? ? onderzoek ? berekening eng.P.B.Lourenço en prof.dr.ir.J.Blaauwendraad Technische Universiteit Delft, faculteit der Civiele Techniek Het wapenen van betonnen schijven, platen en schalen boeit sinds lang veel onderzoe­ kers. Recent hebben Braam en De Haas dit o'nderwerp ook nog aangesneden in Cement [1]. Zij geven een praktische methode voor het wapenen op combinaties van membraan­ krachten en plaatmomenten die gemakkelijk kan worden verwerkt in programmavorm. Dit nieuwe artikel laat een alternatief zien en gaat in op criteria voor veiligheid. De eerste auteur is voor een promotieproject een aantaljaren in Nederland. Wat hierwordt gepresenteerd is in principe zijn afstudeerwerk aan de Universiteit van Porto in Portugal. De tweede auteur heeft Cement op dit werk geattendeerd, omdat het in Nederland nog steeds een onderwerp is dat niet echt als afgehandeld geldt. Een aantal discussies tus­ sen beide auteurs heeft geleid tot dit artikel. Numerieke voorbeelden en conclusies ko­ men in hettweede deel aan de orde, alsmede als Appendix een eenvoudige iteratiemetho­ de. AANZET TOT CONSISTENT WAPENEN VAN SCHIJVEN, PLATEN EN SCHALEN (I) 44 De huidige manier om gewapend-betonconstructies te ontwerpen kan als volgt worden om­ schreven: 1. De aanvangsdimensies van alle constructie-elementen worden gekozen op basis van de in de loop der jaren opgebouwde praktijkervaring en een aantal vuistregels. Deze dimen­ sies moeten voldoen aan de gebruikelijke eisen ten aanzien van in-situ uitvoering en over­ eenstemmen met de gebruiks- en bezwijktoestand. 2. Uitgaandevan lineair-elastisch gedrag van het materiaal wordt een globale analysevan de constructie gemaakt om de inteme krachten (of spanningen) te berekenen die optreden na belasting. 3. De aanvangsdimensies van het beton worden geverifieerd en de benodigde wapening om de berekende inteme krachten op te nemen, wordt gekwantificeerd. In dit stadium wordt de maximale capaciteit van de afzonderlijke doorsneden beschouwd. In de meeste normen voor constructief beton, zowel in de VBC 1990 als in de in het recente verleden ingediende voorstellen voor de Model Code 1990 [2] en de Eurocode 2 [3], wordt deze procedure als een geschikte ontwerpgrondslag beschouwd. Wanneer constructies bui­ tengewoon ingewikkeld zijn of ongebruikelijk in afmeting of vorm, moet het ontwerp verder worden gevalideerd en is de ontwerper afhankelijk van onderzoekers voor de beoordeling van zijn ontwerp. Mogelijke validatiemethoden zijn experimentele tests (bijvoorbeeld op sChaalmodellen) of nog liever een volledige niet-lineaire analyse, waarbij het complete ge­ dragvan de ontworpen constructies in ongescheurde, gescheurde en bezwijktoestand wordt nagegaan. Jammer genoeg is het belangrijkste kenmerk van alle validatietechnieken dat ze niet aangeven wat we zouden moeten doen, maar alleen wat we niet moeten doen. Het gebruik van de hierboven beschreven methode bij het ontwerpen van schijven, platen en schalen kan in de praktijk tot problemen leiden. Het blijft een probleem om de wapening te berekenen op basis van de verkregen inteme krachten, ondanks het feit dat het gebruik van lineair-elastische EEM-programma's de laatste jaren sterk is toegenomen. Sinds de jaren zestig is er ten aanzien van schijven een oplossing voor het bepalen van de wapening voor­ handen, maar voor platen en schalen bestaat nog steeds niet een echt algemeen aanvaarde oplossing. CEM ENT1995 /2 Dat dit onderwerp voor de prakt\374k uitermate belangr\374k is, werd on- Materiaalgedrag langs uiteengezet in [1]. Het ontbreken van