dr.ir.D. van Gemertir.J. de Roeckir.HJouretKatholieke Universiteit te Leuven (Belgi?)Figuur faI,=1. '1'-'1',':?t?-?r?-t--?._+_)1 .-l-.--L._.-,~ I .I' ,Figuur fbCement XXX (1978) nr. 6Vormorthotropie bij dunneplaten-een eenvoudige ofcomplexe opgave?Notatiesax? ay constante co?ffici?nten waarmee de excentriciteit van de verstUvingsribbenwordt ingerekendbx ? by meewerkende plaatbreedte in x- en y-richtingdii stijfhedenex. ey excentriciteit van het zwaartepunt der totale doorsnede t.o.v. het referentievlakmx. my buigmomenten per lengte-eenheidnx. ny. nxy. nyx normaal- en schuifkrachten in de bovenplaatp (x. y) continu verdeelde belasting op de plaatqx. qy dwarskrachtentx. tv. tbx. tby wringmomentenu. v. w verpla,Jtsingen van een plaatpunt in het x-y-z-assenkruis?. v verplaatsingen in het referentievlak?J2wwxy parti?le afgeleide OX oyX.y.zACp. Cbx. CbyoOp. Ox. DyE.GKp. Kx. Ky. HMEx. Ey. YXyVcrx? cry ? TxyXInleidingco?rdinatenpotenti?le energiewringstijfhedenstijfheidsmatrixrekstijfhedenelasticiteitsmodulus. afschuifmodulusorthotrope plaatstijfhedenmomentenvectorrekkenco?ffici?nt van PoissonspanningenkrommingsvectorDe berekening van de lastenspreiding in orthotrope platen (gewapend-betonplaten. cassette-vloeren. platen met verstijvingsribben. balkbruggen enz.) is gebaseerd op de klassieke verge-IUking van Huber:02W 02W 04WKx""'14 + 2H ~ + Ky ? ""'14 = P (x.y) (1)ox oX y oyHierin is w de doorbuiging van het plaatmiddelvlak en zijn Kx. Ky en H de plaatstijfheden perlengte-eenheid.Aan deze vergelijking ligt de volgende gedachtengang ten grondslag: de orthotropie in de stUf-heidskarakteristieken van de langs- en dwarsrichting wordt gesimuleerd door een materiaal-orthotropie.Daartoe beschouwt men een plaat met constante dikte die per lengte-eenheid dezelfde gemid-delde stUfheid heeft als de werkelUke plaat. Het is alsof de stUfheid die geconcentreerd zit rondde verstUvingsribben gelijkmatig uitgesmeerd wordt over de totale plaatoppervlakte. DezewerkwUze is slechts exact als de verstUvingsribben symmetrisch geschikt zUn ten opzichte vanhet middelvlak (fig. Ia).In dat geval blUft het plaatmiddelvlak spanningsloos en wordt het evenwicht van een elementairplaatdeeltje dxdy beschreven door vergelUking (1). In de meeste gevallen zUn de verstUvings-ribben evenwel slechts aangebracht aan ??n zUde van de plaat (fig. 1b). zodat deze ribben eenexcentriciteit vertonen ten opzichte van het plaatmiddelvlak. Deze excentriciteit is meestal nogverschillend voor de twee richtingen.In zulke platen verliest het begrip middelvlak zUn betekenis. Ook indien men als middelvlak hetvlak aanneemt dat gaat door het zwaartepunt van de doorsnede. heeft men het probleem dat dezwaartepunten van de twee onderling loodrechte richtingen niet op dezelfde hoogte ?Iiggen. In2902Vormorthotroop plaatelement3x-z doorsnede van de gebogen plaatCement XXX (1978) nr. 6?I x-+-T ---I -----NIIPII? IIz IIOw IIII/--+/// \pi \\Ude theorie betekent dit dat de vergelijkingen van het horizontaal evenwicht niet meer identischvoldaan zijn en dus mede een rol gaan spelen bij de berekening. Zoals verderop zal blijken,brengt dit praktisch onoverkomelijke wiskundige problemen met zich mee. De eerste reactie isdan ook geweest de invloed van de excentriciteit der verstijvingsribben te verwaarlozen en een-voudig vergelijking (1) verder toe te passen. Daarmee werd het probleem herleid tot het bepalenvan de waarde van de stijfheden die voor asymmetrische orthotrope platen in deze vergelijkingingevuld moeten worden.Deze stijfheden worden meestal berekend door superpositie van de plaatstijfheid en de ribstijf-heden. Nochtans