Staafwerkmodellen5 200986 Staafwerkmodellen In de serie met rekenvoorbeelden waarin de diverse onderdelen van de Eurocode 2 worden toegelicht 1 ), is het nu de beurt aan staafwerkmodellen. Met twee voorbeelden, een van een wand- ligger en een van een console, wordt toegelicht hoe in de nieuwe norm met deze methodiek moet worden omgegaan. Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (6) ning voor een wand waarvoor geldt l/h = 2: inwendige hefboomsarm = 0,67h. Opmerking: Met VBC art. 8.1.4 voor een statisch bepaalde wandligger volgt uit z = 0,2l + 0,4h < 0,6 l voor l = 2h een inwendige hefbooms- arm z = 0,8h. Uitwerking sterkte Rekenwaarde van de betondruksterkte (EC2; art. 3.1.6(1) vgl.  (3.15)):  f ctd = ? cc f ck _____ ? c = 1 ? 25 _____ 1,5 = 16,7 N/mm 2 Betonstaal (EC2; art. 3.2.7(2) en tabel 2.1N & NB):  f yd = f yk __ ? s = 500 ____ 1,15 = 435 N/mm 2 Rekenwaarde van de druksterkte van typen knopen (EC2; art.  6.5.4(4) & NB): gedrukte knoop: druk-trekknoop met één verankerde trekstaaf: druk-trekknoop met meer dan één verankerde trekstaaf: Rekenvoorbeeld 1 (EC2, par.6.2) - Wandligger Gegeven is de in figuur 1 getoonde statisch bepaalde wandlig- ger. Zowel aan de boven- als aan de onderzijde grijpt een gelijk- matig verdeelde belasting aan. Uitgangspunten Geometrie: lengte wand = 5400 mm; hoogte wand = 3000 mm; wanddikte = 250 mm. De wand wordt ondersteund door kolommen 400 x 250 mm 2 . De kolommen zijn voorzien van wapening 6Ø20. Betonsterkteklasse C25/30. Betonstaal B500. Het gekozen staafwerkmodel is ook weergegeven in figuur 1. Drukstaaf C2 bevindt zich 2,0 m boven het zwaartepunt van de onderwapening. Hierdoor is de inwendige hefboomsarm gelijk aan degene zoals die wordt gevonden uit een elastische bereke- 1 ) De artikelenserie is vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. René Braam  (TU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV) en afge- stemd met Voorschriftencommissie 20.  ? 1Rd,max = k 1 ?' f cd = k 1 ( 1 ? f ck ____ 250 ) f cd = 1,0 ( 1 ? 25 ____ 250 ) ? 16,7 = 15,0 N/mm 2  ? 2Rd,max = k 2 ?' f cd = k 2 ( 1 ? f ck ____ 250 ) f cd = 0,85 ( 1 ? 25 ____ 250 ) ? 16,7 = 12,8 N/mm 2  ? 3Rd,max = k 3 ?' f cd = k 3 ( 1 ? f ck ____ 250 ) f cd = 0,75 ( 1 ? 25 ____ 250 ) ? 16,7 = 11,3 N/mm 2 Staafwerkmodellen 5 2009 87 Opmerking (EC2; art. 6.5.3(4b) & NB): k 2 = 0,85 mits haarspelden ten behoeve van omsluiting in de richting loodrecht op het vlak van het staafwerk aanwezig zijn. Krachten De gelijkmatig verdeelde belasting is 150 kN/m over de boven- én de onderkant van de wand. Kolomkrachten: R = ( 150 + 150 ) ? 5,4/2 = 810 kN Krachten in de staven evenwicht voor knoop 1:  C 1 = ql   __ 2 = 405 kN evenwicht voor knoop 3: ? = arctan ( 2000 _________ 1350 ? 200 ) = 60° (fig. 1)  C 3 = R   ____ sin ? = 935 kN; met R = ql  T 1 = C 3 cos ? = R   _____ tan ? = 468 kN evenwicht voor knoop 2:  C 2 = C 3 cos ? = T 1 = 468 kN evenwicht voor knoop 4:  T 2 = ql   __ 2 = 405 kN Verificatie trekstaven In trekstaaf T 1 is een hoeveelheid betonstaal benodigd die minimaal gelijk is aan:  A s1 ? 526 ? 