prof.ir.J. van LoeyVrije Universiteit Brussel,afdeling Burgerlijke BouwkundeOptimale afmetingen van in??n richting dr.agendeholleplaatvloerentig lbtig.le1Schema holle plaatvloerInleidingDe plaat is ??n van de meest eenvoudige bouwelementen waarmee een ruimte kan overdektworden. Haar vorm is eenvoudig. Zij heeft een 'volle' doorsnede, vergt daardoor een geringehoogte en neemt dus, ook in opslag, de minste plaats in beslag.Dit zijn onder meer de redenen waardoor de plaat veelvuldig voor allerlei constructies alsbouwcomponent wordt gebruikt. Nochtans vertonen de plaatconstructies een bijzondernadeel: grote overspanningen geven aanleiding tot massieve doorsneden en aldus tot eengroot eigen gewicht ten opzichte van de te dragen mobiele lasten. Daarom moet het eigengewicht zo laag mogelijk worden gehouden. Dit kan door een materiaalbesparing in dedoorsnede aan te brengen; maar dan wel zonder te veel weerstandsvermindering van dedoorsnede.Praktisch wordt de besparing bekomen door de plaat te voorzien van uitsparingen, meestalvan cilindrische vorm. Zij worden ter hoogte van de neutrale vezel geplaatst. Men is dikwijlsgeneigd om, uit zorg voor deze gewichtsbesparing, de doorsnede maximaal uit te hollen enom aldus het eigen gewicht zoveel mogelijk te verlagen. Doch op deze wijze bekomt men eenminder weerstandbiedende doorsnede, welke dan ook minder lasten kan dragen. Dooraanpassingen van de afmetingen wordt dan gepoogd om dit weerstandsverlies te compense"ren, zonder na te gaan of de doorsnede optimaal is ten opzichte van lastopname.Bijgevolg kan vastgesteld worden dat:- een volle plaat weinig nuttige belasting kan opnemen omdat de spanningen, veroorzaaktdoor de totale belasting, voor het grootste gedeelte afkomstig zijn van de actie van het eigengewicht;- een sterk uitgeholde plaat weinig nuttige belasting kan opnemen omdat de doorsnede teweinig weerstandbiedend is;- derhalve een gewichtsbesparing moet leiden tot een verhoging van de toelaatbare nuttigebelasting.De optimale doorsnede, is deze welke met een minimum aan eigen gewicht, een maximumaan nuttige belasting kan opnemen. Deze verhouding zou dan ook als waarde aangegevenkunnen worden voor deprestatiegraad van de plaat. Deze vaststellingen worden hiernanaderonderzocht.H/2Hf2CAtigl? r-il ilAllfig.laA-AGegevensWe beschouw?n een holle plaat (tig. 1), dragend in ??n richting en onderwerpen dezedeeldoorsnede aan de gebruikelijke weerstand- en vervormingstoestanden namelijk:- niet overschrijden van de toelaatbarespanningen;~ begrenzing van de doorbuiging.De gebruikte parameters zijn hiernaast gedefinieerd.NotatiesH hoogte van de doorsnedeS oppervlakte van de doorsnedeI traagheidsmomentt doorbuigingd diameter van de uitsparingk dlH, verhouding van de diametervan de uitsparing tot de hoogtevan de plaatp eigen gewichtq nuttige belastingcr buigspanning (ten gevolge van M),; schuifspanning (ten gevolge van T)v index voor volle plaath index voor holle plaatVerband tussen de parametersParameter kVoor een volle plaat is k = 0; kstijgt met d en vertegenwoordigt dus een uithollingsgraad. Webegrenzen dezeparametertotO,9, wat wil betekenen dat uiteindelijk weinig materie overblijftom de spanningen op te vangen.Oppervlakte van de doorsnedeVoor een volle plaat: Sv = H2< d2Voor een holle plaat: Sh = H2 - TDe verhouding ~: is gelijk aan 1-0,25?Jt? k2 (tabe/1).Deze verhouding vertoont voor kleinewaarden van keen kleinevariatie (voor kvari?rendvan ?tot 0,40 wordt een oppervlaktebesparing genoteerd van 13% terwijl voor kvari?rend van 0,40tot 0,8 een besparing optreedt van meer dan 50%). Indien enkel gewichtsbesparing wordtbeoogd, moeten hoge waarden van k worden aangehouden.Cement XXXIII (1981) nr. 11 703. