Stabiliteit3 201086 Stabiliteit Art. 5.8 van Eurocode 2 bespreekt hoe tweede-orde-effecten bij aanwezig- heid van axiale belastingen in rekening moeten worden gebracht. In dit artikel komen achtereenvolgens de kniklengte van afzonderlijke elemen- ten en rekenmethoden voor het vaststellen van het tweede-ordemoment aan bod. Het artikel is een onderdeel van een serie met rekenvoorbeel- den 1 ), waarin de diverse onderdelen van de Eurocode 2 worden toegelicht. Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (12) dr.ir.drs. René Braam TU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV de stijfheid van de eventueel aanwezige rotatieveren aan de uiteinden van het element? Figuur 1 geeft enkele effectieve lengten voor standaardsituaties. Uitdrukkingen worden gegeven om de effectieve lengte in alge- mene situaties te berekenen: EC2 vgl. (5.15) voor geschoorde elementen; EC2 vgl. (5.16) voor ongeschoorde elementen. In figuur 2 is een raamwerk gegeven waarmee de EC2-uitdrukkin- gen worden toegelicht. De uitdrukkingen die worden gehanteerd, zijn afkomstig uit de staalbouw en zijn in de jaren 50 van de vorige eeuw afgeleid. Een belangrijk aspect hierbij is de aangenomen uitbuigings- vorm van de stijlen en regels in het raamwerk: Geschoord element Bij een geschoord element wordt de uitbuigingsvorm zoals getoond in figuur 3 aangehouden (s = stijl; r = regel). De invloed van de in een knoop aansluitende constructiedelen die bijdragen aan de rotatiestijfheid van dat knooppunt, wordt gerepresenteerd door een rotatieveer. In EC2 is voor het weer- geven van de karakteristiek van de veer gekozen voor een rela- tieve flexibiliteit: de buigstijfheid van de kolom ten opzichte van de buigstijfheid van de regel(s): k = EI   ___   C l    waarin: EI is de buigstijfheid van de kolom; l is de lengte van de kolom; C is de rotatiestijfheid van een aansluiting van de kolom. Een benaderende uitdrukking voor de kniklengte (EC2 vgl. (5.15)): Slankheid en effectieve lengte van afzonderlijke elementen (EC2 art. 5.8.3.2) De slankheid van een element wordt gedefinieerd in EC2 vgl. (5.14): ? = l  0 __ i    waarin l 0 is de effectieve lengte en i is de traagheidsstraal van de doorsnede: i = ? ? __ I   __ A      Voor een rechthoekige doorsnede: i = ? ? _______ 1/12 bh 3 _______ bh = h   ___ ?? ___ 12 Bij het berekenen van de effectieve lengte ('kniklengte') zijn de randvoorwaarden van het gedrukte element van invloed: betreft het een geschoord of een ongeschoord element en wat is 1 ) De eerste 11 delen uit de artikelenserie zijn uit het Engels vertaald en bewerkt  door dr.ir.drs. René Braam (TU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman  BV). Dit 12e artikel is geheel opgesteld door dr.ir.drs. René Braam en afgestemd  met Voorschriftencommissie 20. Afkortingen EC2 = NEN-EN 1992-1-1 NB = Nationale Bijlage Stabiliteit 3 2010 87 a) l 0 = l b) l 0 = 2l c) l 0 = 0,7l d) l 0 = l / 2 e) l 0 = l f ) l / 2 < l 0 < l g) l 0 > l l 1 2 ? ? ? ? l1 l2 l3 ll lr EIbl EIbr EIal EIar k2 k1 lkolom lR EIR EI EI S k2 k1 lR MR = -------- = 1 EIR 2EIR lR k2 = 1 MR = -------- = 1 3EIR lR MR = -------- = 1 4EIR lR ? ? ? ? 