voorzieningen in be- Een noodzakel\374ke voorwaarde voor de geldigheid van theorema's in staande voorschriften om dit probleem op te lossen, is een groot na- de bezw\374kanalyse is, dat de interne krachten t\374dens belasting kun- deel. In dit artikel zal bl\374ken dat de oplossing die in [1] wordt voorge- nen worden herverdeeld tot het bezw\334kstadium. Daarom moet er- steld een benadering is, waarvan de veiligheid niet altijd kan worden voor worden gezorgd dat de taaiheidsgrens niet wordt overschreden gegarandeerd. alvorens de veronderstelde spanningstoestand wordt bereikt. Het is bekend dat beton slechts beperkte plastische vervorming toestaat. In dit artikel wordt een gedetailleerde beschr\374ving gegeven van een consistente en ondubbelzinnige oplossing voor het ontwerpen van sCh\374ven, platen en schalen met orthogonale wapening. Op basis van het evenwicht in een constructie-element worden de krachten in het beton en het staal berekend, uitgaande van ideaal-plastisch gedrag van de materialen. Op grond van de berekende krachten worden maatregelen genomen om de spanning in beide materialen lagerte houden dan de rekenwaarde. Een dergelijke oplossing, waarin wordt voldaan aan zowel evenwicht als sterkte-eisen, leidt tot een veilig ontwerp in overeenstemming met het ondergrenstheorema in de bezw\334kanalyse. Zoals gezegd wordt uitgegaan van een lineair-elastische inwendige krachtsverdeling en wordt dus geen gebruikgemaakt van het vermo\255 gen van gewapend beton tot herverdelen. De methode kan dus one\255 conomisch z\334n. Daar staat tegenover dat de methode gemakkel\374k is te automatiseren en uitermate geschikt is voor de gebruikstoestand. Van de constructeur wordt verwacht dat h\334 de 'automatische' oplos\255 sing nog aanpast tot een economisch en praktisch ontwerp op basis van Z\334n ervaring en de bestaande voorschriften. Dit artikel gaat dus een andere weg dan wordt gevolgd met de staaf\255 werkmethode [4, 5] of de staaf-paneel-methode [6, 7]. Maar die methoden z\374n dan ook niet bedoeld voor plaatconstructies waarin zowel membraankrachten als momenten voorkomen. Z\374 z\374n \(vooral\) beperkt tot in hun vlak belaste platen en z\374n alleen voor die \(b\374zon\255 dere\) gevallen een alternatief. De in dit artikel voorgestelde methode is een algemeen toepasbaar instrument voor het wapenen van wille\255 keurige plaat-en schaal constructies. cr \(N/mm2 ] 90 80 70 60 50 40 30 20 10 R8S \\ \\ \\ \\ R6S \\ , '. , "'1 I. I'\267 007E0020.... B4S \\ . \\ -._\\- ". , ..... 007E002E007E002E0020 \\ " ............ \\ " " \\ \\ R2S , '. Het is hier echter niet de plaats om de al dan niet voldoendetaaiheid van betonconstructies ter discussie te stellen, aangezien deze theo\255 rema's een brede toepassing kennen en binnen bepaalde grenzen erkende geldigheid hebben. De grenzen van toepasbaarheid worden over het algemeen goed aangegeven in de voorschriften voor con\255 structief beton. Hierna wordt ingegaan op de vloeisterkten die voor beton en staal worden aangehouden. Er wordt in het b\374zonder aandacht gevestigd op de druksterkte van beton. In het te bespreken model speelt deze namel\374k een even belangrijke rol als de sterkte van het wapenings\255 staal, anders dan b\334 andere modellen. Beton -Algemene beschrijving In hette presenteren model speelt, zoals gezegd, ook de druksterkte van beton een rol. Omdat de VBC daarop minder diep ingaat, wordt hier samengevat wat in de Model Code [2] wordt aangegeven. Beton is een complex materiaal en voor een volledige constitutieve beschr\374vingz\374n veel