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (1)Tabe/11Verband tusser> de parameters k Sh/Sv IhlIv a b m=-a? 1 1 1 1 10,1 0,992 1 0,992 1,110 1,0080,2 0,969 1 0,969 1,243 1,0320,3 0,929 0,995 0,934 1,403 1,0710,4 0,874 0,985 0,887 1,596 1,1270,5 0,804 0,963 0,835 1,833 1,1980,6 0,717 0,924 0,776 2,140 1,2890,7 0,615 0,859 0,716 2,571 1,3970,8 0,497 0,759 0,655 3,294 1,5270,9 0,364 0,614 0,593 5,140 1,6861 0,215 0,411 0,523 00 1,912Traaghe?dsmomentDoor de uitholling van de doorsnede wordt het traagheidsmoment gewijzigd:- voor een volle plaat: I v = H4/12- voor een holle plaat: Ih = H4/12 -Jt. d4/64Deverhouding t isgelijkaan1-0,1875?Jt?k4 (tabe/1).De verandering van de verhouding .~~ varieert gunstig ten opzichte van de uithollingsgraaden de gewichtsbesparing. Tot een uithollingsgraad van 0,6, waarmee een gewichtsbespa-ring overeenstemt van ? 30%, is het traagheidsmoment met slechts 8% verminderd. Ditheeft een zeer gunstig gevolg voor het gebruik van holle platen, want dit betekent dat deuithollinghettraagheidsmomentweinig wijzigt en dat de stijfheid die de volleplaat vertoontbehouden blijft ondanks de uitholling.Doorbuig?ngDe doorbuiging f is rechtstreeks evenredig met de belasting en omgekeerd evenredig methettraagheidsmoment. De andere factoren (overspanning en elasticiteitsmodulus) wordenongewijzigd beschouwd, zowel voor de volle, als voor de holle plaat. Indien:- Pv het eigen gewicht is van de volle plaat,- Ph het eigen gewicht is van de holle plaat,- qv de nuttige last geplaats is op de volle plaat, en- qh de nuttige last geplaatst is op de holle plaat,dan is de verhouding:De verhouding Phis gelijk aan de verhouding van de oppervlakten van de doorsneden zodatPvwe mogen schrijven:(1+ qh ) (1+ qh )fh _ (1 - 0,25 . Tt . k2 ) Ph = a . Phr:; - (1-0,1875?Jt?k4) (1 + qV) (1 + qV)Pv PvIndien nu ~~ = 1 wordt gesteld, dan volgt hieruit:qh=[(1+ qV )_aj (2)Ph PvUit tabel 1 weten we dat a i= Oen < 1blijft.Bijgevolg is (1 + qV) a ~ ?vooralle positieve waarden van ..9.::L.Pv PvVoor de doorbuiging kunnen nu de volgende gevolgtrekkingen worden gemaakt.a. Met formule (1): indien voor de volle en holle plaat een nuttige belasting en een eigen gewichtmeteenzelfdeverhoudingworden aangebracht (datwil zeggen qh = qV), dan zal de holle.Ph Pvplaat minder doorbuigen dan de volle plaat. Dit is in de lijn der verwachting, want een holleplaat weegt minder dan een volle plaat.b. Met formule(2): indien de doorbuiging van deholleplaatgelijk wordt gesteld aan dezevan eenvolle plaat, dan kan voorde holle plaateen grotereverhouding van 9. worden aangenomen.PDit wil ook zeggen dat de holle plaatten opzichtevan haareigen gewicht meerkan dragen dande volle plaat.Cement XXXIII (1981) nr. 11 704Hieruit ku nnen we concluderen datdeprestatie van de holleplaatsteedshogerligtdan dievande volle plaat.Tabel 2 (blz. 706) geeft qh voor de vaste