C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n g B e r e k e n i n g 56 cement 2006 7 A A doorsnede A-A kolom balk balk ophangwapening hsp beugels Abbeugels A o A Adoorsnede A-A kolom 2 3 2 3 prof.ir. C.S. Kleinman, TU Eindhoven, fac. Bouwkunde, C onstructief On twe rpen Bij het berekenen worden nokken en neuzen vaak op dezelfde manier beschouwd, met verwijzing naar NEN 6720. Zelfs de verplaatsing van de momentenlijn en de daaruit volgende verandering van dwarskrachtslankheid wordt niet meegenomen, omdat wordt gesteld dat de ophangwapening de functie van starre ondersteuning in het gehanteerde vakwerkmodel kan vervullen. Dat dit onjuist is zullen we in twee artikelen nader toelichten. Het in figuur 1 afgebeelde detail komt in de huidige constructiepraktijk zeer vaak voor. Veelal wordt dit gewa- pend als in figuur 2. Uit nadere berekening van de tand- oplegging, die als console wordt gedimensioneerd, zou dan blijken dat deze als gedrongen ligger géén dwars- krachtwapening zou behoeven. Niets is minder waar. Alvorens we nader ingaan op de veronderstelde detail- krachtswerking, werken we een voorbeeld uit. R e k e n v o o r b e e l d Gegeven een doorgaande ligger als in figuur 3. In snede 1 vinden we: M d en T d en k ? = 1. M d wordt omgezet in wapening A b. De T d geeft een ?d = 1,12 N/mm 2 Bij een ?1 = 0,60 N/mm 2 moeten we afwapenen met beugels met ?s = 1,12 ? 0,60 = 0,52 N/mm 2. Dit geschiedt als weergegeven in figuur 4. Nu wil men deze balk prefabriceren (zelfde beton- sterkteklasse, zelfde staalkwaliteit) en uitvoeren als in figuur 5; scharnier in momentennulpunt. Voor het deel links van snede 2/2 vinden we ?d = 1,0 N/mm 2 en ?1 = 0,6 N/mm 2. Afwapenen met ?s = 0,4 N/mm 2 door middel van beugels. Voor het gedeelte rechts van snede 3/3: idem, afwape- nen met ?s = 0,4 N/mm 2. Echter: voor de tanden zou géén beugelwapening behoeven te worden voorzien, omdat dit een gedron- gen 'ligger' zou zijn, waarbij een ?1 = 3,2 N/mm 2 past. In verband met een wijziging in het ontwerp moeten we de situatie als in figuur 6 creëren. Nu is de ingehangen balk opeens geen gedrongen constructie meer; ?1 wordt weer 0,60 N/mm 2 en we moeten beugels toepassen. K r a c h t s w e r k i n g t a n d We beschouwen een veel voorkomende balk uit een strokenvloer. Allereerst de krachtswerking nabij de tandoplegging in het ongescheurde stadium, waarna we overgaan naar de gewapende versie waarbij sprake is van de gescheurde fase waarin de wapening de haar toegedichte rol vervult. Als bezwijkomhullende hanteren we figuur 7. Nokken met die Tanden! kolom balk balk dwarskrachtwapening géén dwarskrachtwapening maaiveld folie a b1 1 X Y AZd c 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gB e r e k e n i n g cement 2006 7 57 2 (N/mm 2) 1 (N/mm 2) ? ? -30 bezwijkomhullende hoofdspanningen -25 +3 +3 -25 -30 H o m o g e e n o n g e s c h e u r d De Tand Tabel 1 vermeldt de afmetingen van balk en tand. Ta b el 1 balk tand lengte 8 100 300 hoogte 680 280 breedte 1050 1050 We beschouwen een balk als in figuur 8. Met behulp van een schijvenprogramma onderzoeken we wat de hoofdspanningen in de elementen zijn. In dit voor- beeld richten we ons op de elementjes die direct langs de doorsnedewisseling liggen en genummerd zijn van 1 t.m. 4. We bepalen nu de belasting Q die in element 4 een hoofdtrekspanning ? veroorzaakt van 3 N/mm 2. Dit blijkt het geval te zijn bij een belasting die een ople- greactie R veroorzaakt van 146 KN. De gemiddelde schuifspanning bedraagt derhalve 0,5 N/mm 2. Tabel 2 geeft een overzicht van de spanningstoestand voor de elementjes 1 t.m. 4. Ta b el 2 element ?x ?y ? tg ? ?1 ?2 1 -1,09 0,02 0,17 -0,15 -1,11 0,47 2 -0,29 0,21 0,41 -0,56 -0,53 0,44 3 0,39 0,60 0,56 -0,84 -0,08 1,07 4 2,70 0,98 0,27 0,39 3,0 0 ,67 De Console We beschouwen de console die dezelfde geometrie heeft als de tand (fig. 9). We