1 | Verankering van voor-spanelementen in de bal-ken van een trogligger2 | Voorspanelementen ver-ankerd in een plaatliggermet een over de breedtevariabele hoogte3 | Typen splijtwapening alsgedefinieerd in de ROBKO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor spanningir. H. Dorsman en ir. F.H.M. Scholten, Royal HaskoningTijdens toetsingswerkzaamheden in het kader van kwali-teitsborging voor diverse opdrachtgevers is gebleken, datbij diverse partijen onduidelijkheid bestaat over het bere-kenen van splijtkrachten die optreden bij het inleiden vangeconcentreerde oplegreacties en voorspankrachten.Met name de krachten die ontstaan bij een niet-gelijkma-tig verdeelde inleiding zorgen soms voor de nodige ondui-delijkheid. In dit artikel wordt daarom aan de hand vaneen drietal voorbeelden met voorspanbelasting naderingegaan op de berekening van optredende splijtkrach-ten.Een groot deel van alle viaducten in Nederland is op-gebouwd uit voorgespannen betonnen platen of gepre-fabriceerde voorgespannen liggers. Dit artikel gaat inop de inleiding van de voorspanning in een betonnenplaat met nagerekt staal en de berekening van de daarbijoptredende splijtkrachten. In de praktijk worden hier-voor verschillende vereenvoudigde rekenmethoden ge-bruikt. Te noemen zijn onder meer de methodenconform de VBC (art. 9.13.1) [1] en de ROBK (hoofdstuk2; wijzigingen, aanvullingen en toelichtingen op NEN6720, art. 9.13.1) [2]. Aan de hand van een aantal voor-beelden worden deze twee methoden nader bekeken enwordt de grootte van de berekende splijtkrachten verge-leken met de resultaten van berekeningen met deeindige-elementenmethode (EEM).Dit artikel beperkt zich tot de berekening van de sprei-ding van de voorspanning in de getekende vlakken,zoals weergegeven in de figuren 4 tot en met 6. Uiter-aard treedt er ook spreiding op in de richting loodrechtop deze vlakken.I n l e i d i n gOm voorspanning in een betonnen plaat aan tebrengen worden voorspankabels in het beton aange-bracht en met spankoppen aan de uiteinden van eendek verankerd. In het algemeen worden de voorspan-elementen zo gelijkmatig mogelijk verdeeld over dedoorsnede. Bij een rechthoekige doorsnede is datveelal goed mogelijk. Zodra echter een afwijkendevorm wordt toegepast, is een gelijkmatige verdelingvaak moeilijk te realiseren.Goede voorbeelden hiervan zijn trog- en kokerliggerswaar de voorspanelementen alleen maar in de balkenen veelal niet in de vloer aangebracht worden (fig. 1).Een ander voorbeeld is een plaat waarvan de dikte naarde rand toe afneemt, waardoor er in de randen geenplaats meer is voor de voorspanelementen (fig. 2).In beide gevallen worden de voorspankrachten bij deverankeringen niet gelijkmatig over de breedte van hetdek aangebracht en moet dus spreiding optreden.Hierdoor treden ook buiten de directe inleidingszonevan de voorspanning splijtkrachten op.Bij de bepaling van de splijtkrachten worden door deVBC twee typen onderscheiden (art. 9.13.1), te wetenkopsplijtkrachten en primaire splijtkrachten. DeROBK (zie fig. 3) onderscheidt daarnaast ook noghoeksplijtkrachten (welke binnen de definitie van deVBC vallen onder de kopsplijtkrachten) en secundairesplijtkrachten, welke binnen de definitie van de VBConderdeel uitmaken van de primaire splijtkrachten. Incement 2004 366Een vergelijking van rekenmethodenInleiding van voorspanning inplaatliggerskopsplijtwapeninghoeksplijtwapeningprimaire splijtwapeningsecundaire splijtwapeningd12d 12 da + LaFd FdL L0,7d0,3d0,75z0,50zssO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor spanninghet vervolg van dit artikel wordt de gedetailleerdere on-derverdeling volgens de ROBK aangehouden.T e b e s c h o u w e n v o o r b e e l d e nDe volgende gevallen zullen nader onder de loepworden genomen:1. rechthoekige plaat met