1 2 3 4 EI l 0 = 0,5l    ? ? ________________________ ( 1 + k 1 ________ 0,45 + k 1 ) ( 1 + k 2 ________ 0,45 + k 2 ) waarin (fig. 2): l is de vrije lengte van het element tussen eindaansluitingen k 1 is de relatieve flexibiliteit aan uiteinde 1. In achtergronddo- cumenten wordt hiervoor vaak aangehouden:  k 1 = ( EI  __ l 1 ) kolom 1 + ( EI  __ l 2 ) kolom 2 _________________ 2 EI al ___ l l + 2 EI ar ___ l r als de bovengelegen kolom 1 bijdraagt aan de rotatie bij knik k 2 is de relatieve flexibiliteit aan uiteinde 2:  k 2 = ( EI  __    l 2 ) kolom 2 + ( EI  __    l 3 ) kolom 3 _________________ 2 EI bl ___ l l + 2 EI br ___ l r als de ondergelegen kolom 3 bijdraagt aan de rotatie bij knik De achtergrond van de factor '2' in de noemer voor de uitdruk- kingen van de relatieve flexibiliteit is toegelicht in figuur 4. Uit figuur 4 is af te lezen (bovenaan) dat bij stijve knooppunten in een geschoord raamwerk, de bijdrage van een regel aan de knoopstijfheid evenredig is met: 2 (EI) regel ________ l regel Deze bijdrage volgt uit de verhouding tussen het moment op de knoop en de rotatie van de knoop: C = M   __   ?    = M   ________________       M  l regel _______ 3 (EI) regel + M l regel _______ 6 (EI) regel = 2( EI) regel _______ l regel In deze situatie wordt de geringste rotatiestijfheid van de knoop gevonden, omdat de beide momenten aan het uiteinde van de regel een elkaar versterkende invloed op de rotatie van de knoop kolom-regel hebben. Als één van de twee verbindingen van de regel met de twee kolommen scharnierend is, ontstaat de situatie van de statisch bepaalde ligger aan één uiteinde belast, het andere uiteinde scharnierend verbonden (fig. 4, midden). De rotatiestijfheid is het grootst als het andere uiteinde van de regel oneindig stijf is ingeklemd (fig. 4, onder). 1 Knikvormen en kniklengte l 0  van  afzonderlijke elementen, zowel  geschoord (a, c, d, f ) als onge- schoord (EC2 fig. 5.7) 2 De nader te beschouwen kolom  (2) in een geschoord of onge- schoord raamwerk. Geheel rechts  de schematisatie van de kolom  waarbij de invloed van de buig- stijfheid van de regels is meege- nomen door rotatieveren  3 Geschoord element (s) met   rotatieveren aan de uiteinden.  Uitbuigingsvorm bij een   ge schoord raamwerk 4 Het moment veroorzaakt aan de  voet van een kolom door een  eenheids-hoekverdraaiing ter  plaatse van de aansluiting op een  regel in een geschoord raamwerk.  Vanaf boven drie schematiserin- gen voor de regel: twee stijve  hoeken; een stijve hoek en een  scharnierend uiteinde en een   stijve hoek en een oneindig stijf  ingeklemd uiteinde Stabiliteit3 201088 lkolom lR EIR EI EI S l R EI R M R = 6 -------- = 1 EI R l R = 1? ? 5 5 Bij het ongeschoorde raamwerk is de bijdrage van de stijfheid van de regel dus relatief groot: de knoopmomenten die aan weerszij- den op een regel werken, hebben een tegengestelde invloed op een hoekverdraaiing aan een knoop-uiteinde van de regel. Opmerking: De theorie voor de kniklengte van een element in een onge- schoord raamwerk sluit aan op die van de uit de VBC bekende 'kruisjesmethode': 1 - stijfheid van de regels: In de VBC (fig. 43 & 44) worden de afmetingen van een kruisje gebaseerd op de ligging van de momentennulpunten in regels en stijlen. VBC fig. 42 toont het schema voor de verend inge- klemde staaf. De veerconstante van de inklemming is (VBC art. 7.7.2.2): c = 3 ( EI )  da ______ l a + 3 ( EI )  db ______ l b In de VBC-uitdrukking moet voor de liggerlengte worden aangehouden de afstand van de inklemming tot het aangeno- men scharnier. Als wordt aangenomen dat dit nulpunt halver- wege de liggerlengte aanwezig is, wordt dezelfde uitdrukking verkregen als die wordt gevonden in de EC2-achtergronddocu- menten. Eigenlijk biedt de VBC een nog breder toepasbare uitdrukking, omdat de ligging van de momentennulpunten variabel is. 2 - stijfheid van de stijlen In EC2 moet de invloed van een aansluitend gedrukt element dat in een knooppunt bijdraagt aan de rotatie bij knik van het beschouwde element worden