bepalen de belasting P gelijk aan oplegreactie R die in element 4 eveneens een hoofdtrekspanning veroorzaakt van 3 N/mm 2. Dit is het geval bij R = 427 N/mm 2. Tabel 3 geeft weer een overzicht van de spanningstoe- stand in de elementen 1 t.m. 4. Ta b el 3 element ?x ?y ? tg ? ?1 ?2 1 -2,93 -2,65 2,29 -0,94 -5,08 -0,50 2 0,09 -1,82 1,28 0,50 0,73 -2,46 3 0,20 -0,72 1,32 0,71 1,15 1,66 4 2,64 0,70 0,92 0,40 3,0 0,35 Als we tabellen 2 en 3 vergelijken, zien we dat element 4 in de balk op het punt staat te scheuren bij een belasting van 146 kN en dat hetzelfde element in de tand als console op het punt staat te scheuren bij 427 kN ( ? = 1,45 N/mm 2). Dit is een factor 2,9. Conclusie: P scheur;console / P scheur;balk = 2,9. D e g e w a p e n d e t a n d c . q . c o n s o l e De Tand We beschouwen de balk als in figuur 10. De afmetin- gen staan vermeld in tabel 1. Teneinde een absolute bovengrens te kunnen behande- len, stellen we dat de balk rechts van snede 1-1 elke trekspanning kan opnemen, hoe groot ook, en derhalve ongescheurd blijft. De 'ophangwapening', waarover in een volgend artikel meer, functioneert derhalve uitste- kend. In de praktijk wordt de tand gedimensioneerd door middel van de zogenoemde gedrongen consolebereke- Ltand htand hbalk Lbalk Q/m' 150 280 150 1 8 2 7 3 6 4 5 A detail A R 7 | 8 | 150 280 150 1 2 3 4 P=R P=R 9 | Ltand htand hbalk Lbalk Q/m' 150 1 1 A detail A hsp 2200 mm 2 1 0 | C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n g B e r e k e n i n g 58 cement 2006 7 ning. Er wordt vervolgens 2200 mm 2 tandwapening toegepast bij een oplegreactie van 810 kN. De ?d bedraagt dan 2,9 N/mm 2. Gevonden wordt dan dat ?1 > ?2, om als bovengrens ?2 = 4,2 N/mm 2 (B 35) te vinden. De conclusie luidt dan: de tand behoeft geen dwarskrachtwapening. Laten we inzoomen: we modelleren de tand als in figuur 11. We gaan uit van een langeduur elasticiteits- modulus beton van 10 000 N/mm 2; voor het staal houden we 210 000 N/mm 2 aan. De doorsnede behandelen we in het ongescheurde stadium als een EA zware doorsnede; in het gescheurde stadium neemt het staal de volledige belasting op. Op deze wijze modelleren we een discrete scheur in het gebied tussen de X-assen 10 en 11. De elementen zijn genummerd 1 t.m. 8. Na een aantal iteraties, waarbij we de belasting suc- cessievelijk ophogen, verkrijgen we bij P = 530 kN het beeld als in figuur 12: een discrete scheur lopend van element 4 t.m. 8. In tabel 4 staan de gevonden waarden voor de nog werkzame elementen in de beschouwde snede. Ta b el 4 element tg ? ?1 ? 2 1 -0,20 -4,20 0,10 2 -0,48 -3,70 0,90 3 -0,74 -4,90 3,10 4 scheur 5 scheur 6 scheur 7 wapening 223 N/mm 2 8 scheur We zien derhalve dat in element 3, direct onder de EA-zware doorsnede (staal) de ?2 gelijk is aan 3,0 N/mm 2. Het breukcriterium aldaar wordt over- schreden en de scheur breidt zich uit tot in de wape- ningszone. De wapening moet vervolgens als deuvel de kracht overbrengen naar de 'hoge' balk. De onderwapening treft het: de bovenwapening gaat werken als een op afschuiving belast anker en drukt de dekking van de balk, daarmee het typische scholef- fect bewerkstelligend. De Console Dezelfde situatie, maar nu als console (fig. 13). We beschouwen wederom doorsnede 1-1. We vinden, bij dezelfde belasting als voor de balk: P = 530 kN. Ta b el 5 element tg ? ?1 ?2 1 0,79 -2,23 -11,93 2 0,44 -0,97 -4,17 3 0,50 -0,13 -3,35 4 0,59 0,48 -2,35 5 0,73 0,99 -1,57 6 0,84 1,67 -0,78 7 0,71 2,34 0,31 8 0,41 6,83 0,82 We zien derhalve dat alleen in element 8 het bezwijk- criterium wordt overschreden en scheuring zal gaan optreden, hiermede de trekwapening activerend. Dan wordt het beeld als in tabel 6. 