gelijkmatig verdeeld aange-brachte voorspanelementen (fig. 4);2. rechthoekige plaat met de voorspanelementen in hetmidden van de plaat (fig. 5);3. rechthoekige plaat met de voorspanelementen aan deranden (fig. 6).In alle gevallen wordt in totaal dezelfde totale voor-spankracht P = 60 000 kN aangebracht. Ook hebben dedekken dezelfde afmetingen. In alle gevallen wordentwintig voorspanelementen van 3000 kN per stuk toe-gepast. Deze worden in ??n laag naast elkaar geplaatst(voorbeeld 1) of in twee lagen over de constructiedikte(loodrecht op het vlak van de tekeningen; voorbeelden2 en 3) aangebracht. De voorspanning wordt ingeleiddoor vierkante stalen platen van 200 x 200 mm2. Dekabels liggen hart-op-hart 0,5 m.B e r e k e n i n g m e t d e V B CDe berekening zoals omschreven in de VBC art. 9.13.1isgebaseerdopdebepalingvanhetmomentdatoptreedtin een ligger belast door de volledig in de plaat gespreidveronderstelde voorspanning enerzijds en de geconcen-treerde krachten uit de diverse voorspanelementen an-derzijds (fig. 7). In deze figuur is rechts het statischschema weergegeven. De daar getoonde ligger is hettussen beide onderscheiden belastinggevallen aanwe-zige constructiegedeelte. Met de gedrongen-liggertheo-rie overeenkomstig VBC art. 8.1.4 worden de nuttigehoogte z en de resulterende trekkracht Nsplijtbepaald.Voor de verdeling van de in de plaat gespreid veron-derstelde voorspanning geldt:waarin:P is de totale voorspanbelasting;e is de excentriciteit van de voorspanbelasting;x is de afstand van de betreffende vezel tot deneutrale lijn van de betreffende door-snede;b(x) is de breedte van de doorsnede op positie x;d is de totale hoogte van de doorsnede (hier dedekbreedte).Voor de aan te houden randvoorwaarde ter plaatse vande uiterste vezels wordt veelal uitgegaan van een schar-nierende oplegging. Incidenteel wordt uitgegaan vaneengedeeltelijkedanweleenvolledigeinklemming.Ditlaatste is bijvoorbeeld het geval bij de in de toelichtingvan VBC art. 9.13.1 gegeven voorbeeldfiguur nr. 110met bijbehorende formules.B e r e k e n i n g m e t d e R O B KBij de berekening overeenkomstig de ROBK zijn de tehanteren formules eenduidig omschreven. De kop-splijtkrachten en primaire splijtkrachten worden bere-kend volgens de in de toelichting van VBC art. 9.13.1(figuur 110) gegeven formules:waarin:Nsplijt kop,Mveldzveld---------- --124Fd L 1aL---? 1aL---+ 0 43 L,= =P p x( ) xd=d0p x( ) b x( ) vsp x( ) en=vsp x( )PAdoorsnedeP e x Idoorsnede+=cement 2004 3 67Nsplijt primair,Msteunpuntzsteunpunt 0 48 L,= =124Fd L 1aL? 2aL? 10,030,010,030,05,010,030,05,0schematischPP7 | Bovenaanzicht plaat metvoorspanbelasting in hetvlak: verankering eningeleide krachten(links) en schematisatieals gedrongen ligger vol-gens de VBC, inclusiefvoorspanbelastingen enrandvoorwaarden(rechts)4 |Voorbeeld 1: twintigvoorspanelementennaast elkaar en gelijkma-tig verdeeld over debreedte van de schijfaangebracht5 | Voorbeeld 2: de twintigvoorspanelementen zijnin twee rijen over dehoogte geplaatst en overde middelste 9 x 0,5 mvan de schijf aanwezig6 |Voorbeeld 3: twee voor-spanelementen over dehoogte als in voorbeeld2, maar nu plaatsingover 4 x 0,5 m nabij dehoekpunten van deschijf. Het hart van deeerste voorspankop ligtop 0,25 m vanaf de bui-tenrandO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor spanningM is het rekenmoment overeenkomstig de bere-keningsmethode VBC art. 9.13.1;z is de bij het betreffende rekenmoment beho-rende nuttige hoogte (VBC art. 8.1.4);Nsplijtis de splijtkracht loodrecht op de krachtsrich-ting van de uitwendige voorspanning;a is de breedte van de voorspankop;L is de hart-op-hart afstand ankers.De hoeksplijtkrachten worden in geval van een cen-trisch verdeelde voorspanbelasting (e = 0) berekend metde formule:Voor de secundaire splijtkrachten