themaBerekening van doorbuiging820098themaBerekening vandoorbuigingEen betere kennis van materiaaleigen-schappen en het gebruik van geavan-ceerde rekenmiddelen stellen de construc-teur in staat lichter te dimensioneren.Daardoor worden comforteisen steedsbelangrijker. Voor balken en vloeren wordtde doorbuiging vaak het belangrijkstecriterium. Vragen die zich opdringen: watzijn de grenswaarden voor maximumdoorbuiging en hoe moeten doorbuigin-gen worden berekend?Definities voorafDe initi?le vorm van een balk of vloerplaat isde referentielijn (referentievlak) van hetdragend element in onbelaste toestand. Moge-lijks wordt die initi?le vorm gerealiseerd meteen zeeg of tegenpijl ten opzichte van deonvervormde toestand.De doorbuiging is de verplaatsing van de refe-rentielijn (referentievlak) onder invloed van deaangebrachte belasting ten opzichte van deiniti?le vorm.De pijl of zakking is de verplaatsing van dereferentielijn (referentievlak) onder invloed vande aangebrachte belasting ten opzichte van deonvervormde toestand.De ogenblikkelijke doorbuiging onder aange-brachte belasting is het deel van dedoorbuiging dat quasi onmiddellijk na hetaanbrengen van die belasting optreedt.De tijdsafhankelijke doorbuiging onderaangebrachte belasting is het deel van dedoorbuiging dat zich onder invloed van kruip-effecten manifesteert na het aanbrengen vande constant veronderstelde belasting.De bijkomende doorbuiging vanaf tijdstip tiishet deel van de doorbuiging dat optreedt nahet tijdstip tien bestaat uit verschillendecomponenten:? de tijdsafhankelijke doorbuiging onder delasten die op het tijdstip tireeds aanwezig zijn;? de ogenblikkelijke en tijdsafhankelijke door-buiging onder de lasten die na het tijdstip tiworden aangebracht.Geavanceerde rekenprogramma's onontbeerlijkBerekening van doorbuiging 82009 9Berekening van doorbuiging wordt bemoeilijkt doordat deelasticiteitsmodulus van beton niet constant is, maar met detijd evolueert. Daar komt bij dat het traagheidsmoment van eendoorsnede over de lengte van een balk of vloerplaat niet altijdconstant is. Geavanceerde rekenprogramma's zijn daaromonontbeerlijk. In dit artikel volgt een weergave van hoe eenrekenprogramma uit de praktijk hiermee omgaat.RegelgevingE?n van de meest gestelde vragen bij het berekenen van gewa-pend beton volgens EN 1992, is tot welke waarde de doorbui-ging moet worden beperkt. Alvorens deze vraag te beantwoor-den, moeten we verduidelijken of we het hebben over totaledoorbuiging of over bijkomende doorbuiging. Voor beide zijnandere grenswaarden aan te houden.Algemeen geldt de waarde van 1/250 van de overspanning(1/125 voor uitkraging) als maximum voor de totale doorbui-ging, te berekenen voor quasi-blijvende combinaties in bruik-baarheidsgrenstoestand (eigengewicht, blijvende belasting enca. 30% van de veranderlijke belasting). Door toepassing vaneen tegenpijl kan de doorbuiging geheel of gedeeltelijk wordengecompenseerd.1/500 van de overspanning (1/250 voor uitkraging) wordtaangegeven als maximum voor de doorbuiging die schade kanveroorzaken aan scheidingswanden. De doorbuiging veroor-zaakt na plaatsing moet worden ge?nterpreteerd als de toenamevan doorbuiging na plaatsing. Omdat de beperking die hierwordt gesteld uit een schade-eis en niet uit een comforteiskomt, moet ze wel worden opgelegd aan de (toename van de)doorbuiging onder de zeldzaam aanwezige combinaties (dezebeperking opleggen aan de quasi-blijvende combinatie volstaatdus niet).Berekening van gescheurde doorbuigingSlechts indien het scheurmoment van een balk of vloerplaatniet wordt overschreden, zal de elastische doorbuiging dewerkelijke doorbuiging evenaren. Gezien de geringe treksterktevan beton zal die situatie eerder zeldzaam zijn. Zodra de trek-sterkte van het beton is overschreden, zullen scheuren ontstaanen zal de stijfheid van de doorsnede afnemen met grotere door-buigingen tot gevolg.Willen we de doorbuiging controleren met een