waarden van qv als functie van k. We merken opPh Pvdat de prestatiegraad qh sterk stijgt met ken dit voor alle waarden van qv. Deze prestatie ligtPh Pvhethoogstbij de kleinewaarden van qv . Dit betekent dat wanneer voor een volle plaat"de nut-Pvtige belasting groot wordt ten opzichte van het eigen gewicht, het weinig nut heeft omeen hoge uithollingsgraad te nemen, of met andere woorden dat de prestatie niet wordtverbeterd.Dit kan kwantitatief worden aangetoond door de verhouding qh te delen door qv voor eenPh pvgegeven k.Voor k = 0,6 en qv = 0,25 is de verbetering van qh 2,444 en voor qv = 2 slechts 1,433.Pv Ph pvBuigspanningenDe buigspanningen moeten eveneens worden gecontroleerd. Doch Mh en Mv staan inrechtstreeks verband met Ph + qh en Pv + qv. Voor eenzelfde dragende plaat isde verhoudingvan de momenten gelijk aan de verhouding van de lasten, Ph = SSh . Daarom kan worden ge~pv vschreven:!:!.- . Shlh Sv' , " (3)Het tweede lid van deze formule (3) is hetzelfde alsdie van formule (1). Beidespanningen Ohen0v mogen de toelaatbare spanning niet overschrijden en daarom stellen we Oh =: 1.?vSchuifspanningenVoor bepaling van de schuifspanningen wordt uitgegaan van de algemene vorm:T?TIL=-e'lwaarin:L = schuifspanning;T = dwarskracht;TI = statisch moment;I = traagheidsmoment;e = dikte van het element ter hoogte van de beschouwde horizontale doorsnede.Evenals bij de buigspanningen zullen we de verhouding nagaan van de schuifspanningen inholleenvolleplaten. Dit wordt, met ?v = 1:?vLh = TIh . _1_ = 1 -0,666 k3= b (tabel 1)Lv TIv 1-k 1-kWe merken op dat de schuifspanningen in de uitgeholde plaat zeer sterk stijgen naargelangde vermeerdering van de uithollingsgraad k. Aandacht is dus geboden.Optimalisatie van de plaatdikteOptimalisatie van de toelaatbare nuttige belasting ten opzichte van het eigen gewichtEen plaat is bestemd om nuttige lasten te dragen. Optimaal is de toestand welke een grotenuttige belasting opneemt met een kleine, hiervoor nodige doorsnede (dus eigen gewicht).We moeten nu nagaan in welke verhouding qh komt te staan ten opzichte van qv{qv= C? pvenqh= d' Ph metc < d, maarmetpv> Ph).lsdezeverhouding kleinerdan 1, dan wil datzeggen datde draagcapaciteit van de plaat verminderd is door de uitholling; is deze verhouding groterdan 1, dan krijgen we de nagestreefde verbetering.Omditnategaanhernemenweformule(2),metm= '!en Ph = Sha Pv Sv~~ = ~: .??~~ . [(1 + ~:) m -1] " , .. (4)We moeten nu nagaan of voor verschillende waarden van qv de verhouding qhgroter wordtPv qvdan 1.[(1+~:)'(1-0,1875.Jt'k4)_(1-0,25.Jt'k2)] .. : (5)Cement XXXIII (1981) nr. 11 705~ 0 0,25 0,5k v1 1,5 20 0,000 0,250 0,500 1,000 1,500 2,0000,1 0,008 0,260 0,524 1,016 1,520 2,0240;2 0,032 0,290 0,548 1,064 1,580 2,0960,3 0,071 0,338 0,606 1,141 1,677 2,2120,4 0,127 0,409 0,691 1,255 1,818 2,3820,5 0,198 0,497 0,796 1,395 1,994 2,5930,6 0,289 0,611 0,933 1,577 2,222 2,8660,7 0,397 0,746 1,095 1,793 2,491 3,1900,8 0,526 0,908 1,290 2,053 2,817 3,5800,9 0,686 1,108 1,529 2,373 3,216 4,0591 0,912 1,390 1,868 2,824 3,780 4,736Tabel 2Waarden van qh/Ph, bij fh/fv = 1 en Oh/Ov = 1Tabel 3Waarden van qh/qv (1ste cijfer) en c . qh/qv(2de cijfer) met C = qv/Pv~k pv 0,25 0,5 1 1,5 20 1 1 1 1 10,250 0,500 1 1,500 2,0000,1 1,031 1,016 1,008 1,005 1,0040,258 0,508 