Formules of tabellen?3200984Formulesof tabellen?De regelgeving met betrekking tot scheurvorming in beton is inde loop der jaren sterk gewijzigd. Zo werd in de VB74/84 uitge-gaan van een `exacte' berekening en in de VBC 1995 van detail-leringformules. Met de invoering van de Eurocode krijgtconstructeur de mogelijkheid tussen beide methoden te kiezen:berekening van de scheurwijdte via formules of toetsing van deconstructie aan detailleringstabellen. Aan de hand van tweecases worden de methodes toegelicht en vergeleken met deuitkomsten volgens de VBC 1995.Rekenvoorbeelden scheurwijdte volgens Eurocode 2In dit artikel worden voor twee cases beide methoden doorge-rekend en worden de onderlinge verschillen behandeld. Ookwordt voor beide cases een scheurwijdtecontrole volgens deVBC uitgevoerd. Eerst wordt ingegaan op de belangrijksteparameters ten aanzien van scheurvorming.Belangrijke parameters scheurvormingScheurvorming in beton is een grillig verschijnsel. Ofscheurvorming optreedt en zo ja, in welke mate, hangt af vandiverse zaken. Het moment van scheurvorming is belangrijkomdat de treksterkte van het beton afhangt van zowel deouderdom van het beton als de duur van de belasting (kort-of langdurend). De aanwezige treksterkte op het moment vanscheuren bepaalt verder de aanhechtspanning die door hetbeton en staal tussen de scheuren kan worden overgebracht.Daarmee bepaalt de treksterkte mede het verschil in rek vanhet staal in en tussen de scheuren en de rek van het beton enaldus de wijdte van de scheur.Scheuren die in hoofdzaak worden veroorzaakt door belem-merde vervorming leiden veelal tot een zogenaamd onvoltooidscheurenpatroon waarbij de scheurafstand relatief groot is ende scheuren elkaars grootte nauwelijks beïnvloeden. Scheurendie in hoofdzaak worden veroorzaakt door (uitwendige) belas-tingen leiden veelal tot een voltooid scheurenpatroon metscheuren op relatief regelmatige afstanden.In de Eurocode kan enerzijds via een berekening van de optre-dende scheurwijdte(n) worden aangetoond dat deze kleiner isdan de bij de milieuklasse maximaal toelaatbare scheurwijdte.Anderzijds wordt geacht dat bij een voldoende detaillering vande wapening de scheurvorming voldoende wordt beheerst. Hetaflezen uit tabellen kan snel en eenvoudig inzicht geven in hetal of niet voldoen van de constructie. In deze tabellen iswel eenaantal vereenvoudigingen doorgevoerd om te voorkomen datzij hun doel voorbij schieten. De in de tabel opgenomenwaarden moeten bij voorkeur aan de veilige kant zijn.Als scheuren vooral worden veroorzaakt door belastingen moetworden voldaan aan een maximale staafdiameter of eenmaximum staafafstand. In dit artikel zal daarop nader wordeningegaan. Situaties waarin scheuren in hoofdzaak wordenveroorzaakt door belemmerde vervormingen en waar volgensde Eurocode (alleen) de staafdiameter moet worden begrensd,komen in dit artikel niet aan de orde.Formules of tabellen? 32009 85l1000De scheurwijdte wordt naast de eerder genoemde treksterktevan het beton op het moment van scheuren hoofdzakelijkbepaald door de staalspanning in de scheur en de afstandtussen de scheuren. De afstand tussen de scheuren wordt inhoofdzaak bepaald door de afmetingen van de effectieve trek-staaf rondom de wapening die vooral afhankelijk is van destaafdiameter, de aanhechtingseigenschappen van de staven, debetondekking op de staven en de spanningstoestand (zuiveretrek versus zuivere buiging) in de effectieve trekstaaf.Welke scheurwijdte toelaatbaar is, hangt vooral af van het milieuwaarin de constructie zich bevindt, de betondekking op dewapening en het type wapening (voorspanstaal