berekening, danmoeten we rekening houden met scheurvorming. De matewaarin het beton is gescheurd zal afhankelijk zijn van de beton-treksterkte, maar ook van de werkelijk geplaatste wapening.De rekenmethode die wordt voorgesteld (zoals beschikbaar inhet rekenpakket Diamonds), is een logische uitbreiding vannormvoorschriften voor elementen dragend in ??n richting.Eerst wordt het principe ervan voor elementen dragend in ??nrichting herhaald. Daarna wordt gekeken hoe de rekenmethodekan worden uitbreid voor elementen dragend in twee richtingen.Voor elementen onderworpen aan buiging geldt volgendebetrekking voor het bepalen van het verloop van de doorbui-ging y:2y___x2=1__r=M__EI(1)De waarde van de kromming 1/r is voor gewapend betonafhankelijk van het al of niet gescheurd zijn van de doorsnede.Een doorsnede is pas gescheurd wanneer het moment aldaarhet scheurmoment Mroverschrijdt. Dit scheurmoment Mrwordt bepaald doorMr = fr W (2)waarin:fris een oordeelkundig gekozen waarde van de betontrek-sterkte;W is het weerstandsmoment van de ongescheurde fictievedoorsnede, bestaande uit de volledige betondoorsnede,vermeerderd met maal de vereiste wapeningssectie( = Es / Ec).Voor een doorsnede in ongescheurde zones (M < Mr) wordt dekromming 1/r1berekend uit:1__r1=M___EI1(3)waarin:E is de elasticiteitsmodulus van het beton;I1is het traagheidsmoment van de ongescheurde fictievebetondoorsnede.ir. Geert Goossens, ir. LucMeulewaeter en ir. Steven De VosBuildSoft NV1 Project Parlevliet waarin BubbleDeck-vloeren werden bere-kend met BuildSoft-programmatuur (architect: Hans vanEgmond, constructeur: Bouwkundig Konstruktieburo H.C.Bogaards, aannemer: Bouwbedrijf Niersman)1themaBerekening van doorbuiging8200910Berekening van schadelijke doorbuigingVoor het berekenen van schadelijke doorbuiging, moet reke-ning worden gehouden met volgende parameters:? scheurvorming van beton;? kruip van beton;? tijdstippen waarop verschillende belastingen worden aange-bracht.Dit maakt de berekening vrij complex. Daarbij moet in elk gevalaandacht worden geschonken aan volgende moeilijkheden:? `dankzij' scheurvorming gedraagt het beton zich niet als eenlineair-elastisch materiaal, en kan superpositie niet wordentoegepast. De gescheurde traagheid moet in beginsel ogen-blikkelijk worden berekend;? hoe ouder het beton is op het tijdstip waarop een belastingwordt aangebracht, hoe kleiner de uiteindelijke kruipfactorzal zijn voor die belasting;? het bijkomend aanbrengen van lasten op verschillende tijd-stippen met het verrekenen van kruipeffecten per lastengroepdringt superpositie op voor de bijkomende doorbuiging.Volgende benadering (ge?mplementeerd in de Diamondsrekensoftware) wordt voorgesteld:? superpositie wordt toegepast door voor elke lastengroep op tegeven welke combinatie maatgevend wordt beschouwd voorscheurvorming (scheurvorming wordt voor elke lastengroepconstant gehouden gedurende de volledige belastingsduur);? voor blijvende belastingen wordt een quasi-blijvende combi-natie aanbevolen;? voor veranderlijke belastingen wordt een zeldzame combina-tie aanbevolen.Het deel c(t, t0) van de kruip dat reeds is opgetreden (t-to)dagen na het aanbrengen van de belasting, wordt berekend met:c(t, t0) = [ t ? t0________H + t ? t0]0,3(7)waarin:His een co?ffici?nt die onder meer afhangt van de relatievevochtigheid.Voor een volledig gescheurde doorsnede (M > Mr) wordt dekromming 1/r2gegeven door:1__r2=M___EI2(3)waarin:E is de elasticiteitsmodulus voor het beton;I2is het traagheidsmoment van de volledig gescheurdefictieve betondoorsnede, bestaande uit enkel het gedruktedeel van de betondoorsnede vermeerderd met maal devereiste wapeningssectie.Omdat in een gescheurde zone lang niet alle doorsnedengescheurd zijn, wordt de gemiddelde kromming 1/r voor eendoorsnede in een gescheurde zone (M > Mr) berekend uit:1__r= (1 ? x)1__r1+ x1__r2(5)waarin:x = 1 ? (Mr___Mzc)2(6)In plaats van een dubbele integratie van de krommingen 