Als men door twee loodrecht op elkaar staan-de assen een bepaald vlak aanbrengt endaarna 2 tegenover elkaar gelegen hoekpun-ten van het vlak naar beneden verplaatst,waardoor de 2 andere hoekpunten omhoogzullen komen, ontstaat een scheluw vlak. Debeschrijvenden van dit vlak zijn rechte lijnen.Brengt men nu een loodrechte snede aan,dan ontstaat een parabool. Wordt de snedeniet loodrecht aangebracht, dan ontstaat eenhyperbool.Een door loodrecht staande vlakken, respec-tievelijk parabolen, begrensde hyperbolischeparaboloide.Zoals bekend is houd ik mij slechts bezig meteen bepaald gebied v an de ruimtelijkedraagconstructies; het betref t zelf s een zeerbepaald onderdeel erv an, namelijk de bouwv an schaaldaken. Deze momenteel reeds dik-wijls gerealiseerde constructies hebben in hetalgemeen slechts een geringe ov erspanning.De oorzaak hierv an is gelegen in het f eitdat ieder constructie-sy steem slechts tot eenbepaalde maximale ov erspanning op eco-nomische wijze kan worden toegepast.In enige gev allen echter zijn dergelijkeschaalconstructies met een buitengewoongrote ov erspanning gerealiseerd. Dit zou erde oorzaak v an kunnen zijn dat deze con-structiewijze in de laatste ?aren niet eenmeer uitgebreide.'toepassing heef t gev onden,daar deze gedeeltelijk 'onechte' schaalcon-structies, als gev olg v an de buitengewoongrote ov erspanningen, te kostbaar worden.Bij v ergroting v an de ov erspanning stijgende kosten v erhoudingsgewijs namelijk v eelsterker, speciaal, door de kosten v an bekis-ting en ondersteuningsconstructie.Bij v ergroting v an de ov erspanning v eran-dert tev ens de probleemstelling, dat wil zeg-gen, er ontstaan nieuwe problemen, die zichbij een v erantwoorde ov erspanning nietv oordoen. Dit kan ertoe leiden dat eenontwerp bij de uitv oering onrendabel wordt.Het af wegen v an kosten en rendabiliteit heef tbij mijn werk een grote rol gespeeld.Al v ele ?aren ben ik op het terrein v an descholenbouw werkzaam en wel om twee re-denen. In de eerste plaats heb ik een v oor-lief de v oor dit soort constructies, terwijl ikv erder moet proberen concurrerend te bou-wen, dat wil zeggen met een minimum aankosten.Ik geloof dan ook dat mijn belangrijkste bij-*) Vertaling v an het gelijknamige artikel, v erschenenin Bau, ?965, nr. 6.drage aan de scholenbouw gelegen is in hetf eit, dat ik wegen heb aangegev en om tekomen tot een, ten opzichte v an de traditio-nele constructies, goedkopere bouwwijzev an schaaldaken.Ik heb het geluk gehad in Mexico v eel scha-len te kunnen bouwen. Ik mag mij op ditmoment, na deze v ele ?aren praktijk, danook zo gelukkig achten een indruk in de ge-dragswijze v an deze schalen en tegelijk eengoed ov erzicht omtrent de bouw v an scha-len en de grondbeginselen erv an te hebbenv erkregen.Een gewelf v eroorzaakt drukkrachten in def undering, terwijl de in een gewelf optreden-de krachten v aststaan. In een boog is be-slissend welke buigspanningen kunnen wor-den opgenomen om als resultante erv andrukkrachten in de boog te v erkrijgen. Integenstelling hiermee kan men echter bij eenschaal de v oorwaarden zo v aststellen, datgeen buigbelasting in de schaal optreedt.Onderzoekingen hebben uitgewezen dat eenschaal in t wee richtingen gekromd moet zijnom te bereiken dat de erin optredendekrachten slechts in twee richtingen werken,in de ene richting druk en in de andere trek,en dat geen buigspanningen optreden. Mennoemt dit gedragspatroon wel de membraan-spanningstoestand.De membraanspanningen werken in elkpunt v an de schaal ev enwijdig aan het raak-v lak. Als gev olg daarv an treden ook derandspanningen v an de schaal ev enwijdigaan het raakv lak op. Dikwijls wordt er geenrekening mee gehouden dat dientengev olgeaan de uiterste randen v an de constructie enbij de opleggingen passende