blijken deze zo berekende stijfheden minder goed overeen te komen metexperimenteel bepaalde stijfheden, zodat de vraag moet worden gesteld in hoeverre de plaat-berekeningen die op deze stijfheden zijn gebaseerd de juiste doorbuigingen en momentenleveren.Deze vraag leidde ons tot een diepergaande experimentele en theoretische studie over de stijf-heidskarakteristieken van asymmetrische orthotrope platen en over de nauwkeurigheid van demet vergelijking (1) gevonden snedegrootheden. Hieruit is voor de onderzochte gevallen, dieto?h een breed toer::assingsgebied omvatten, gebleken dat de gemaakte fouten binnen redelijkegrenzen blijven.De basisvergelijkingen voor orthotrope platenWe wensen de differentiaalvergelijkingen van het evenwicht op te stellen voor een orthotropeplaat met asymmetrisch geplaatste verstijvingsribben. Daartoe beschouwen we het plaatdeel infiguur 2. Het plaatmateriaal is lineair elastisch, homogeen en isotroop, met elasticiteitsmodulusE en co?ffici?nt van Poisson v.De orthotropie komt voort uit het vormverschil in de richtingen x en y. De veronderstellingen uitde klassieke theorie van de dunne platen aangaande de vervormingen zijn geldig. Daarbij wordtnog verondersteld dat de verstijvingsbalken alleen stijfheid bezitten in hun eigen langsrichtingen dus niet bijdragen tot de plaatstijfheid loodrecht op hun asrichting. Als referentievlak nemenwe voor de eenvoud het middelvlak van de bovenplaat. u, v en w zijn de absolute verplaatsingenvan een willekeurig plaatpunt langs de co?rdinaatassen; ij en vzijn de verplaatsingen van eenpunt van het referentievlak in dit zelfde vlak (fig. 3).De verplaatsingen u en v van een plaatpunt P zijn verbonden met de zakking w door de volgen-de relaties:()_ 8wuz = u - z. 8x8wv(z) = V - z. 8y(2)(3)Met behulp van de betrekkingen worden de differentiaalvergelijkingen van het krachten-evenwicht volgens de x-as, de y-as en de z-as als volgt geschreven:D,x.(?xx-ex?wlW() + ~(l-)I)?yy + Pfll+.V)Vxy =0Oy.(Vyy - ey.wyyy)+ rr(1+)1 )?xy + ~(' -v)VXx." 0(k'x +e~. Dx)wxxxx - exDx ?xxx + (eKp + ?!Cbx+ aCby)'wxxyy ++(\{y'" e;.Dy) .wyyyy-ey . Dy' Vyyy _ p(x.y)291....... (~.1)....... C4.~)4Plaat met excentrische verst?vingenCement XXX (1978) nr. 6Hierin werden de volgende notities gebruikt:Op de rekstijfheid van de isotrope bovenplaatOx, Dy de rekstijfheden van de orthotrope plaat in de x- en y-richtingex, ey de zwaartepuntsafstanden van de dwarsdoorsneden tot het referentievlakKp, Kx, Ky de buigstijfheden van de bovenplaat en van de gehele orthotrope plaat in dex- en y-richtingen2 Cbx, 2 Cby de wringstijfheid van de verstijvingsribbenDit stelsel van drie vergelijkingen kan door eliminatie van u en v teruggebracht worden tot ??nvergelijking van de achtste orde in w.Hieruit volgt onmiddellijk dat vergelijking (1) van Huber, die slechts van de vierde orde is,onmogelijk het gedrag van orthotrope platen exact kan beschrijven.Indien de ribben evenwel symmetrisch zijn bevestigd ten opzichte van het middelvlak, dan zijnde excentriciteiten ex = ey = 0 en de verplaatsingen ? = i? == O.Aan de vergelijkingen (4.1) en (4.2) van het horizontaal evenwicht is dan identiek voldaan, terwijlvergelijking (4.3) de Huberse vorm (1) aanneemt.Ook de uitdrukkingen van de snedemomenten worden dan sterk vereenvoudigd:mx = - Kx . Wxx - vKp . Wyymy = - Ky. W yy - vKp . Wxxtx + ty = - [2 (1 - v) Kp + 2 Cbx + 2 Cby] . wxy(5)Deze verbanden tussen momenten en krommingen worden in een algemene matrixvormgeschreven volgens vergelijking (6):rmx J rdl] d12 0 J rWxxJM = my d12 d22 0 X Wyytx+ ty 0 0 d66 W xyOXx (6)o wordt 'stijfheidsmatrix' van de symmetrische orthotrope