1/r toete passen voor het bepalen van de doorbuigingslijn y, kunnenwe de balk opdelen in verschillende elementen waarvoor destijfheid EI varieert, door voor I hetzij I1te gebruiken (onge-scheurde zones) hetzij I te bepalen uit de betrekking dieontstaat wanneer in (5) krommingen 1/r worden vervangendoor M/EI.De laatste werkwijze laat zich gemakkelijk uitbreiden naarverschillende draagrichtingen. Voor elke knoop van eeneindige-elementennet kan men immers het moment M en hetscheurmoment Mrvolgens beidewapeningsrichtingen bepalen.Via (5) en (6) kan dan de stijfheid EI volgens beide richtingenworden begroot.Tabel 1 Resultaten berekening doorbuiging uit voorbeeldrekenmethode maximale doorbuiging [mm]elastische doorbuiging 2,072doorbuiging op 5,543doorbuiging in de tijd? min (enkel quasi-blijvend deel van gebruiksbelasting)? max (totale gebruiksbelasting)5,3285,878Tabel 2 Resultaten bij zeldzame combinatierekenmethode maximale doorbuiging [mm]elastische doorbuiging 2,072doorbuiging op 5,543doorbuiging in de tijd? min (enkel quasi-blijvend deel van gebruiksbelasting)? max (totale gebruiksbelasting)5,5436,012Berekening van doorbuiging 82009 112 Geometrisch Diamonds-model van vloerplaat3 Elastische doorbuiging4 Gescheurde doorbuiging5 Gescheurde doorbuiging op , rekeninghoudend met tijdstip van belastenPraktisch voorbeeldHet voorgaande wordt ge?llustreerd met een toepassingsvoor-beeld. Figuur 2 toont de geometrie van de vloerplaat die wordtberekend. Naast de lijnoplegging achteraan, wordt de vloer-plaat gedragen door balken die op hun beurt door kolommenworden ondersteund.Negentig dagen na het storten van de plaat worden vier paral-lelle muren opgetrokken. Tevens grijpt vanaf dit ogenblik eenblijvende oppervlaktebelasting aan, terwijl zestig dagen latereen veranderlijke belasting wordt aangebracht.De doorbuiging van de plaat wordt op drie verschillende manie-ren berekend. Tabel 1 geeft een samenvattend overzicht van deresultaten die worden gedocumenteerd in de figuren 3, 4 en 5.Uiteraard leveren de verschillende methoden verschillendewaarden op.? De elastische doorbuiging geldt voor een ongescheurde plaat.Deze doorbuiging hangt af van de elasticiteitsmodulus en deco?ffici?nt van Poisson van het beton en van het traagheidsmo-ment van de ongescheurde doorsnede, en is onafhankelijk vande berekende wapening. Resultaten zijn enkel realistisch bijkleine belastingen of bij elementen met grote dimensies. In alleandere gevallen onderschat zij de werkelijke doorbuigingen.? De berekening van de gescheurde doorbuiging op tijdstip laat toe om snel een vrij correcte doorbuiging te verkrijgen.Deze methode houdt rekening met de gescheurde sectie(bepaald op grond van zeldzame lastencombinaties) en metkruip van het beton. Alle lasten grijpen fictief op hetzelfdeogenblik aan.? De derde methode houdt rekening met het tijdstip waarop ende volgorde waarin belastingen worden aangebracht. Dezerekenwijze blijft ietwat formeel, maar heeft beslist de verdien-ste dat zij toelaat om bijkomende doorbuiging te berekenenna aanbrengen van bepaalde belastingen.Het is interessant deze resultaten verder te interpreteren. Degescheurde doorbuiging berekend op tijdstip is gelegentussen de minimale en maximale doorbuiging op tijdstip wanneer de doorbuiging in functie van de tijd wordt berekend:? bij toepassing van de eerste methode wordt de gescheurdesectie steeds bepaald op basis van een zeldzame combinatie;? bij berekening van doorbuiging in de tijd wordt enkelgekozen voor een zeldzame combinatie in het geval van eenveranderlijke belasting, terwijl voor alle andere belastingenwordt gekozen voor een quasi-blijvende combinatie.De resultaten geleverd door beide rekenmethoden komenperfect overeen indien als combinatie voor scheurvormingsteeds wordt geopteerd voor een zeldzame combinatie (tabel 2).Beide rekenwijzen leveren derhalve gelijke resultaten op indiende uitgangshypothesen dezelfde zijn. 2345