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 812 14 wapening wapening R x y 2 4 6 8 10 12 14 1 1 | 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 812 14 wapening wapening R=530 kN x y 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 812 14 wapening wapening R P=R x y 2 4 6 8 10 12 14 1 2 | 1 3 | C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gB e r e k e n i n g cement 2006 7 59 Ta b el 6 element tg ? ?1 ?2 1 0,86 -2,60 -12,30 2 0,55 -1,17 -4,33 3 0,60 0,10 -3,49 4 0,70 1,08 -2,45 5 0,70 2,58 -1,76 6 scheur 7 wapening 164 N/mm 2 8 scheur We zien een groot verschil. De tand is aan het bezwij- ken, terwijl de console nog een lange weg te gaan heeft. Ook zien we dat de staalspanning in de console aan- zienlijk lager is dan de staalspanning in de tand, dankzij het nog intact zijn van vrijwel de volledige doorsnede. De tand zal bezwijken conform het patroon van figuur 14. De scheur zal afbuigen, het gebied in dat we in het rekenmodel ongescheurd hadden aangenomen. Op dit verloop alsmede de modellering van dit gebied met 'werkzame' ophangwapening, zullen we in een volgend artikel terugkomen. In de console daarentegen zien we een duidelijke druk- diagonaal die rechtstreeks naar het afdrachtpunt P loopt. D w a r s k r a c h t s l a n k h e i d De vraag die zich nu voordoet is: wat is de lengte van een balk (h x b = 280 x 1050 mm 2), aan het uiteinde gewapend als voorgaande tand en belast door een belasting Q, die een reactie geeft van 530 kN en een- zelfde spanningsbeeld creëert in de beschouwde door- snede 1-1? Dit hebben we iteratief onderzocht, met ook hier dezelfde veronderstelling voor de balk rechts van doorsnede 1-1: geen scheurvorming. Het zal niet mogelijk zijn om binnen een schijven- programma bij een andere geometrie dezelfde span- ningsverdeling te vinden. We volstaan met een situa- tie die er veel op lijkt. Op deze wijze vinden we een indicatie voor de dwarskrachtslankheid. We starten met een ligger met een totale lengte van 2200 mm, zodat L = 1900 mm. Vervolgens maken we de balk systematisch korter, maar wel zo dat de opleg- reactie gelijk blijft (fig. 15). Uiteindelijk vinden we een situatie die redelijk overeenkomt met de gezochte spanningsverdeling. Dit levert een balk op met een totale lengte van 1660 mm en derhalve een L = 1330 mm. De spanningsverdeling zien we in tabel 7. Ta b el 7 element tg ? ?1 ?2 1 -0,23 -4,20 -0,50 2 -0,54 -3,80 0,60 3 -0,87 -4,80 3,10 4 scheur 5 scheur 6 scheur 7 wapening 202 N/mm 2 8 scheur Beschouwen we de dwarskrachtslankheid, dan zien we dat deze circa 2,3 bedraagt, en niet kleiner is dan 1, zoals helaas in vele berekeningen wordt gehan- teerd. S a m e n v a t t i n g Tanden en consoles wijken in hun gedrag sterk van elkaar af. De belasting bij scheuren ligt bij tanden aanzienlijk lager dan bij consoles. In het gescheurde stadium kan de drukdiagonaal zich bij de console ontwikkelen conform het vakwerkmodel. Bij de tand ligt de maximale belasting waarbij even- wicht mogelijk is, aanzienlijk lager. De veronder- stelde drukdiagonaal heeft een geringe drukzone ter beschikking, waarbij de overdracht naar de zogehe- ten ophangwapening zou moeten plaatshebben in een zone van circa 35 mm. Dit is precies het gebied van de kromtestraal in deze staaf. Inleiding zal der- halve niet mogelijk zijn. De gevonden dwars- krachtslankheid is zelfs groter dan de dwars- krachtslankheid volgens NEN 6720 bij verschoven momentenlijn, waarmee we moeten rekenen. We adviseren om tanden te berekenen met een dwarskrachtslankheid > 2, en niet als een gedrongen ligger. Dat we daarnaast moeten denken aan een hori- zontale belasting op de tand in functie van de verti- cale belasting, de temperatuur en krimpinvloeden (wrijvingsloos oplegmateriaal passen we niet toe), spreekt voor zichzelf. In een volgend artikel zullen we de invloed van scheurvorming in de balk rechts van de in dit artikel onderzochte snede beschouwen. n 2 4 6 8 10 12 14 wapening wapening R=530 kN x y 2 4 6 8 10 12 14 1 3 4 5 6 7 8 2 10 11 1 9 R = 530 kN150 2200 mm 2 280 L ? 1 4 | 1 5 |