Grafiek voor het bepaleo vao dewapening en spanningen bij opbuiging belaste betonconstructiesdoor N. VisserDeze grafiek heeft het voordeel, dat.praktisch alle voorkomendebetonberekeningen van op buiging belaste betonconstructies op een-voudige manier kunnen worden opgelost.Ondanks de veelzijdigheid van deze grafiek is het geheel overzichtelijk.1. Doel van de grafiek:a. het bepalen van de hoeveelheid wapening voor platen enrechthoekige balken;b. het bepalen van de hoeveelheid wapening en flensbreedte bijT-balken;het bepalen van de spanningen in beton en wapening bij gege-ven afmetingen.Om de grafiek zo volledig mogelijk te maken is een rondstaaltabeltoegevoegd.Bij de samenstelling van de grafiek is uitgegaan van het verhou-dingsgetal Ey :Eb = 15 en van stadium II, waarbij het beton geentrek opneemt.De hoogten en breedten van balken en vloeren zijn uitgedrukt incm, de momenten in kg/cm en de spanningen in kg/cm2.2. Gebruik van de grafiekAlvorens tot het gebruik van de grafiek over te gaan, dienen eerstde afmetingen aangenomen en het moment van de constructieberekend te worden.Voor rechthoekige platen en balken wordt de formuleuitgewerkt en wordt Y aangenomen.Hierna wordt in de grafiek de lijn (overeenkomende met diewelke is aangenomen) gevolgd, tot deze de berekende lijn snijdt.Wanneer niet precies door een lijn is aangegeven, wordt dewaarde van tussen de twee dichtst bijkomende waarden geschat.Loodrecht boven dit snijpunt lezen wij dan op de bovenste lijnb af en horizontaal naar links onder het nulpunt de waarde x.In de grafiek is vanuit het nulpunt (boven links) een krommelijn schuin naar beneden rechts getrokken, de zgn. fY-kromme.Gaan we nu vanuit het snijpunt van de lijnen Y en een lijnhorizontaal naar links trekken, dan lezen we loodrecht onder hetsnijpunt van deze lijn met de fy-kromme op de onderste lijn vande grafiek het benodigde wapeningspercentage af.Omgekeerd zijn de spanningen te bepalen bij gegeven moment,afmetingen en wapening.hetsnijpunt met de fy-kromme en vervolgens vanuit dit snijpuntnaar rechts doorgetrokken tot het snijpunt metde uitgerekende geeft direkt de Y aan en loodrecht naar boven de betonspanning.Voor het berekenen van T-balken is aan de linkerkant van degrafiek een kromme lijn vanuit het nulpunt naar beneden linksgetrokken, welke op de grafiek is aangeduid met h-o-z-kromme.Deze lijn dient om op eenvoudige manier het zwaartepunt van detrapeziumvormige doorsnede van de betondrukspanning in deflens te bepalen.Uitgaande van aangenomen Y en b wordt op de eerder om-schreven wijze bepaald en de flensdikte omgerekend in eenwaarde = 0,... X (h--a)?Vanuit trekken we een lijn naar het punt T.P. en zetten deberekende flensdikte onder de bovenste lijn uit.Vanuit het snijpunt wordt een loodlijn naar beneden getrokkentot de eerder genoemde kromme lijn en we lezen horizontaal vandit punt de waarde h--z af, waardoor dus ook de waarde bekendis.Voor het bepalen van de betondrukspanning aan onderkant flenstrekken we vanuit een lijn schuin naar boven tot op de bovenstelijn het snijpunt met de aangenomen b? waarna het snijpunt metonderkant flens de betonspanning boven dit punt aangeeft.Noemen we de betonspanning aan onderkant flens b'. dan is deverdere bewerking eenvoudig.Bijlage van CEMENT 9 (1957) Nr. 5-6Voor het zuiver