maatregelenmoeten worden genomen.Bij v eel schaalconstructies is het niet zondermeer mogelijk de v orm erv an door middelv an een eenv oudige wiskundige of meetkun-dige methode te bepalen. Fundamenteel be-staan er twee v erschillende sy stemen bij dedubbel-gekromde schalen:? de in beide richtingen op dezelf de wijzegekromde schalen, zoals bijv . de koepel-schalen;? schalen, waarbij de beide krommingentegenov ergesteld zijn en een zadelv ormgev en.794 Cement XVII (1965) Nr. 12Felix CANDELADaken bestaande uit hypeSamenvatting van een voordracht gehouden op het internationale Bouw-congres te Essen, 1962*olische parabolo?den'paraplu-schaal', eenv an de eenv oudigsteschaalconstructiesIn beide gev allen, ontstaan dubbel-gekrom-de v lakken, waarin alleen membraanspan-ningen zullen optreden.Bij het maken v an dit soort bouwwerken inbeton ontstaat, zoals gebruikelijk, de eis debekisting uit hout te v erv aardigen. De in??n richting dubbel-gekromde schalen v ra-gen een bijzonder ingewikkelde bekisting.Enige v an de dubbel-gekromde schalen be-zitten de bijzondere eigenschap dat zij alsbeschrijv enden rechte lijnen hebben. Hier-door is het mogelijk de bekisting uit rechtedelen op te bouwen, waardoor de construc-tie erv an v ereenv oudigd wordt. Het blijkt datv an de 3 tot 4 v erschillende grondv ormen v ande dubbel-gekromde v lakken, de hy perbo-lische paraboloide enkele bijzonder op dev oorgrond tredende eigenschappen bezit.Daarbij is het v olgens mij v an grotebetekenis dat de basisv ergelijkingen v an dehy perbolische paraboloide v an de tweedeorde zijn en daardoor op eenv oudige wijzeopgesteld kunnen worden. Hierdoor is hetmogelijk de diff erentiaalv ergelijkingen v oorde ev enwichtsv oorwaarden in ??n bereke-ningsf ase op te lossen.De v lakken v an de hy perbolische parabo-lo?den kunnen op v erschillende manierenworden begrensd, waardoor de mogelijk-heid ontstaat hy perbolische parabolo?densamen te v oegen en als gev olg daarv an eengrotere v rijheid in de architectonische v orm-gev ing te bereiken.De hy perbolische parabolo?de blijkt demeest geschikte v orm v oor het bouwen v anschalen te zijn.Aan drie grondv oorwaarden wordt erbij v ol-daan:1. de dubbele kromming is gegev en;2. de bekisting kan op eenv oudige wijze uitrechte elementen worden opgebouwd;3. de berekeningsmethode is eenv oudig.Een zeer groot aantal, v oor het grootstedeel zeer rendabele, maar soms ook kost-bare constructies is door mij gerealiseerd.Ik ben daarbij niet als v rije architect, maarals aannemer werk zaam. Mijn hoof dopdrachtis dan ook in de eerste plaats een ruimte teov erdekken, waaruit als primaire v ereistehet rendabel zijn v an de constructie naarv oren komt. Het ontwerpen v an een ook inesthetisch opzicht bev redigende en aange-name constructie is een secundaire v oor-waarde. In de praktijk wordt de kostenf ac-tor v an een constructie v eelal belangrijkergeacht dan de v ormgev ing erv an. Anders ishet echter bijv . bij de bouw v an kerken, waarv ormgev ing en expressie hoger worden aan-geslagen dan de kostenf actor. Dit wordt nietaltijd duidelijk genoeg ingezien, zodat dik-wijls f outiev e kostenramingen v an een con-structie ontstaan.Indien de kosten v an dit soort constructieslaag moeten worden gehouden, dienen al-lereerst de kosten v an de bekisting v ermin-derd te worden. Dit is alleen dan te berei-ken als dezelf de schaalv orm zo v aak mo-gelijk kan worden herhaald.In het v olgende deel v an mijn v erhaal zul-len aan de hand v an f oto's en tekeningende div erse constructies en de wijze v an bou-wen erv an nader worden toegelicht. Alleconstructies zijn v olgens hetzelf de schema ge-bouwd. In de meeste gev allen zijn de con-structies symmetrisch gehouden.Een v an de eenv oudigste schaalconstructieswordt door ons ook wel 