Berekening van kolommen met rechthoekige door-snede op centrische en excentrische druk en trekmet de breukmethode volgens de G.B.Y. 1962U.D.C. 624.075.2-.539.4.01door berekening kolommen: breukmethodeir. W. M. van den G oor ber gh, met medewerking van ir. . . a der M a a s voor de samenstelling van de tabel (resp. adjunct-directeur enbedrijfsingenieur van Wernink's Beton- en Aanneming Mij. N.V. te Leiden)InleidingEen eenvoudige, overzichtelijke methode voor de berekening van de veelvoorkomende kolommen met rechthoekige doorsnede is gewenst.In dit artikel worden o n t w e r p - en c o n t r o l e f o r m u l e s afgeleid,die gelden voor elke beton- en staalkwaliteit. Vervolgens is een tabelsamengesteld, met behulp waarvan de berekening vlug kan geschieden.Het gebruik van de tabel wordt met enige r e k e n v o o r b e e l dentoegelicht.Volledigheidshalve wordt deze methode van berekening voor centrischeen excentrische druk ook behandeld voor zuivere buiging.Notaties (fig. 1)Daar de wapening aan beide zijden van de doorsnede zoweldruk- als trekwapening kan zijn, worden de notaties A1, A2,?"a,/ 0"a2- ?o,/ Sa2 ingevoerd.Als positief ?negatief) is, betekent dit een druk-(frek-)spanning.Evenzo betekent positief [negatief) een specifieke verkorting[verlenging) van staal.Gesteld wordt, dat d-? = ?2 = d.Hoekverdraaiing van de doorsnede (fig. 2) De neutrale lijn kan zowel inals buiten de doorsnede liggen. Voor beide gevallen wordt het verbandtussen de specifieke verkortingen en/of verlengingen van beton en staalweergegeven door:8'u : ] : Sa?, = X : ( -- d) : (x -- h) ofx:d:h = ',,: (e'u --, ):(',,-- ^ = 0,102 et(max.)_ (0,490 -- 0,466). . 135 + (0,03--0,01) . . 4800 _h -- d (0,490 + 0,466). . 135 + (0,03 + 0,01 ). . 4800 ~= 0,31,, ,,,h -- d ,, ,,, 0,95 fi. ,, ,, , etbnax.) =0,31^-- =0,31 ? -- ? = ?M h,Bij centrische druk zal meestal Ai = A2 zijn, dus e,(max_) nog kleiner.Volgens de G.B.V. 1962 moet echter gerekend worden met een minimaleexcentriciteit et = 0,13 fit + e2 (z -----is, dan moet fcj . . ',, + 2 ? 2 negatief zijn,dus 0 < < hDe oplossing ligt in gebied ?, @, ?.Voor een ontwerp- en controleberekening gelden dus de regels:ontwerp- en controleregelsL ___________ Je, < --s--, gebied ? of ?, ?Stel = X2-3 = h / enz?e, >--y-/ gebied ?, ?, ? Stel =_4, enz.8. Bij een symmetrische wapening kan de eerste controleformulegeschreven worden als volgt:N',, = , + k2).B. ',, + 4A,. ( , + 2) Daar ? gebied ? + = 0 is, is de grootte van N',, ten opzichte van (k-\ + k2) ? ? ' bij degrenzen X3.4 en X4.5 bepalend voor het gebied, waarin de oplossing ligt.Rekening houdende met gestelde onder punt 7 krijgt men nu het volgendeoverzicht.symmetrische wapeningN'u.',,et (1e? )N'u gebied>{^ + k2) bij X3.4 fe2 bij 2-3 = hi ?< i + k2) bij X3.4 -- -- ?> (fci + fe2) bij X4.5< (fei + k2) bij X4.5 >i -- ?IN XIn gebied ? is k, + k2 = ?-- = i ? , en = - = a'e.De wapening is direct te bepalen met een van de ontwerpformu-les. Door de waarde van -?-= -- . _---, in te vullen in de twee-h, 2 8 . ,,de controleformule krijgt men:A >?