meegenomen (EC2 art. 5.8.3.2 (4)). Dit verklaart waarom eerder in de uitdrukkingen voor de rotatie- flexibiliteiten k 1 en k 2 de invloed van de boven respectievelijk onder gelegen kolom is meegenomen (zie fig. 1). Het gevolg is dat de rotatieflexibiliteit wordt vergroot en, als gevolg daarvan, de kniklengte toeneemt. Eigenlijk wordt op deze wijze de stijf- heid van de verbinding met de regels verdeeld over de twee in de knoop aansluitende kolommen. Het verdelen vindt plaats op Bij het invoeren van de buigstijfheid van de regel moet reke- ning worden gehouden met de invloed van scheurvorming op de buigstijfheid. Dit is alleen dan niet vereist, als wordt aange- toond dat het betreffende element in de UGT ongescheurd is (EC2 art. 5.8.3.2 (5)). EC2 geeft geen rekenregels voor de buig- stijfheid van een gescheurde regel. Hiertoe kan tabel 15 van de VBC worden aangehouden. Ongeschoord element Een ongeschoord element vertoont een uitbuigingsvorm zoals getoond in figuur 5. De kniklengte is bij benadering (EC2 vgl. (5.16)):  l 0 = l · max [ ? ? ___________ 1 + 10 k 1 k 2 ______ k 1 + k 2 ; ( 1 + k 1 _______ 1,0 + k 1 ) ( 1 + k 2 _______ 1,0 + k 2 ) ]  k 1 = ( EI  __ l 1 ) kolom 1 + ( EI  __    l 2 ) kolom 2 _________________ 6 EI al ___ l l + 6 EI ar ____ l r als de bovengelegen kolom bijdraagt aan de rotatie bij knik k 2 is de relatieve flexibiliteit aan uiteinde 2:  k 2 = ( EI  __    l 2 ) kolom 2 + ( EI  __    l 3 ) kolom 3 _________________ 6 EI bl ___ l l + 6 EI br ___ l r als de ondergelegen kolom bijdraagt aan de rotatie bij knik In figuur 6 is de achtergrond van de factor '6' in de noemer van de uitdrukkingen voor de relatieve flexibiliteiten toegelicht. Bij stijve knooppunten in een ongeschoord raamwerk is de bijdrage van een regel aan de knoopstijfheid evenredig met: 6 (EI) regel _______ l regel hetgeen volgt uit: C = M   __   ?    = M   ________________       M  l regel _______ 3 ( EI )  regel ? M  l regel _______ 6(E I) regel = 6(E I) regel _______ l regel Stabiliteit 3 2010 89 M 02 219 M 01 204 7 5 Uitbuigingsvorm van een onge- schoord element met rotatieve- ren aan de uiteinden 6 Momenten veroorzaakt door  een eenheids-hoekverdraaiing in  de aansluitingen kolom-regel  van een ongeschoord raamwerk 7 Eerste-ordemomentenverloop  over de hoogte van de kolom   (in kNm) De gemiddelde wapeningsverhouding over de lengte van de regel (VBC art. 7.2.3): omdat ?   _   steunpunt = 2 ? _ veld is ? _ = 1,5 ? _ veld De fictieve elasticiteitsmodulus van de regel (VBC tabel 15):  E f,regel = 3100 +6700 ? _ = 3100 + 6700 · (1,5 · 0,6) = 9130 N/m m 2 Buigstijfheid van de regel: EI f,regel = 9130 · 1 ___ 12 · 1200 · 3 00 3 = 24,7 · 1 0 12 N/m m 2 Bereken de kolomstijfheid op basis van een geschatte wape- ningsverhouding van 2%. Met VBC tabel 15:  ? n = N Ed __________ A c ? cd + A s ? yd = 4766 · 1 0 3 __________________________ 45 0 2 · 0,6 · 45 + 0,02 · 45 0 2 · 435 = 0,66 Opmerking: Omdat de uitdrukkingen in VBC tabel 15 zijn afgeleid voor de rekenwaarde van de betondruksterkte volgens de VBC, is die waarde aangehouden (0,6 · 45 = 27,0 N/mm 2 ). Het verschil met EC2 is beperkt omdat die voor deze sterkte- klasse geeft: 45 / 1,5 = 30,0 N/mm 2 . Fictieve elasticiteitsmodulus van de kolom:  E ?,kolom = (21300 + 4950 ? _ ) (1 ? ? ? n ) = (21300 + 4950 · 2) (1 ? ? · 0,66) = 17,5 · 1 0 3 N/m m 2 Relatieve flexibiliteit aan een uiteinde van de kolom:  k 1 = ( EI  __ l 1 ) kolom 1 + ( EI  __    l 2 ) kolom 2 _________________ 2 EI al ___ l l + 2 EI ar ___ l r = 2 · 17,5 · 1 0 3 · 1/12 · 4 50 4 __________________ 4200 ____________________ 4 · 24,7 · 1 0 12 ________ 7200 = 2,1 Omdat beide knopen aan de kolomeinden (aansluitingen met de regels) identiek zijn, is ook k 2 = 2,1. De kniklengte van de kolom:  l 0 = 0,5l    ? ? ________________________ ( 1 + k 1 ________ 0,45 + k 1 ) ( 1 + k 2 ________ 0,45 + k 2 ) = 0,5l    ? ? ______________ ( 1 + 2,1 ________ 0,45 + 2,1 ) 2 = 0,91l basis van de verhouding tussen de kolomstijfheden EI / l. In de VBC vindt dit ook plaats, zij het dat een volledig kruisje (fig. 44) wordt gesplitst in twee halve kruisjes (fig. 42) waarbij de veerconstante van de inklemming in de regels wordt verdeeld op basis van de verhouding tussen de eerste-orde- momenten in de twee aansluitende kolommen ter plaatse van de beschouwde knoop. Omdat de grootte en onderlinge verho- ding van deze momenten evenredig zal zijn met de kolomstijf- heden en hun onderlinge verhouding, is dus ook hier sprake van een aansluiting tussen EC2 en de VBC. Rekenvoorbeeld: kolom in geschoord raamwerk Gegevens Stijlen kolommen 450 mm x 450 mm ligging van de tweezijdig symmetrische wapening in de door- snede: a / h = 0,1 hoogte 4200 mm (verdiepinghoogte; hart-op-hartafstand van de vloeren) rekenwaarden: kolommomenten (zie fig. 7) (inclusief de momenten t.g.v. geometrische imperfecties (EC2 art. 5.2)): bovenin: M 01 = 204 kNm onderin: M 02 = 219 kNm normaalkracht: N Ed = 4766 kN Regels rechthoekige balken, 1200 mm breed en 300 mm hoog. lengte (hart-op-hartafstand van de kolommen): 7,2 m wapening: 0,6% in velddoorsnede (onderin); 1,2% in de steun- puntsdoorsnede (bovenin), beiden ten opzichte van de volle- dige betondoorsnede. Betonsterkteklasse C35/45 effectieve kruipcoëfficiënt: ? ef = 1,0 Buigstijfheid van de regels: Met de VBC art. 7.2.3 met n = 2 (doorgaande ligger) is het kwadratisch oppervlaktemoment van de regels: I = ½ I v + ½ I s Omdat I v = I s volgt dat I = 1 ___ 12 b h 3 . Stabiliteit3 201090 M 01 M 01 M 02 M 02 eerste-orde moment totaal moment gelijkwaardig totaal moment gelijkwaardig eerste- orde moment 8 9 A c is de oppervlakte van de ongescheurd veronderstelde betondoorsnede ? lim = 20ABC   ______ ?? __ n       (EC2 vgl. 5.13) waarin (EC2 art. 5.8.3.1 (2)): A = 1 ________ 1 + 0,2 ? e? ? ef is de effectieve kruipcoëfficiënt; ? e? = ?   ( ?, t 0 ) M 0Eqp _____ M 0Ed (EC2 vgl. 5.19) ?(?,t 0 ) is de eindwaarde van de kruipcoëfficiënt (EC2 art. 3.1.4) M 0Eqp is het eerste-orde buigend moment in de quasi-blij- vende belastingscombinatie (G + ? 2 Q) M 0Ed is het eerste-orde buigend moment in de uiterste grens- toestand (UGT; ? G G + ? Q Q) B = ?? ______ 1 + 2?   = ? ? _________ 1 + 2 A s ? yd _____ A c ? cd A s is de totale oppervlakte van de doorsnede van de langs- wapening C = 1,7 ? r m = 1,7 ? M 01 ____ M 02 voor een geschoord element   M 01 , M 02 zijn de eerste-orde eindmomenten (dus incl. het moment door imperfecties) waarbij | M 02 | ? | M 01 | Als de eindmomenten M 01 en M 02 aan dezelfde zijde trek geven, moet r m positief worden genomen (zodat C ? 1,7), anders negatief (zodat C > 1,7) C = 0,7 voor een ongeschoord element n = N Ed _____ A c ? cd , de relatieve normaalkracht Als aan de voorwaarde met betrekking tot de limietwaarde voor de slankheid wordt voldaan, mag worden aangenomen dat het tweede-orde-effect kleiner is dan 10% van het eerste-orde effect. Tweede-orde-effecten kleiner dan 10% kunnen volgens EC2 art. 5.8.2 (6) worden verwaarloosd. Uit dit resultaat is te zien dat de regels relatief buigslap zijn ten opzichte van de kolom; de kniklengte is slechts 9% kleiner dan de lengte van de kolom (de kniklengte als de aansluitingen met de regels aan beide uiteinden van de kolom scharnierend zouden zijn). Opmerking: Bij het berekenen van de kniklengte mag volgens EC2 worden uitgegaan van de vrije lengte tussen de eindaansluitingen. In dit rekenvoorbeeld is dat de verdiepinghoogte minus de dikte van de regel (4,2 - 0,3 = 3,9 m). In dit rekenvoorbeeld wordt de verdiepinghoogte aangehouden.  