of betonstaal).Case 1Voor case 1 (fig. 1) wordt een vrij opgelegde gewapende plaat(C30/37) beschouwd met een effectieve overspanning van 10,5m. Voor de constructiehoogte wordt uitgegaan van 450 mm. Alsmilieuklasse is uitgegaan van XC4 zodat de betondekking exclu-sief uitvoeringstolerantie (cmin;dur) 25 mm bedraagt en de maxi-maal toelaatbare scheurwijdte 0,30 mm. Volgens de Eurocode isde uitvoeringstolerantie ?cdev= 10 mm. Deze waarde is in deNationale Bijlage gewijzigd in ?cdev= 5 mm. De nominale beton-dekking (cnom) volgens de Nationale Bijlage is dus 30 mm. In ditvoorbeeld wordt uitgegaan van een dekking (ctoegepast) van 35 mm.Als hoofdwapening (B500 B) in de buitenste laag worden tweegevallen beschouwd, namelijk Ø16-100 (As= 2011 mm2/m) enØ20-150 (As= 2094 mm2/m). De nuttige hoogte bedraagt danrespectievelijk 407 mm en 405 mm en de wapeningsverhoudingis circa 0,5%. De slankheid l/d bedraagt circa 25.Het eigengewicht van de vloer bedraagt 11,3 kN/m2. Voor derustende belasting is uitgegaan van 3,4 kN/m2, voor de veran-derlijke belasting van 5,0 kN/m2. De factor voor de quasi-blij-vende belastingscombinatie is ?2=0,6.De belasting en combinatiefactor voor de quasi-blijvende belas-tingscombinatie zijn in deze case zo gekozen om de gebruiks-grenstoestand maatgevend te maken boven de uiterste grens-toestand. De toegepaste dekking is zo gekozen dat (h ­ d) =0,1h conform de uitgangspunten van de tabellen 7.2 en 7.3 vande Eurocode.Uitwerking met tabellenHet maximale moment in de uiterste grenstoestand is: MEd=346 kNm. Het bezwijkmoment bedraagt voor de wapeningØ16-100 MRd= 336 kNm en voor de wapening Ø20-150MRd= 347 kNm. Indien echter voor het eerste geval eenhellende tweede tak van het spanning-rekdiagram voor beton-staal in rekening wordt gebracht, is het bezwijkmoment ookMRd= 347 kNm. Voor de quasi-blijvende belastingscombinatiein de gebruiksgrenstoestand is de waarde van het buigendmoment MEd;SLS= 243 kNm De corresponderende staalspanningvoor de wapening Ø16-100 is dan 329 MPa. Voor de wapeningØ20-150 wordt een staalspanning van 318 MPa gevonden.Om de maximaal toelaatbare staafdiameter of staafafstand tevinden, moet worden geïnterpoleerd in tabel 7.2 voor de staaf-diameter en in tabel 7.3 voor de staafafstand. Bij de wapeningØ16-100 wordt aldus een maximale diameter van 9,6 mm eneen maximale staafafstand van 89,2 mm gevonden. De maxi-maal toelaatbare diameter voor de wapening Ø20-150 bedraagtaldus 10,1 mm of de staafafstand 103 mm. Verder moet demaximale diameter nog volgens formule 7.6 worden aangepastzodat voor de wapening Ø16-100 een toetsdiameter van10,0 mm wordt gevonden.In beide gevallen wordt niet aan één van beide eisen voldaan.Volgens Nationale Bijlage art. 7.3.1(5) mag de waarde van wmaxzijn vermenigvuldig met een factor kx= ctoegepast/ cnom. Met detoegepaste dekking van 35 mm en de nominale dekking van 30mm mag de scheurwijdte worden verhoogd met een factor 1,17tot wmax= 0,35 mm. Dus wordt in de tabellen 7.2 en 7.3 lineairgeïnterpoleerd tussen de waarden voor de scheurwijdte van0,30 mm en 0,40 mm. Op deze wijze is de maximaal toelaatbarestaafdiameter 11,0 mm voor de wapening Ø16-100 en 11,2 mmvoor de wapening Ø20-150. De maximaal toelaatbare staafaf-standen zijn 114 mm en 128 mm voor respectievelijk de wape-ning Ø16-100 en Ø20-150.Met de wapening Ø16-100 wordt aan de scheurwijdte-eisvoldaan via de staafafstand. De staalspanning mag voor dewapening Ø16-100 toenemen tot 340 MPa om aan de eis vande staafafstand te blijven voldoen. De unity-check bedraagt dus329/340=0,97. Met de wapening Ø20-150 wordt ondanks delagere staalspanning niet