneerd op |nxy|,waarvoor wordt verwezen naarde Eurocode 2. Dit net kan verti-caal uit beugels bestaan en hori-zontaal uit haarspelden. Schets-matig is de zo verkregenwapening aangegeven infiguur 6. De figuur geeft weerwaar wapening theoretischnodig is. Een praktisch wape-ningnet, waarbij de verdeeldebeugels en haarspelden (deels)kunnen worden doorgetrokkenin de `bovenbalk', laat zich opbasis hiervan gemakkelijk vast-stellen.Als we waren uitgegaan van hetvakwerkmodel, zou dezelfdegeconcentreerde wapeningworden gevonden. Voor de ver-deelde wapening hadden we daneen verstandige praktischekeuze moeten maken. De speci-ale uitgave van PCI over ditonderwerp is dan een goedegids [6].T o e p a s s i n g o pr e k e n v o o r b e e l dHet is interessant om het staaf-paneelmodel nu toe te passenop het rekenvoorbeeld uitCement 2004, nr. 5 dat Kleinmanook uitvoerig behandelt [7]. Indit rekenvoorbeeld heeft deredactiecommissie, die voor deartikelenreeks `Berekenen endetailleren van betonconstruc-ties' alle opgaven heeft geformu-leerd, slechts de oplegreactiesgegeven en daarbij in hetmidden gelaten welke belastingop de balk staat. Er is sprake vaneen verticale oplegdruk met derekenwaarde V = 210,0 kN eneen horizontale trekreactie metde rekenwaarde H = 22,5 kN.We zullen niet ver mistasten alswe veronderstellen dat de verti-cale oplegreactie bij een ver-deelde belasting hoort.In en direct naast de tand is dekrachtswerking weer gestoord.Buiten dit gestoorde gebiedkunnen we op de gebruikelijkewijze werken met de momen-ten- en dwarskrachtenlijn. Infiguur 7 is de geometrie van hetgestoorde gebied getekend en deevenwichtsbelasting hierop. Wemoeten een verstandige keuzemaken voor de snede waar hetgestoorde gebied ophoudt. Diesnede hebben we zo gekozendat het paneel in de onderbalkvierkant wordt. De gedachtehierachter is dat een verstoringvolgens het principe van DeSaint-Venant niet meer merk-baar is op een afstand gelijk aande onregelmatigheid in de geo-metrie. Die onregelmatigheid ishier de plotselinge verjongingvan de balk. In de verticalesnede tussen het gestoorde enongestoorde gebied treedt eenkrachtsverdeling op conform degangbare theorie voor een balkvan gewapend beton.Als je de krachtswerking een-voudig houdt, wekt het buigendmoment krachten in de trek- endrukzone op en geeft de dwars-kracht een constante schuifspan-ning over de hoogte tussen trek-en drukzone. Doe je het netter,dan ga je over de hoogte uit vandrukdiagonaaltjes onder 45?,waardoor niet alleen een neer-waartse constante schuifspan-ning optreedt, maar ook een ver-deelde constante drukspanning,5 |Uitkomst van staaf-paneelmodel. Schuifkracht langs paneelranden (a) ennormaalkracht in staven (b). Rood is trek, groen is druk.6 |Posities waar de theorie omwapening vraagt7 |Rekenvoorbeeld uit Cement 2004 met evenwichtsbelastingcement 2007 8 85opiniecba226,7220680460630226,7210,0210,00270360cb10,722068046063011,827,55,027036011,811,810,727,55,015,711,8 11,811,8 11,815,711,811,8 11,811,827,510,75,0226,722,216,7 16,7226,7 226,722,2248,9210 210248,9226,7210226,7 226,712090a)b)248,9 226,7106,7210226,7248,9226,7a)b)a)b)a)b)die we dan moeten compense-ren met trekkrachten in dedruk- en trekzone. Ik heb hiervoor de eenvoudige aanpakgekozen, omdat die het makke-lijkst past in het concept van hetstaaf-paneelmodel en het voorde eindconclusie niet veel uit-maakt.We splitsen de belasting vanfiguur 7 voor een beter begrip intwee gevallen, een H-geval voorde horizontale belasting en eenV-geval voor de verticale belas-ting. Het staaf-paneelmodel metde belasting voor de remkrachtH is getekend in figuur 8a envoor de verticale belasting