l 0 = 0,91l = 0,91 · 4,2 · 10 3 = 3,8 · 10 3 mm De slankheid van de kolom: ? = l 0 __ i    = ?? ___ 12 ___ h     l 0 = ?? ___ 12 ____ 450 · 3,8 · 1 0 3 = 29,4 Controleer of een tweede-ordeberekening moet worden uitgevoerd Op druk belaste gewapende, niet-voorgespannen geschoorde en ongeschoorde elementen behoeven niet op tweede-ordemo- menten te worden berekend, indien wordt voldaan aan: ? ? ? lim (EC2 art. 5.8.3.1 (1)) waarin: ? = l 0 __ i    (EC2 vgl. 5.14) l 0 is de effectieve lengte of kniklengte (EC2 art. 5.8.3.2) i is de traagheidsstraal van de doorsnede in de beschouwde buigingsrichting; i = ? ? ___ I c ___ A c I c is het traagheidsmoment van de ongescheurd veronder- stelde betondoorsnede om de beschouwde buigingsas 8 Eerste-orde en totaal momentverloop  (midden) over de hoogte van een kolom  met verschillende eerste-orde eindmo- menten (links). Rechts de benadering  met gelijkwaardige momenten. 9 Onderscheiden eerste-ordemomenten- verdelingen over de hoogte van een ele- ment. Bijbehorende waarde van c 0  (van  links naar rechts): 8; 9,8 ; ? 2  en 12. Stabiliteit 3 2010 91 M 02 219 kNm M 01 204 kNm 2 kNm 2 kNm l 0,91 l -- l 1 8 -- M 2 1 2 -- M 2 1 2 -- l 1 8 -- l 3 4 M 2 M 2 = 14 kNm 10 Gelijkwaardig eerste-ordemoment (EC2 art. 5.8.8.2 (2)) voor een element zonder belastingen tussen de einden:  M 0e = 0,6 M 02 + 0,4 M 01 ? 0,4 M 02 In figuur 8 is de situatie getoond voor de beschouwde kolom met verschillende eerste-ordemomenten. Het in absolute zin grootste moment: M 02 = 219 kNm. Dan is M 01 = -204 kNm. Het gelijkwaardige eerste-ordemoment:  M 0e = 0,6 · 219 + 0,4 · ( ?204 ) ? 0,4 · 219 kNm Resultaat: M 0e = 88 kNm. De rekenwaarde van het totale moment (eerste- plus tweede- orde) wordt berekend met de momentvergrotingsfactor (EC2 vgl. (5.28)):  M Ed = M 0Ed ( 1 + ?  ______       N B ___ N Ed ? 1 ) waarin: ? = ? 2 __ c 0 (EC2 vgl. (5.29) De grootte van c 0 is afhankelijk van de eerste-ordemomenten- verdeling over de hoogte van het element: 8 bij een constant moment; 9,8 bij een parabolisch verloop; ? 2 bij een sinusvormig verloop en 12 bij een driehoekig momentenverloop, zie figuur 9. Voor de kolom in het rekenvoorbeeld is c 0 = 8 omdat is uitge- gaan van een gelijkwaardig eerste-ordemoment, dus een constant moment over de hoogte van het element. Dit moment neemt door het tweede-orde-effect toe tot:  M Ed = M 0e ( 1 + ? 2 __ 8 ______ 8,5 ? 1 ) = 1,16 M 0e = 1,16 · 88 = 102 kNm Het tweede-ordemoment is 102 - 88 = 14 kNm. Voor de kolom geldt: A = 1 ________ 1 + 0,2 ?  e? = 1 __________ 1 + 0,2 · 1,0 = 0,83 B = ?? ______ 1 + 2?   = ? ? _________ 1 + 2 A s ? yd _____ A c ? cd = ? ? __________________ 1 + 2 0,02 · 45 0 2 · 435 _____________ 45 0 2 · 35 ___ 1,5 = 1,32 C = 1,7 ? r m = 1,7 ? M 01 ____ M 02 = 1,7 ? ?204 _____ 219 = 2,6 n = N Ed _____ A c ? cd = 4766 · 1 0 3 ________ 45 0 2 · 35 ___ 1,5 = 1,09 De limietwaarde voor de slankheid van een geschoorde kolom:  ? lim = 20ABC   ______ ?? __ n       = 55,3 De slankheid van de geschoorde kolom (29,4) is kleiner dan de limietwaarde voor de slankheid (55,3) zodat het niet nodig is een twee-orde berekening uit te voeren. Om de rekenmetho- diek te illustreren, wordt deze berekening echter wel uitge- voerd. Methode nominale stijfheid (EC2 art. 5.8.7) Bij een geschoorde kolom is het volgens de NB bij EC2 toege- staan deze methode toe te passen; bij de ongeschoorde kolom is deze methode de enig toegestane methode. Knikweerstand volgens Euler: N B = ? 