10 3 _______ 435 = 1209 mm 2 (bijvoorbeeld 6Ø16 = 1206 mm 2 ) Verondersteld wordt dat deze wapening wordt aangebracht in drie lagen, zodanig dat u = 360 mm (fig. 2 en EC2; fig. 6.27). Voor trekstaaf T 2 is:  A s2 ? 405 ? 10 3 _______ 435 = 931 mm 2 Omdat sprake is van een gelijkmatig verdeelde aan de onder- zijde van de wandligger aangrijpende belasting, moet deze wapening gelijkmatig worden verdeeld over de lengte van de wand. De wapening moet bovenin de wand worden verankerd, zodat de belasting omhoog wordt gebracht en aangrijpt op de 'drukboog' gevormd door de drukstaven C 2 en C 3 . Verificatie knopen Knoop 3 De geometrie van deze knoop (fig. 2) is ondubbelzinnig vastge- legd door: ? de breedte van de kolom (400 mm); ? de wanddikte (250 mm); ? de afstand u waarover de horizontale wapening van trekstaaf T 1 is gespreid; ? de breedte en helling van drukstaaf C 3 . Knoop 3 is een druk-trekknoop met in één richting een veran- kerde trekstaaf. De betondrukspanning mag de waarde ? 2Rd,max = 12,8 N/mm 2 niet overschrijden. Oplegdruk:  ? c1 = R   _________ b kolom h kolom = 810 ? 10 3 ________ 400 ? 250 = 8,1 N/mm 2 ? ? 2Rd,max modellen 1 Vooraanzicht wandligger 2 Detail van trekstaaf T 1 verankerd in knoop 3 (linker oplegging) Afkortingen EC2 = NEN-EN 1992-1-1 NB = Nationale Bijlage 5000 1350 2000 200 5400 C1 C1 C2 C3 T2 T2 T1 C3 1 2 3 4 ql ql a 3000 _1 2ql _1 2ql _1 2 ql _1 2 ql ql 400 C3 T1 [mm] 608 · cos 30° = 527 360 400 + = 608 tan 60° 360 T c2 ? c1 60° 21 Staafwerkmodellen5 200988 breedte console = 400 mm; doosnede kolom = 400 x 400 mm 2 . Betonsterkteklasse C35/45. Betonstaal B500. De kolom wordt belast door een normaalkracht N Ed = 1200 kN, boven de console aangrijpend met een excentriciteit van 100 mm (in fig. 3: links van het hart van de kolom aangrij- pend). De rekenwaarde van de kracht op de console is F Ed = 700 kN, aangrijpend in het zwaartepunt van het oplegvlak groot 150 x 300 mm 2 . Onder de console is de drukkracht in de kolom 1200 + 700 = 1900 kN. De excentriciteit van deze kracht ten opzichte van het hart van de kolom is: e = 1200 ? 10 3 ? 100 ? 700 ? 10 3 ? (200 + 125) ________________________________ (1200 + 700) ? 10 3 = -56,6 mm Staafwerkmodel Figuur 4 toont het basismodel dat wordt gebruikt als uitgangs- punt voor het opstellen van het staafwerkmodel. In deze figuur is de normaalkracht in de kolom gemodelleerd met een druk- staaf die excentrisch ten opzichte van het zwaartepunt van de kolom aangrijpt; boven de console met een excentriciteit van 100 mm; onder de console met een excentriciteit van -56,6 mm. De console is 400 mm hoog. Verondersteld wordt dat het hart van de trekwapening zich 40 mm onder het oplegvlak bevindt. De nuttige hoogte van de kolom is dan d = 360 mm. Uitgegaan wordt van een inwendige hefboomsarm z = 0,8d = 288 mm. De kracht in de trekstaaf bovenin de console is: Opmerking: Aan de voorwaarde met betrekking tot de oplegdruk wordt al voldaan als de kolomwapening niet wordt beschouwd. Spanning in drukstaaf C 3 : Op het niveau u boven het oplegvlak van de kolom heeft de drukstaaf een breedte in horizontale richting gelijk aan 400 + 360 / tan60° = 400 + 208 = 608 mm De breedte van de drukstaaf loodrecht op de lengte-as is 608 · cos30° = 527 mm. De drukspanning in de drukstaaf is:  ? c2 = C 3   _________ b kolom h kolom = 935 ? 