6 8 2018 76 Rekenen in de praktijk Belasting ten gevolge van vandalisme Comfort is een belangrijk ontwerpcriterium van voetgangersbruggen. Dat komt onder meer door de slankheid die dergelijke bruggen doorgaans kenmerken. In een eerder artikel in deze rubriek is het comfort onder normale gebruiksomstandigheden beschouwd. Daarnaast moet ook de sterkte getoetst worden onder een dynamische belasting, bijvoorbeeld belasting door vanda- lisme. Deze berekening wordt in dit artikel met behulp van een case toegelicht. Rubriek Rekenen in de praktijk Dit is de zesde aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingeni- eursbureau Gemeente Rotterdam), Gökhan Dilsiz (Nobleo), Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Jorrit van Ingen (Lievense), Jacques Linssen (redactie Cement), Bart Vosslamber (Heijmans) en Bas Wijnbeld (ABT ). Een artikel wordt steeds opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervolgens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenmethode de visie van een aantal individuen. Er kan nooit volledig worden gegarandeerd dat wat er is geschreven waar is. moet worden beschouwd (tenzij anders vermeld in de project- specificatie): · verkeersklasse TC5; · dempingsmaat 50% van de nominale demping van de constructie.   Verkeersklasse 5 gaat uit van 1,5 personen/m 2. Deze moet worden vertaald in een equivalent aantal personen. Dit kan worden berekend volgens de theorie zoals beschreven in [1]. Daarbij kan voor de demping 50% worden aangehouden van de demping gegeven in Tabel F.2 van NEN-EN 1991-1-4.     Voorbeeld We gaan uit van een voorgespannen betonnen brug met een breedte van 6 m en een overspanning van 15 m. De dynamische belasting moet worden bepaald met behulp van de formules uit NEN-EN 1991-2 NB.A [3] of de JRC-documenten [4]. De eigen- frequentie van de brug ligt in het gevoelige gebied, waardoor geldt dat de reductiefactor ( ?) gelijk is aan 1,0. De dynamische belasting wordt met onderstaande formule berekend: Formule 1: 2 1 85 1 5 15 6 1 85 280 280 280 67 N/m 15 6 ,, ,n pn S = = = Formule 2: 221 DLF 12 ( r\f ( r\f = + Formule 3: 1 DLF 2r = Formule 4: 1 DLF 156 3 2 0 0032 , , == Formule 5: 22 eq\biv. DLF 156 3 67 10 472 N/m 10 5 kN/m p / p , . /, =+ = = =+ Het is opmerkelijk hoe eenvoudig het is om sommige relatief grote bruggen met slechts een aantal personen op te slingeren tot amplitudes die absoluut als oncomfortabel zullen worden beschouwd. Een dergelijke situatie, waarbij een groep personen moedwillig een brug in de eigenfrequentie belast, valt in Euro - code 2 onder 'vandalisme'. De constructie moet de krachten en momenten die in deze situaties optreden, kunnen weerstaan. In artikel 5.7 van de nationale bijlage van NEN-EN 1991-2 worden enkele uitgangspunten benoemd waarmee deze situatie 77 0,00 2,50 5,00 7,50 10,00 12,50 15,00 17,50 20,00 0 50 100 150200250300 equivalente belasting per m 2 oppervlakte van de brug in m 2 voorgespannen betonbeton (met scheurvorming)staal (gelast) met: p = dynamische belasting n = aantal voetgangers n' = equivalent aantal voetgangers op het belaste oppervlak S S = belaste oppervlak van de brug   De totale belasting voor de brug bedraagt dus 67 ? 15 ? 6 = 6030 N. Dit komt overeen met ongeveer 4 à 5 vandalen die op de brug springen. Deze belasting moet worden berekend als harmonische belasting, waarbij de frequentie samenvalt met de eigenfrequentie van de brug.   