ir.A. van GelderTH-Delft, Afdeling derCivieleTechniek, Vak-groep Toegepaste MechanicaStudie van het krachtenspel inhoge gebouwen met behulpvan goedkoperekenapparatuurInleidingVoor controleberekeningen van constructies van hoge gebouwen waarvan de afmetingen alvrij goed zijn benaderd, bestaan vele goede computerprogramma's. In de beginfase van deberekening is het voordeconstructeurvan belang bij het vaststellen van deafmetingen vandeconstructie-onderdelen een goed inzicht te hebben in de invloed van bepaalde grootheden.Het is aantrekkelijk geworden hiervoor rekenapparaten in een prijsklasse van f 2000,- ofminder in te schakelen.In dit artikel worden twee hiertoe geschikte algorithmen gepresenteerd voor de berekeningvan hoge gebouwen, waarbij verstijvingswanden en raamwerken gezamenlijk de winddrukopnemen.d2 wf-fa=f+Ka ? dx2 ...?......?............?...........................?.. ". (3). depEI crx (5)dwKb?Y=Kb?(ep+crx) (4)= - ep + Y ..........................?.......................................... (1)dw_ d Oa _ d(Ka-ax) _ d2w- - CiX - - dx - - Ka dx2 ..?.....................?......?..........?. (2)Substitutie van deze grootheden in twee evenwichtsrelaties leidt tot het volgende stelselsimultane differentiaalvergelijkingen:faTussen de hiernaastgedefini?erde grootheden bestaan de volgende relatiesSchematiseringGezien het globale karakter van de berekening en de beperkte apparatuur wordt met eeneenvoudig rekenmodel gewerkt. Van een flatgebouw met een kern of verstijvingswandenwordt de gehele constructie in een plat vlak geconcentreerd, aannemende dat de vloerenoneindig stijf zijn in hun vlak.De wanden worden op elkaar gelegd, evenzo aIletussenliggen-de raamwerken.De figuren 1en 2 geven hiervan een voorbeeld. In deze figuren is ook aangegeven hoe deconstructieonderdelen door middel van denkbeeldige koppelstaven samenwerken. Van dekolommen van het raamwerk wordt aangenomen dat de normaalkrachtvervorming nul is. Deverstijvingswand wordt aan de voet verend ingeklemd. Van de constructie wordt verderaangenomen dat iedereverdieping op dezelfdewijze is gedimensioneerd. Devolgendestap isde overgang van bovenstaand discreet rekenmodel naar een continue rekenmodel. Deverplaatsingen kunnen dan uit de oplossing van een differentiaalvergelijking worden gevon-den. Met de verplaatsingen zijn de krachten in de constructie bekend.dwdxYraDefinities(wind}belasting op de constructieverdeelde interactiebelasting tussen Voor een eerste indruk van de totale dwarskracht per verdieping van het raamwerk is eende liggers grovere benaderingsmethode mogelijk. Deafleiding hiervan zal in ditartikel worden gegeveninteractiekracht aan de top na de afleiding van de differentiaalvergelijking; het aantal te gebruiken symbolen is dan watresulterende verdeeldebelasting op beperkter en de betekenis ervan is dan inmiddels verklaard.het raamwerk; fa == f-fb Als eerste zal dus de afleiding worden gegeven van de differentiaalvergelijking voor delengte van de ligger verplaatsingen van een ligger die:dwarskracht in het raamwerk - onderworpen is aan buig- en afschuifvervorming (een verstijvingswand),dwarskracht in de verstijvingswand - gekoppeld is aan een afschuifligger (een raamwerk) enbuigend moment