Het 'Schalensymposium 1961' te Delftdoor i . . W. van der VlugtU.D.C. 624.074.4.001.5,1961':061.3 (492.61)Schalensymposium, 1961, DelftInleidingBij de snelle cadans, waarmee congressen, symposia en colloquiaelkaar tegenwoordig afwisselen, bestaat het gevaar, dat er bijsommige van dergelijke gelegenheden niet veel nieuws tevertellen valt. Gelukkig was dit bij het symposium dat van 30augustus tot 2 september 1962 in Delft gehouden werd, niet hetgeval.Dit heeft verschillende oorzaken: In de reeks symposia en collo-quia, georganiseerd door de IASS, was dit het eerste symposium,dat geheel was gewijd aan research op het gebied van schaal-daken; het stond dan ook onder gemeenschappelijke auspici?nvan IASS en de RILEM. Bovendien had het organiserende comit?met prof. dr. ir. A. M. Haas als voorzitter en prof. ir. A. L.Bouma als secretaris, het initiatief enigszins uit handen van dedeelnemers genomen, door zelf de rapporteurs uit te zoekenen uit te nodigen, Waarbij een ruime verscheidenheid in nationa-liteiten en onderwerpen werd nagestreefd. Deze opzet garan-deerde dat over het geheel de bijdragen van een redelijk gehaltewaren. Het feit dat het resultaat desalniettemin wel enige ver-schillen in niveau vertoonde, accentueert nog eens het nut van eendergelijk symposium. De derde oorzaak is wel de belangrijksteen vormt dan ook als het ware het hoofdmotief ?n dit verhaal.Het is de nauwe band tussen research en schaalconstructies:enerzijds zijn vele schaaldaken moeilijk of in het geheel niet tevangen in een nauwkeurige mathematische analyse, zodat menbij nieuwe vormen aangewezen is op modelonderzoek;anderzijds wordt de modeltechniek door de vorm van de schalenen door de samengestelde krachtswerking steeds met nieuweproblemen geconfronteerd.In grote lijnen kunnen de onderwerpen van het symposium danook in twee groepen verdeeld worden: de beschrijving en even-tueel de interpretatie van de beproevingsresultaten; daarnaastde behandeling van de verschillende problemen van de model-techniek, zoals het materiaal en de vervaardiging van de model-len en de meettechniek.BeproevingsresuItatenNu de berekening van de cirkelcilindrische schalen althans inhet elastische gebied allengs gemeengoed is geworden, is hetonderzoek naar de spanningstoestand bij normale belastingpraktisch geheel gericht op de dubbelgekromde schalen. Uithet groot aantal bijdragen, gewijd aan de hyperbolische para-boloide blijkt, hoezeer deze vorm in het centrum van de belang-stelling staat.Helaas zijn de meeste onderzoekingen te incidenteel - meestalgericht op een bepaald ontwerp - om er algemeen geldige con-clusies aan te kunnen ontlenen. Zo beschrijft de Italiaan Laulettaenkele proeven op modellen van relatief dikke schalen van de inItali? veel toegepaste combinatie baksteen en beton. Hij vindt,dat de belasting in hoofdzaak wordt opgenomen door druk, on-geveer volgens de diagonalen (fig. 1). Dit is bij het onderzochtesamenstel van hyppars ook wel te begrijpen, omdat men nufig. 1. belastingen worden in hoofdzaak opgenomen door druk vol-gens de diagonaleneenmaal in membraantoestand druk krijgt in de randverstijvingendie een gedeelte van deze drukkracht als randstoring weerafschuiven naar de schaal. Bij de betrekkelijk buigingsstijve schaalvan Laulettazal dit percentage echter aanzienlijk groter zijn danbij dunne schalen. Dit bleek uit de bijdrage van Rowe van deEngelse Cement & Concrete Association: in een dunne schaal vanhetzelfde type bleek in het midden van de schaal de trek zelfsiets te overheersen.De naar mijn mening meest systematisch opgezette proeven ophyperbolische parabolo?den, waarover gerapporteerd werd,waren verricht door de Engelsen Munroe en Ahuja. De eersteproef was opgezet om de analytische