geldt:waarin:Fdis de som van de voorspanbelasting (= P);B e r e k e n i n g m e t e i n d i g e -e l e m e n t e n m e t h o d eVoordeeindige-elementenmethodeisgebruikgemaaktvan het programma Esa Prima Win. Een schijf van 10x 20 m2is geschematiseerd door een net bestaande uit3- en 4-knoops schijfelementen van 0,1 m x 0,1 m2. Bijde voorspankoppen is dit net verfijnd tot 0,02 x 0,02 m2.In figuur 8 zijn voor de drie gegeven voorbeelden dehoofdtrekspanningen en resulterende trekkrachten inde richting loodrecht op de uitwendige voorspanbelas-ting weergegeven.R e k e n o p z e t e n r e s u l t a t e nDedrievoorbeelden(fig.4t.m.6)wordennuuitgewerktvolgens de methoden uit de VBC en ROBK. De resul-taten zijn in tabel 1 opgenomen. In de tabel zijn ook deEEM-resultaten opgenomen.Voorbeeld 1Geval 1 sluit naadloos aan op het in de toelichting vande VBC art. 9.13.1 gegeven voorbeeld. De splijtkrach-ten worden in geval van de VBC dan ook uitsluitend be-rekend met de aldaar gegeven formules (formules 3 en4). Met a = 0,2 m en L = 0,5 m wordt gevonden:Nsplijt,kop= 81,4?10-3Fden Nsplijt,primair= 83,3?10-3FdmetFd= 3000 kN omdat de afzonderlijke voorspanelemen-ten worden beschouwd.De ROBK hanteert voor de berekening van de kop- enprimaire splijtkrachten dezelfde formules. Zij voegthieraan vervolgens nog de hoeksplijtkrachten en se-cundaire splijtkrachten toe. Met d = 10 m, a = 0,2 m enL = 19?0,5 = 9,5 m volgt Nsplijt,hoek= 0,00045 Fdmet Fd= 60 000 kN. Uit formules 6 en 7 is reeds bekend datNsplijt,sec= 20?Nsplijt,hoek, dus Nsplijt,sec= 540 kN.Voorbeeld 2In voorbeeld 2 geeft de VBC-schematisering volgensfiguur7 eengedrongenliggermeteentotalehoogte>10m. Deze is aan de kant van de voorspankoppen over demiddelste 9 x 0,5 m belast door in totaal tien puntlas-ten van 6000 kN per stuk (twee voorspanelementenboven elkaar). In de zone met de gespreide krachten isde voorspankracht gelijkmatig verdeeld over de gehelebreedte van de schijf. Het bijbehorende momenten-verloop is over de gehele breedte van de schijf constantvan teken. Het maximum moment wordt halverwegede breedte gevonden en bedraagt 37 500 kNm. Bij eeninwendige hefboom van z = 0,6h = 6 m resulteert daneen Nsplijt,sec= 6250 kN.IndeberekeningswijzevolgensdeROBKmoetendirectnabij de voorspankoppen dezelfde splijtkrachten als be-rekend in voorbeeld 1 worden meegenomen.Echter,nuis de te hanteren voorspankracht zelf twee maal zogroot; twee voorspanelementen zijn boven elkaar ge-plaatst. Dit leidt tot Nsplijt,kop= 81,4?10-3FdenNsplijt,primair= 83,3?10-3Fdmet Fd= 6000 kN.De ROBK levert verder voor de in totaal twintig voor-spanelementen (Fd= 60 000 kN) en d = 10 m, a = 0,2m en L = 9?0,5 = 4,5 m (tien voorspanelementen naastelkaar; twee lagen) een Nsplijt,hoek= 477 kN enNsplijt,sec= 9450 kN.Voorbeeld 3De VBC-schematisering volgens figuur 7 leidt tot de-zelfde gedrongen ligger als gehanteerd in voorbeeld 2(totale liggerhoogte >10 m). Deze is nu aan de kant vande voorspankoppen over de buitenste 4 x 0,5 m per zijdebelast door in totaal vijf puntlasten van6000 kN elk (tweevoorspanelementen boven elkaar). In de zone met degespreide krachten is de voorspankracht net als in voor-beeld 2 gelijkmatig verdeeld over de gehele breedte vande schijf. Ook nu is het moment in het midden van degedrongen ligger 37 500 kNm en is Nsplijt,sec= 6250 kN(z = 0,6h = 6 m).In de berekening volgens de ROBK moeten direct nabijde voorspankoppen opnieuw dezelfde splijtkrachtenworden meegenomen als gegeven voor voorbeeld 2:Nsplijt,kop= 81,4?10-3Fden Nsplijt,primair= 83,3?10-3Fdmet Fd= 6000 kN. In deze berekening worden de voorspane-lementen en tussenafstanden alle op ??n hoop gegooid.Dit ondanks het feit dat in het midden van de schijf detussenafstand van de koppen is toegenomen tot 5,5 m.Met Fd= 60 000 kN, d = 10 m, a = 0,2 m en L = 8?0,5+ 5,5 = 9,5 m volgt verder Nsplijt,hoek= 27 kN enNsplijt,sec= 540 kN. De ROBK kent geen aparte om-schrijving over hoe om te gaan met sterk wisselendehart-op-hart afstanden tussen de voorspankoppen ofsterk wisselende grootten van de geconcentreerd aan-grijpende (voorspan)krachten.Uit tabel 1 is af te leiden dat, afhankelijk van de gehan-teerde rekenmethode, de optredende splijtkrachten invergelijking met de EEM-berekening onder- dan welNsplijt hoek, 0 015 Fdd a? L?