2 EI kolom _______ l 0 2 = ? 2 · 17,5 · 1 0 3 · 1/12 · 45 0 4 ____________________ ( 0,91 · 4200 ) 2 = 40,4 · 1 0 6 N Verhouding tussen de knikweerstand en de rekenwaarde van de normaalkracht:  n B = N B ___ N Ed = 40,4 · 1 0 6 ________ 4766 · 10 3 = 8,5 10 Eerste- (links) en tweede-orde (midden)  momentenverloop over de hoogte van de  kolom. Rechts een benadering van het tweede- ordemoment (figuur niet op schaal) Stabiliteit3 201092 M M02 M0e + M2 M01 M01 + 0,5 M010,5 M2 e1NEd M01 = NEde2 M0e + M2 + = M02 11 11 Schematische weergave van een  eerste- (links) en benaderde twee- de-orde (midden) momentenver- loop over de hoogte van de kolom;  rechts het totale moment 12 De kromming in de middendoor- snede van een gedrukt element  berekenen door te interpoleren in  een geschematiseerd lineair nor- maalkracht-moment interactiedia- gram 13 Eerste- (links) en benaderd tweede- orde (rechts) momentenverloop  over de hoogte van de kolom De grootte van de coëfficiënt c is afhankelijk van het momen- tenverloop. Anders dan bij de coëfficiënt c 0 bij de methode met de nominale stijfheid, moet nu worden uitgegaan van het verloop van het totaal-moment, dus het gecombineerde eerste- en tweede-ordemomentenverloop. Gekozen wordt c = 12 omdat het eerste-ordemomentenverloop relatief gunstig is (de momenten geven trek aan verschillende zijden van de kolom) en het tweede- orde moment (zoals is gebleken bij de methode met de nominale stijfheid) relatief klein is, waardoor het eerste- ordemomentenverloop nauwelijks wordt beïnvloed. De kromming halverwege de effectieve lengte wordt berekend met als basiswaarde de kromming die optreedt bij de maxi- mummomentweerstand van de doorsnede. Deze is bij benade- ring (EC2 art. 5.8.8.3 (1)): 1 __ r 0 = ? yd _____ 0,45d    = ? yd ___ E s _____ 0,45d    = 435 _____ 2 · 1 0 5 ____________ 0,45 · 0,9 · 450 = 11,9 · 1 0 ?6 m m ?1 Bij deze maximummomentweerstand behoort een zekere normaalkracht in de kolom. De rekenwaarde van de normaal- kracht kan een andere grootte hebben. Daarom wordt de krom- ming gecorrigeerd: De werkelijk optredende kromming wordt gevonden uit, ener- zijds, de rekenwaarde van de normaalkracht en, anderzijds, door de aanname te doen dat sprake is van een rechtlijnig verloop van het M-N-interactiediagram tussen het punt met maximum momentweerstand (M max ; bij een normaalkracht N bal ) en het punt met centrische druk (normaalkracht N u ) (zie figuur 12). In de eerste situatie is de kromming 1 / r 0 ; in de tweede situatie is die gelijk aan nul (EC2 vgl. (5.36)). Het interpoleren levert een reduc- tiefactor waarmee de werkelijke kromming wordt berekend: K r = N u ? N   _______    N u ? N bal = 1 + ? ? n   ________ 0,6 + ?     ? 1,0 Mechanische wapeningsverhouding: ? = A s ? yd _____ A c ? cd = 0,02 · (4 50) 2 · 435 ______________ (4 50) 2 · 35 ___ 1,5 = 0,37 Het verloop van het tweede-ordemoment over de kolomhoogte wordt gevonden omdat ervan mag worden uitgegaan dat het parabolisch of sinusvorming is over de effectieve lengte (EC2; art. 5.8.8.2 (1)). In figuur 10 is het verloop van de eerste- en tweede-ordemomenten gegeven. Omdat in dit rekenvoorbeeld de rotatieveren aan de kolomeinden dezelfde stijfheid hebben, kan de effectieve lengte eenvoudig worden aangegeven en kunnen de tweede-ordemomenten aan de kolomeinden worden berekend. In een meer algemene situatie