aan de scheurwijdte-eis voldaan. Omvia de staafafstand aan de scheurwijdte-eis te voldoen moet destaalspanning afnemen tot 300 MPa. De unity-check bedraagtdus 318/300=1,06. Uit de verschillen tussen deze twee wape-ningsconfiguraties blijkt dus dat meer kleinere staven effectie-ver zijn dan enkele grotere.ir. Rob P.H. Vergoossen, ing.Gerco-Kees Bloemsma en ing.Roel HovingARCADIS1 Case 1; l = 10,5 m1Formules of tabellen?32009862 Case 23 Scheurvorming in de Eurocode wordt gecontroleerd onderde quasi-blijvende belastingscombinatie en in de VBC onderde incidentele belastingcombinatie4 Toelichting op waardes zoals gebruikt in de formulesNEN 6720 art. 8.7.2 bedraagt dan s = 81 mm. Deze waarde magnog met een factor vkc= v35/25 = 1,18 worden vermenigvuldigdomdat de toegepaste betondekking 35 mm is, bij een nominalebetondekking van 25 mm. Om met de wapening Ø20-150 tevoldoen moet de staalspanning afnemen tot 292 MPa zodat deunity-check in dit geval 1,22 bedraagt. Voor de wapeningØ16-100 wordt voor de VBC een staalspanning van 368 MPagevonden en een maximale staafafstand van 1,18 . 74 = 88 mm,zodat ook hier niet wordt voldaan (unity-check 1,05).OpmerkingHet bezwijkmoment op basis van de VBC bedraagt voorØ16-100 Mu= 338 kNm en voor Ø20-150 Mu= 350 kNm. Hetmaximaal optredende moment is gelijk aan dat volgens deEurocode: MEd= 346 kNm.In tabel 1 worden de unity-checks onder toepassing van defactor kx=1,17 (wmax= 0,35 mm) volgens de Eurocode envkc=1,18 volgens de VBC samengevat.Case 2Voor case 2 (fig. 2) wordt gebruikgemaakt van rekenvoorbeeld12.1 uit [1]. Het betreft hier de funderingsbalk (C28/35) van debeganegrondvloer van een kantoorgebouw. De benodigdewapening (B500 B) in de middenbalk(450x600 mm2) met drie gelijke overspanningen van 7,20 mwordt bepaald. In dit artikel wordt de bovenwapening terplaatse van steunpunten B en C beschouwd. In het rekenvoor-beeld is bepaald dat ter plaatse van het steunpunt 5 staven Ø25benodigd zijn voor de uiterste grenstoestand. Om het optre-dende moment (MEd) in de uiterste grenstoestand gelijk temaken aan het bezwijkmoment (MRd= 501 kNm) is de in hetvoorbeeld aangehouden blijvende belasting verhoogd van 48,6kN/m naar 54,2 kN/m. De grootte van de veranderlijke belas-ting blijft ongewijzigd en bedraagt 18,0 kN/m.Uitwerking met tabellenVoor de toetsing van de scheurwijdte wordt (conform het voor-beeld) uitgegaan van milieuklasse XC4, waardoor de maximaaltoelaatbare scheurwijdte 0,30 mm bedraagt. In de quasi-blij-vende belastingscombinatie in de bruikbaarheidsgrenstoestandis het moment 309 kNm en de staalspanning ss= 271 MPa.Door interpolatie volgt uit tabel 7.2 van NEN-EN 1992-1-1 alsmaximale staafdiameter 13,0 mm; uit tabel 7.3 als maximalestaafafstand 162 mm. De gevonden staafdiameter moet nogvolgens formule 7.6 worden aangepast, zodat als maximalediameter 11,5 mm wordt gevonden.Uitwerking met formulesIndien voor beide gevallen de scheurwijdteformules volgensartikel 7.3.4 van de Eurocode worden ingevuld, dan is de bere-kende scheurwijdte voor de wapening Ø16-100 wk= 0,34 mm.Voor de wapening Ø20-150 is wk= 0,37 mm. De staalspanningmag, onder toepassing van de factor kx, om aan de scheurwijdtete blijven voldoen voor de wapening Ø16-100 iets toenementot 334 MPa. De unity-check bedraagt dus 329/334 = 0,99. Ommet de wapening Ø20-150 precies aan de scheurwijdte-eis tevoldoen moet de staalspanning worden verlaagd tot 303 MPazodat de unity-check dus 318/303 = 1,05 bedraagt. In het kaderzijn de gebruikte formules met ingevulde waarden voor dewapening Ø20-150 opgenomen.OpmerkingIndien voor de wapening Ø20-150 de staalspanning in degebruiksgrenstoestand conform [4] wordt geschat uit MEd;SLS/MRd. fyd, volgt een staalspanning van 304 MPa ? 