( )d,=Nsplijt hoek, 0 015 Fdd a? L?( )d,=cement 2004 368O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor spanningoverschat worden. Belangrijker is echter de constate-ring dat, uitgaande van ??n specifieke methode, be-paalde splijtkrachten soms in het geheel niet wordenonderkend.Zo worden met de methode volgens de VBC de kop- enhoeksplijtkrachten niet in alle gevallen berekend. Degevolgen van dit gemis vallen in de praktijk over het al-gemeen mee, doordat het in die gevallen meestal gaatom kleine splijtkrachten die veelal door altijd wel aan-wezige praktische kop- en randwapening dan wel detoch aanwezige treksterkte van het beton kunnenworden opgenomen.Ook de gevolgen van het onderschatten van de secun-daire splijtkrachten vallen bij de VBC in de praktijkveelal mee, doordat de methode de berekende totalesplijtwapening sterk concentreert rond de plaats waarook de grootste splijtspanningen optreden. De gebie-den met relatief lage splijtspanningen worden daarmeeveronachtzaamd, maar gezien de lage waarde van dedaar optredende splijtspanningen zal ook dit veelal niettot grote problemen leiden. Desondanks is het aan deverantwoordelijke constructeur om alle optredende ef-fecten te onderkennen, en van geval tot geval te beoor-delen of aanvullende maatregelen noodzakelijk zijn.De methode volgens de ROBK geeft over het algemeenveilige resultaten. Toch blijkt in het geval van het derdevoorbeeld dat, bij ondoordachte toepassing van de lettervan de richtlijn, hier het gevaar bestaat dat een grote op-tredende secundaire splijtkracht over het hoofd wordtgezien. Immers, niet duidelijk is aangegeven hoe metconcentraties van spankoppen moet worden omge-gaan. Ook hier is het dus noodzakelijk, dat de verant-woordelijke constructeur zich afvraagt in hoeverre dete beschouwen constructie past binnen de randvoor-waarden van de richtlijn en dat hij of zij waar nodig aan-vullende berekeningen maakt.Metditartikelishetberekenenvansplijtkrachtenonderde aandacht gebracht met als doel onduidelijkheden bijde interpretatie van voorschriften en richtlijnen te voor-komen. Deze bijdrage kan mogelijk daartoe een eersteaanzet zijn. L i t e r a t u u r1. NEN 6720, Voorschriften Beton, constructieveeisen en rekenmethoden (VBC 1995), 2edruk, sep-tember 1995 + wijzigingsblad (a2/nl) van december2001.2. Bouwdienst Rijkswaterstaat, Hoofdafdeling DrogeInfrastructuur, Afdelingen Bruggenbouw, Richtlij-nen voor het ontwerpen van Betonnen Kunstwer-ken (ROBK) versie 5, 20 juni 2002.cement 2004 3 69Tabel 1 | Splijtkrachten berekend met de VBC en ROBK en de resultaten uit een eindige-elementenmethodeberekening.voorbeeld VBC ROBK EEMM z NsplijtM z NsplijtNsplijt[kNm] [m] [kN] [kNm] [m] [kN] [kN]1 kop 53 0,22 244*) 53 0,22 244*) 248primair 60 0,24 250*) 60 0,24 250*) 269hoek - - - - - 27 21secundair - - - - - 540 02 kop - - - 106 0,22 488*) 60primair - - - 120 0,24 500*) 0hoek - - - - - 477 315secundair 37 500 6 6250 - - 9540 71243 kop - - **) 106 0,22 488*) **)primair - - - 120 0,24 500*) 0hoek - - - - - 27 45secundair 37 500 6 6250**) - - 540 7089*) Berekening met de in de toelichting van VBC art. 9.13.1 gegeven formules behorend bij figuur 110**) De kopsplijtkracht maakt in dit geval onderdeel uit van de veel grotere secundaire splijtkracht, die op dezelfde locaties en indezelfde richting optreedt