meenten is gegeven voor de berekening vanhoge gebouwen.Toen die regel werd gesteld, was dat be-slist een belangrijke verbetering, die tot eengrotere veiligheid heeft bijgedragen. Maarde ontwikkeling ging door: wij wilden hogerbouwen en ook slanker, en wij wilden ookongewapend beton toepassen. In het beginheeft men ook voor deze gevallen de 11/2%-regel toegepast, maar was dat wel verant-woord?Enkele jaren geleden is er over dit onder-werp uitvoerig gepolemiseerd, voornamelijkin het tijdschrift 'Cement'. Te zelfder tijdis door de GBV-commissie de sub-commis-sie 'Ongewapend beton', ingesteld en dezeheeft in samenwerking met anderen, O.m.CUR-commissie C-1O 'Ongewapend beton',nieuwe voorschriften voor de berekeningvan hoge gebouwen van ongewapend betonopgesteld *. Dat gedetailleerde (niet-offi-ci?le) voorschrift blijkt thans te worden toe-gepast naast de eenvoudige 11/2%-regel.Wanneer het laatste gebeurt, rijst dikwijlsde vraag of dat nu nog wel verantwoord is.'Openheid baart belangstelling'Het maken van voorschriften is beslist geeneenvolJdige zaak; de opstellers ervan staandan ook altijd voor een moeilijke taak. Devoorschriften moeten immers aan verschil"lende eisen voldoen: eenvoud, duidelijk,eenduidig enz. Vandaar dat zij slechts metzeer veel moeite tot stand komen.De gang van zaken bij de totstandkomingvan voorschriften doet enigszins denkenaan die van de parlementaire democratie:'je bent er niet direct bij betrokken, en tochgaat het je aan'. Soms worden wij in degelegeneid gesteld om achter de schermente kijken. Dat is bij voorbeeld een aantaljaren geleden gebeurd bij de introductie Vande Nederlandse vertaling 'Practische Richt-lijnen CEB (Comit? Europ?en du B?ton)'.Op zo'n manier wordt de 'discontinu?teit' inde voorschriften enigszins doorbroken.Steeds meer raken wij ervan overtuigd, dathet zinvol is om tussentijds op de hoogtete worden gehouden. En tegelijkertijd ont-staat het besef, dat er tussentijds wijzigin-gen mogelijk moeten zijn, indien daar be-hoefte aan bestaat.Wij herinneren ons allemaal nog goed, hoede verschijning van de GBV 1962 een soort'chaos' heeft verwekt, voornamelijk door deinvoering van de breukmethode. Dat wasniet nodig geweest en het zal waarschijnlijkook niet meer gebeuren als de nieuwe be-tonvoorschriften worden gepubliceerd. Want'openheid baart belangstelling', in de politiekevenzeer als bij voorschriften!*'Voorlopige Richtlijnen voor constructievewanden van in het werk gestort ongewapendbeton (met toelichting)', bijlage (27 blz.) van'Cement' XX (1968) Nr. 4.Veiligheid bijverschillendematerialen enconstructiesir,J.Kuip~rsv S, zullen er zich geen moeilijkheden voordoen. Het kritieke punt wordt bereiktals S = R, dus als V (= R - S) = O. De constructie zal onbruikbaar worden als S > R, dusals V< O.De frequentie-verdeling van R en die van S bepalen samen de frequentie-verdeling van V(= R - S), die gekenmerkt wordt door het gemiddelde Ij (= R- 5) en de standaardafwijkingSv (= VSr2 + ss2)*.Zoals uit fig. 1 blijkt, wordt de kans op een waarde van V < 0 (= onbruikbaarheid) bepaalddoor de 'statistische index' fst : Ij = fst . Sv ofwel R- 5 = fst . Vs/ + ss2. Gewoonlijk wordenSr en Ss vervangen door resp. vr . R en Vs . 