berekeningsmethode tetoetsen aan het beproevingsresultaat. Men had hiertoe eenhyppar gekozen, begrensd door hoofdparabolen. Deze begren-zing werd gevormd door dunne verticale schotten. Wanneermen deze randelementen in hun vlak oneindig stijf kan veronder-stellen en loodrecht daarop oneindig slap, levert een benaderendeberekening van de menbraanspanningen en buigende momentengeen grote problemen. Daarna heeft men nog een hyperbolischeparaboloide onderzocht, begrensd door rechte lijnen.De conclusies van het onderzoek waren, dat de membraan-spanningen een groter aandeel in de krachtswerking hadden,dan uit de analytische berekening volgt en dat de inklemmingvan de schaal in de hoeken ten gevolge van de torsiestijfheid vande randelementen groter bleek te zijn dan verwacht was.Bij de tot nu toe besproken proeven was het doel in de eersteplaats: onderzoek naar de spanningen en vervormingen onder nor-male belasting. Het spreekt welhaast vanzelf, dat hiernaastproeven besproken werden, waarbij het gedrag van de schaalbij scheurvorming en breuk was onderzocht. Hiertoe warenspeciaal de cilindrische schalen uitverkoren: het inzicht in d?krachtswerking in het elastisch gebied kan namelijk van grootnut zijn bij het interpreteren van het gedrag bij breuk. In defoto 2. het nabootsen van een gelijkmatig verdeelde belasting op eenhyperbolische paraboloidefoto 3. schaalmodel van een hyppar, begrensd door hoofdparabolen12 Cement 14 (1962) Nr. 1eerste plaats moet hier de serie proeven genoemd worden, bijIBBC verricht door prof. Bouma, Van Riel, Beranek en VanKoten. Zonder overdreven chauvinisme kan men zeggen, datdeze proevenserie het meest systematische onderzoek vormde,waarover op het symposium gerapporteerd werd. Hoewel hetgrootste gedeelte van de resultaten reeds gepubliceerd is, zalhet rapport hier in het kort besproken worden.Het onderzoek werd verricht op een serie van 11 tonschalenmet randbalken, alle met dezelfde doorsnede. Van 7 modellenvan dezelfde lengte bedroeg de verhouding van de breedte totde lengte 1 : 2,5, zodat men kan spreken van redelijk lange schalen.Het doel van de proef was in de eerste plaats de invloed te be-palen van de hoeveelheid, de aard (normaalstaal, hoogwaardigstaal of voorspanning) en de plaats van de wapening.Zo waren er schalen, waarbij de dwarswapening voor het op-nemen van het negatief moment in de top van de schaal ontbrakof tot de helft was gereduceerd of in het midden van de schaalwas gelegd. Bij een van de schalen was de langswapening onder inde randen geconcentreerd. Onder de vier modellen met afwij-kende lengte was ??n langere schaal met voorspanning in derandbalk en in de eigenlijke schaal. Bij de proeven werden rek enkrommingen in de schaal en de randbalken gemeten (foto's 4 en 5).E?n van de belangrijkste conclusies van het rapport is wel, datmen niet straffeloos de dwarswapening voor het negatief momentin de schaal mag reduceren. Wanneer men dit doet ontstaat ernamelijk al spoedig een scheur en een plastisch scharnier in detop van de schaal. Bij verhoging van de belasting kan het negatiefmoment hier niet toenemen. De dragende werking van deschaal moet zich dan meer naar de randbalken concentreren metals gevolg verkleining van de constructie-hoogte, beschikbaarvoor het langsmoment, dus hogere spanningen in de langswape-ning. Bovendien ontstaan door dit alles positieve dwarsmomentendicht bij de randen van de schaal en zodra zich hier ook eenplastisch scharnier gaat vormen, betekent dit het einde van deschaal. De dwarswapening vormt dus een integrerend onderdeelvan de sterkte in lengterichting. Men heeft het hele verschijnselook analytisch berekend door de invloed van een plastischscharnier in de top van de schaal op de spanningsverdeling