'paraplu-schaal' ge-noemd. Er treden daarbij langs de randenalleen trekspanningen op, waardoor deschaal zeer dun kan worden gehouden. Al-leen naar het midden toe en in de diago-nalen moet een v ersterking v oor het opnemenv an drukkrachten worden aangebracht.Deze 'paraplu's' worden in Mexico toege-past v oor de bouw v an magazijnen enmarkthallen.De constructie v an de bekisting is zeer een-v oudig. Dikwijls wordt hierbij gebruik ge-maakt v an stalen steiger als ondersteunings-constructie, waarbij een telescopische uit-v oering v an deze ondersteuningsconstructiehet op- en neerlaten v an de bekistingsele-menten mogelijk maakt, om de v ereiste be-kistingsv orm met de v erschillende hellingente v erkrijgen.Cement XVII (1965) Nr. 12 795bijzondere schaal-constructie, toegepastbij de ingangspartijvan een fabrieks-complexde St. Vincentiuskapel te CoyoacanEr zijn zeer v eel mogelijkheden in de v orm-gev ing. Bij een markthal bij v oorbeeld zijndeze paraplu-schalen als de v elden v an eenschaakbord naast elkaar geplaatst, waarbijde schalen onderling aan de bov enzijde zijnv erbonden. Bij de bouw v an een magazijnwerden zeer smalle paraplu-schalen met eenlengte v an 26 m en een breedte v an 6 mtoegepast.Een andere mogelijkheid is het toepassenv an een asy mmetrische paraplu-schaal. Ombij deze ongelijke uitkragingen een ev enwichtin de gewichtsv erdeling te v erkrijgen, werd??n uitkraging in licht beton en de anderein normaal beton uitgev oerd, terwijl de diktev an deze laatste uitkraging tev ens vergrootwerd. Hierdoor ontstonden alleen normaal-krachten in de ondersteuningskolommen enwerden momenten v ermeden.Bij de ingangspartij van een f abriekscomplexin Mexico werd de schaalv orm op bijzon-dere wijze uitgev oerd. Aan een betonnendriepoot is een schaal opgehangen, die ca.12,50 meter uitkraagt. Bij de ophanging v ande schaal zijn de beide v lakken nagenoegv erticaal, terwijl zij bij het uiteinde v an deschaal een v rijwel horizontale stand hebben.De derde poot v an de driepoot, uitgev oerdals trekbalk, neemt hierbij de door de groteuitkraging ontstane kracht op. De schaal be-nadert in plattegrond de v orm van eenscherphoekige driehoek.Een groot aantal kerken werd gebouwd methy pparschaal-daken. Bij de bouw v an eenv rij grote kerk met een driehoekige platte-grond werden drie hy perbolische parabo-lo?den tot ??n geheel v erenigd. Aangeziende zijdelingse uitkraging zeer groot is, moes-ten de schalen in het midden door eenstaalconstructie aan elkaar worden ge-v oegd. In de rand v an de schaal ontstaathierdoor een in het raakv lak aangrijpendekracht. Daar de randen telkens een andererichting hebben en als gev olg daarv an ookde richting v an de kracht steeds v erandert,moeten deze krachten ontbonden worden indrie componenten en wel in de richting v ande rechte trekkabels in de schaal; in de rich-ting v an de schaalrand en in de richting v ande staalconstructie die de schalen v erbindt.Hierbij ontstond een interessant geometrischv raagstuk.door de grote uitkraging zijn de drie hyper-bolische parabolo'iden in het midden door eenstaalconstructie verbonden796 Cement XVII (1965) Nr. 12De bouw v an de schalen was zeer eenv ou-dig, omdat slechts de vier hoekpunten v ande te bouwen schaal exact aangegev en be-hoef den te worden, waarna de arbeidersde bekisting v an de schaal v erder zondermeer konden v erv aardigen. Nadat de be-kisting gemaakt was, werd de wapeningaangebracht en kon men de schaal beton-neren. De wapening was enigszins zwaarderdan strikt nodig, aangezien de krachten inhet midden v an de schaal gewoonlijk zeergering zijn. Het beton moest gedeeltelijk opnagenoeg v erticale v lakken aangebrachtworden, wat echter door de hechting aande wapening v ergemakkelijkt werd.De uitkragende randen werden v ersterkt