ir.H. de Vrindir.A.Vrouwenvelder*TH-Delft, afdeling der Civiele Techniek*tevens TNO-I BBC""'-1\? ?T~I-a1:? ? y\.a~ -:;JlJ-c::-t ~1Onderwapening, mpx= mpy= mp2Boven wapeningvierkant : mp~ = mpy = (a/sj2mpelders : mp~ = mpy = 0Cement XXXIII (1981) nr. 10Optimaal wapenen van vlakkeplaatvoeren?InleidingDoor de opkomst van de rekenautomaat heeft de vloeilijnentheorie nooit die vlucht genomendie menigeen een aantal jaren geleden had voorspeld. Toch blijft deze theorie zeer leerzaam,omdat met relatiefeenvoudige handberekeningen snel een inzicht in het gedrag van een plaatkan worden verkregen. Om die reden maakt devloeilijnentheorie deel uit van het studiepro-gramma voor civiel-ingenieur, onder meer via het college bezwijkanalyse van prof.ir.J.witte-veen. Bij de examens van dat college komt de vloeilijnentheorie regelmatig aan de ordewaarbij uiteraard wordt uitgegaan van sterk geschematiseerde gevallen. De nadruk bij hetexamen ligt op de mechanica-aspecten en minder op de betontechnische kantof op de eisendie vanuit de voorschriften gesteld worden. Desalniettemin kunnen de problem.en die in dezeonderwijskundige sfeer aan de orde komen zeer waardevol zijn voor ieder die zich in depraktijk met platen bezighoudt. Met name lijkt dit het geval met het examenvraagstuk vandecember 1980, dat hier nu gepresenteerd wordt.ProbleemstellingGegeven is een vlakke plaatvloer, uitte voeren in gewapend beton, waarvan dewapening nognader bepaald moet worden. De vloer wordt ondersteund door kolommen die zodaniggeplaatst zijn dat vierkante vloervelden met zijde a ontstaan. De vloer wordt in zijn vlakoneindig uitgestrekt gedacht en wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting ).1,waarbij Aeen belastingfactor voorstelt. De kolommen mogen als puntvormige ondersteunin-gen van de vloer in rekening worden gebracht; dwarskrachtproblemen worden buitenbeschouwing gelaten. De vloer moet gewapend worden met een gegeven hoeveelheidwapeningsstaal, zodanig datde opneembare belasting zo groot mogelijk is. Bij het leggen vande wapening moeten de volgende regels in acht worden genomen:- de helft van de totale hoeveelheid betonstaal ligt als onderwapeninggelijkmatig verdeeldzowel in x als in y-richting (fig. 1);- de andere helft ligt als bovenwapening alleen in het vierkant met zijde s om elke kolom; ookgelijkmatig verdeeld (fig. 2).Het gekozen wapen ingspatroon wordteerst in mechanicatermen vertaald. Wanneersgelijkisaan a, ontstaat een homogene isotrope plaat omdat dan zowel onder als boven hetzelfdewapeningsnet aanwezig is. De draagkracht van een homogene isotrope plaat kan wordenuitgedrukt in het plaatvloeimoment mp. Om een goede vergelijkingsbasis te hebben, wordenvoor het gekozen wapeningspatroon de plaatvloeimomenten eveneens uitgedrukt in mp:- voor positieve vloeilijnen, waarbij de onderwapening vloeit, geldt overal: mpx = mpy = mp;- voor negatieve vloejlijnen, waarbij de bovenwapening vloeit, geldt binnen het vierkant metzijde $: mp~ = mpy = (a/s)2mp; buiten het vierkant geldt:mp~ = mpy= O.Een maat voor de totale hoeveelheid gebruikte wapening is 4 mpa2 .De vraagstelling luidt verder als volgt:1. bereken de te dragen belasting Af voor een aantal in aanmerking komende vloeilijnenpatro-nen;2. teken een grafiek van de draagkracht Af als functie van s;3. bepaal hieruit de optimale afmeting van het boven net en de bijbehorende waarde van degelijkmatig verdeelde belasting.UitwerkingVoor de uitwerking van het gestelde probleem wordt