tebepalen. De overeenkomst tussen berekening en experimentwas bijzonder goed.Een andere conclusie is, dat het concentreren van de langs-wapening onder in de randbalken de beste resultaten geeft. Derapporteurs vragen zich dan ook af, of het niet re?ler-en econo-mischer- is evenals bij een balk te rekenen met een gescheurdedoorsnede en aan de hand daarvan de vereiste wapening onderin de randbalk te bepalen.De voorgespannen schaal leverde gegevens over de invloed vande voorspanning in de schaal zelf op het dwarsmoment. Doordatde voorspankabels zijn opgebogen in het vlak van de schaal gevenzij een neerwaartse druk loodrecht op de schaal. Hierdoor ont-staan positieve dwarsmomenten in het gebied van de kabels ennegatieve momenten in de top, die beslist niet verwaarloosdkunnen worden.Een geheel andere benadering van het breukverschijnsel kwamvan de Pool Sawzuk. Terwijl prof. Bouma en de zijnen beginnenmet een proevenserie en de resultaten daarna interpreteren,waarbij ze de elasticiteitsleer nog toepassen in de gedeelten vande schaal buiten de plastische scharnieren, gooit Sawzuk deelasticiteitsleer geheel overboord en begint hij met een theore-tische breukanalyse, welke hij naderhand toetst aan enkeleproeven. Hij gaat uit van de bekende breuklijnentheorie voorvlakke platen en verheft die tot de drie dimensies, waarin deschaalconstructies verkeren. Nu geeft de breuklijnentheorievoor vlakke platen in het algemeen betrouwbare resultaten,bovendien is zij een welkom toevluchtsoord in die gevallen,waarin de elasticiteitstheorie geen uitkomst biedt, maar in deruimte blijkt alles toch wel veel gecompliceerder te zijn.Zo heeft men niet slechts te maken met ??n breukmomentlangs een bepaalde lijn, maar met breuk door een combinatievan buiging, normaalkracht en afschuifkracht, welke combinatieover de lengte van de breuklijn nog kan vari?ren. Bovendiengaat Sawzuk uit van de onderstelling, dat de vervormingen in dedelen van de schaal tussen de breuklijnen verwaarloosd kunnenworden tegenover de vervorming in de breuklijnen. Voor devlakke plaat waar iedere doorsnede dezelfde hoogte heeft,mag dit als uitgangspunt aanvaardbaar zijn, bij een schaalcon-structie waarin een gebogen doorsnede een veel grotere stijfheidoplevert dan de buigingsstijfheid van de eigenlijke schaal, is dezeonderstelling in haar algemeenheid wel erg boud.De overeenkomst tussen berekening en beproevingsresultaatis voorlopig dan ook vrij teleurstellend, maar het is op zich zelffoto 4. scheurvorming bij tonschalen ten gevolge van gereduceerdedwarswapening voor het negatieve momentverheugend, dat men ook in deze richting denkt, omdat dit hetinzicht in de bezwijk-belasting, vooral bij schalen met vreemdevormen en bijv. sparingen, op den duur misschien kan verhelderen.Hiermede zijn in het kort de proeven besproken, die tot doelhadden het onderzoeken van de schaal bij normale belastingen bij breuk.Een ander punt, dat aan de orde kwam en waarover een leven-dige en interessante discussie ontstond, was de stabiliteit. Aan-leiding hiertoe was een bijdrage van de Oostduitser Schmidt,die een reeks van 8 proeven had ondernomen op aluminiummodellen van translatieschalen.Door het vari?ren van de kromtestralen en de dikte van de schaaltrachtte hij de invloed hiervan op de kritieke belasting vast testellen. Bovendien werden de plaatselijke afwijkingen van denagestreefde dikte en krommingen gemeten. Schmidt was niettevreden met het uitsluitend bepalen van de kritieke belasting,hij wilde ook een indruk hebben waar het plooiverschijnselbegint en hoe het zich uitbreidt over de schaal. Nu speelt bijhet plooien de metamorfose van gaaf model tot wrak zichaf in minder dan een tiende seconde. Schmidt heeft daaromgebruik gemaakt