indeverstijvingswand ~ belast wordt door een verdeelde belasting loodrecht opde staafas (fig. 3).verplaatsing in z-richtingkanteling van een doorsnede van deverstijvingswand; positief bij rotatievan z naarxafschuifhoek van de verstijvingswandals gevolg van de dwarskracht Obhelling van de as van de verstijvings-wand en het raamwerkEI buigstijfheid van de verstijvingswandKb ?afschuifstijfheid van de verstijvings-wand gedefini?erd door Ob= Kb' YKa afschuifstijfheid van hetraamwerk gedefini?erd doordwOa= Ka?crxrotatieveerstijfheid van de funderingrekengrootheid Kagedefinieerd doora2 =Ef(1 +~)KbdwdxCement XXXIII (1981) nr. 9 594De algemene oplossing is voor een constante belasting fa (voor Ka *- 0):= 0 (6)w = eax'C1+e-ax'C2+C3'X+C4~fox2 (9)2Ka .Eliminatie van cp is mogelijk door (6) te differenti?ren en hierin ~~ en ~:~ te substitueren,met als resultaat de volgende vierde-orde differentiaalvergelijking in w:Ka d4w d2w _ El . d2f (8)El(1 + Kb) dx4 - Ka dx2 - f- Kb dx2???????????????????????????????????????????Het stelsel vergelijkingen waaruit de integratieconstantenkunnen worden opgelost luidt inmatrixvorm:K foxcp =-a(1 +~)?(eax?C1-e-ax?C2)-C3+- (10)Kb Kameta2 = KaEI(1 + Ka)KbDe integratieconstanten worden bepaald uit de volgende randvoorwaarden:x 0 w = 0x 0 cp = Mbrx e Mb 0x e Oa + Ob= 0EI . faKao!.- .faKa~'foKa?rC11 I 1 JOl 1---------"-------"--"---------t----------"--"-------"- -l- J "_-(1 + -.&)a + -.& I +(1 + -.&)a+ Ka I -1 : 0Kb r I Kb r I I-----"---------"-"------------r-------"--------"------- J ~-------I II I IKa . eat I Ka . e-at I 0 J 0I I I-----------------"------------r---------------"---"-----"--T-------r------o I 0 I 1 I 01-2Voorbeelden vanschematisering van deconstructie van een flatgebouwHet oplossen moet nuverder numeriek gebeuren. Het gebruik van een kleine computer heefthet voordeel dat de gevonden waarden van de integratieconstanten in hetgeheugen bewaardkunnen blijven voor substitutie in de uitdrukkingen voorde verplaatsingen, dwarskrachtenen momenten.Een voorbeeld van de programmering tot en met de bepaling van de integratieconstanten ende verplaatsing van de top van het gebouw is als volgt:3Schematisering van een raamwerk en eenverstijvingswand~ t:1=t;:::;::=~'-i... ~ \.-w"" ~Raamwerk(Af schuif ligger)Verstijvingswand(Buig- afschuifligger)R.E'A D' --(ei,ka,kb,r,f,l,n);eit~ei*(ltka/kb);alf=sGrt(ka/eit);s11=-(ltka/kb)*alftka/rts12={ltka/kb)*alftka/r;s21~ka*exp(alf*1);s22=ka*exp(-alf*1);det=sll*s22~s12*s21;kl=ei*f/(ka*r)tf*l/ka;k2=ei*f/ka;cl:(s22*kl-s12*k2)/det;c2=(-s21*kl+s11*k2)/det;c3=f*1/ka;c4=-cl--c2 ;part=-.5*f/ka;Cement XXXIII (1981) nr. 9 595x\ IstaafasY '" dw + \dx\inklemmingsdoorsnede\4InklemmingsdoorsnedeCement XXXIII (1981) nr. 9De uitdrukkingen voor de grootheden wen lp zijn al vermeld onder (9) en (10).In de verstijvingswanden te zamen is:Mb == EI ~~ =-Ka(eax?C1+e.-ax,C2)+ ~~ fa (11)Ob = dd~b = - Ka' U (eax . C1-e.-ax? C2) (12)De dwarskracht in de raamwerken te zamenis als een continue functie:dwOa = Ka?(j)(=Ka?u(eax?C1-e.-ax?C2)+Ka?Cs-fo?x (13)De waarden van Oa in het discrete model zijn constant per verdieping. Het is voldoendenauwkeurig hiervoor de waarden van x op de halve hoogte van de verdiepingen te substitu-eren in (13).Wil men verdereen studie maken van de verdeelde interactiedruk fb, dan is deze te berekenenuit:fb = - dd~b = Ka' u2(eax . C1 + e.