-TM-?%4 ,9. De sterkte in de a-richting van de doorsnede kan berekend worden meta. de benaderingsformule voor centrische druk (art. 48 vande G.V.B. 1962)N',, = 8. ',, + ,.'>. ? N', waarin = 2,5. At is in dit verband gelijkaan de kleinste waarde van 2 A-? en 2A2, daar de wapeningsymmetrisch moet zijn ten opzichte van beide hoofdassen (art. 48, lid10).Als et>------ is, zal meestal . . ' reeds kleiner dan . ' zijn.b. de formules voor excentrische druk, waarin eo = 0.Deze formules geven een gunstiger uitkomst, vooral bij slankekolommen (zie rekenvoorbeeld 3, blz. 564) en kunnen gebruiktworden als de benaderingsformule niet toereikend is.70. Uit de controleformules kan men afleiden:N-^ = lk] + k2) .0^+^,0^+^-. a,,2 > _ ^ - < 2 ) . + . - . 2 h_d' (fe, + fe2).a'u+A?'.aai+A?2.aa2 ' '2h>-of 8 = f] . N'u en ht = f2 . efBij een gekozen beton- en staalkwaliteit, druk- en trekwapenings-percentage en -?- -verhouding, zijn de factoren f-? en f2 alleenafhankelijk van x.562Voor het bepalen van de betonafmetingen kan een uitwerking van dezeformules in tabelvorm van nut zijn.77. Voor de berekening van ronde kolommen kan dezelfde methodeworden gevolgd als in dit artikel is aangegeven. De ont-werpformules zijn: _N>u -k,.R>. o-,,J-N'?-k*-R 2-a'?1h 5-De k-factoren zijn alleen afhankelijk van x, de /-factoren tevens van ' en--. Per staalsoort is dus een tabel teCentrische en excentrische trek,, = ., waarin, = 1,8 N,, wordt positief gesteld en et aan deA2-zijde van de doorsnede gedacht. Uit de formules voor excentrischedruk volgen d e o n t w e r p f o r m u l e s :Ai.oa] = (-h ^-? -J).Nu -ki.e.o'u- A2 . oa2 = ( h^-d + i).Nu + k2.B.o'ude c o n t r o l e f o r m u l e s :NU = -- (ki + fc2). ? ',, -- ,. -- 2 . J(h -- d])Geg..- een kolom van beton K300 met QR40a = 30 cm, b = 40 cm, d = 4 cm, /c = 600 cm N' = 40ton, et = ep + ei + e2 = 34,4 cmGevr.-. A] en A2Op/..? = 30 cm. 40 cm = 1200 cm2, ',, = 180 kg/cm2,. ' = 2Sterkte in de a-richting-,d= i, = 0,13> = |?=20, = 1,70a 30 a 30' = 6. ' + ,. ' > . . '216+ 4 ,> 2,5.1,7. 40 = 170 tonDit klopt, de wapening speelt geen rol.Sterkte in de b-richting:2d= ? = 0,22, h -- d = 32 cm, N',, = 1,8 . 40 = 72 ton 36, 34 4( h-? d + i). N',, = ( -^- + J). 72 = 113,4 tonPi 34 4(h--^- i) . N'u = ( ^- - i) . 72 = 41,4 ton.De oplossingen liggen in gebied ?, @, ?.In dit voorbeeld zullen uitvoerig diverse mogelijkheden wordenbeschouwd om een goed inzicht te krijgen in de problematiek.1. Stel = 0,754 h (gebied ?)A, . =113,4 -- 0,366.216 = 34,3ton A, =~= 8,6cm2--A2.aa2= 41,4+ 0,088.216 = 60,4 ton A2 =^=25,2 cm2Opm.: alsx>0,754h, dan A2>3Ai2. Stel x = 0,697h (gebied?),.=113,4 --0,348.216 = 38,2 ton A, = 3M= 9,6 cm2--2-2= 41,4 + 0,071 .216 = 56,7 ton A2=^7= 17,7cm23. Stel = X3.4 = 0,648 h (gebied ?),. , = 113,4 -- 0,332.216 = 41,7 ton A, =il'7=10,4cm2--2. = 41,4+0,059.216 = 54,1 ton A2 =^-= 13,5 cm224Opm..? At= 10,4+ 13,5 = 23,9 cm2, is minimaal.4. . Stel = 0,550 h (gebied ?)A, . aa, =113,4 -- 0,296.216 = 49,5 ton A, =^'5= 12,4 cm2--2.2 = 41,4+0,035.216 = 49,0 ton A2 = -^=12,3 cm2Opm..