10 3 ________ 527 ? 250 = 7,1 N/mm 2 ? ? 2Rd,max Rekenvoorbeeld 6.2 (EC2, par.6.5) - Korte console Gegeven in de in figuur 3 getoonde kolom met korte console. Uitgangspunten Geometrie: lengte console = 250 mm; hoogte console = 400 mm; F Ed a c = 125 h c = 400 400 400 5050 150 15050 250 250 400 400 100 325 700 kN 1200 kN 1900 kN 56,6 ? _ _ 1 3 2 _ + 54 3 Staafwerkmodellen 5 2009 89 3 Aanzicht en dwarsdoorsnede kolom met console (dimensies [mm]) 4 Aanzicht en dwarsdoorsnede kolom met console (dimensies [mm]) 5 Staafwerkmodel voor kolom met korte console 6 Detail van knoop 2 (dimensies [mm]) druk-trekknoop met meer dan één verankerde trekstaaf: Opmerking (EC2; art. 6.5.3(4b) & NB): k 2 = 0,85 mits haarspelden ten behoeve van omsluiting in de richting loodrecht op het vlak van het staafwerk aanwezig zijn. Krachten en knoopafmetingen Afmetingen knoop 1 De verticale drukkracht van 1200 kN uit de kolom maakt onderdeel uit van een druk-trekknoop met één verankerde trekstaaf. Met ? 2Rd,max volgt voor de vereiste breedte van de drukstaaf: b = 1200 ? 10 3 ________ 400 ? 17,0 = 176,5 mm De drukkracht grijpt aan 100 mm uit het hart van de kolom; dat is 100 mm uit de zijkant van de kolom. Deze staaf kan dus tot ontwikkeling komen: 176,5 mm / 2 < 100 mm. Afmetingen knoop 2 De verticale drukkracht van 1900 kN grijpt aan op een druk- knoop (? 1Rd,max ). De minimaal vereiste breedte van deze staaf is: b = 1900 ? 10 3 ________ 400 ? 20,1 = 236,3 mm Het zwaartepunt van deze staaf bevindt zich 56,6 mm uit het zwaartepunt van de kolom. De staaf wordt gesplitst in twee delen; een deel draagt de 1200 kN uit het bovenste kolomdeel, het andere deel de 700 kN uit de console. Omdat sprake is van een constante drukspanning in de drukstaaf, volgt de breedte van een staafdeel eenvoudig uit het aandeel in de totale kracht dat het staafdeel opneemt:  F t = (200 ? 56,6 + 125) _______________ 288 ? 700 = 652 kN In figuur 5 is het staafwerkmodel voor de korte console weer- gegeven. De hellingshoek van de drukdiagonaal in de console (de hoek ? in fig. 4) wordt begrensd tot 1,0 < tan ? < 2,5 (EC2; art. J.3(1)), waaruit volgt: 45,0° < ? < 68,2°. Omdat de hoogte van de console h c = 400 mm en de afstand van de dag van de kolom tot het aangrijpingspunt van de puntlast a c = 125 mm (dus 2,5 a c = 313 mm) mag worden verwacht dat de hellingshoek binnen deze grenzen zal liggen. Dit zal achteraf worden gecontroleerd. (Voor de notaties zie EC2 fig. J.5.) Opmerking: Om de rekenmethodiek toe te lichten, wordt gekozen voor het uitwerken van het volledige staafwerkmodel. Het is uiteraard ook mogelijk een beperkte berekening te maken, waarbij de inwendige hefboomsarm in de console wordt geschat door de verticale afstand tussen enerzijds de knopen 1 en 2 en ander- zijds knoop 3 te schatten. Uiteraard moet in zo'n toetsende berekening wel achteraf worden gecontroleerd of de werkelijke knoopafmetingen en de geschatte hefboomsarm met elkaar in overeenstemming zijn. De hierbij aan te houden schematise- ringswijze zal nog worden besproken (fig. 9; zijnde fig. J.5 uit  bijlage J van EC2). Uitwerking sterkte Rekenwaarde van de betondruksterkte (EC2; art. 3.1.6(1) vgl.  (3.15)):  f ctd = ? cc f ck _____ ? c = 1 ? 35 _____ 1,5 = 23,3 N/mm 2 Betonstaal (EC2; art. 3.2.7(2) en tabel 2.1N & NB):  f yd = f yk __ ? s = 500 ____ 1,15 = 435 N/mm 2 Rekenwaarde van de druksterkte van typen knopen (EC2; art.  6.5.4(4) & NB): gedrukte knoop: druk-trekknoop met één verankerde trekstaaf: b 2 = 149,2 ? 1Rd,max h 2 b 1 = 87,1 b = 263,3 ?? 6 ? 1Rd,max = k 1 ?' f cd = k 1 ( 1 ? f ck ____ 250 ) f cd = 1,0 ( 1 ? 35 ____ 250 ) ? 23,3 = 20,1 N/mm 2  ? 2Rd,max = k 2 ?' f cd = k 2 ( 1 ? f ck ____ 250 ) f cd = 0,85 ( 1 ? 35 ____ 250 ) ? 23,3 = 17,0 N/mm 2 ? 3Rd,max = k 3 ?' f cd = k 3 ( 1 ? f ck ____ 250 ) f cd = 0,75 ( 1 ? 35 ____ 250 ) ? 23,3 = 15,0 N/mm 2 Staafwerkmodellen5 200990  F H,max = 400 h 2 ? 1Rd,max Uiteraard mag ook de spanning in de schuine staaf zelf de toelaatbare spanning niet overschrijden: ? = F   _______ 400 b staaf De breedte van de staaf loodrecht op de lengteas van de staaf volgt uit de geometrie van het geheel. Knoop 2:  b staaf,2 = ?? ______ b 2 1 + h 2 2 ter plaatse van de aansluiting op knoop 2. De hoek tussen dit vlak en de horizontaal is: ? = arctan ( h 2 __ b 1 ) Omdat de drukstaaf een hoek ? met de horizontaal maakt, moet de berekende b staaf,2 worden gecorrigeerd om de staaf- breedte loodrecht op de staafas (b staaf ) te vinden:  b staaf = b staaf,2 sin(? + ?) Knoop 3:  b staaf,3 = ?? _________ 150 2 + 80 2 = 170 mm ter plaatse van knoop 3. De hoek tussen dit vlak en de horizontaal is: ? = arctan ( 80 ____ 150 ) = 28,1° Ook nu moet de berekende b staaf,3 worden gecorrigeerd om de staafbreedte loodrecht op de staafas (b staaf ) te vinden:  b staaf = b staaf,3 sin(? + ?)  b 2 = 1200 ? 10 3 ________ 1900 ? 10 3 ? 236,3 = 149,2 mm  b 1 = 700 ? 10 3 ________ 1900 ? 10 3 ? 236,3 = 87,1 mm De minimumhoogte van het knooppunt volgt uit de voor- waarde dat nergens in de knoop de toelaatbare spanning ? 1Rd,max mag worden overschreden. De knoop wordt gesplitst in twee driehoeken (fig. 6). De horizontaal gerichte spanning op het verticale scheidingsvlak tussen beide driehoeken mag niet groter zijn dan ? 1Rd,max . Omdat nog niet bekend is hoe groot de horizontale kracht is die moet worden overgedragen, kan de minimumhoogte nog niet worden berekend. Daarom wordt deze gelijk gesteld aan h 2 . De bovengrens van de horizontale kracht die kan worden overgedragen is:  F H,max = 400 h 2 ? 1Rd,max Afmetingen knoop 3 De verticale kracht van 700 kN grijpt aan op een trek-druk- knoop (? 2Rd,max ). Gecontroleerd wordt of de afmetingen van het oplegvlak voldoen: De sterkte van de drukstaaf die knopen 2 en 3 verbindt, wordt bepaald door de sterkte van knoop 3, een trek-drukknoop met één verankerde trekstaaf. Knoop 3 heeft een breedte gelijk aan de breedte van het opleg- vlak, 150 mm. De hoogte van de knoop wordt bepaald door de geometrie van de trekwapening: omdat wordt gekozen voor wapening waarvan het zwaartepunt 40 mm onder het boven- vlak van de console is gelegen, is de hoogte van de knoop 80 mm. Drukstaaf tussen knopen 2 en 3 Uit geometrie-overwegingen (fig. 7) volgt nu de hellingshoek van de drukstaaf tussen knopen 2 en 3: tan ? = 400 ? 