gebruikgemaakt van de vloeilijnentheo-rie.ln defiguren3t/m 7zijn een aantal in aanmerking komendevloeilijnenpatronen getekend.De patronen I en 11 zijn als liggermechanismen te beschouwen. Patroon Igeeft een mechanis-me, waarbij zowel de onder- als de bovenwapening vloeit. Bij vloeilijnenpatroon 11 ligt denegatieve vloeilijn juist buiten het wapeningsgebied rond de kolomkop. De vloeilijnenpa-troon 111, IV en V kunnen alle drie ge?nterpreteerd worden als kolomkopmechanismen. Bijpatroon 111 blijven alle vloeilijnen geheel binnen het gebied, waarin de bovenwapeninggelegen is. De parameter R dient zodanig geoptimaliseerd te worden dat de te dragen659aT3Vloeilijnenpatroon I?/ =8(1 + als) 7:;4Vloeilijnenpatroon 11? 8 mp/I (1 _ s/a)2 fa26Vloeilijnenpatroon IV?is minimaal als c->1f2a? - 48 (1 + als) mpIV - 5 fa25Vloeilijnenpatro?n 111? is minimaalals R-> 01../1/ = 2n(1 + a21s2) mpfa27Vloeilijnenpatroon V?is minimaal als:c == 112 Vs(3a2- S2)2I..v = . 48ca2mp(2c-s)(3aL 4c2-2cs_s2) fa 2belasting minimaal is. De vloei lijnen van patroon IV komen buiten het gebied waarin debovenwapening gelegen is; om het rekenwerk te beperken is het patroon eenvoudiggehou"den. Vloei lijnenpatroon V tenslotte is op te vatten als een mechanisme rondom een kolom metversterkte kolomkop.Voor elk van deze 5 vloeilijnenpatronen wordt een arbeidsvergelijking opgesteld: de door deuitwendige belasting bij het mechanisme verrichtte arbeid mag hoogstens gelijk zijn aan degedissipeerde energie ter plaatse van de vloeilijnen. Op deze manier is voorelk vloeilijnenpa-troon een belastingfactor ? berekend, die nog een functie is van de afmeting s van hetboven net.2824 t201612~~-- optimale sla2824201612 .~-I"'~~ sia8De be/astingfactorl.. als functie van sla voorde 5 vloeilijnenpatronenCement XXXIII (1981) nr. 10 6600,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9ConclusiesIn figuur 8 is de belastingfactor ? uitgezet als functie van de ontwerpparameter sla. In hetinterval sla = Otots/a = 1zijn de vloeilijnenpatronen I, 11 en 111 bepalend voorde draagkrachtVoor waarden van sla < 0,45 is vloeilijnenpatroon 11 maatgevend. In het middengebied ispatroon I bepalend voor de draagkracht en voor waarden van sla> 0,7 het kolomkopmecha-nisme van patroon 111. Wanneer sla =0 is de draagkracht minimaal; de belastingfactorbedraagt dan 8 mplfa2? Voorde homogene isotrope plaat, waarbij sla = 1, geldt"-= 4rr;mplfa2.Het gevraagde optimum wordt gevonden voor sla = 0,45, waarbij ? = 26 mplfa2.De draagkracht bij de optimale waarde van sla is verdubbeld vergeleken met de homogeneisotrope plaat Anders gesteld, bij sla = 0,45 is slechts de helft van de wapening van dehomogene plaat nodig om dezelfde belasting te kunnen dragen.NabeschouwingEen opvallend aspect aan het resultaatis deovereenkomst met de gangbare kolomstrook vaneen halve veldbreedte. De vraag is of daaraan veelwaardetoegekend moetworden gezien hetafwijkende wapeningsschema bij de hier uitgevoerde berekening. Eigenlijk zouden anderewapeningsschema's op dezelfde manier onderzocht moeten worden alvorens bruikbareconclusies kunnen worden getrokken. Daarbij zou ook de verhouding tussen onder- enbovenwapening niet langer gefixeerd moeten zijn. Overigens is bij de onderhavige vloer deaangenomen verhouding nagenoeg optimaal.Interessant is ook de vraag welke draagkracht bij een gegeven hoeveelheid wapeningmaximaal realiseerbaar is, indien men bij hetwapenen devolledigevrijheid heeft Natuurlijk iseen dergelijke wapening in