V infiguur 8b. Omdat de werklijnvan de horizontale oplegreactieH niet samenvalt met de onder-wapening van de tand, is H ver-vangen door twee krachten diede oplegreactie als resultantehebben. In het V-geval geeft dedwarskracht van 210 kN in hetongestoorde balkdeel een con-stante schuifspanning over dehoogte. We splitsen die dwars-kracht in een deel 90 kN dataangrijpt op de verticale boven-staaf en een deel 120 kN op deverticale onderstaaf.Zowel het H-geval als hetV-geval hebben een belasting dieeen evenwichtssysteem vormt.De uitkomsten voor het H-gevalstaan in figuur 9 en voor hetV-geval in figuur 10. We zien dat??k de remkracht H leidt tot eentrekkracht in de ophangwape-ning en wel 11,8 kN, praktischde helft van de remkracht22,5 kN. Bij de verticale belas-ting V zien we opnieuw dat deonderbalk het overgrote deel vande dwarskracht overbrengt en dekracht in de ophangwapening(226,7 kN) zelfs groter wordtdan de oplegreactie van210,0 kN. Samen met de invloedvan de remkracht wordt dekracht in de ophangwapening11,8 + 226,7 = 238,5 kN, ofwel14% meer dan de grootte van deoplegreactie. Wie een vakwerk-model verkiest boven het staaf-paneelmodel, kan de panelenvervangen door een drukdiago-naal en zal een vergelijkbare uit-komst vinden.Tot slot nog een opmerking overdetaillering. In het staaf-paneel-model begint de kracht onderinde ophangwapening met dewaarde nul en hij eindigt weermet nul bovenin. De construc-teur doet er verstandig aan tochvoor een goede verankering tezorgen. Dat blijft belangrijk. Ditgeldt ook voor de be?indigingvan de horizontale staven.C o n c l u s i eEen tandoplegging moet liefstworden behandeld als eengestoorde zone. Zo'n construc-tiedeel zouden we bij voorkeurniet moeten dimensioneren metde formules van NEN 6720,maar beschouwen als een schijf-probleem. Het is belangrijk omsteeds eerst een goed belasting-stelsel vast te stellen, dat eenevenwichtssysteem vormt. Eenbeschouwing met een vakwerk-model of een staaf-paneelmodelis vervolgens een geschiktewerkwijze om de krachtsverde-ling duidelijk te maken. Hetblijkt dan vanzelf hoe men moetwapenen en waar een door-dachte detaillering nodig is.In het gestoorde gebied neemtde `onderbalk' de dwarskrachtop en de ophangwapening moetde volledige oplegreactie kunnenoverbrengen. De kracht in deophangwapening kan zelfsgroter worden dan de oplegreac-tie, zeker als ook een horizontale(rem)kracht optreedt of wordtverondersteld.Dit alles komen we te wetendoor gewoon onze kennislaatjesvan toegepaste mechanica opente trekken. Als de constructeuralle hoop op het voorschrift laatvaren, is er grote verwachtingvoor een veilige constructie. Laathem/haar gewoon elementairestatica bedrijven en attent zijnop goede detaillering. Elk bouw-en woningtoezicht zal dat tochtoejuichen?L i t e r a t u u r1 Kleinman, C.S., Nokken metdie Tanden! Cement 2006 en2007.2 Hoogenboom, P.C.J., Designof Structural Concrete Walls,TU Delft 1998.3 Deutscher Ausschuss f?rStahlbeton (DAfStb).4 Leonard, F., Vorlesungen?ber Massivbau, deel III,hoofdstuk 13.5 Nielsen, M.P., Limit Analy-sis and Concrete Plasticity,2e editie, CRC Press, Kopen-hagen 1999.6 Schlaich, J., Schaefer, K.,Jennewein, M., Toward aConsistent Design of Struc-tural Concrete, SpecialReport, PCI Journal, May/June, Vol. 32, No 3, 1987.7 Middeldorp, A. en P. Lagen-dijk, Berekenen en detaille-ren van betonconstructies(3); Korte console en tandop-legging. Cement 2004, nr 5.10 | Uitkomst van staaf-paneelmodel voor het V-geval(Let op: andere schaal dan figuur 9)8 |Uitsplitsing van rekenvoorbeeld in een H-geval (a)en een V-geval (b)9 | Uitkomst van staaf-paneelmodel voor hetH-geval