enondersteund. Door deze ondersteuningwordt, behalv e dat iedere v erv orming v ande randen wordt v oorkomen, in de eersteplaats een deel v an de windbelasting op-genomen. Hierdoor wordt v ermeden dat mende randbalk als kraagligger moet uitv oeren.In het interieur v an de kerk zijn de onder-steunde randbalken zichtbaar. De binnensteschaalranden zijn door randbalken v ersterkt.Het bouwwerk rust op drie hoof df undamenten.Een soortgelijke constructie met twee para-bolische parabolo?den werd toegepast bijeen kerk in Monterrey (Mexico). De beideuitkragingen v an 25 meter elk, zijn ook indit gev al door trekkabels en betonbalkenaan de binnenste schaalranden opgehangen.Het gebouw v oor kern-fy sica v an de Univ er-siteit v an Mexico is een v an de eerste con-de kerk van San Jos? Obrero teMonterrey, waarbij de twee hyper-bolische parabolo'iden door trek-kabels verbonden zijnCement XVII (1365) Nr. 12 797gebouw voor kernfysicavan de Universiteitvan Mexico-Citystructies die v an hy perbolische parabolo?-den is v oorzien. Het dak heef t een bereken-de dikte v an slechts 1-1,5 cm.Zeer v eel v erschillende mogelijkheden zijnaanwezig, zo bijv . de constructie v an eensoort kruisgewelf . Een v oordeel hierv an te-genov er de gebruikelijke kruisgewelv en isgelegen in het f eit dat hierbij in t wee rich-tingen rechte beschrijv enden aanwezig zijn.Een andere zeer belangrijke ontdekking bijdit soort kruisgewelf was dat de uitersteranden v rij gehouden kunnen worden v angeconcentreerde drukbelasting. Aangeziende belastingen in de richting v an de be-schrijv enden worden opgenomen, werkengeen krachten op de schaalranden. Dekrachten worden opgenomen door de ribben,soort kruisgewelfopgebouwd uit tweesamengevoegde uitsnedenvan parabolo'idenkerk van San Antoniode las Huertas,waarbij 'kruisgewelven'zijn toegepastdie uitgev oerd zijn als diagonaal doorde ruimte lopende drukbogen. Met het be-kisten v an de zeer sterk gekromde v lakkenmoet op v erschillende punten worden be-gonnen en moeten naderhand wigv ormigedelen worden tussengev oegd. De schaaldik-te wordt naar de v ouwen toe groter, zodater gewelv en met een V-v ormige doorsnedeontstaan.Een gelijk gewelf -ty pe als bij de kerk v anSan Antonio de las Huertas werd ontworpen,v ond toepassing bij een f abriekshal v an def irma Bacardi, opgebouwd uit eenheden v an30 ?30 m2. Daar de stijlen v an de v erticalebuitenwanden aan de randen v an de scha-len zijn opgehangen, zijn deze randen v er-sterkt uitgev oerd. De bekisting werd ookhier op de reeds v ermelde wijze uitgev oerd.Aangezien de schalen af zonderlijk wordenbegrensd door niet geheel v erticaal staandev lakken, zijn tussen de eenheden wigv ormige798 Cement XVII (1965) Nr. 12de fabriekshal van hetBacardi-complexopgebouwd uit3 schaaleenhedenvan 30 30 m2, overzichttijdens de bouw,plattegrond enaanzichtbov enlichten geconstrueerd. De schalen heb-ben een dikte v an 4 cm, met een v ersterktestrook v an 15 cm dik, ter breedte v an 1,50 mlangs de v ouwen. Trekstangen in de v loernemen de spatkrachten v an de bogen op.De hal kan uitgebreid worden tot negen v andeze eenheden waarmee men dan eenruimte v an ongev eer 100x100 m2ov erdekt,waarbij slechts v ier binnenkolommen nodigzijn. Rond deze v ier kolommen ontstaat dantelkens een sterv ormig bov enlicht.De opslaghallen v an dit f abriekscomplexzijn met paraplu-schalen ov erdekt. De scha-len zijn in rijen opgesteld, waarbij zij omde lengte-as iets gedraaid zijn, zodat tus-sen de rijen glasstroken konden wordenaangebracht.Een schaalv orm als bij de f abriekshal v anBacardi is toegepast kan ook gebruikt wor-den v oor een driehoekige eenheid met drieoplegpunten.Voor een nachtclub te Akapulco werd opeen dergelijke manier ov er een gelijkzijdigedriehoekige plattegrond, met zijden v an 18 