plaat genoemd.Indien men nu ook voor asymmetrische orthotrope platen gelijkaardige eenvoudige formulesgaat aanwenden, moet men op een of andere manier de stijfheden dii defini?ren.Berekening van de plaatstijfheden door superpositieBij toepassing van de Huberse vergelijking (1) voor de berekening van een orthotrope plaat(fig. 4) neemt men aan dat het middelvlak gaat door het geometrisch zwaartepunt van de door-snede. Wegens de volmaakte verbinding tussen balken en plaat kan men de stijfheid berekenendoor sommatie van de stijfheden der samenstellende delen.We nemen bij voorbeeld een orthotrope plaat met twee balkrijen, zoals voorgesteld in figuur 2.Deze plaat is samengesteld uit drie fictieve lagen: een isotrope dekplaat en twee balkenrijen.De stijfheidsmatrix van de isotrope plaat wordt als volgt opgebouwd:? buigstijfheid in de x-richtingEh32 EhKpx = 12(1_V,)+ex 'l-v' (7)? buigstijfheid in de y-richtingEh32 EhKpy = 12(1_V,)+ey 'l-v' (8)? de invloed van de dwarscontractie wordt beperkt tot het plaatgedeelte. Daarbij wordt nog eenlineair verplaatsveld aangenomen, waarbij de verplaatsing in de x-richting u =0 bij z =ex, en deverplaatsing in de y-richting v = 0 voor z = ev.Ingevuld in de formules (2) en (3) vindt men hieruit u en v, waarmee men verder de spanningenkan berekenen.Door integratie over de dekplaatdoorsnede vindt men de uitdrukking van het aandeel van denormaalspanningen (Jx op de dekplaatdoorsnede in het globaal moment mx. De co?ffici?nt vande kromming Wyy is de stijfheid Kp12 = Kp21:vEh3vEhKp12 = Kp21 = 12 (l-v') + exey . 1-v' (9)? de wringstijfheid is eenvoudig 4 Cp = 2 (1 - v) . Kp.292Cement XXX (1978) nr, 6De balken hebben alleen een stijfheid tegen buiging en wringing volgens hun aslijn.De te superponeren st?fheidsmatrices zijn dus: 'voor de dekplaat:voor de balkenrij x:(10)Sommatie van deze drie matrices levert de gezochte globale st?fheidsmatrix die ingevuld wordtin (6) en waarmee benaderend het gedrag van een orthotrope plaat berekend kan worden. Devraag blijft evenwel nog steeds bestaan in hoeverre deze werkwijze juiste resultaten oplevert.Een antwoord op deze vraag kan gegeven worden door gebruik te maken van het principe vanminimum potenti?le energie.Berekening van de plaatstijfheden uit energiebeschouwingenDe elastische vervormingsenergie die in de orthotrope plaat is opgestapeld, is gelijk aan A:E J(?: e 1-)1 Z)A- 2(1-V a) Cx + Ey + 22JEx y + e- d'xy dV +dekplaat E ~ Sc a dV .., J2Cbi w.+ a T c; i ' + "'i -;e-' xy .. , .... (11)balk i balk lIn deze uitdrukking worden de rekken en verschuivingen uitgedrukt als functieyan de verplaat-singen ? en ?i in het referentievlak en de zakking w van dit vlak. We wensen verder ook u en vte elimineren. Daartoe leggen we het volgende verband tussen de doorbuiging w en dezeverplaatsingen:_ owu = ax. ox_ owv = ay . oy(12)waarin ax en ay constanten zijn. Dit verband werd reeds voorgesteld door C.Massonet in litera-tuur [2].De integralen in (11) worden uitgewerkt over de plaathoogte, zodat we na enkele berekeningende potenti?le energie per oppervlakte-eenheid 'a' als volgt kunnen schrijven+ 2 [vKp +)J. ax' ar Dp]. W'xx' wyy ++ [2I(p(1-)l) + (ax+ay)il!, 1/, Dp+ 2Cbx + 2Cby) wx.~ .. , .... (IZ)Deze energie kan echter ook geschreven worden met behulp van de benaderende uitdrukkin-gen (6) voor de momenten:(13)De beide uitdrukkingen (12) en (13) moeten identiek zijn. Na invullen van (6) en term per termgelijkstellen vindt men de stijfheden dij:2935Opstelling voor de buigproef6Opstelling voor de wringproefCement XXX (1978) nr. 6-d1?: =~ d~ - lllCp + :z.rax ay . Dp-di!~. k'y + (ay_ey)?:. Dy-d66 = (1-V)-I