is de exacte ligging van de momentennulpunten van de twee-orde momen- tenlijn niet bekend. In de literatuur wordt dan vaak een bena- derende, meestal veilige aanpak gevolgd (zie figuur 11): de eindmomenten worden elk gelijk gesteld aan 50% van het grootste tweede-ordemoment. Uitgaande van een sinusvormig verloop van het tweede-ordemoment, liggen de momentennul- punten dan op een afstand l / 8 van de kolomeinden en is dus uitgegaan van een effectieve lengte l 0 = 0,75 l. De maatgevende doorsnede kan worden gevonden aan beide kolomeinden of ongeveer halverwege de kolomhoogte. Op basis van de benaderende schematisatie van de tweede-orde- momentenlijn volgt (zie figuur 11):  M Ed = max. ( M 01 + ½ M 2 ; M 0e + M 2 ; M 02 ) Hierbij wordt opgemerkt dat het tweede-ordemoment gunstig werkt aan het kolomeinde waar M 02 aanwezig is en daarom in deze doorsnede buiten beschouwing gelaten wordt.  M Ed = max. ( 204 + 7 ; 102 ; 219 ) = 219 kNm Geconcludeerd wordt dat de doorsnede aan de onderzijde van de kolom (met het grootste eerste-ordemoment) maatgevend is. In deze doorsnede wordt de grootte van het moment niet bepaald door het tweede-orde-effect. Methode nominale kromming (EC2 art. 5.8.8) Als in de praktijk sprake is van een geschoorde kolom, mag deze methode worden toegepast. Voor een ongeschoorde kolom mag deze methode niet worden toegepast (NB bij EC2). De toename van de uitbuiging van de kolom door het tweede- orde-effect wordt berekend uit een kromtestraal (of: krom- ming), de effectieve lengte van de kolom en het momentenver- loop over de kolomhoogte. De uitdrukking voor deze toename van de uitbuiging (EC2 art. 5.8.8.2 (3)):  e 2 = 1 __ r    · l 0 2 __ c    Stabiliteit 3 2010 93 NbaL ? ? ------------- N N M l0 ? ? = ------- · ? Nu? = 0 yd l0 2 2 0,45 d ? ? ? ? M 02 219 kNm M 01 204 kNm -- M 2 = 13 kNm 1 2 -- M 2 1 2 M 2 = 27 kNm 12 13 De relatieve excentriciteit van de normaalkracht:     M Ed _____ ? cd b h 2 = 219 · 1 0 6 ____________ 35 ___ 1,5 · 450 · 45 0 2 = 0,10 Uit moment-normaalkracht interactiediagrammen (zie bijvoorbeeld de figuren uit de GTB 2006, onderdeel 10, maar dan met EC2-invoerparameters) volgt bij deze combinatie een wapeningsverhouding van circa 1,7%. De aanname (2%) is dus correct geweest. Rekenvoorbeeld kolom in ongeschoord raamwerk Dezelfde kolom wordt nu getoetst op knik als deze onderdeel is van een ongeschoord raamwerk. Het grootste moment aan de kolomeinden is nu: M 02 = 329 kNm. De rekenwaarde van de normaalkracht is N Ed = 2383 kN. De afmetingen van en de wapening in de balk veranderen niet. De buigstijfheid van de regel is dan: E I  ?,regel = 24,7 · 1 0 12 N/m m 2 De wapeningsverhouding wordt weer geschat op 2%. De rela- tieve normaalkracht volgens VBC tabel 15:  ? n = N Ed __________ A c ? cd + A s ? yd = 2383 · 1 0 3 __________________________ 45 0 2 · 0,6 · 45 + 0,02 · 4 50 2 · 435 = 0,33 Fictieve elasticiteitsmodulus van de kolom:  E ?,kolom = (21300 + 4950 ? _ ) (1 ? ? ? n ) = (21300 + 4950 · 2) (1 ? ? · 0,33) = 24,3 · 1 0 3 N/m m 2 Relatieve flexibiliteit aan een uiteinde van de kolom:  k 1 = ( EI  __    l 1 ) kolom 1 + ( EI  __    l 2 ) kolom 2 _________________ 6 EI al ___ l l + 6 EI ar ___ l r = 2 · 24,3 · 1 0 3 · 1/12 · 45 0 4 __________________ 4200 ____________________ 12 · 24,7 · 1 0 12 ________ 7200 = 1,0 Omdat de knopen identiek zijn, is ook k 2 = 1,0. Relatieve normaalkracht: n = N Ed _____ A c ? cd = 4766 · 1 0 3 _________ (45 0) 2 · 35 ___ 1,5 = 1,09 Het effect van kruip wordt in rekening gebracht met EC2 vgl. (5.37):  K  ? = 1 + ? ? e? ? 1,0 waarin: ? = 0,35 + ? ck ____ 200 ? ?   ____ 150 = 0,35 + 35 ____ 200 ? 29,4 ____ 150 = 0,33  K ? = 1 + 0,33 · 1,0 = 1,33 De optredende kromming: 1 __ r    = K r K ? 1 __ r 0 = 0,29 · 1,33 · 11,9 · 10 ?6 = 4,6 · 10 ?6 m m ?1 De extra uitbuiging van de kolom:  e 2 = 1 __ r    · l 0 2 __ c    = 4,6 · 10 ?6 · (0,91 · 42 00) 2 ___________ 12 = 5,6 mm Het tweede-ordemoment (EC2 vgl. (5.33)):  M 2 = N Ed e 2 = 4766 · 1 0 3 · 5,6 = 26,7 · 1 0 6 Nmm Net als in figuren 10 en 11 getoond, wordt het tweede-ordemo- ment in de literatuur vaak volgens een vereenvoudigde aanpak geschematiseerd (zie fig. 13). Evenals bij de methode volgens de nominale stijfheid, wordt de maatgevende doorsnede weer gevonden aan de onderzijde van de kolom. Bij een normaalkracht van 4766 kN en een buigend moment van 219 kNm is de relatieve normaalkracht n = N Ed _____ A c ? cd = 1,01. Stabiliteit3 201094 De rekenwaarde van het totale moment (eerste- plus tweede- orde) volgt weer uit de momentvergrotingsfactor (EC2 vgl. (5.28)):  M Ed = M 0Ed ( 1 + ?  ______ N B ___ N Ed ? 1 ) waarin: ? = ? 2 __ c 0 (EC2 vgl. (5.29) Voor de kolom is c 0 = 12 een conservatieve waarde (vergelijk figuur 9). Dan is de vergrotingsfactor:  M Ed = M 0Ed ( 1 + ? 2 ___ 12 ______ 3,8 ? 1 ) = 1,29 M 0Ed De vergrotingsfactor wordt toegepast op de momenten aan de kolomeinden. Het in absolute zin grootste eindmoment (M 02 ) geeft nu het voor de kolom maatgevende moment:  M Ed = 1,29 M Ed = 1,29 · 329 = 424 kNm Met moment-normaalkracht interactiediagrammen wordt de wapeningsverhouding getoetst: Bij een normaalkracht van 2383 kN is de relatieve normaal- kracht n = 0,50. Bij een buigend moment van 480 kNm is de relatieve excentriciteit van de normaalkracht:     M Ed _____ ? cd b h 2 = 424 · 1 0 6 ____________ 35 ___ 1,5 · 450 · 450 2 = 0,20 Bij deze combinatie is de minimaal vereiste wapeningsverhou- ding circa 1,8% (zie, bijvoorbeeld, tabellen overeenkomstig die in de GTB 2006). De aanname (2%) is dus correct. ? De kniklengte van de kolom:  l 0 = l · max [ ? ? ___________ 1 + 10 k 1 k 2 ______ k 1 + k 2 ; ( 1 + k 1 _______ 1,0 + k 1 ) ( 1+ k 2 _______ 1,0 + k 2 ) ] = l · max [ ? ? _____________ 1 + 10 1,0 · 1,0 ________ 1,0 + 1,0 ; ( 1 + 1,0 ________ 1,0 + 1,0 ) ( 1+ 1,0 ________ 1,0 + 1,0 ) ] = 2,5 l  l 0 = 2,25 l = 2,25 · 4,2 · 1 0 3 = 9,5 · 1 0 3 mm De slankheid van de kolom: ? = l 0 __ i    = ?? ___ 12 ___ h    l 0 = ?? ___ 12 ____ 450 · 9,5 · 1 0 3 = 73,1Controleer of een tweede-ordeberekening moet worden uitgevoerd Omdat ten opzichte van de geschoorde kolom de kolomafme- tingen en de geschatte wapeningsverhouding onveranderd zijn gebleven, blijven, bij het berekenen van de limietwaarde voor de slankheid, A en B uit EC2 vgl. (5.13) ook onveranderd; A = 0,83 en B = 1,32. Omdat nu sprake is van een ongeschoorde kolom is C = 0,7. De relatieve normaalkracht: n = N Ed _____ A c ? cd = 2383 · 1 0 3 ________ 45 0 2 · 35 ___ 1,5 = 0,50 De limietwaarde voor de slankheid van de ongeschoorde kolom:  ? lim = 20ABC   ______ ?? __ n       = 21,7 De slankheid van de geschoorde kolom is aanzienlijk groter dan de limietwaarde voor de slankheid zodat een twee-orde berekening moet worden uitgevoerd. Methode nominale stijfheid (EC2 art. 5.8.7) Omdat de kolom ongeschoord is, is het volgens de NB bij EC2 alleen toegestaan deze methode toe te passen. Knikweerstand volgens Euler: N B = ? 2 E I kolom / l 0 2 = ? 2 · 24,3 · 1 0 3 · 1/12 · 4 50 4 _____________________ ( 9,5 · 1 0 3 ) 2 = 9,1 · 1 0 6 N Verhouding tussen de knikweerstand en de rekenwaarde van de normaalkracht:  n B = N B ___ N Ed = 9,1 · 1 0 6 ________ 2383 · 1 0 3 = 3,8