themaVan spanning naar wapening3201428thema= x-wapening + y-wapening+betonEEM-spanningenEEMnyyncnsxnsyyxnxynyxnxxSchijf: vlakke spanningstoestandAls eerste komen de achtergronden van het wapenen van eenschijf aan bod. De meest economische wapening zal samen-vallen met de hoofdtrekspanning, maar dat is niet praktisch.De hoofdspanningsrichting zal in het algemeen niet samen-vallen met schijfranden en is bovendien anders voor diverseVan spanningnaar wapeningMet de opkomst van de eindige-elementenmethode is hetanalyseren van het gedrag van constructies toenemend geau-tomatiseerd. Dat is ook van toepassing op de wapeningsbere-keningen. De in elementen berekende lineair-elastische krach-ten worden daarbij omgezet in hoeveelheden wapening. In ditartikel wordt op hoofdlijnen aangegeven hoe die berekeningenzijn opgezet door in te gaan op de achtergronden van de reken-regels voor schijven, platen en schalen. Afgesloten wordt metde overkoepelende theorie voor de gecombineerde plaat-schijf-werking (schalen) van NEN-EN 1992-2 [1].Achtergronden rekenregels voor schijven, platen en schalenbelastingscombinaties. Daarom wordt uitgegaan van eenpraktisch orthogonaal wapeningsnet waarvan de richtingensamenvallen met de assen x en y. In het x,y-vlak wordt eenschijfvormig element beschouwd met de schijfkrachten pereenheid van breedte nxx, nyyen nxydie volgen uit een EEM-berekening (fig. 1a). De schuifkracht nxyis gelijk aan nyx.Zoals ze zijn getekend, hebben de schijfkrachten een positiefteken. Deze EEM-spanningstoestand is te ontbinden in drielijnspanningstoestanden (fig. 1b, 1c en 1d). De kracht ncpereenheid van breedte is positief als deze druk is. Ook de wape-ningskrachten nsxen nsyzijn gedefinieerd per eenheid vanbreedte; deze zijn positief voor trek. De kracht in de drukdia-gonalen valt samen met de richting van de diagonalen. Lood-recht op de diagonalen treedt in het beton geen kracht op entussen de diagonalen geen schuifkracht. De hoek tussen dediagonalen en de y-as is . Twee vragen staan nu centraal:? Hoeveel betonstaal is nodig?? Is het mogelijk de toe te passen hoeveelheid betonstaal teminimaliseren?Deze vragen zijn al enkele decennia onderwerp van onderzoek[2-4].1a 1b 1c 1dVan spanning naar wapening 32014 29GEEN WAPENINGnyy n2xynxx4nc = + (nxx - nyy)2+ n2xy fcd (druk)nxx + nyy214y =443 40 of43 43 = | nxy |nc = 2 | nxy | (druk)nsx = nxx + | nxy |nsy = nyy + | nxy |nxxnxy > 0nxy < 0| nxy |nyyxnc-1-1nxynxxtan = -nxxn2xynsy = nyy -tan 1nc = nxy (tan + )(druk)nyynxytan = -nyyn2xynsx = nxx -tan 1nc = nxy (tan + )(druk)00,511,522,533,544,550 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5k1/kk + 1/kOm de wapening te vinden bij een positieve schuifkracht nxymoet deze schuifkracht zowel in de x- als y-richting wordenopgeteld bij de aanwezige krachten nxxen nyy. Als de schuif-kracht negatief is, wordt een vergelijkbare uitkomst gevonden.Dan moet de absolute waarde van nxyworden toegevoegd.Tot hier is er stilzwijgend van uitgegaan dat in beide richtingenwapening nodig is. Als voor nsxeen negatieve waarde wordtberekend, is wapening in die richting niet nodig. Nu volgt degrootte van hoek uit de conditie nsx= 0. Een vergelijkbaarcommentaar geldt voor de y-richting. In figuur 3 is een enander uitgewerkt voor vier verschillende gevallen.Deze figuur is welbekend uit de literatuur [5]. De figuur maaktgebruik van vier kwadranten. De spanningen zijn genormeerd.De eerder beschreven situatie met de twee wapeningsrichtin-gen bevindt zich rechtsboven in de figuur. Afhankelijk van degrootte van de genormeerde spanningen wordt scheurvormingonder een hoek = /4 of = 3 /4 verondersteld op te treden.Voor nxx/ |nxy| = -1 en nyy/ |nxy| = -1 treden overgangssituatiesop. In de eerstgenoemde situatie wordt overgestapt vanwapenen in x- ?n y-richting naar wapenen in alleen x-richting.1 Schijfelement met EEM-schijfkrachten (a); ontbinding in drie lijnspanningstoe-standen: krachten ncin betondrukdiagonalen (b), wapeningskrachten nsxinx-richting (c) en wapeningskrachten nsyin y-richting (d)2 Bepaling van minimum van k + k-13 Vier kwadranten met, afhankelijk van de genormeerde spanningen in x- eny-richting, de wapeningsconfiguratie en uitdrukkingen voor de benodigdewapening en