van een camera met hoge snelheid die 1000beelden per seconde maakte. Foto 6 laat de proefopstelling zien.De reeks wazige foto's met deze camera gemaakt, die Schmidtliet zien, toonden niet alleen, hoe snel een 'plooi' zich over deschaal uitbreidt, maar bovendien hoe moeilijk het is een duidelijkbeeld van het hele verschijnsel te krijgen.Niet zozeer de proeven zelf van Schmidt gaven aanleiding totdiscussie als wel zijn poging om de kritieke belasting voor ver-schillende schaalvormen te vangen in de algemene formule E.d2Pkr = -5----------5-. waarin d = dikte van de schaal, R1, en R2 debeide hoofdkromtestralen zijn en een constante moet zijn.De moeilijkheid is nu juist dit laatste te realiseren.foto 5. bezwijken van een tonschaal met gereduceerde dwarswape-ning ten gevolge van overbelastingCement 14 (1962) Nr. 1 13onderzoeker de onderzochteschalenvormtheoretisch ofbeproevingsresultaat waarde voor inPkr = ?? 5--5- met r = 01. Zoelly, Schwerin, M?ller bolschaal theoretisch 1,1562. . K?rm?n/Tsien bolschaal theoretisch 0,36523. Friedrichs bolschaal theoretisch 0,94. Tsien bolschaal theoretisch 0,3125. Muschta i/Surkinr bolschaal theoretisch 0,346. Mehmel >0,527. Schubiger (Torroja) beproevingsresultaat 0,0535 ? 0,06958. K?ppel/Jungbluth stalen bol chaals beproevingsresultaat 0,1267 ? 0,2799. Feodosjew bolschaal theoretisch 0,32 ? 0,2010. Csonka elliptische paraboloide beproevingsresultaat 0,0611. Schmidt translatieschaal (alumin.) beproevingsresultaat 0,32 ? 0,15 ? 0,20kritische belasting op koepelschalenWanneer men namelijk de resultaten van theoretische analysesen van proeven van verschillende onderzoekers vergelijkt, vindtmen een opvallend grote variatie in de waarden van (zie boven-staand staatje).Nu moet hier direct bij gezegd worden, dat de spreiding van 0,05?1,15 een volkomen vertekend beeld geeft. De hoge waarden zijnalle het resultaat van theoretische benaderingen, waarbij geenrekening wordt gehouden met vormveranderingen van hogereorde. Het is bekend, dat deze vormveranderingen, die het zgn.'doorslaan' van de schaal veroorzaken, de kritieke belastingaanzienlijk reduceren. Anderzijds wees de Westduitser Doganoffer op, dat de lage waarden van 0,05 ? 0,07 aan bijzondere om-standigheden te wijten waren, zoals zeer slechte uitvoering envormverandering van de randbalk bij een uitzonderlijk vlakkeschaal. Bovendien toonde Doganoff aan, dat het verschil uit-maakt, of de belasting in gelijke mate door membraanspanningenin twee richtingen kan worden gedragen of dat de drukspanningin ??n richting overheerst.Bij een translatieschaal op een rechthoekig grondvlak zal hetplooiverschijnsel bijv. beginnen dicht bij een lange rand, waar denormaalkracht loodrecht op deze rand klein is en de belastingdus grotendeels door de normaalkracht evenwijdig aan de randwordt gedragen.De conclusie van dit alles is, dat het op zichzelf al een hachelijkeonderneming is te trachten het probleem van de stabiliteit tevereenvoudigen tot een algemene formule voor de kritieke be-lasting. Wil men dit toch doen, dan moet men er op bedachtzijn, dat de waarde van door randinvloeden in het algemeenterug kan lopen van ca. 0,32 tot ca. 0,12 ? 0,15.In het staatje van kritieke belastingen staat achter de naam vanprof. Mehmel de waarde > 0,52. Het teken > wijst er op, datprof. Mehmel, wiens proef ook een bijdrage voor het symposiumvormde, met zijn belastingapparatuur te laag gemikt had endat men de schaal dus niet tot plooien heeft kunnen brengen.Dat is hem niet kwalijk te nemen, wanneer men bedenkt, datde waarde van = 0,52 aanzienlijk hoger ligt dan de theore-tische waarde (inclusief doorslaan van de schaal) van ca. 0,32.Het is dus mogelijk dat door een bijzonder nauwkeurige uit-voering van de proef