5, waarin Vr en Vs de betreffende variatieco?ffici?n-ten zijn.4222De veiligheidsfactor w voor verschil-lende waarden van fst3De 'veiligheidsco?ffici?nt' w' (=- llw)voor verschillende waarden van fst(voor Vs =0,10)0,30.1op.s 0.10 0,15 0,203-_-~_~---I-I--,L-1-,''---+--~I ,Io+---+--+-----+---+-~--:_ _-I0.05 0,10 0.15 0,20 0,25 0, 0- _---). VI"4 .G en Q uitgedrukt in Rvoor verschillendewaarden van fstVg=0,10vQI=O,20vr :0,100,2J~ OA.R 0,6.R ?,8.R----J-tQIndien deze variatieco?ffici?nten bekend zijn, kan voor verschillende waarden van fst. datwil zeggen voor verschillende kansen op onbruikbaarheid. de verhouding w = SiR worden.berekend. Hierbij is w de zgn. veiligheidsfactor die bij een bepaalde fstbehoort.Fig. 2 toont het resultaat van zo'n berekening voor verschillende waarden van fst (2.... .4), vanVr (0....0,35) en van vs{0.1 ....0,4).Neem bij voorbeeld fst = 2.5. Als daarbij de spreiding in de materiaalsterkte (v,) toeneemtvan 10% tot 15%. zal w (de 'veiligheidsfactor') afnemen van 0,7 tot 0.6. De statistische indexfst? d.W.Z. de kans op onbruikbaarh~id. is echter gelijk gebleven. Met andere woorden. bij eenkleinere spreiding in de sterkte kan een grotere belasting worden toegelaten zonder dat deveiligheid verandert.In plaats van w kunnen wij ook de reciproke waarde l/w nemen, die te vergelijken iS met degebruikelijke veiligheidsco?ffici?nt (bezwijkbelasting/rekenbelasting ofwel sterkteltoelaatbarespanning).Bij een bepaalde veiligheid fst en bekende variatieco?ffici?nten (vr en vs) kunnen wij nu deveiligheidsfactor w berekenen. en dus ook de waarde van l/w. Zo ontstaat bij voorbeeldfig. 3 voor verschillende waarden van fst (2.....4) en van Vr (0....0.30). terwijl Vs == 0.10.DifferentiatieDe in het voorgaande gebruikte belasting S (dit is de totale belasting) is dikwijls het resul-taat van een aantal belastingscomponenten. die echter op dezelfde wijze verwerkt kunnenworden.De meest voor de hand liggende splitsing van Sis: S = G + Q (dus rustende belasting plusvariabele of nuttige belasting).Op analoge wijze krijgen wij R - Ei - Q = fst . V5? +Sg2 + Sq2 en ook hier worden de stan", daardafwijkingen gewoonlijk uitgedrukt in de betreffende variatieco?ffici?nten, dat wil zeggensr. 5 g en Sq worden vervangen door resp. vr . R. Vg . Ei en Vq . a.Aldus voortgaande kunnen wij nu voor elke waarde van fst de twee groothedenG en Q uit-dr-ukken in R,indien Vr? vg en Vq bekend zijn.Fig. 4 toont het resultaat van zo'n berekening voor verschillende waarden van fst (2 ....4) bijeen bepaald materiaal (vr = 0,1 0) en bij een bepaalde belasting (Vg = 0,10 en vq = 0,20).(Daar in dit geval is verondersteld dat Vq> vg? zijn de waarden op de a-as kleiner dan dieop de G-as).Voor het gegeven geval kunnen wij met behulp van deze grafiek nagaan, hoeveel anog toe-laatbaar is bij een bepaalde G (beide gemiddelden uitgedrukt in R).Voor andere waarden van Vr zijn bij dezelfde fst en bepaalde waarden van Vg en Vq nog veelmeer van die diagrammen te maken. En steeds zullen alle combinaties van G en a op eenbepaalde lijn bij dezelfde waarde van fst behoren, dat wil zeggen die combinaties bezittenallemaal dezelfde kans op onbruikbaarheid. Daarom kunnen deze diagrammen worden ge-bruikt voor de benadering van fst voor verschillende materialen. die daardoor in dit opzichtmet elkaar te vergelijken zijn.Benadering van fstStaalDe toelaatbare staalspanningen zijn afhankelijk van de vloeigrens. Voor de staalsoort FeE 24wordt deze grens meestal gesteld op 2400kgf/cm2, terwijl volgens de TGB 1955 de toelaatbarestaalspanning 1400 kgf/cm2bedraagt (pnder bepaalde omstandigheden 1600 kgf/cm2). Inwerkelijkheid is de gemiddelde vloeigrens gelegen tussen 2600 en 2900 kgf/cm2? Daarom ligtCement XXII (1970) nr. 10 423 .