aanwezige scheurhelling en betondrukspanning [5]dr.ir.drs. ren? BraamTU Delft, fac. CiTG /Adviesbureau ir. J.G. Hageman BVprof.dr.ir. Johan BlaauwendraadEmeritus hoogleraar, TU DelftOp basis van evenwichtsoverwegingen zijn tussen de drieEEM-schijfkrachten en de drie lijnspanningstoestanden devolgende vergelijkingen af te leiden:nxx= nsx? ncsin2 (1)nyy= nsy? nccos2nxy= ncsin cos Hierin zijn de drie schijfkrachten in het linkerlid bekend. In hetrechterlid staan vier onbekenden, te weten de drie krachten pereenheid van breedte nsx, nsyen ncen de hoek . Vergelijking (1)is te herschrijven tot:nsx= nxx+ nxytan (2)nsx= nyy+ nxycot xycsin nn =cos De som van de eerste twee vergelijkingen geeft een maat voorde totale hoeveelheid wapening. Ingevoerd wordt het symboolk, volgens de definitie k = tan , zodat:nsx+ nsy= nxx+ nyy+ nxy(k + k-1) (3)In deze vergelijking is k nog onbekend omdat de grootte van dehoek onbekend is. Dat biedt een mogelijkheid de hoeveelheidwapening te optimaliseren. De term tussen haken is minimaalvoor k = 1 (fig. 2), dus voor een hoek = 45? . Het eindresul-taat is:nsx= nxx+ nxy(4a)nsy= nyy+ nxy(4b)De kracht in de betondiagonalen wordt:nc= 2nxy(met nc> 0 bij druk). (5)23themaVan spanning naar wapening3201430mxxmxyyiysys + yi = zmyxmyyzyxtopszmxyzmxxzmyxzmyybottomizmxyzmxx-zmyy-zmyxyxz0v0tan v0v0dvdv ? cot 21v0tan 21v0v0sin v0tan v0 = vx2+ vy2 = 21,6? - 45?4 Plaatelement met momenten gesplitst in een boven- en een onderschijf(sandwichmodel)5 Het opnemen van een dwarskracht door een stelsel van drukdiagonalenen additionele (schijf)krachten op de boven- en onderschijfDoor de buigende momenten te vervangen door koppels vankrachten is dit te realiseren (fig. 4). De normaalkrachten enschuifkrachten die hierdoor worden ge?ntroduceerd, belastende boven- en onderschijf. De wapening in deze twee schijvenkan met de voorgaand besproken schijftheorie worden gedi-mensioneerd. Bijzondere aandacht verdient de aanvullendecomponent, te weten de dwarskracht. Deze wordt opgenomendoor de kern. In de EEM-analyse worden dwarskrachten vxinx-richting en vyin y-richting berekend. Er is een richting in hetplaatvlak waarin de dwarskracht maximaal is. Deze wordt v0genoemd en de richting wordt vastgelegd door de hoek 0metde x-as (fig. 5). Deze maximale dwarskracht roept in de kerndrukdiagonalen op onder een hoek met het vlak van de plaat.Bij het controleren van het afschuifdraagvermogen spelen dewapeningsverhoudingen in x- en y-richting een rol. Daarom kanvan een equivalente wapeningsverhouding gebruik wordengemaakt. Deze wordt berekend door de in x- en y-richting aanwe-zige wapening tot een equivalente wapeningsverhouding in derichting met de grootste dwarskracht om te rekenen. Als uit eencontrole op dwarskrachtweerstand blijkt dat dwarskrachtwape-ning nodig is, moeten langskrachten worden toegevoegd aan dekrachten die in de boven- en onderschijf werkzaam zijn [1]. Dezelangskrachten worden berekend met het staafwerkmodel voor hetopnemen van de dwarskracht. Figuur 5 toont het principe. Dezeaanpak komt overeen met het bekende `verschuiven van demomentenlijn in ongunstige zin'. Het is ook mogelijk een bijko-mende wapeningstrekkracht te berekenen (fig. 5). Dat is in reken-programmatuur eenvoudiger op te nemen.Het betreft de overgang tussen de kwadranten rechtsboven enrechtsonder. Een vergelijkbare situatie treedt op in de alstweede genoemde situatie. Nu wordt overgestapt van wapenenin x- ?n y-richting naar wapenen in alleen y-richting (kwadran-ten rechtsboven en linksboven). Ten slotte is er nog eenkwadrant dat wordt gekenmerkt door het afwezig zijn vanbetonhoofdtrekspanningen. Het kwadrant bevindt zich links-onder en de bijbehorende spanningstoestand vraagt geenwapening. De gekromde overgangszone met de twee naastgele-gen kwadranten wordt beschreven met nxxnyy/ (nxy)2= 1.Voor de situaties dat ?f geen wapening in x-richting ?f geenwapening in y-richting nodig is, kunnen desgewenst toch deregels van vergelijkingen (4a) en (4b) worden gebruikt, maardit is niet heel economisch.PlatenIn een plaat treden in het algemeen buigende en wringendemomenten en dwarskrachten op. De voor het schijfelementbekende aanpak kan worden toegepast. Daartoe wordt de plaatgesplitst in