1,008 1,508 2,0080,2 1,121 1,060 1,029 1,109 1,0140,280 0,530 1,029 1,528 2,0280,3 1,259 1,127 1,061 1,039 1,0280,315 0,563 1,061 1,558 2,0560,4 1,427 1,206 1,096 1,059 1,0400,357 0,603 1,096 1,589 2,0800,5 1,601 1,282 1,123 1,069 1,0430,400 0,641 1,123 1,603 2,0860,6 1,749 1,336 1,130 1,061 1,0260,437 0,668 1,130 1,592 2,0520,7 1,832 1,345 1,102 1,021 0,9810,458 0,673 1,102 1,532 1,9620,8 1,804 1,281 1,020 0,933 0,8890,451 0,641 1,020 1,399 1,7780,9 1,612 1,113 0,863 0,780 0,7380,403 0,556 0,863 1,170 1,4761 1,196 0,804 0,607 0,542 0,5090,299 0,402 0,607 0,813 1,018kopt 0,730 0,666 0,577 0,516 0,471qh/qv 1,837 1,349 1,311 1,070 1,044c qh0,459 0,675 1,131 1,605 2,088qv22Uithollingsgraad k als functie van qh/qv1,50.5o 0.50.250.5kDeze4e-g raads vergelijking geeftvooreen gegeven verhouding qvPvd ( qh )als functie van k een optimum voor ~~ of d:v= 0Hieruit volgt de optimale uithollingsgraad:kopt = 0,8165 (tabel 3, ng. 2) ..........................................?....... (6)j(1+ qV )PvGevolgtrekkingUit de hierboven gemaakte analyse kunnen volgende conclusies worden getrokken.a. De uitholling van een plaat, en de hieraan gekoppelde gewichtsbesparing, leiden naar eenverhogi ng van de toelaatbare nuttige belasting ten opzichte van de nuttige belasting dieop deovereenstemmende volle plaat maximaal toelaatbaar is.b. De verhouding van de nuttige belasting van de holle en de volle plaat vertoont een maximum,bij een gegeven qv/Pv, waarmee ook een optimale uithollingsgraad overeenstemt.c. Er bestaat bijgevolg een optimale uithollingsgraad en een overeenstemmende draagcapaci-teit, die de prestatiegrens vertegenwoordigt van de uitgeholdeplaat.d. Wanneer qv/Pv stijgt, dat wil zeggen wanneer voor een volle plaat de verhouding van denuttige belasting ten opzichtevan heteigen gewichtgrootwordt, dan heeft een uitholling zeervlug een nadelig gevolg op de toelaatbare nuttige belasting; dit ligt in de lijn der verwachtingen kan opgemerkt worden in tabel 3 (zie traplijn en bijvoorbeeld de verhouding qv/Pv = 2).e. De optimale verhouding qh/qv verloopt asymptotisch naar de uithollingsgraad k = 0,8165.1. Voor een variatie van de uithollingsgraad van 0,6 totO,7verandert de optimale verhouding vanqh/qv van ? 1,18 tot 1,55, een vermeerdering van meer dan 30%. Dit duidt op de zeer sterkegevoeligheid van de draagcapaciteit van de plaat door haar uitholling.Cement XXXIII (1981) nr. 11 706Tabel 4Optimale uithollingsgraad metbijbehorende waarden voor de parametersA, Ben Ckopt.C? qh = B A C=A-Bqv0,730 0,459 7,5 3,4420,666 0,675 9,0 6,0750,577 1,131 12,0 13,5720,516 1,605 15,0 24,0750,471 2,088 18,0 37,584A C20 4015 30Bepaling van de optimale plaatdikteFormuleringWanneer de dimensies van een plaat moeten worden bepaald, beschikt de ontwerper over deoverspanning van de plaat (geometrie), de nuttige belasting en de maximaal toelaatbarebuigspanning (weerstand).Uitgaandevano= ~ . v kan de optimale plaatdikte worden be-paald. Deze formule wordt:H 1 (2?toel = (Ph + qh) . 2 . 1h . xwaarin x een co?ffici?nt is dieeen waarde aanneemt naargelang het type van opleggingen/ofaantal overspanningen (voor een plaat rustend op 2 overspanningen is x = 8, indien aanweerszijden ingeklemd x = 12) en (de overspanningsafstand.Met c . pv = qv en Pv = y . H2 (y = het soortelijk gewicht van de plaat) wordty. H3 '(1-0,25' Jt. k2 +c? qh)?e2?120toel = qv. 2?x?H4?