~.- .Ga =1400 kg1/Cm2. .Ga: 1600 kg11cm20.2.1"+---1---'I~j?5 'Iq =0,20 'Iq =0,30i0,6.t. +1II35G-Q-diagram voor staal met toelaatbarespanningen 1400 en 1600 kgflcm26De statistische index' fst voor staalQ05 0,10 0;15 Q20 0,25~-~---,)~,Vr0.05 0,10 0,15 0.20 0,25---).-Vr.(de veiligheidsfactor w (= SIR) tussen 1400/2600= 0,54 en 1400/2900 = 0,48 (resp. tussen1600/2600 = 0,62 en 1600/2900 = 0,55) en niet bij 1400/2400 == 0,58 (1600/2400 = 0,67).Met behulp van deze veiligheidsfactoren kan nu voor de toelaatbare spanningen 1400 en1600 kgf/cm2een G-Q-diagram worden getekend (fig. 5). OmdatG + Q = constant, vindenwij hier rechte lijnen, terwijl de waarden op de G-as en de ?-as gelijk zijn.Het aldus verkregen diagram wordt gelegd over de diagrammen die op dezelfde wijze alsfig. 4 zijn gemaakt. Dan vinden wij waarden van fst die behoren bij de toelaatbare spanningen1400 en 1600 kgf/cm2. Fig. 6 toont een paar van die resultaten.Indien wij bij voorbeeld aannemen dat voor constructies waarin een spanning van 1400kgf/cm2wordt toegelaten, de variatiecoefficient in de sterkte Vr = 15%, dan wordt in fig. 6afgelezen dat fst ligt tussen 2,5 en 3,4 indien Vq = 0,20 en tussen 2,1 en 3,4 indien vq = 0,30.Veronderstellen wij dat bij toepassing van een toelaatbare spanning van 1600 kgf/cm2wegensde grotere zorg die aan de constructie werd besteed, de variatiecoefficient Vr kleiner is, bijv.ca. 12%, dan ligt fst tussen 2,2 en 3,5 indien vq = 0,20 en tussen 1,8 en 3,4 indien vq == 0,30.Op deze wijze kunnen wij dus een indruk krijgen van fst voor staal, zoals dat ook voor anderematerialen kan gebeuren, bijv. voor gewapend beton.Gewapend betonHet breukmoment van een rechthoekige gewapend-betonbalk, met een normaal wapenings-percentage, kan worden berekend met de formule( wocre ).J2Mu = wocre ? 1 - ?--,- bu?,cruwaarin:Wo = Albd = oppervlakte doorsnede trekVllapening/oppervlakte betondoorsnede *.cre = vloeigrens of 0,2-rekgrens van het staal.c = een co?ffici?nt die samenhangt met de spanningsverdeling in de drukzone; bij eenparabolische verdeling IS c = 9/16.cr'u = drukspanningin het beton in de breuktoestand.Het berekende breukmoment Mu is bepalend voor de toelaatbare belasting. Volgens deGBV 1962 moet immers een veiligheidsco?fficient y = 1,8 worden genomen, zodat Mu ): 1,8Sofwel Mu ): 1,8G + 1,8Q.Volgens de GBV 1962 moet in het geval van QR 24 worden gesteld cre = 2400 kgf/cm2,ofschoon de gemiddelde waarde 10 ? 15% groter is. Voor cr'u dient 0,6 maal de kubussterktete worden genomen.Met behulp hiervan kan worden berekend dat het aanwezige breukmoment, ofwel de gemid-delde sterkte R groter zal zijn dan Mu , namelijk R = (1,1 ? 1,17) Mu , zodat R ): (2 ? 2,1) G ++ (2 ? 2,1) Q.*NB. Volgens de notaties van de GVB1962i$Wo =lOOAjbtf%.- ..,Op dezelfde wijze als wij in het voorgaande voor staal hebben gedaan, kunnen wij nu ookvoor gewapend beton een G-Q-diagram tekenen. Ook dit diagram kan weer worden gelegdover de diagrammen die op dezelfde wijze als fig. 4 zijn gemaakt. En verder voortgaandevinden wij ook hier waarden van fst .Een en ander kan ook worden gedaan voor een berekening volgens de Praktische RichtlijnenCEB (Comit? Europ?en du B?ton). In deze Richtlijnen gaat men uit van de zgn. karakteristiekewaarden, zowel voor de sterkten al$ de belastingen, en bovendien worden voor de rustendebelastingen en de nuttige b?lastingen verschillende veiligheidsfactoren ingevoerd, immersR, ): 1,4 (G + 1,150), waarin Rr == de ontwerpsterkte.Cement XXII (1970) nr. 10 4247De 'statistische index' fst voor gewapendbetonVq=0,20'ti5"""'~~-r~~-:r~~-r~~-r~~---'f'~2 --!