aflezen van de grafiek kan zowel een horizontale als een vertikale lijnenverdeling worden aangebracht.Afdrukken van deze grafiek op mm-papier zijn te verkrijgen door storting van f 1,50 per exemplaar op giro 342366 t.n.v. N. V i s s e r te Voorburg.Oplossing: Volgen we de lijn Y = 1400 kg/cm2tot de kromme lijn = 8,55 (dus iets onder 8,5), dan vinden we loodrecht bovendit snijpunt at = 53,5 kg/cm2.Trekken we uit het snijpunt een lijn horizontaal naar links, dankrijgen we eerst een doorsnijding met de fy-kromme in de grafieken verder een snijding met de loodlijn onder het nulpunt. Ditsnijpunt geeft aan = 0,365 ? (h--a) = 0,365 ? 14,5 = 5,28 cm ;loodrecht onder het snijpunt met de f^-kromme wordt op deonderste lijn gevonden: fy = 0,7 100*45\100= 10,15 cm2.2. Gegeven. EenT-balk van 25x75cm meteenflensdikte van I5cmmoet opnemen een moment van 3 250 000 kgcm.Flensdikte = 15 cm h--o = 71 cmQy = 1400 kg/cm2ab = 70 kg/cm2Gevraagd: vereiste wapening en flensbreedte.Oplossing. De kromme lijn Y volgend tot loodrecht onderaf, == 70 kg/cm2zien we links van dit snijpunt = 0,429 ? (h--).Vanuit dit punt trekken we een schuine lijn links naar bovennaar het punt T.P.De flensdikte = 15 cm = (h--o) = 0,211 (--).Evenwijdig met de bovenste lijn trekken we een horizontale lijndoor y = 0,21 I ?(h--). Uit dit snijpunt van de genoemde tweelijnen trekken we een lijn vertikaal naar beneden tot de h-a-z-kromme, waarna we horizontaal links van dit snijpunt aflezenh--z = 0,455 y (y = flensdikte = 15 cm), waaruit volgt: = h -- --0,445 15 = 64,3 cmM 3 250 000 ,,. ,fv = = = 36,2 cm-* ay.z 1400x64,3Om de vereiste flensbreedte te kunnen bepalen, moet eerst debetonspanning b' aan de onderkant flens bekend zijn.Hiervoor trekken we vanuit het punt = 0,429 ? (h--) een lijnnaar b = 70 kg/cm2.Boven het snijpunt van deze lijn met de flensdikte = 0,211 ?(h--o)lezen we af: b'-- 34,5 kg/cm2.MDe vereiste flensbreedte =-------------------- -- =Vsteb + ab'by-z2X3 250000= ------------------------------------ = 59 cm(70 +34,5) 15x64,33. Gegeven. Bovengenoemde balk heeft een aanwezige flens-breedte van 150 cm.Gevraagd: bende min. wapening.Oplossing. We bepalen eerst globaal de waarde z.Bij dunne platen nemen we hiervoor h--a--?y en voor dikkereplaten iets meer, maar altijd kleiner dan h----1/3 ? daar voor1l3y de onderkant van de flens in de neutrale as zou liggen en debalk als rechthoekige balk, met b = de flensbreedte, kan wordenberekend. Voor bovengenoemde T-balk nemen we aan: = 71 --6,5 = 64,5 cm_ . ,,, 2 3 250 000flensbreedte = 150 cm =-----------------------------------------(fffc + Ob') X 15 64,5waaruit y2 (,, + ab) = -J^^-.^ = 22,4 kg/cm2Deze gemiddelde spanning zetten we op de halve flensdikte van-uit de loodlijn onder 0 naar rechts uit.Vervolgens nemen we een doorzichtige liniaal of driehoek, leggendeze langs dit punt en draaien haar zo, dat een loodlijn uit hetsnijpunt met de bovenste lijn de kromme lijn y = 1400 kg/cm2op dezelfde hoogte snijdt als de liniaal de x-lijn onder 0. In ditgeval dus bij ab = 35,6 kg/cm2; b' = 9,2 cm2en x = 0,275 ? (h-a).Vanuit = 0,275 ? (h -- o) trekken we een lijn naar het punt T.P.en uit het snijpunt van deze lijn met onderkant flens een loodlijnnaar beneden tot de h-a-z-kromme.Links van dit punt lezen we dan af:h-a-z = 0,394 ? 