het doorslaan vermeden is. De schaal ver-keert dan als het ware in een toestand van instabiele stabiliteit.In de praktijk mag men daar natuurlijk niet op vertrouwen.De onderzoekingen op het gebied van schaaldaken behoeven nietuitsluitend gericht te zijn op het gedrag van de schaalconstructiezelf. Zo kan de windbelasting een belangrijk aandeel hebben in detotale belasting en hierover is tot nu toe maar weinig bekend.Het was daarom interessant twee Engelsen te horen rapporterenover proeven in een windtunnel, waarbij men getracht had dewindbelasting te meten door middel van een rooster van kleinegaatjes in het modeloppervlak, die via buisjes in verbindingstonden met de meetapparatuur. Helaas staan deze proevennog in een beginstadium zodat er weinig conclusies uit te trekkenzijn. Maar het staat wel vast, dat de gangbare voorschriften niettoereikend zijn voor bijzondere gevallen, waarin bijv. de hogepunt van een hyperbolische paraboloide onbeschut aan de windis blootgesteld.De windbelasting is d??rom zo belangrijk, omdat vele schaal-daken wel heel geschikt zijn voor het dragen van een gelijkmatigverdeelde belasting, zoals het eigen gewicht, maar veel minderbehaaglijk reageren op een onregelmatige belasting zoals doorwind. Een duidelijke illustratie hiervan gaf een proef van deCement & Concrete Association op een samenstel van vierhyppars op ??n poot (zgn. omgekeerde paraplu).Het model werd wel niet op wind belast maar achtereenvolgensonderworpen aan een gelijkmatig verdeelde belasting van 275kg/m2op het hele oppervlak en daarna aan een asymmetrischebelasting van 275 kg/m2op ??n helft en 170 kg/m2op de anderehelft. De doorbuiging van de rand bleek -- na eliminatie van deinvloed van de buiging in de kolom -- in het tweede geval tienmaal zo groot te zijn als in het eerste.FilosofieNa dit overzicht van de belangrijkste beproevingsresultaten, dieop het symposium ter sprake kwamen, in het kort iets over eenander facet van het research-werk, dat niet direct het model-onderzoek betreft, maar bijzonder belangrijk is voor het inzichtin en de ontwikkeling van schaalconstructies. Men zou het defilosofie in de research op het gebied van schaalconstructies kun-nen noemen. Voor een wetenschappelijk ingesteld iemand iseen onderwerp al spoedig dood, wanneer er niet over gefiloso-feerd kan worden. Gelukkig bieden de schaaldaken hiertoe nogvolop gelegenheid.Dit filosoferen kan bijv. bestaan uit het ontwikkelen van nieuwetheorie?n - het werk van Sawzuk is daar een voorbeeld van --of uit het zoeken naar nieuwe, zo ideaal mogelijke vormen. Opdit laatste gebied is het aantal mogelijkheden natuurlijk oneindiggroot en het resultaat hangt geheel af van wat men onder ideaalverstaat.De Oostduitser R?hle bijv. gaat er van uit, dat zijn schaal alsbalk moet fungeren, dus een bepaalde lengte moet overspannen.foto 6. proefopstelling bij onderzoek translatieschalen14 Cement 14 (1962) Nr. 1Hij komt dan tot zijn favoriete dubbelgekromde golfschalen,die een grote buigsterkte koppelen aan een hoge mate vanstabiliteit.Andere onderzoekers baseren zich op de veronderstelling, dateen schaal alleen dan volmaakt gezond is, wanneer in beiderichtingen een centrische druk werkt. Men kan dan de vorm optwee manieren vinden: of wel theoretisch of wel praktisch dooreen vlies te spannen tussen vaste punten of vaste lijnen. Keertmen de vorm van het vlies om, dan heeft men een schaalvorm,waarin bij gelijke randvoorwaarden uitsluitend centrische drukheerst.Nu is niet iedereen filosoof en tegen dit tweede uitgangspuntzijn dan ook wel bezwaren aan te voeren. Ten eerste degradeertmen het gewapend beton tot een materiaal, dat uitsluitend drukmag opnemen, ten tweede verplaatst men de moeilijkhedennaar de rand van de