-ax. C2) (14)Het bepalen van de numeriekewaarden vergtweinig regels in het computerprogramma. Meerregels zijn nodig om een uitvoer te maken, waarin de verplaatsingen en de krachten over-zichtelijk getabelleerd staan.Een benaderingsmethodeAan de top van hetgebouw treedt een geconcentreerde interactiekracht Fb op; overde hoogtevan het gebouw een verdeeldeinteractiebelasting fb. Uit berekeningen blijkt steeds weer datde invloed van de kracht Fb op het raamwerk domineert over de invloed van de verdeeldebelastingen fen fb. De grove aanname dat fb bij een constante belasting f = fo ook constant is,leidt om die reden bij bepaalde stijfheidsverhoudingen nog tot redelijke resultaten in hetvoorontwerp.De grootheden Fb en fb worden bepaald met behulp van de volgende aansluitvoorwaarden:- de verplaatsing van de top van het raamwerk is gelijk aan de verplaatsing van de top van deverstijvi ngswand;- bij de aanname dat de belasting fbconstant is, hoorteen uitbuigingslijn van hetraamwerkdieafwijkt van de uitbuigingslijn van de verstijvingswand.In werkelijkheid moeten deze twee uitbuigingslijnen samenvallen. Bij bovengenoemdeaannamen slingeren ze echter nog door elkaar heen. Als aansluitvoorwaarde wordt nugesteld dat het totaal van het overlappende en hetgapende oppervlak tussen dezetwee lijnennuI is. In formulevorm betekent ditdataft wdx voor het raamwerk gelijk isaan aft wdxvoordeverstijvingswand, ofwel dat het verschil van deze twee nul is.Uitschrijven van dezetwee aansluitvoorwaarden leidttothet volgende stelsel vergelijkingen:e2 e4 e2 es es es es e4 _ foes(2Ka + 8131 + 2Kb + 2f) Fb + (3Ka + 20131 + 3Kb +"'4r) fb - 3KaNa de oplossing van dit stelsel vergelijkingen volgt de dwarskracht aan de voet van hetraamwerk uit:Tussengelegen waarden van de dwarskracht verlopen lineair met de hoogte. Voor in depraktijk voorkomende stijfheidsverhoudingen wordt al een redelijk goede krachtsverdelinggevonden, zoals blijkt uit figuur 5.Met een eenvoudig rekenprogramma gebaseerd op bovenstaande formules is een snelonderzoek van de invloed van verschillende parameters mogelijk.Bespreking van de berekeningsresultatenIn figuur 5 is van vijf verschillende stijfheidscombinaties een grafiek van de uitbuigingen dedwarskracht van de gezamenlijke raamwerken per verdieping uitgezet.In geval 1 hebben alle grootheden een voorde praktijk gangbarewaarde. Gekozen is vooreenstalen verstijvingswand omdat de afschuifstijfheid daarvan een merkbare invloed heeft. In deuitbuigingslijn komt dit tot uitdrukking ineen lichte terugbuiging van het bovendeel, integenstelling tot de betonwand van geval 2, die een oneindig grote afschuifstijfheid heeft.De totale dwarskracht Oa die elke verdieping van het raamwerk overbrengt, is uitgezet metgetrokken lijnen met bijgeschreven waarden. Aangegeven is het quoti?nt van de maximale596199 O,22H194151 = O,lm175195133xt 212 = O,24H~--~,===1! 191IGeval 2Kbr = 0,208 x 1011 N.mEI,"" 0,106 x 1012 N.m2Ka = 0,369 x 109 N251 0,28H238215186IL~Z ~ 0,181,\ 155,EI 0,106 x 10 12 N.m2K 0,369 x 109 Na~ = 0,160 x 10 10 Nr = 0,208 x 10 11 N.m12,6\\ 248\ :