parameters nodig. Voor het model dat hierwordt gepresenteerd wordt aangenomen dat het betongedrag ideaal-plas\255 tisch is en alleen wordt gekenmerkt door de effectieve druksterkte 0066007E002E0020 Deze weergave is niet echt re\353el, maarwel eenvoudig en voldoende nauwkeurig voor het hier gestelde doel. Uitgegaan wordt van een treksterkte nul, zoals gebruikel\374k in een ontwerp, en de haakweer\255 stand in de scheuren blijft buiten beschouwing. De juiste keuze voor de effectieve druksterkte ligt niet voor de hand. Zoals bl\374kt uit figuur 1 wordt de taaiheid van beton onder druk be\255 perkt door softening van het spanning-rek-diagram na de pieksterk\255 te. Wie toch wil rekenen met ideaal plastisch gedrag, zal de effectieve Q\) Spanning-rek-diagrammen voor beton [2J "........ .... ---._--. -- __ ":0,::,::,::::_, _ .. 003A003A003A003A003A003A007E002E003A0020 007E003A002E002D003A003A003A003A003A003A002D003A003A003A002D003A003A003A002D002E003A003A00AD 006F007E002D002D002D002D002D002D002D002D002E002D002D002D002D002D007E007E003D003D003D003D003D003D007E007E007E007E007E007E007E0020 o 0.002 0.004 CEMENT1995/2 0.006 0.008 I; 45 \225 \225 onderzoek \225 berekening druksterkte 0066007E0020kleiner moeten kiezen dan de pieksterkte. Bovendien moet rekening worden gehouden met sterktevermindering door lan\255 ge-duur belastingen mettwee-assiggedrag, zoals beschreven in [8]: 'de sterkte van het beton wordt duidelijk aangetast door vervormin\255 gen en/of scheuren die voorafgaan aan het bezwijkstadium. Een aanzienl\374ke herverdeling van de betonspanningen vanaf de eerste scheurvorming tot aan het bezw\374kstadium die gepaard gaat met aanzienlijke scheurvorming, zal de sterkte aanzienlijk doen vermin\255 deren. Verder wordt de herverdeling beperkt door de progressieve aantasting van de haakweerstand in eerder ontstane scheuren \( ... \). De betonsterkte 0066007E0020moetcorrect en zorgvuldigworden gekozen, reke\255 ning houdend met bovengenoemde invloeden.' Over het algemeen is de bepaling van deze waarde niet eenvoudig, maar deze zal voor \351\351n-assig belast beton tussen de 0,60 en 0,80 0066007E0059006C006C0069006700670065006E0020 en voortwee-assig belast beton tussen de 1,0 en 1,25 0066007E0059004900270020 waarb\374 0066007E0079006C0020 de \351\351n-assige betondruksterkte is, gemeten aan cilin\255 ders. In [8] z\374n voor 0066007E0020de volgende waarden uit de Model Code geko\255 zen: \225 Ongescheurde zones: Staal -Algemene beschrijving Hetstaal wordt uitsluitend gebruikt voor trekkrachten; de rekenvloei\255 spanning fs wordt aangehouden, De b\374drage van de wapeningssta\255 ven in de drukzones wordtverwaarloosd, omdat de b\374drage van staal onder druk klein is vergeleken met het omringende beton, Dit is het gevolg van de lage wapeningspercentages die over het algemeen worden gebruikt De deuvelwerking van de wapeningsstaven blijft buiten beschouwing, Wapenen van betonnen schijven Eerst wordt een overzicht gegeven van de inmiddels algemeen aan\255 vaarde methode voor het wapenen van sch\374ven, omdat de voorge\255 stelde methode voor schalen hiervan een generalisering is, In figuur 3a wordt een sch\374felement gegeven met een dikte h, belast dooreen aantal membraan krachten \(perlengte\), aangeduid metnXX' nyyen nxY' De wapening bestaat uittwee orthogonale stellen wapeningsstaven, parallel aan de x-en y-assen, De krachten in de wapening z\374n nsx en nsY' respectievel\374k in x-en y-richting \(fig. 3b\). De kracht in de drukstaaf is n b, waarb\374 de waarde van n b een negatief getal is, De richting