-,%-.-,--~~--+-~,.---i----+--'"""'---j~.~~:~. ~?? C.E.B."'lJ.IJ:I:o:r. G.B.Y.0,05 0,10 0,15 0.20 0,25)-Vr0,05 0,10 0,15 0,20 0.25----l~..VrOok in dit geval kunnen a-Q-diagrammen worden getekend, voor verschillende waardenvan Vb (== variatieco?ffici?nt beton). Wanneer deze diagrammen worden gelegd over debetreffende diagrammen die op dezelfde wUze als fig. 4 zUn gemaakt, vindenwU ook hierwaarden van fst .Fig. 7 geeft een paar van de verkregen resultaten voor beide berekeningswUzen (GBV 1962en CEB-RichtIUnen). Uit deze figuur, die uiteraard grote overeenkomst vertoont met fig. 6(voor staal), valt het een en ander af te leiden.De GBV 1962 blUken iets meer onzekerheid te bevatten dan de CEB?Richtiijnen; de CEB-'band' is namelUk smaller' dan deGBV-'band'. Dit doet zich vooral voor bU vq ;= 0,10. Deoorzaak hiervan ligt in het feit, dat in de CEB-RichtlUnen onderscheid wordt gemaakt tussenGen Q.In het voorgaande is voor de variatie in de sterkte alleen gekeken naar Vb, dus naar devariatieco?ffici?nt van 'de betonsterkte. WU dienen echter uit te gaan van de variatie in debalksterkte, doch die blUkt niet zo erg te worden beinvloed door de betonsterkte. WU kunnendus volstaan met Va (variatieco?ffici?nt staal), zodat in fig. 7 alleen die waarden van fst vanbelang zijn, die liggen tussen vr ;= 0,10 en vr ;= 0,15. Dat gebied is daarom gearceerd.Voorgespannen betonEvenals voor gewapend beton kunnen wU ook voor voorgespannen beton een indruk krUgenvan fst. en dat gebeurt op analoge wijze.Volgens de RVB 1967 geldt voor het breukmoment Mu ;;;;. 1,75 Mg + 2,25 Mq ? (Hier wordt dus,evenals in de CEB-RichtlUnen, onderscheid gemaakt tussen rustende belastingen en nuttigebelastingen). Voor pakhuizen en overeenkomstige gebouwen kan in nader overleg wordengesteld Mu ;;;;'1,75 Mg + 2,75 Mq ?Indien R;= Mu , a ;= Mg en Q;= Mq worden deze formules R;:' 1,75 a + 2,25 Q en R;;;;'1,75 a + 2,25 Q, waarna wij op de bekende wijze het a-Q-diagram kunnen tekenen. Ditdiagram wordt dan weer gelegd over de diagrammen die op dezelfde wijze als fig. 4 zijngemaakt. Aldus vinden wij ook voor voorgespannen beton waarden van fst (fig. 8).Uit fig. 8 blijkt tevens, dat de onzekerheid niet zo erg groot is. Dit komt omdat er onder-scheid is gemaakt tussen G en Q. Indien wordt aangenomen dat vr ;= 0,13 ? 0,16 (wat ver-antwoord schijnt), dan is fst ;= 2,9 ? 3,4.Vq =0,30.1\~~~005 0,0 0,15 0,20 0,25~---1:''''' vrVq =0,20~\ JbI..I'~0,05 0,10 0,15 0,20 0,232'ti 5j.8De 'statistische index' fst voor voorgespan-nen betonCement XXII (1970) nr. 10 4253-+--f-,-----'l""'-,--2 -+------1!