drie lagen (fig. 4). Te onderscheiden zijn een boven-schijf, een onderschijf en een kern, dus een `sandwichmodel'[1]. De twee schijven worden gedacht alleen in hun vlak te zijnbelast; de kern wordt loodrecht op zijn vlak belast.45Van spanning naar wapening 32014 31nxymxy mxxnxxyiysys + yi = zmyxnyx nyymyyzyxtopszmxybottomizz - ys =- nxy +zmyx- (1 - ) nyx +zmyy(1 - ) nyy -zmxx(1 - ) nxx -z - yi1 - =zzmxy(1 - ) nxy +zmxxnxx +zmyxnyx + zmyynyy +6 Schaalelement met schijfkrachten en momenten gesplitst in een boven- eneen onderschijf (sandwichmodel)In de berekening volgens het sandwichmodel uit Eurocode 2deel 2 is geen rekening gehouden met het aanbrengen van eenminimumwapening in de richtingen waarin theoretisch geenwapening is benodigd. Uiteraard is het mogelijk in de modellenrekening te houden met minimumwapening.Het model van Louren?o en Blaauwendraad [5] bevat een itera-tieprocedure waarmee kan worden geoptimaliseerd. In dieprocedure kan ook rekening worden gehouden met een theore-tische wapeningsbehoefte die kleiner is dan nul. Door de hoekvan de drukdiagonalen/scheuren in de boven- en onderschijf tevari?ren, kunnen stelsels van betondrukdiagonalen en wape-ningstrekstaven worden gevonden die leiden tot een geringerewapeningsbehoefte. Ook de dikten van de onder- en boven-schijf zijn daarbij als variabelen mee te nemen.Tot slotDe auteurs geven in dit artikel een beknopt overzicht van destappen die spanningen of krachten door uitwendige belastin-gen vertalen in wapenings- en betonspanningen. Daarbij blijktdat op lokaal niveau wordt gekeken, dus op elementniveau. Despanningen en krachten die als invoer voor de berekeningendienen, worden meestal aan een lineair-elastische analyseontleend.Voorgaande constateringen vragen enige aanvullende opmer-kingen. De eerste is dat uit een berekening van element naelement een onpraktische wapeningsverdeling volgt. In werke-lijkheid zal de constructeur kiezen voor een praktisch net. Eentweede opmerking is dat de wapeningsverdeling goed past bijde bruikbaarheidstoestand, maar niet noodzakelijkerwijs debeste is voor de bezwijktoestand. Door scheurvorming kansprake zijn van een substanti?le herverdeling in de krachtswer-king. In een plaat kan de hefboomsarm groter worden waar-door de bezwijkbelasting groter kan worden dan verwacht.Ten slotte dient te worden opgemerkt dat de getoonde algorit-men geen aanwijzingen inhouden voor goede verankerings-lengten en het onverzwakt doorvoeren van trekbanden. SchalenDe schaal combineert de normaal- en schuifkrachten van de schijfmet de buigende en wringende momenten en dwarskrachten vande plaat. De verschillen met een plaatelement zijn beperkt. Deboven- en onderschijf van het sandwichmodel nemen ook nu deuitwendige krachten op die als normaal- en schuifkrachten op hetgeheel worden uitgeoefend. Deze krachten worden verdeeld overde twee schijven. Dit toebedelen vindt plaats op basis van deexcentriciteiten van de betreffende wapeningslagen in de boven-en onderschijf van het gehanteerde assenstelsel (fig. 6). De toet-sing op dwarskracht vindt plaats als bij een plaat.In praktijkberekeningen zal meestal geen onderscheid wordengemaakt tussen de excentriciteiten van de wapeningslagen inx- en y-richting. In figuur 6 is hiermee al rekening gehoudendoor uit te gaan van factor en factor 1 ? voor alle wapeningin, respectievelijk, de boven- en onderschijf. De uitdrukkingenworden er aanzienlijk eenvoudiger van.Het drielagenmodel uit Eurocode 2 deel 2 is goed toepasbaarbij niet al te hoge wapeningsverhoudingen en bij niet-domi-nante wringing [5]. Deze eisen zullen in de constructeursprak-tijk veelal niet tot problemen leiden. literatuur1 NEN-EN 1992-2: Eurocode 2: Ontwerp en berekening vanbetonconstructies ? Bruggen.2 Baumann, Th., Tragwirkung orthogonalerBewehrungsnetzebeliebiger richtung in Fl?chentragwerken ausStahlbeton. Deutscher Ausschuss f?r Stahlbeton, Heft 217, 1972, p. 53.3 Baumann, Th., Zur Frage der Netzbewehrung vonFl?chentragwerken. Der Bauingenieur, vol. 47, 1972, pp. 367-377.4 Wapenen van platen. CUR-rapport 54, CUR, Gouda, 1972, p. 60.5 Louren?o, P.B., Blaauwendraad, J., Aanzet tot consistent wapenen vanschijven, platen en schalen I en II. Cement 1995/2 en Cement 1995/3.6