van de scheuren wordt vastgelegd met de hoek 8 f' = 00280031002D007E00290020 f' bl 250 b \(1\) die de normaal op descheurrichting maakt met de positieve x-as \(fig. 3c\). De kracht in de drukstaaf maakt dan een hoek 8 met de y-as, \225 Gescheurde zones waarin de drukweerstand kan worden vermin\255 derd door trek van de wapening in de dwarsrichting en door de noodzaak om krachten over te dragen over scheuren heen \(fig. 2\): f' = 0 70 \(1 - 0066007E00590049002C0020 k f' b2' 250 b \(2\) Hierin z\374n alle waarden uitgedrukt in N/mm2. Voor beton blootge- steld aan twee-assige druk wordt de sterkte opgevoerd tot K\267 f bl' waarin: Aangenomen wordt dat het beton geen trek kan opnemen en dat in de wapeningsstaven alleen normaalkrachten optreden. Dat bete\255 kent dat de mechanicagrootheden nxx' nyyen nxy die uit de lineair-e\255 lastische berekening volgen, kunnen worden vervangen door drie I\374n\255 spanningstoestanden, n sx' nsy en n b. Hiervan z\374n de eerste twee trek en de derde is druk. De geschiktgekozen plaatdeeltjesvan figuur3d maken snel duidel\374k welk verband er bestaat tussen enerz\374ds nxx' nyy en nxy en anderz\374ds n sx' nsy en n b, Door in beide plaatdeeltjes horizontaal en verticaal 1 +3,65 a K=---- \(1+a\)2 \(3\) evenwicht te eisen, volgen de drie gezochte relaties: a = a 2/ al' de hoofdspanningsratio. @ Voorbeeld van verminderde sterkte 0066007E00320020 --\255cr --- --- 46 Wapening Scheuren nxx = nsx + nbsin 2 8 \(4\) nyy = nsy + nbcos28 \(5\) nxy = Inblsin8cos8 \(6\) met I b I :s: 00680066007E0020 \(7\) De gevallen waarin 8 = Oen 8 = n/2 Z\334n triviaal. Wanneerwordtaan\255 genomen dat 8niet gel\374k is aan nul of n/2, kunnen de vergel\374kingen \(4\)-\(6\) worden herschreven als: \(8\) \(9\) I I nxy nb = ----"'---sin 8 cos 8 \(10\) CEMENT1995/2 Dyx DXY DXX a y y Dyy 007E0020DXY Dyx Dyy nsy }lilll I I I I I nnn nsy \256 Model van een sch\374felement a. exteme krachten b. interne krachten \(wapeningsb\374drage\) c. interne krachten \(betonb\374drage\) X d. evenwicht van externe en interne krachten \260sx ol b y d De totale hoeveelheid wapening wordt afgeleid uit de som van de krachten in de wapening: 2n xy nsx + nsy = nxx + nyy + nxy \(tan 0+ cot 0\) = nxx + nyy + -.-- \(11\) Sin 20 Het laatste deel van deze vergelijking is altijd positief, omdat volgens vergelijking \(10\) nxyen 0 hetzelfde teken hebben. Hierdoor corres\255 pondeert de minimale waarde van de totale hoeveelheid wapening met 0 = \261 n/4. Voor deze waarden van 0 leiden de vergelijkingen \(8\)-\(10\) tot 004F007E0020 Scheuren x x \260sx Normaal 0 007E0020 y c x _ 007E002C006E00790079005F0020 00A7 007E005D0020 nsx In I I 002E005F007E002D nsx 007E0020 cose I 007E0020 !nnnnn " y De aanname datde wapening alleen voortrek wordt gebruikt \(nsx ;?:: 0 en nSY ;?:: 0\) leidt tot de voorwaarden: Als aan \351\351n van deze voorwaarden niet wordt voldaan, is de wape\255 ning in die respectievelijke richting overbodig en kan de nieuwe waar\255 de voor Oeenvoudigworden berekend door vergelijking \(8\) of \(9\) op nul te stellen. Daarom moeten vier verschillende gevallen worden be- schouwd, zoals in tabel 1 is aangegeven. Deze formules komen over\255 een met de optimale richting van de drukstaaf, met andere woorden \(12\) de o-waarde die leidt tot de minimale hoeveelheid wapening. \(13\) \(14\) CEIVIENT1995j2 47 \225 \225 onderzoek Tabel 1 Formules voor het ontwerpen van schijven @ Wapeningsbehoefte \(grenzen getrokken voor 8 = :n:/4\) [2J Wr gintrck " " " " " " " " " " " " ,,{ " " " " " " " " 1 Beton in druk Geval 1 Geval 2 " " " / "/ " " /\)\267-- .... noodzakelijk yy- . n" , .. 