40 ? ½ h 2 ______________ ½ b 1 + 25,3 + 125 Uit verticaal krachtenevenwicht in knoop 3 volgt de grootte van de kracht in deze drukstaaf: F = 700 ? 10 3 _______ sin ?     De horizontale component van deze kracht moet in knoop 2 kunnen worden opgenomen. Eerder was gevonden dat de opneembare kracht wordt begrensd door de hoogte h 2 van de knoop: ? ? ? 75 75 125 25,3 250 3 2 _1 2h _1 2b _1 2b _1 2h 7 ? = F Ed ________ 150 ? 300 = 700 ? 10 3 ________ 150 ? 300 = 15,6 N/mm2 ? ? 2Rd,max = 17,0 N/mm 2 Staafwerkmodellen 5 2009 91 7 Afmetingen van knopen 2 en 3 en de daaruit af te leiden hel- ling van de drukstaaf tussen beide knopen (dimensies [mm]) 8 Afmetingen van knopen 1 en 2 en de daaruit af te leiden hel- ling van de drukstaaf tussen beide knopen (dimensies [mm]) De hellingshoek van de drukstaaf is 58° en voldoet daarmee aan de eerder vermelde eis dat moet gelden: 1,0 < tan? < 2,5 (EC2; art. J.3(1)) oftewel: 45,0° < ? < 68,2°. Controle knoop 3 In deze knoop moet de horizontale trekkracht worden veran- kerd. Nu de helling van de drukstaaf in de console bekend is, kan deze kracht eenvoudig worden berekend:  F H = F cos ? = 825 ? 1 0 3 ? cos 58° = 437 ? 10 3 N Deze kracht moet over de hoogte van knoop 3 (80 mm) kunnen worden verankerd: ? = 437 ? 10 3 ________ 80 ? 400 = 13,7 N/mm 2 ? ? 2Rd,max , dus voldoet. Bij een staalspanning f yd = 435 N/mm 2 is benodigd:  A s = 437 ? 10 3 _______ 435 = 1005 mm 2 Toegepast kunnen worden drie staven Ø16 mm die onder het oplegvlak van de console worden omgebogen, zodanig dat zij in de console dubbelsnedig aanwezig zijn (A s = 1206 mm 2 ). Controle knoop 1 In knoop 1 komen de verticale kolomkracht (1200 kN) en de horizontale trekkracht (437 kN) samen. Eerder is gebleken dat voor de verticale kracht een horizontale staafbreedte van 176,5 mm volstaat om ? 2Rd,max niet te overschrijden. De breedte van de knoop wordt hiermee vastgelegd op 176,5 mm. De hoogte van de knoop wordt gelijkgesteld aan 80 mm; bij het analyseren van knoop 3 was vastgesteld dat deze hoogte De toelaatbare spanningen zijn verschillend omdat sprake is van twee verschillende typen knopen; ? 1Rd,max respectievelijk ? 2Rd,max voor knoop 2, respectievelijk knoop 3. Gekozen wordt h 2 = 100 mm. Dan is tan ? = 400 ? 40 ? 100 ____ 2 _________________ ½ ? 87,1 + 25,3 + 125 = 1,60 waaruit volgt: ? = 58,0°. De kracht in de schuine drukstaaf is F = 700 kN / sin58° = 825 kN. De horizontale component van deze kracht (F cos58° = 437 kN) moet kunnen worden opgenomen in knoop 2:  F H,max = 400 h 2 ? 1Rd,max = 400 ? 100 ? 20,1 = 804 ? 10 3 N, dus voldoet. Aansluiting op knoop 2:  b staaf,2 = ?? ______ b 2 1 + h 2 2 = ?? __________ 87,1 2 + 100 2 = 133 mm De hoek tussen dit vlak en de horizontaal is: ? = arctan ( h 2 ___ b 1 ) = arctan ( 100 ____ 87,1 ) = 48,9° Corrigeer de berekende b staaf,2 om de staafbreedte loodrecht op de staafas (b staaf ) te vinden:  b staaf = b staaf,2 sin(? + ?) = b staaf,2 sin(48,9 + 58,0) = 0,96 b staaf, 2 De spanning in de drukdiagonaal ter plaatse van het aansluitvlak met knoop 2 is: ? = 825·10 3 / (400 ? 