(1-0,1875?Jt?k4)Hieruit halen we dan6'(1-0,25.Jt'k2 + C? qh)H = A . Y . ~ met k= qv (7)x 0toeL (1-0,1875' Jt. k4)Anderzijds hebben weqh = Pv . C? qh (want c .Pv = qv)qven qh pereenheidsoppervlakte van de plaat wordt j.;' = q.Stel B = C? qh en A . B = C dan geldt:qvq = y2 . ~ . C (8)x 0toeLDe waarden A, B en C als functie van kopt worden in tabel 4 en figuur 3 weergegeven.En tenslotte volgt uit (8):Enkele rekenvoorbeeldenIn tabel 5 zijn voor drie verschillende situaties de resultaten weergegeven van de berekeningvan de parameters metbehulp van de in dit artikel afgeleide formules.ToepassingVoor een gegeven overspanning moet in optimale afmetingsvoorwaarden een last wordengedragen. Bekend zijn de overspanning e, de co?ffici?nt x, afhankelijkvan de doorsnedevanhet aangrijpend moment (8 voor een isostatischeplaat en 12 voor een ingeklemde plaat), hetsoortelijk gewicht y, de toelaatbare spanning en de nuttige last q.Met deze parameters is C van formule (9) bepaald en ook de uithollingsgraad k en deparameter A.Formule (7) laat toe de hoogte Hvan de holle plaat te bepalen en uitgaande van k kunnen nuook de andere nodige elementen worden berekend, zoals de diameter van de uitsparing (metkj, het buigend moment, de oppervlakte en het traagheidsmoment van de doorsnede, dedoorbuiging, de schuifspanning enz.10 20A5 10C0 05 k3Parameters A en C als functie van kopt.C = q . x . ?toeL .y2. e2 . (9)Tabel 5Samenvatting rekenvoorbeelden; gegevensen resultaten van de berekening van deparametersCement XXXIII (1981) nr. 11I voorbeeld 1 Ivoorbeeld 2 voorbeeld 3gegevens q 5kN/m2 15 kN/m2 8 kN/m2e 10m 10 m 11 mx 8 8 10Y 25 kN/m3 25 kN/m3 25 kN/m3?toel 10N/mm2 10 N/mm2 12,1 N/mm3resultaten C 6,4 19,2 12,8k 0,66 0,54 0,585A 9,2 13,6 11,7H 29 cm 42,5 cm 29,2 cmqh 1,44 kN/m 6,375 kN/m 2,34 kN/m707Tabel 6Controle van de voor rekenvoorbeeld 3 (zietabel 5) gevonden optimale uithollingsgraadaan de hand van 3 variantenVoor de bij rekenvoorbeeld 3 gevonden optimaleplaatafmetingenis een controle uitgevoerdaan de hand van 3 varianten. De resutaten van deze controle zijn samengevat in tabel 6.volle plaat holle plaatvariant 1 variant 2 variant 3k 0 0,8 0,4 0,585H 0,292 m 0,292 m 0,292m 0,292 mPh 2,13 kN/m 1,06 kN/m 1,863 kN/m 1,56kN/mqh 2,34 kN/m 2,34 kN/m 2,34 kN/m 2,34kN/m0 13,00 kN/m2 13,06 kN/m2 12,46 kN/m2 12,10 kN/m21) 2) 3) 4)1) De gevonden buigspanning is groter dan 12,10 kN/m2 welkeinitieel als voorwaarde werd gesteld. Om beneden de toelaatbarespanningswaarde te bliiven, moet de nuttige belasting wordenverminderd met 15%.2) Om beneden de toelaatbare spann ingswaarde te blijven, moet ookhier de nuttige belasting worden verminderd, doch met 11,5%.3) Ook voor dit geval zal het niet overschrijden van de toelaatbarespanning een vermindering van q tot gevolg hebben met 6,5%.4) Optimale plaatafmetingen, zie tabel 5.ir.R.A.ThomasKortrijk, Belgie Commentaarop het artikel 'Over de controleerbaarheid vancomputerberekeningen' van ing.LBakker, gepubliceerd inCement 1981 nr.9 blz. 569-570In het artikel van ing.L.Bakker, waarop hiercommentaar wordt gegeven, werdalgemelddat binnen het technisch overlegorgaan vaneen aantal diensten van Bouw- en Wo-ningtoezicht een werkgroep bezig was methet