------'--+---+--t-----1HoutVoor de bepaling van de toelaatbare spanningen in hout wordt reeds veelal gebruik gemaaktvan formules (bUv. van CSIRO/Melbourne en TRADA/Londen), waarin rekening wordt gehou-den met de variatie in de sterkte, terwijl bovendien het effect van langdurige belasting wordtverdisconteerd. Dit laatste gebeurt door invoering van een 'tUd-factor' t, waarvoor een waardetussen ca. 1,6 en 2 moet worden aangehouden. Het opmerkelUke van dergelUke formules is,dat G is uitgedrukt in R. Voor dit geval kunnen de bovengenoemde formules rechtstreeksworden vergeleken met de w-waarden van fig. 2. De hieruit gevonden waarden van 'st voorhout zUn weergegeven in fig. 9.Nadat de G-Q-diagrammenzUn getekend, kunnen wU deze leggen over de diagrammen die opdezelfde wUze als fig. 4 zUn gemaakt. Aldus vinden wij ook voor hout waarden van fst (fig. 9).9De 'statistische index' fst voor hout/0De 'statistische indices' fst voor verschilllen-de constructiematerialenvQ = 0':300,05 0,10 0,15 0,20 Q25----~..vr0,15 0,20 0,25---,~vrhout0,05 0,103+--+--t==~---'l!Il*,~---IVq =:0,20.... 5-r---r---+'~--r-------,r---'"--t-~14~0,15 0,20 0, 5---~"vr0, 5 0,10SamenvattingFig. 10 geeft waarden van fst voor verschillende constructiematerialen. Deze figuur is eensamenvatting van fig. 6, 7, 8 en 9, althans van die gedeelten ervan die van belang zijn.Het linker gedeelte van fig. 10 heeft betrekking op vq = 0,20 en het rechter op vq = 0,30(Vq = variatieco?ffici?nt van de nuttige belasting).BIUkens deze figuur liggen de waarden van fst tussen ca. 2,5 en ca. 4,5 (indien Vq= 0,20) entussen ca. 2 en ca. 4,2 (indien vq = 0,30), voor de verschillende constructiematerialen.Duidelijk is dat bij elk van de materialen de aanwezige variatieco?ffici?nt van de sterkte (v,)een grote invloed heeft op de bereikte veiligheid. Maar ook indien wU voor een bepaaldgeval de waarde van deze variatieco?ffici?nt zouden kennen, dan is een goede schatting vanfst nog moeilijk. D,it vindt zUn oorzaak in het feit, dat in sommige voorschriften geen onder-scheid wordt gemaakt tussen het effect van de rustende belasting en dat van de variabelebelasting, wat bU voorbeeld voor staal tot' een te hoge 'band' in fig. 10 leidt. Voor staal-constructies waarvan het eigen gewicht (rustende belasting) een groot deel van de spannin-gen teweegbrengt, zal de waarde van fst hoger zUn dan voor lichtere constructies, die dus eenminder grote veiligheid vertonen.Ten aanzien van alle in het voorgaande genoemde factoren bestaan trouwens nog veelonzekerheden. In deze beschouwing is bovendien slechts op een enkel aspect ingegaan,namelUk op het materiaal en niet op de daarmee te vervaardigen constructies, wat veel inge-wikkelder zal zUn. Het aantal elementen daarin, en het in meer of mindere mate statisch on-bepaald zUn, behoren bU voorbeeld tot de onderwerpen die beslist in onze beschouwingenbetrokken moeten worden.Desondanks mag worden aangenomen dat door een beschouwing als de onderhavige, het be-grip 'veiligheid' wat meer diepte krijgt. En bovendien dat er een stimulans vanuit gaat om meerdan tot nu toe ook gegevens te verzamelen over de op constructies werkende belastingen.Te verwachten valt dat de statistische veiligheidsbeschouwing in toenemende mate tot uitingzal komen in voorschriften e.d. Daarom is het meer dan voorheennoodzakelUk ons te realise-ren dat uit een oogpunt van veiligheid de belasting even belangrUk is als de constructie.Zolang de noodzakelijke gegevens nog niet in voldoende mate beschikbaar zijn, betekent hetreeds een stap in de goede richting wanneer in voorschriften e.d. duidelUk wordt aangegeven,welke uitgangspunten zijn ingenomen bU het vaststellen van in rekening te brengen belastin"gen, toelaatbare spanningen enz.Cement XXII (1970) nr. 10 426