de praktijk onbruikbaar en slechts van theoretisch belang. Dewapening dient ook rationeel te zijn, dat wil zeggen de hoeveelheid knip- en buigwerk dientmede in de beschouwing te worden betrokken. Wat dit betreft is het hier toegepastewapeningsschema nog zo slecht niet. Overigens moet nog rekening worden gehouden mettal van constructieve en betontechnische eisen, zoals doorbuigingen, krimp, kruip, scheur-wijdte, minimale en maximale wapening enz.Het besproken vraagstuk heeft alzo meer problemen opgeroepen dan beantwoord. Het is indit verband prettig te kunnen wijzen op hetafstudeerwerk van Westendorp en Bruinede Bruinbij de vakgroep Betonconstructies. In deze studie is eveneens uitgegaan van de vloeilijnen-theorie, maar tevens is aan een groot aantal praktische problemen aandacht gegeven.Binnenkort zullen zij hierover in dit blad publiceren.Zowel voor hun studie als voorde hiergepresenteerdeberekening heeft devloeilijnentheoriegoede diensten bewezen, omdat met name inzicht en intu?tie er uitstekend mee ontwikkeldworden.literatuur1. CUR-VB-rapport 78, Vloeilijnentheorie; Betonvereniging, Zoetermeer, 1976.2. Vrouwenvelder, A.C.W.M., Witteveen, J., Het plastisch gedrag en de berekening van opbuiging belaste platen; Collegedictaat b19A, Afdeling der Civiele Techniek, TH-Delft, 1980.Vervolg van blz. 646 (Wapeningsdag 1981) De ontwikkelingen in de naaste toekomst zullen gekenmerkt worden door:- universeellasbaarstaal, datgeen belemmering vormtvoordeontwikkeling vanprefabricage;- een toenemend gebruik van FeB 500, ook bij staafstaal;- toepassing vanstaalvezels als secundaire wapening;- vervanging van de steekproefsgewijze keuring op de bouw door een doorlopende keuring,resu Iterend in gecertificeerd betonstaal.Nieuwe ontwikkelingen op het gebied van de fabricage van betonstaal- ir. T.BreedijkIn de laatste inleiding werd de recente ontwikkeling van een nieuwtypebetonstaal besproken.Naast het warmgewalste en het koudvervormd betonstaal kennen we sinds kort het zoge-naamde Tempcore-staal. Dit is staal dat met water geforceerd gekoeld is waardoor eenstructuurverbetering in het materiaal optreedt Er zijn twee vormen waarin betonstaal alseindproduct geleverd wordt:- draden met diameters van 5,5tot 12 mm op haspels tot maximaal 2 ton, en- staven in diameters van 6 tot 40 mm en in lengten van 8 tot 20 m.Warmgewalst betonstaal ontleent zijn sterkte vrijwel geheel aan de chemische samensteI-Iing. Het verbeteren van staaleigenschappen (sterkte, lasbaarheid, rek) door legeren isechterduur, terwijItoevoeg ingen welke deeneeigenschap verbeteren, nadelig kunnen zijn vooreenandere eigenschap. Zo leidt een hoog percentage koolstof tot een grotere treksterkte maareen verminderde lasbaarheid.Bij koudvervormd betonstaal is de verhoging van de treksterkte vooral verkregen doorkoudtorderen of koudtrekken. Het staal wordt gekenmerkt door een laag koolstofgehalte eneen verminderde rek en taaiheid. Het staal is goed hechtlasbaar, maar bij lasprocessen metveel warmtetoevoer kan de sterkte teruglopen.Ook watergekoeld betonstaal heeft een laag koolstofgehalte. Maar hier is de structuurverbe-tering verkregen door een intensieve waterkoeling direct na de laatste walsgang. Eenuitgebreide bespreking van de eigenschappen en produktietechnieken van geforceerdgekoeld betonstaal is te vinden in Cement 1981 nr.4.Van alle thans beschikbare typen betonstaal blijkt watergekoeld betonstaal het meestgeschikt voor hechtlassen.Cement XXXIII (1981) nr. 10 661