0,96?133) = 16,2 N/mm 2 < ? 1Rd,max Aansluiting op knoop 3: b staaf,3 = 170 mm; De hoek tussen dit vlak en de horizontaal is eerder berekend: ? = 28,1° Corrigeer de berekende b staaf,3 om de staafbreedte loodrecht op de staafas (b staaf ) te vinden:  b staaf = b staaf,3 sin(? + ?) = b staaf,3 sin(28,1 + 58,0) = 1,00 b staaf, 3 ? = 825 · 10 3 / (400 ? 1,00 ? 170) = 12,1 N/mm 2 < ? 2Rd,max 100 80 176,5 100 hartlijn kolom ? ? ? 2 1 _1 2h _1 2h _1 2b _1 2b 8 Staafwerkmodellen5 200992 De hoek tussen dit vlak en de horizontaal is: ? = arctan ( 80 _____ 176,5 ) = 24,4° Corrigeer b staaf,1 om de staafbreedte loodrecht op de staafas (b staaf ) te vinden:  b staaf = b staaf,1 sin (? + ?) = b staaf,1 sin (24,4 + 70,0) = 1,00 b staaf,1 Ook voor deze drukstaaf zijn de toelaatbare spanningen verschillend omdat sprake is van twee verschillende typen knopen; ? 1Rd,max respectievelijk ? 2Rd,max voor knoop 2, respectie- velijk knoop 1. De kracht in de schuine drukstaaf is F = 1277 kN. Bij het controleren van de schuine drukstaaf in de console is reeds aangetoond dat de horizontale component van deze kracht (F cos70° = 437 kN) kan worden opgenomen in knoop 2 als h 2 = 100 mm. Aansluiting op knoop 2: b staaf,2 = 180 mm  b staaf = 0,97 b staaf,2 De spanning op het aansluitvlak met knoop 2 is: ? = 1277·10 3 / (400 ? 0,97 ? 180) = 18,3 N/mm 2 < ? 1Rd,max volstaat om de horizontale trekstaaf te laten voldoen aan het spanningscriterium (? 2Rd,max ). In figuur 8 is nu aangegeven hoe de afmetingen van knopen 1 en 2 de hellingshoek en breedte van de drukstaaf tussen beide knopen bepalen. Drukstaaf tussen knopen 1 en 2 Voor de hellingshoek van de drukstaaf geldt: tan ? = 400 ? 40 ? ½ h 2 _______________________ 400 ? 100 ? 25,3 ? b 1 ? ½ b 2 = 310 ____ 113 = 2,74 ? = 70,0° Deze hoek moet ook kunnen worden berekend uit de hellings- hoek van de resultante van de verticale drukkracht van 1200 kN en de horizontale trekkracht van 437 kN die in knoop 1 samenkomen: ? = arctan ( 1200 _____ 473 ) = arctan(2,75) = 70,0°; correct. De kracht in de drukstaaf is: F = ?? ___________ 1200 2 + 473 2 = 1277 kN De spanning in de schuine staaf mag de toelaatbare spanning niet overschrijden: ? = F   _______ 400 b staaf Bepaal de breedte van de staaf loodrecht op de lengteas van de staaf weer uit de geometrie van de knopen. Knoop 2:  b staaf,2 = ?? ______ b 2 2 + h 2 2 = ?? ___________ 149,2 2 + 100 2 = 180 mm ter plaatse van de aansluiting op knoop 2. De hoek tussen dit vlak en de horizontaal is: ? = arctan ( h 2 __ b 2 ) = arctan ( 100 _____ 149,2 ) = 33,8° Corrigeer b staaf,2 om de staafbreedte loodrecht op de staafas (b staaf ) te vinden:  b staaf = b staaf,2 sin (? + ?) = b staaf,2 sin (33,8 + 70,0) = 0,97 b staaf,2 Knoop 1:  b staaf,1 = ?? ___________ 176,5 2 + 80 2 = 194 ter plaatse van knoop 1. a c a F Ed F Ed F c1 F c2 F c3 F wd h c F t x 1 F c y 1 d z 2 1 _1 2 a _1 2 a 9 Staafwerkmodellen 5 2009 93 9 Staafwerkmodel voor kolom met korte con- sole (EC2; fig. J.5) 10 Twee statisch bepaalde staafwerkmodellen voor de kolom met korte console waaruit het staafwerkmodel uit figuur 9 (EC2; fig. J.5) is opgebouwd In voorgaande berekening is gevonden: F t = F c = 437 kN. Met z = 400 ? 