- bij symmetrische wapening Ai = A2 = 12,4 cm2At = 24,8cm25. Stel x = 0,400 h (gebied ?),.= 113,4 --0,229.216 = 63,9 ton A, = 63/9=16,0cm2--2.2= 41,4 +0,011.216 = 43,8 ton A2 = 4-^=ll,0cm26. Stel = X4.5 = 2,194 d = 0,241 fi (gebied ?),. 0] =113,4 -- 0,148.216 = 81,4ton A, =^=20,4cm2--2., = 41,4 --0,004.216 = 40,5 ton A2=^=10,1cm2247. Stel x = 1,771 d = 0,195 h (gebied?), ., =113,4 --0,122.216 = 87,0 ton A, =-^ = 27,2cm2--2. = 41,4 --0,005.216 = 40,3 ton A2=^=10,1cm28. Stel x = 1,615d = 0,178h (gebied?),. =113,4 -- 0,112.216 = 89,2 ton Ai=^=31,9cm212,8--2?2= 41,4 --0,005.216 = 40,3 ton A2 = ^-3= 10,1 cm2Opm..?A,>3A2De in het voorgaande genoemde oplossingen, in grafiek gebracht (fig. 8),geven een goed inzicht.Opm..? In gebied @, dus wanneer 0,648/ > >0,241 fi, verlopen Ai, A2 enAf bijna rechtlijnig.V o o r b e e l d 2 (excentrische druk, et < J (h -- d) )Geg.: een kolom van beton 225 met QR24a = 40 cm, b = 50 cm, d = 4,5 cm, lc -- 440 cm N' = 100ton, e, = e0 + ei + e2 = 18cmGevr.: A] en A2Opl. : 6 = 40 cm . 50 cm = 2000 cm2, ',, = 135 kg/cm2,B.a'u=270tonSterkte in de a-richting:d= ^=0,ll, ^ = 11, = 1,20a 40 a 40 ' = . ' + ,. ' 6 > . . '270 + 2,4 . , > 2,5 .1,2 .100 = 300 tonDit klopt, als Af ^- A-T-- = 12,5 cm2, hetgeen het geval blijktte zijn.Sferfete in de b-richting:2d= '^ =0,20, h -- d = 41cm, N',, = 1,8.100 = h 45,5= 180 ton(^^ + 4)-^ = (^+1).180 = 169,0 ton(h-^--i).N'u = (^-4).180 = -11,0 tonAls = h dan is k2 . . ',, = 0,185 . 270 = 50 ton > 11,0 ton Deoplossingen liggen in gebied ?, ?.h Stel x = 0,902fi (gebied?),.>= 169,0--0,403.270 = 60,2 ton A, = 60'2= 25,1 cm2--A7.aa =--11,0 + 0,145.270 = 28,2ton A2 = 2?'2= 35,3cm2* 2 0,8Opm..? als > 0,902 h , dan A2>3A,Cement XV (1963) Nr. 9 5632. Stel = 0,860 h (gebied ).= 169,0--0,393.270 = 62,9 ton A, =yf= 26,2 cm2--2.2 = --11,0 + 0,129.270 = 23,8 ton A2=y^= 19,8cm23. Stel = 0,821 h (gebied ?),.] = 169,0--0,383.270 = 65,6ton A, =^-=27,3cm2--2., = --11,0 + 0,115.270 = 20,1 ton A2 =^-= 12,6cm21,64. Stel = 0,786 h (gebied (?))A, . = 169,0--0,374 . 270 = 68,0 ton A, =^r= 28,3 cm2--2.2=--11,0 + 0,103.27? = 16,8ton A2=^= 8,4cm25. Stel = X3.4 = 0,754 h (gebied ?)!.= 169,0-0,365.270 = 70,4 ton A, =^~=29,4cm2--A2 . ,,2 =--11,0 + 0,093 . 270 = 14,1 ton A2 =~j= 5,9 cm2Opm.-. A, = 29,4 + 5,9 = 35,3 cm2, is minimaal. A,>3A2. AlsAi kleinerwordt, dan worden At en -r- groter.A2De oplossing met symmetrische wapening ligt tussen oplossing? en 2. Ai = A2 is te stellen op ---------- = 25,7 cm2. At == 51,4 cm2..De oplossing met minimale wapening, waarbij ~ = 3, ligtA2 97 3 -?- 28 3tussen oplossing 3 en 4. A] = 3A2 is te stellen op--'------- =27,8 cm2. A, = 27,8 + 9,3 = 37,1 cm2.V o o r b e e l d 3 (centrische druk)Geg. : een kolom van beton 300 met QR 24a = b = 30 cm, d = 4 cm, /c = 300 cmN' = 80 ton, e0 = 0Gevr.: Ai en A2Opl.: = 30 cm . 30 cm = 900 cm2, ',, = 180 kg/cm2,.',, = 162 tonMet de formules voor excentrische druk:-^ = ^,-=0,31, h -- d = 22cm, N'u = 1,8 . 