303 MPa.Uitwerking volgens VBCOm de plaat op scheurwijdte volgens de VBC te controlerenmoeten het moment en de staalspanning bij de karakteristiekebelastingscombinatie in de BGT worden bepaald. Deze zijnrespectievelijk Mrep= 271 kNm en ss= 355 MPa voor de wape-ning Ø20-150. De maximaal toelaatbare staafafstand volgensØ16-100 Ø20-150NEN-EN 1992-1-1 tabel 7.3 0,97 1,06NEN-EN 1992-1-1 art. 7.3.4 (formules) 0,99 1,05NEN 6720 art. 8.7.2 1,05 1,22Tabel 1 Samenvatting van de unity-checks case 1 volgens EC2 en VBCNEN-EN 1992-1-1 NEN 6720 (VBC)cmin[mm] 25 25cnom[mm] 30ctoegepast[mm] 35 35wmax[mm] 0,30 0,30kx(kc) 1,17 1,40 (vkc=1,18)MRd(Mu) [kNm] 347 350MEd:SLS(Mrep) [kNm] 243 271ss:SLS(ss;rep) [MPa] 318 355maximaal toelaatbare waarden uit tabellenØs* [mm] 10,1 10,6s* [mm] 103 81Øs[mm] (incl. kx) 11,2 14,8s [mm] (incl. kx) 128 96ss;max;voldoen[MPa] 300 292unity-check 1,06 1,22maximaal toelaatbare waarden op basis van formuleswk[mm] 0,372wmax[mm] (incl. kx) 0,350ss;max;voldoen[MPa] 303unity-check 1,05Tabel 2 (Tussen)resultaten case 1 met wapening Ø20-150Formules of tabellen? 32009 87Omdat 5 staven zijn toegepast, bedraagt de staafafstand 90 mmwaarmee ruimschoots wordt voldaan. Om nog aan de eis van destaafafstand volgens tabel 7.3 te voldoen mag de staalspanningtoenemen tot 328 MPa zodat de unity-check 0,82 bedraagt.Uitwerking met formulesOok hier worden de scheurwijdte formules van artikel 7.3.4 inge-vuld, waarbij een scheurwijdte van 0,33 mm wordt gevonden.Om te voldoen aan de scheurwijdte-eis moet de staalspanningafnemen tot circa 250 MPa zodat de unity-check 1,08 bedraagt.Uitwerking volgens VBCOm een controle volgens de VBC uit te voeren moeten hetmoment en de staalspanning ten gevolge van de karakteristiekebelastingscombinatie worden bepaald. Deze zijn respectievelijkMrep= 374 kNm en ss= 330 MPa.De maximaal toelaatbare staafafstand volgens NEN 6720 art. 8.7.2zonder de factor kcbedraagt dan s = 98 mm met een unity-checkvan 0,97. Aangezien de toegepaste dekking 40 mm en de mini-Berekening scheurwijdte case 1De scheurwijdte voor case 1 met Ø20-150 kan ook worden berekendvolgens formules NEN-EN 1992-1-1 art. 7.3.4. Uit de doorsnedebe-rekening voor de quasi-permanente situatie volgt:ss = 318 MPaxrep = 118,4 mmAs = 2094 mm2kt = 0,4hc, eff = min [2,5(h ­ d);(h ­ xrep)________3;h__2]= min [112,5; 110, 5; 225,0] = 110,5 mmAc,eff = hc,eff b = 0,11 m2?s,eff =As____Ac,eff= 1,89%ae =Es___Ecm= 6,1fct,eff = fctm = 2,90 MPaesm_e,cm = max [ss ­ ktfct,eff____?s.eff(1 + ae ?s,eff)___________________Es; 0,6ss___Es]= 1,2 · 10-3c = ctoegepast = 35,0 mmsmax = 5 (c +ø__2)= 225,0 mms = 150 mm < smaxk1 = 0,8; k2 = 0,5; k3 = 3,4; k4 = 0,425sr,max = k3 c + k1 k2 k4ø____?s,eff= 298,5 mmwk = sr,max esm_e,cm = 0,372 mmAa) liggerb) plaate2= 0e2= 0e1e1verklaringBhhddxxhc,efhc,efA niveau van het zwaartepunt van het staalB e?ectief trekspanningsgebied Ac,e?Bbovenaanzichtrandbalkrandbalk72007200rekenschema A B C D720072007200720072007200middenbalkspanrichtingsysteemvloerQkGkGk?2Qk234Formules of tabellen?3200988natie terwijl in de VBC de scheurvorming onder de incidentele(karakteristieke) belastingcombinatie wordt gecontroleerd (fig.3). Afhankelijk van de reductiefactor voor de veranderlijkebelasting en de verhouding tussen blijvende en veranderlijkebelastingen zal het moment, en dus de staalspanning, in deVBC hoger liggen. In de voorbeelden is dit circa 10% en 20%.Verder zijn de eisen aan de minimale betondekking in de VBCin het algemeen minder streng dan in de Eurocode, wat