40 ? 0,5h 2 = 400 ? 40 ? 0,5 · 100 = 310 mm en a = a c + 25,3 + 0,5b 1 = 125 + 25,3 + 43,6 = 194 mm is dan:  F wd = 2 · 310 ____ 194 ? 1 _________ 3 + 700 ____ 437 · 437 = 0,48 · 437 = 210 kN Voor f yd = 435 N/mm 2 is A s = 483 mm 2 . Pas bijvoorbeeld toe 5 dubbelsnedige beugels Ø8 mm (A s = 503 mm 2 ). Opmerking: In voorgaande berekeningen zijn de uitdrukkingen voor de hellingshoeken van de drukstaven in de console en de kolom ter illustratie geheel uitgeschreven als functies van de hoogte h 2 van de drukknoop onderin de kolom. Het is uiteraard ook mogelijk de afmetingen van de knopen te schatten, de helling van de staven vast te stellen en de spanningen in staven en knopen te controleren. Zo'n controle verloopt nog eenvoudi- ger als het mogelijk is loodrechte hoeken te kiezen tussen de lengteas van een staaf en het knoopvlak waarop deze aangrijpt. Dan is namelijk de breedte van de staaf gemeten loodrecht op de lengteas van de staaf gelijk aan de lengte van het knoopvlak. In de praktijk is het meestal niet mogelijk voor alle staven hieraan te voldoen. Het rekenvoorbeeld toont dat dit niet loodrecht aansluiten van een staaf op een knoop- vlak meestal geen grote consequenties heeft bij de spannings- controle; het corrigeren van de breedte van de staaf leidt tot slechts geringe aanpassingen. ? Aansluiting op knoop 1: b staaf,1 = 194 mm  b staaf = 1,00 b staaf,1 De spanning op het aansluitvlak met knoop 1: ? = 1277 · 10 3 / (400 ? 1,00 ? 194) = 16,5 N/mm 2 < ? 2Rd,max In figuur 9 is aangegeven hoe de korte console moet worden gewapend (EC2; art. J.3(2)): Aanvullend op de hoofdtrekwape- ning (F t in figuur) moeten gesloten horizontale of schuine beugels worden aangebracht (F wd in figuur). De oppervlakte van de dwarsdoorsnede van deze wapening moet minimaal 25% van de hoofdwapening bedragen (NB). In dit voorbeeld met A s,main = 1005 mm 2 is de aanvullende wapening dan A s,lnk > 251 mm 2 (bijvoorbeeld 3 dubbelsnedige beugels Ø8 = 302 mm 2 ). Het in figuur 9 getoonde staafwerkmodel is statisch onbepaald; de staafkrachten zijn niet direct uit knoopevenwicht af te leiden. Het model is een combinatie van twee statisch bepaalde staafwerkmodellen (fig. 10). Door te bepalen welk aandeel beide modellen hebben in de opname van de kracht op de console, kunnen alle staafkrachten worden berekend. Om deze rekenintensieve excercitie te vermijden, is een uitdrukking afgeleid waarmee deze aandelen zijn te bepalen. In plaats van te wapenen op basis van een vaste waarde F wd = 0,25F t moet dan worden gewapend op basis van de verhouding tussen deze beide krachten. De volgende uitdrukking wordt voorgesteld:  F wd = 2 z   __ a    ? 1 _______ 3 + F Ed ___ F c F c a a F' Ed F'' Ed F' Ed F c2 F'' Ed F c1 F c3 F wd F' t F'' t F' c F'' c d d z z 2 2 3 1 1 ? ? ? ? h ) F diag h F diag (1 - ? ? _1 2 a _1 2 a _1 2 a _1 2 a 10