De verhouding tussen het statische en het dynamische effect (DLF) ten gevolge van een harmonische belasting is op basis van onderstaande formule te berekenen: Formule 1: 2 1 85 1 5 15 6 1 85 280 280 280 67 N/m 15 6 ,, ,n pn S = = = Formule 2: 221 DLF 12 ( r\f ( r\f = + Formule 3: 1 DLF 2r = Formule 4: 1 DLF 156 3 2 0 0032 , , == Formule 5: 22 eq\biv. DLF 156 3 67 10 472 N/m 10 5 kN/m p / p , . /, =+ = = =+   In deze formule is ? de dempingswaarde en r de verhouding tussen de excitatiefrequentie en de eigenfrequentie. Als deze twee samenvallen ( r = 1) ontstaat resonantie en is de formule te vereenvoudigen tot: Formule 1: 2 1 85 1 5 15 6 1 85 280 280 280 67 N/m 15 6 ,, ,n pn S = = = Formule 2: 221 DLF 12 ( r\f ( r\f = + Formule 3: 1 DLF 2r = Formule 4: 1 DLF 156 3 2 0 0032 , , == Formule 5: 22 eq\biv. DLF 156 3 67 10 472 N/m 10 5 kN/m p / p , . /, =+ = = =+ Het logaritmisch decrement (? s) van de demping voor voorgespan - nen bruggen bedraagt 0,04 (Tabel F.2 van NEN-EN 1991-1-4). Dit komt overeen met een dempingsverhouding ( ?) van ? s / (2? ) = 0,0064. Volgens de uitgangspunten moet hiervan 50% worden aangehouden (0,0032). Dit levert de volgende vergrotingsfactor op: Formule 1: 2 1 85 1 5 15 6 1 85 280 280 280 67 N/m 15 6 ,, ,n pn S = = = Formule 2: 221 DLF 12 ( r\f ( r\f = + Formule 3: 1 DLF 2r = Formule 4: 1 DLF 156 3 2 0 0032 , , == Formule 5: 22 eq\biv. DLF 156 3 67 10 472 N/m 10 5 kN/m p / p , . /, =+ = = =+   Op basis hiervan kan de statisch equivalente belasting worden berekend: Formule 1: 2 1 85 1 5 15 6 1 85 280 280 280 67 N/m 15 6 ,, ,n pn S = = = Formule 2: 221 DLF 12 ( r\f ( r\f = + Formule 3: 1 DLF 2r = Formule 4: 1 DLF 156 3 2 0 0032 , , == Formule 5: =± = = =± 22 eq\biv. DLF 156 3 67 10 472 N/m 10 5 kN/m p p, . , Deze belasting ligt een stuk hoger dan de variabele belasting waarmee gerekend moet worden bij de fundamentele combina - ties (? 5 kN/m 2). Daarnaast is de Eurocode onduidelijk of dit als een buitengewoon belastgeval mag worden beschouwd. Ook moet er rekening mee worden gehouden dat deze belasting zowel in positieve als negatieve richting kan werken (vandaar + en -).     Gevoeligheidsanalyse In figuur 1 is de statisch equivalente belasting ten gevolge vandalisme gegeven afhankelijk van het oppervlak van de brug. Dit is gedaan voor drie verschillende materialen: 1. Voorgespannen beton: ? = 50% ? 0,04  / (2?) = 0,0032 2. Beton (met scheurvorming): ? = 50% ? 0,1 /  (2?) = 0,008 3. Staal (gelast): ? = 50% ? 0,02  / (2?) = 0,0016    1 Statisch equivalente belasting per m 2 t.g.v. vandalisme 1 Op basis van dit figuur wordt het grote verschil duidelijk tussen de drie materialen. Door de lage demping van staal, is de te rekenen belasting behoorlijk hoog. In iets mindere mate geldt dit ook voor voorgespannen beton. Traditioneel gewapend beton lijkt alleen gevoelig te zijn voor vandalisme bij kleinere overspan- ning waarbij het oppervlak van de brug kleiner is dan 45 m 2. Aan de andere kant geldt dat bruggen met korte overspannin- gen mogelijk niet gevoelig zijn omdat alle eigenfrequenties buiten het gevoelig gebied liggen. Voor bruggen met grotere overspanningen vallen mogelijk meerdere eigenfrequenties binnen het gevoelige gebied, waardoor het nodig is om verschillende belastinggevallen te beschouwen.   Discussie Bovenstaande berekening laat zien dat bruggen aanzienlijk kunnen worden belast door moedwillige excitatie door vandalen. De resultaten zijn echter sterk afhankelijk van de demping. Deze demping moet laag worden aangehouden, maar zonder goede onderbouwing rekenen met een hogere demping wordt afgera- den. In NEN-EN 1991-2 wordt namelijk duidelijk een link gelegd tussen de te rekenen belasting en de daarbij aan te houden demping van 50% van de nominale demping. Een hogere demping is misschien realistisch, maar een hogere belasting ook. Een aandachtspunt is het frequentiebereik waarvoor de belas- ting moet worden berekend. Hiervoor is nu het belastingmodel voor voetgangers aangehouden. Echter, is het goed mogelijk om ook buiten dit frequentiegebied (zowel hoger als lager) de brug moedwillig te exciteren. ?     ? LITERATUUR 1 Wijnveld, B. en Attahiri, M., Comfort voetgangersbruggen. Cement 2018/3. 2 Rekenen in de praktijk 2: Versnellen voetgangersbrug. Cement 2018/3. 3 NEN-EN 1990+A1+A1/C2:2011/NB:2011, artikel A.2.4.3.2. h. 4 EUR 23984 EN: Design of lightweight footbridges for human induced vibrations.   Rekenen in de praktijk 8 2018