4 geen r < 007E0020 nxx+ llyy w\340pening xx n 2 .. ho < 007E0049003A002E00490020 ooqdzakelijk; twee-:asslge \( n,x -nyy r 2 - 2 + nXY druk Of {"" < -ln,,1 n2 n 003C007E0020YY nxx nyy lnxyl Geval 3 Gevall BlO[ --lBxyl -..... -..... , \(-1.-1\)\\ \\ \\ Geva14 \\ Geval 2 Vervolgens kunnen de wapeningsdoorsneden per lengte worden ge- Figuur 4 laat een grafische afbeeldingzien van de wapeningsbehoef\255 schreven als: te voor verschillende combinaties van nxx. nyy en n x\)'" De grafische De betonveiligheid moet worden geverifieerd door: 1 Inb 1 Ob 1= -- 007E00200066007E00320020 voor de gevallen 1 t.m. 3 h 48 weergave wekt ook de verwachting dat een vloeiend vari\353rende \(15\) waarde voor de betondruksterkte beter op zijn plaats zou zijn dan de keuze uit de twee discrete waarden van de vergelijkingen \(1\) en \(2\). Deze constatering spreekt te meer als wordt bedacht dat vergelijking \(2\) praktisch overeenkomt metde absoluut minimale sterkte van ge- \(16\) scheurd gewapend beton. Ditlijktechterde prijs te zijn die bij de huidi\255 ge kennis van zaken betaald moet worden voor een vereenvoudigde ontwerpaanpak. CEMENT1995/2 myx myy x Dyx 007E0020 DX\) 007E0020 DXX mxx myy y myx y Wapenen van betonnen schalen Zoals uit figuur 5 blijkt, kunnen op elk punt van de schaal twee ver\255 schillende soorten inwendige krachten tegelijkertijd optreden: krach\255 ten die samenhangen met membraanwerking \(nXX' nyy en nXY\) en krachten die samenhangen met buiging \(m xx' myyen mXY\)' Over hetal\255 gemeen vallen de hoofdmembraan- en de hoofdbuigkrachten niet samen. De uitbreiding naar schalen van de hiervoor beschreven methode voor schijven, leidt tot een iteratieve en meer complexe benadering. In het navolgende zullen op buiging belaste platen worden be\255 schouwd als een bijzonder geval van schalen, waarvoor dus geen af\255 zonderlijke voorzieningen behoeven te worden getroffen. De te presenteren aanpak wijkt af van wat op dit moment algemeen aanvaard lijkt. De meesten gebruiken voor het wapenen van schalen het drie-Iagenmodel zoals afgebeeld in figuur6.ln dit model staan de twee buitenste lagen bloot aan membraan krachten en de binnenste laag verzorgt de dwarskrachtoverdracht. De bovenste laag krijgt een dikte at en de onderste laag een dikte a b\225 Er wordt verondersteld dat de wapening halverwege de laagdikte ligt, zodat voor de hefbooms\255 arm dwordtaangehouden de totale plaatdikte h minus de halve at en de halve a b\225 De eerste benadering die de meeste auteurs maken is de aanname van een inwendige hefboomsarm d = 0,8 h. Dit is niet erg fraai, zelfs niet in een ontwerpbenadering. Benadrukt moet worden dat, vooral wanneer momenten en drukkrachten in hetvlak van een element op\255 treden, een realistische schatting van de inwendige hefboomsarm uitermate moeilijk is. Het belangrijkste punt is echterdat het hele mo\255 del zelf al een benadering is, omdat de resulterende krachten in het beton en de wapening nietop hetzelfde niveau aangrijpen. Wanneer voor alle resulterende krachten een verschillende hefboomsarm wordt beschouwd, is het niet langer mogelijk de buitenste lagen te isoleren en als membraanlagen te beschouwen. Dit werd het eerst onderkend door Gupta [10]. Het drie-Iagenmodel wordt daarom vervangen door een algemener geldend model. CEMENT1995j2 Dyy Dyy \256 Buig- en membraankrachten in een X 007E0020Dxy Dyx d=h----- 2 x / / schaalelement \256 Drie-Iagenmodel [9] 2 }- '. t', : , ,4 Bovenste laag n xx m xx 2 m xy d d Kern \(tussenlaag\) Onderste