m,een driehoekige schaal gebouwd, waarbij debuitenranden v an de schaal een sterv ormigopperv lak?te zien gev en. De randen zijn nietv ersterkt door in het zicht komende ribben,waardoor de constructie zeer licht en ele-gant aandoet.nachtclubte Akapulcodriehoekige platte-grond overdekt meteen schaal op3 oplegpuntende rand een ononderbroken, doorgaandelijn vormt. De totale spanbreedte bedraagt45 meter. In plattegrond heeft de constructieveel w eg van twee op elkaar gelegde, on-derling over een hoek van 45 ? gedraaidevierkanten. De afzonderlijke schalen zijngedeelten van hyperbolische paraboloi'den.Daar de bogen een zeer sterke kromminghebben, moest bij het bekisten w eer ge-werkt worden met later tussengevoegde ele-menten. Het vlak van de schaalbeeindigingstaat niet loodrecht op de as van de schaal,zodat in vooraanzicht een hyperbool w ordtgevormd. De gebouw de constructie toont eenin constructief en architectonisch opzichtevenw ichtige en fraaie vormgeving.Bij de kapel in Guernavaca w erd een enkelehyperbolische parabolo'ide toegepast, w aar-bij de vlakken van de schaalbeeindigingeen nagenoeg loodrechte stand hebben. Devoorste schaalbeeindiging heeft de vormvan een hyperbool, terw ijl de achterste be-staat uit tw ee, elkaar onder een stompehoek ontmoetende vlakken. De constructieheeft een totale spanbreedte van 30 m eneen maximale hoogte van 20 m. De kapel isopengehouden, zodat de gelovigen ook bui-ten de kapel de godsdienstoefening kunnenbijw onen. De sterk geprononceerde vorm vande constructie voeg om een, naar verhouding,kostbare bekistingsconstructie, die in dit ge-val, uit kostenoverwegingen bezien, natuurlijkniet efficient w as.kapel te Guernavaca; foto bekistingsconstructie en constructietekening van de hyperbolische parabolo'ideNadat ik vastgesteld had dat men de ran-den in een dergelijk geringe dikte zonderversterking kan uitvoeren, heb ik deze uit-voering bij vele constructies herhaald.Voor de bouw van een restaurant te Xocho-milco (Mexico) is een schaalconstructie toe-gepast, die op acht punten is opgelegd. De-ze oplegpunten zijn iets teruggehouden tenopzichte van de rand van de schaal, zodat800Ceme nt XV II ( 1965) Nr. 12kapel te CuernavacaDe f undamenten v an de schaal zijn aan debeide uiteinden sterk v erbreed, welke v erbre-dingen door een ingebetonneerde trekstangmet elkaar zijn v erbonden. De wapeningv an de schaal is tegen de onderste randenaangespannen.De betonspecie werd in een dikte v an 4 cmaangebracht, zonder bekisting aan de buiten-zijde. De betonspecie v an deze dunnelaag werd door de wapening op zijn plaatsgehouden. Het is v an belang dat de bov en-kant v an het beton goed af gewerkt wordt.De constructie v an een waterdichte 'huid'is een tot dusv er nog niet geheel opgelostprobleem.Bij dit soort constructies hebben wij tot nu toein het algemeen een gekleurde laag asf alttoegepast. Bij de kapel te Guernav aca is hetdakopperv lak wit gemaakt waardoor de ka-pel, die op een zeer f raaie plaats in het land-schap staat, v an veraf zichtbaar is.DE OOSTERSCHELDEBRUG GEOPEND!Woensdag 15 december 1965, enkele maanden eerder danaanvankelijk voor mogelijk is gehouden, heeft H.M. deKoningin de Oosterscheldebrug geopend. Daarmee werdde bouwfase definitief afgesloten en begon deze brughaar eigen leven: een permanente verbinding tussenSchouwen-Duiveland en Noord-Beveland, en daardooreen belangrijke schakel tussen Zeeland en de RandstadHolland. Europa's langste brug, dit buitengewoon ge-slaagde voorbeeld van prefabricage, deze stevige en tochranke toepassing van het materiaal beton, is voortaanaanwezig en niet meer weg te denken, als een versteendedemonstratie van kennis en durf, als een symbool vanmens en natuur.f oto: W. Riemensf oto: Nationaal Foto-PersbureauCement XVII (196S) Nr. 12 801