opstellen van richtlijnen voor de presen-tatie van computerberekeningen. Wij kun-nen nu reeds meedelen dat het concept?Regelement Computerberekeningen' vandeze werkgroep in hetvolgende nummervanCement zal worden gepubliceerdRedactieCement XXXIII (1981) nr. 11In Cement 1981 nr.9 publiceerde ing.L.Bak-ker zijn gedachten over de controleerbaar-heid van computerberekeningen. Als con-structeur heb ik meermalen tegenover men-sen gestaan zoals de heer Bakker; de oncon-troleerbaarheid van computerberekeningenis ook voor mijn gewetensrust niet altijd be-vorderlijk geweest.Daar de programma's zelf ontoegankelijkzijn, of als ze het wel zijn dikwijls een beroepdoen op functies en algorithmen die onspetjete boven gaan, zie ikalsenigeoplossingde oude benaderende berekeningen uit tevoeren, zoals we dat deden voordat de com-puterop de markt kwam.Nu kan dat op verschillende manieren ge-beuren:1. De met de controle belaste functionarismaakt zelf enkele eenvoudige berekenin-gen: dat gaat van 1/8q12 tot iets nauwkeuri-ger berekeningen aan de hand van tabellen-boeken, zoals die bestaan voorschevebrug-gen, vierendeelliggers, skeletten voor hoog-bouw enz. Veel van dietabellen zijn trouwensopgesteld met de computer (bijvoorbeelddie van de U.S. Portland Cement Associa-tion). Hierdoor wordt de vraag weer ver-plaatst naar de betrouwbaarheid van dezetabellen; de notoriteit van de uitgever speeltdan zeker een rol.2. De ontwerper voegt zelf bij zijn computer-berekeningen een met de hand opgesteldeberekeningsnota, waarin de meest kritischepunten worden berekend. Een verschil tus-sen deze twee dat groter is dan een bepaaldefractie van de veiligheidscoefficient, dientofwel te worden gerechtvaardigd, danwel teworden verdisconteerd.Deze methode is bovendien een verplichte708controle voor de ontwerper zelf. Vooral moetworden gelet op verschil in voorteken ofrichting.3. Een methode die meer is aangepast aande huidige werkwijze is wel de controlebere-keningen te verweven in het juiste(re) groteprogramma en dit toe te voegen aan de in-wendige controle van de computer. Stapvoor stap volgen de twee programma's el-kaar; gaat het verschil een bepaalde grens teboven, dan volgt ereen foutmelding. Het kanzijn dat er een redelijke uitleg bestaat; erkanechter ook een werkelijke fout zijn begaan.Het controleprogramma moet als een rodedraad door heel de bewerking lopen en moetbOvendien uitgaan van eigen ingevoerde ge-gevens, zodat ook hierop een controle be-staat ten aanzien van grootte, zin en teken. Ikzie deze methode vooral bruikbaar voor demiddelgrote berekeningen waarvoor bena-deringsmethodes bestaan. Bovendien meenik dat de verhoogde computerkosten ge-compenseerd worden doorde grotere zeker-heid en verminderde controletijd.4. Voor de hele grote programma's lijkt hetmij het beste de zaak langs twee wegen tebenaderen of een beroep te doen op schaal-modellen, fotogrammetrie e.d. Voor groteprojecten kan de toezichthoudende ambte-naar trouwens ook veeleisender zijn.Persoonlijk voel ik veel voor methode 3, diegaat in de zin van het computergebruik. Hetbetekent wel enige complicatie in het werkvan de programmeurs, maar is een argumentin handen van de computerlui om deargwaan van de 'civiele wereld' ten opzichtevan de 'fouten makende' computer uit dewereld te helpen.