laag 49 \225 \225 onderzoek \225 berekening Formulering van het nieuwe model De vergelijkingen \(17\)-\(20\) geven de interne krachten en momen\255 Figuur 7 bevat een typisch schaalelement met dikte h en met de wa-ten. Evenwicht metde uitgeoefende krachten en momenten leidttot: pening parallel aan de x-en y-assen. De trekkrachten in de wapening worden aangeduid met nsxt' nSYv nsxb en nsyb' waarbij de indices x en y nxx = nsx + nbtsin2 0t + nbbsin 2 0b \(21\) verband houden met de respectievelijke asen de indices t en b met de bovenste en de onderste laag. nyy = nsy + nbtCos2 Ot + nbbcos 2 Ob \(22\) In de bovenste laag treedt een verticaal scheurvlak op, waarvan de normaal een hoek Ot maakt met de x-as in hetx,y-vlak. De dikte van nxy = -nbtsinOtcosO t -nbbsinObcosO b \(23\) de bovenste beton laag onder druk is al' uitgaande van een gelijkma- tige spanningsverdeling \(ook wel een rechthoekig spanningsblok ge- mxx = msx + mbtsin2 Ot + mbbsin 2 Ob \(24\) noemd\). Op dezelfde manier houdt Ob in de onderste laag verband met de normaal op het scheurvlak en daar is a b de dikte van het be- myy = mSY + mbtcoS 20t + mbbcos 20b \(25\) tonnen plaatdeel met gelijkmatig verdeelde spanning. De grootte van de laagdikten at en a b zal volgen uit de berekening m xy = -mbtsinOtcosO t -mbbsinObcosO b \(26\) waarin met de werkelijke excentriciteiten van de wapening wordt ge- Evenals bij schijven moeten er vier verschillende gevallen afzonder\255 lijkworden geanalyseerd en behandeld: \(a\) wapening is noodzakelijk in de beide buitenste lagen; \(b\) wapening is alleen noodzakelijk in de onderste laag; \(c\) wapening is alleen noodzakelijk in de bovenste laag en \(d\) geen wapening noodzakelijk. De lezer wordt verwezen naar [11] voor de volledige formulering van het probleem en het bij\255 behorende programma. De formulering wordt hier slechts ten dele aangegeven. Evenals voor het schijfelement zijn de evenwichtsver\255 gelijkingen voor hetschaalelement eenvoudig op te stellen. Deze lei\255 den echter tot een onbepaald stelsel niet-lineaire vergelijkingen die moeilijk zijn op te lossen. Wapening is noodzakelijk in beide buitenste lagen De krachten en momenten in x-en y-richting worden gegeven door: \(17\) De wapening volgt uit de oplossing van bovenstaande vergelijkingen. Het doel is om nsx\\, n sy\\, nsxb en n Syb te berekenen. De andere onbe\255 kenden zijn at, a b, Ot en Ob' 'zodat de 6 vergelijkingen 8 onbekenden bevatten. Evenals bij schijven moet de waarde voor Ot en Ob zodanig worden gekozen, dat de totale hoeveelheid wapening minimaal wordt. Dit probleem kan worden opgelost met elk standaardpakket voor niet-lineaire programmering, maar in de Appendix van dit artikel wordt een eenvoudige iteratiemethode voorgesteld. Voor de aan\255 vangswaarden wordt voorgesteld Ot = Ob = \261 n/4 en at = a b = 0,2 h. Vervolgens worden deze waarden aangepast door een iteratieproce\255 dure totdat aan de evenwichtsvoorwaarden wordt voldaan. Twee-assige druk in de bovenste laag In dit geval is er in de bovenste laag geen wapening nodig. In de bo\255 venste laag worden de beton krachten n bxt ' byt en n bxyt aangenomen, respectievelijk de normaalkrachten in x-en y-richting en de schuif\255 kracht. De krachten en momenten die door de wapening worden ge- \(18\) dragen zijn: \(27\) voor de wapening, en \(28\) \(19\) en door de onderste beton laag: \(20\) nbb = 002D006100620066007E00320020 \(29\) voor het beton. \(30\) o Model van een schaalelement a. schaalelement en wapening b. interne krachten thxt X 1 hxb b 50 CEMENT1995/2