15 = 5,9 cmz = 71 --5,9 = 65,1 cm, 3 250 000 ... .,f,, = ------------- = 34,6 cm-r1400x65,14. Gegeven. Een rechthoekige balk van 25x75 cm moet opnemeneen moment van 2 000 000 kgcm.ay = 1400 kg/cm2ob = 70 kg/cm2 = a' = 4 cm; h-- =71 cm; h----'= 67 cm4a = ------- (h--a) = 0,056 (h--a)Gevraagd: de betonspanning en de wapening.Oplossing. We bepalen eerst het op te nemen moment door dedoorsnede met y = 1400 kg/cm2en b = 70 kg/cm2.Het snijpunt van de kromme y = 1400 kg/cm2en de loodlijnonder ab = 70 kg/cm2geeft aan = 12,75, waaruit volgt, dat debalk bij bovengenoemde spanningen een moment kan opnemenvan I2,75x25x7l2= I 625 000 kgcm. Het resterend moment == 2 000 000 -- I 625 000 = 375 000 kgcm.We bepalen fy eerst voor het moment van I 625 000 kgcm, als bijde vorige voorbeelden = 1,08 ' vermeerderd met het100resterend moment gedeeld door y X ( -- -- ');de drukspanning in de wapening kunnen we ook bepalen doorvanuit het punt = 0,429x(h--a) een lijn schuin naar boven tetrekken naar het punt b = 70 kg/cm2.Zetten we onder de bovenlijn nu weer o' = 0,056 (h--) uit,dan lezen we boven het snijpunt van de twee lijnen af aj, = 61kg/cm2. De drukspanning in het staal wordt op die hoogte dus15?61 = 915 kg/cm2.5. Gegeven. Als laatste voorbeeld zullen we nemen een recht-hoekige balk van 30?85 cm, aanwezige wapening fy = 18 cm2,=5 cm, op te nemen moment M = I 500 000 kgcm.Gevraagd: y en b, te bepalen.We trekken een lijn uit 0,75 . loodrecht naar boven tot de fy-kromme. Vanuit dit snijpunt trekken we een lijn naar rechts tothet snijpunt met = 7,85 en vinden boven dit punt = 48kg/cm2en y = 1200 kg/cm2.Graph for determining the reinforcing andtensioning of constructions loaded forbendingby N. VisserThe author has devised a graph whereby calcula-tions of concrete constructions loaded for bendingcan be carried out in a simple manner. The use ofthe graph is explained and clarified wich examplesof (a) the amount of reinforcement required forplates and rectangular beams, (b) the amount ofreinforcement for and che flange-width of T-beams, and (c) the concrete and steel tensions forgiven dimensions.Graphique servant ? la d?termination del'armature et des tensions dans les construc-tions ? charge de flexionpar N. VisserL'auceur a con?u un graphique permettant lescalculs simples des constructions en b?ton pr?-voyant une charge ? flexion. L'emploi du graphiqueest ?lucid? et illustr? au moyen d'exemples de d?-termination (a) de la quantit? d'armature n?ces-saire pour des dalles er des poutres rectangu-laires, (b) de la quantit? d'armature et de la lar-geur des brides n?cessaire pour les profil?s, (c) destensions du b?ton et de l'acier pour certainesdimensions donn?es.Diagramm zur Bestimmung der Bewehrungund der Spannungen von auf Biegung bean-spruchten Konstruktionenvon N. VisserDer Verfasser hat ein Diagramm ausgearbeitet, wo-mit auf einfache Weise die Dimensionierung vonauf Biegung beanspruchten Betonkonstruktionendurchgef?hrt werden kann. Die Verwendungdes Diagramms ist erkl?rt und durch Beispieleerl?utert, die umfassen: (a) die Bestimmung derBewehrung von Platten und Balken mit recht-eckigem Querschnitt, (b) die Bestimmung derBewehrung und der Flanschbreite von T-Balken.(c) die Bestimmung der Beton- und Stahlspan-nungen bei gegebenen Abmessungen.Cement 9 (1957) Nr. 5-6