juistvoor de scheurvorming ook voor verschillen kan zorgen. Deauteurs menen dat een vergelijking toch mogelijk is aangezienhet uitgangspunt in de voorbeelden een benodigde wapening isdie exact noodzakelijk is in de uiterste grenstoestand. Deverschillen in de berekening van de uiterste grenstoestandtussen de VBC en de Eurocode zijn beperkt.Voor de toegepaste voorbeelden zijn de eisen aan de scheur-wijdte (0,30 mm) gelijk. Voor de milieuklassen XD en XS geldtechter volgens de VBC een strengere eis voor gewapend betondan voor de Eurocode. Voorts wordt in de Eurocode veelal eenhogere minimale dekking op de buitenste wapening geëist danvolgens de VBC. In de voorbeelden zijn de verschillen (voor deNationale Bijlage) beperkt tot slechts 5 mm.Samenvatting / conclusieUit de uitgewerkte cases blijkt dat er verschillen tussen hettoepassen van de tabellen van de Eurocode en de formules zijn.Ook kunnen er verschillen tussen de VBC en de Eurocodeontstaan. Indien kleine staafdiameters en beperkte betondek-kingen worden toegepast, zoals meer gebruikelijk is in deB&U-sector, zijn de verschillen veelal beperkt. Uit een parame-terstudie is gebleken dat bij kleine staafdiameters en betondek-kingen de tabellen aan de veilige kant zitten. Bovendien zal bijhet afwezig zijn van milieuklasse XD of XS de toets voorscheurwijdte zelden maatgevend zijn boven die in de uiterstegrenstoestand.De verwachting is dat bij grotere betondekkingen, staafdiame-ters en afmetingen van constructieonderdelen de verschillengroter zullen zijn. )mum dekking volgens de VBC 30 + 5 = 35 mm zijn, mag de maxi-male staafafstand 104 mm bedragen. De staalspanning mag dantoenemen tot 350 MPa om nog net aan de eis van de staafafstandvolgens de VBC te voldoen. De unity-check bedraagt dus 0,94.OpmerkingHet bezwijkmoment op basis van de VBC bedraagt Mu= 509kNm. Het maximaal optredende moment volgens de VBCbedraagt Md= 477 kNm in plaats van MEd= 501 kNm volgensde Eurocode. Op basis van de VBC zou in de uiterste grenstoe-stand dus circa 6% minder wapening noodzakelijk zijn. In hetvoorbeeld van de balk leidt dit niet tot een andere wapening.In tabel 3 staan de gevonden unity-checks samengevat.Vergelijking Eurocode met VBCIn dit artikel is de scheurvorming zowel volgens de Eurocodeals volgens de VBC bepaald. Zoals uit de tekst blijkt is eenvergelijking lastig aangezien in de Eurocode scheurvormingwordt gecontroleerd onder de quasi-blijvende belastingscombi-I LiteRatuuR1 Braam, C.R. en P. Lagendijk, Constructieleer Gewapend Beton CB2.Cement&BetonCentrum, 's Hertogenbosch, vierde herziene druk2008.2 NEN-EN 1992-1-1, 2007, Eurocode 2: Ontwerp en berekening vanbetonconstructies ­ Deel 1-1: Algemene regels en regels voorgebouwen, inclusief NB:NL.3 NEN 6720, 1995, TGB 1990 ­ Voorschriften Beton ­ Constructieveeisen en rekenmethoden (VBC 1995).4 Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2(2): Het begin, Cement 2007/4.5 Ø25, b= 450 mm kx=1,0NEN-EN 1992-1-1 tabel 7.3 0,82NEN-EN 1992-1-1 art. 7.3.4 (formules) 1,08NEN 6720 art. 8.7.2 0,94Tabel 3 Samenvatting van de unity-checks case 2 volgens EC2 en VBCNEN-EN 1992-1-1 NEN 6720 (VBC)cmin[mm] 30 35cnom[mm] 40ctoegepast[mm] 40 40wmax[mm] 0,30 0,30kx(kc) 1,0 1,14MRd(Mu) [kNm] 501 509MEd:SLS(Mrep) [kNm] 309 374ss:SLS(ss;rep) [MPa] 271 330maximaal toelaatbare waarden uit tabellenØs* [mm] 13,0 11,4s* [mm] 162 98Øs[mm] (incl. kx) 11,5 13,0s [mm] (incl. kx) 162 104ss;max;voldoen[MPa] 328 350unity-check 0,82 0,94maximaal toelaatbare waarden op basis van formuleswk[mm] 0,330ss;max;voldoen[MPa] 249unity-check 1,08Tabel 4 (Tussen)resultaten case 2 met wapening 5 Ø25, s=90