80 = 144 ton ?oe, = 0,13 . 30 + 3,62 . (~^)2. 30 = 3,9 + 1,1 = 5,0 cm (^+1).^= (^ + 4).144= 104,7 ton(? - 4) ? N'u = ?-- J) . 144 =-39,3 tonAls = h dan is k2.B . ',, = 0,154 .162 = 24,9 ton < 39,3 ton Deoplossingen liggen in gebied @. /. Stel x = 1,058 h ,.,= 104,7--0,437.162= 33,9 ton A, =?M = 14,1 cm2-2., = -39,3+ 0,175.162 =-10,9 ton A2=IM=27/3cm220,42. Stel = 1,122 h,.= 104,7--0,445.162= 32,6 ton A, = -= 13,6 cm22,4--2. , = -- 39,3 + 0,204.162= --6,3 ton A2=??-= 7,9cm20,8De oplossing met symmetrische wapening ligt tussen oplossing ? en 2. A]= A2 is te stellen op---------- = 13,9 cm2. At = = 27,8 cm2. Met de formulevoor centrische druk:^-4 = 0.13. i*=?J=10. = 1.17a 30 a 30' = .' + ,.' = ..''? = 162 + 2,4At = 2,5 .1,17.80 = 234 ton. 234-162 ,nn 2At = --?r-j-- = 30,0 cm2Opm.: At met de formule voor centrische druk is 7% groter dan At met deformules voor excentrische druk. Als /c = 450 cm (e, = 6,4 cm, = 1,36) isAt (= 45,8 cm2) met de formule voor centrische druk 23% groter dan At (=37,2 cm2) met de formules voor excentrische druk.V o o r b e e l d 4 ?controle-berekening)Geg..? een kolom van beton 225 met QR40a = 25 cm, b = 40cm, d = 4,7cm, /c = 5?0cm A,= 3 022 = 11,4 cm2,A2 =2022 = 7,6cm2Gevr.: Is deze kolom sterk genoeg voor N' = 45ton eneo = 10 cm?Op/..? = 25 cm . 40 cm = 1000 cm2, ',, = 135 kg/cm2,. ',, = 135 tonSterfcte in de a-richting:a. met de formule voor centrische druk:At = 2. 7,6 cm2= 15,2 cm2^ = ?=0,19,^ = 5=20^ = 1,76a 25 a 25. . '= 2,5 .1,76 . 45 = 198 ton',, = . ',, + At. ' = 135 + 15,2 . 4 == 195,8 ton < 198 tonN'u is iets te klein, daarom:b. met de formules voor excentrische druk:2d 94^ = ^1=0,46, h --d = 15,6 cm, A, = A2 = 7,6 cm2e, = 0,13 . 25 + 3,98 . (,?2. 25 = 3,3 + 4,0 = 7,3 cm ?DUUN'u = 1,8. 45 = 81 ton^ = ^=0,94 h--d 15,6 'e, < J (h -- d), dus controleren in gebied @ of @, ??. Stel = 2_ = hN'u = (0,441 + 0,102). 135 + 7,6 . 4 = 73,3 + 30,4 == 103,7 ton > 81 tonl?L. . N'u = (0,441 --0,102) . 135 + 7,6 . 4 = 45,8 + 30,4 = h -- a= 76,2 ton** =??-= 0,73 0,94h--d 84,3De kolom is dus sterk genoeg in de a-richting.Sterfcte ?n de b-richting:2d 94?i- = 5h=0,27, h-d = 30,6 cm h 35,3= 10+ 5,2+ 4,2 = 19,4 cm N'u = 1,8.45= 81 ton 2 et _38,8 h-d' 30,6 ' et > J (h -- d), dus controleren in gebied (3),?, (5).7. Stel = X3.4 = 0,648 hN'u = (0,334 + 0,048) . 135 + 11,4 . 4 -- 7,6 . 4 == 51,6 + 45,6--30,4 = 66,8 ton < 81 tonr^ . N'u = (0,334 -- 0,048). 135 + 11,4 . 4 + 7,6 . 4 == 38,6 + 45,6 J- 30,4 = 114,6 ton564 Cement XV (1963) Nr. 9^L =114'6==1,72>1,27 h--d 66,8''"-"'"2. Stel x = 0,724h (gebied?)N'u = (0,359 + 0,067). 135 + 45,6 -- 7,6 . 2,8 == 57,5 + 45,6 -- 21,3 = 81,8 ton > 81 ton7? ? N'u = (0,359 -- 0,067) .135 4- 45,6 + 7,6 . 2,8 == 39,4 + 45,6 + 21,3 = 106,3 tona-E-">'"De kolom ?s dus sterk genoeg in de b-richting.Opmerking:Een berekening van N'u en.----. bij diverse waarden van in --ade b-richting geeft het volgende grafische beeld (fig. 9).V o o r b e e l d 5 (excentrische druk) Geg..?een kolom van 300 met QR40/c = 550cm/ A, = 0,04B,i = 5O43=0
Reacties