schaal. Een dun licht vlies kan nog wel een-voudig door enkele staven langs de randen gedragen worden,maar in werkelijkheid moeten de randliggers wel bijzonder stijfzijn, wil men tot de gewenste spanningsverdeling komen. Eendergelijke opzet zal dus slechts in uitzonderingsgevallen eengoede oplossing geven.Op het symposium kwam nog even een andere 'filosofie' tersprake. Het is de theorie van de rekloze verbuiging, ontwikkelddoor prof. Bouma, ten tijde van het symposium nog te jongom al ten doop te worden gehouden. Zeer in het kort komt dezetheorie hierop neer:Een dunwandige schaal bezit op zichzelf bijzonder weinig stijf-heid; een belasting kan pas behoorlijk worden opgenomen,wanneer de rekstijfheid van de schaal gedwongen wordt aan dekrachtswerking mee te werken.Deze dwang tot samenwerking tussen 'plaat' en 'schijf' moet inhet algemeen van buitenaf worden opgelegd, dat wil zeggen doorde stijfheid van de randliggers. Geven de randen te weinig stijf-heid, dan zal de schijfwerking zich door verplaatsingen bij deranden aan zijn taak onttrekken met als gevolg grote buigendemomenten.Zeer vereenvoudigd is het probleem te vergelijken met eenboog: zolang beide steunpunten een horizontale kracht kunnenopnemen, wordt de belasting grotendeels door de boogwerkingopgenomen. Werkt een van beide als rol, dan doet de boog-werking niet mee.Met de theorie van prof. Bouma zal het --naar men hoopt--mogelijk zijn snel te beoordelen of een schaalconstructie metbepaalde randverstijvingen voldoende stijfheid bezit om debelasting zonder grote buigende momenten --en dus grote ver-vormingen-- te kunnen dragen.ModeltechniekTen slotte enkele aspecten van de uitvoering van modelproeven.Allereerst het materiaal van het model. Zoals reeds gezegdstellen de schaalconstructies de modelonderzoekers voor veleproblemen en ??n hiervan, zij het niet inherent aan schaal-constructies, is wel de tijd.Het komt namelijk dikwijls voor, dat de ontwerper van eenongewone schaalvorm snel een globale indruk wil hebben, ofhet ontwerp wel te verwezenlijken is, soms ook of de benaderendeberekening, die hij heeft toegepast, wel verantwoord is. DeSpanjaard Benito propageert voor zulke gevallen kleine onge-gewapende gipsmodellen, die wel geen erg nauwkeurige resul-taten geven, en bijv. voor breukproeven volkomen ongeschiktzijn, maar die snel en goedkoop te maken zijn. Een dergelijkemodelproef, inclusief het maken van het model vergt slechtsenkele weken tegenover enkele maanden voor een proef metmicrobeton (foto's 7-8 en foto 9 (blz. 26).Over het algemeen was de voorkeur voor microbeton en dievoor kunstharsen vrij gelijk verdeeld. Vanzelfsprekend hangt dekeuze nauw samen met het doel van de proef: microbeton bijvoorbeeld is nog steeds het aangewezen materiaal voor breuk-proeven.Twee medewerkers van prof. R?sch: Hergenr?der en St?ckl,waarschuwden tegen het gebruik van microbeton, maar hunargumentatie is wel aanvechtbaar. St?ckl heeft proeven gedaanop betonnen prisma's, die hij zowel centrisch als excentrischbelastte. Uit een vergelijking van de vormveranderingen leiddehij af, dat het buitenste laagje beton niet, althans in geringeremate, meedoet aan de krachtswerking. Voor gewoon beton meteen maximum korrelgrootte van 1,5 cm zou de dikte van ditlaagje 3-10 mm bedragen. Het is duidelijk, dat, wanneer zijnconclusie juist is, de resultaten van proeven met microbetonniet zonder meer ve elijkbaar zijn met de resultaten van eenrgCement 14 (1962) Nr. 1foto 7. detail van foto 8analytische berekening, waarbij men met de volle doorsnederekent. Maar men kan zich afvragen, of deze grenslaag bij micro-beton, waar alles op kleine schaal werkt, niet evenredig dunnerzal zijn. In dat geval geeft microbeton de beste overeenstemmingmet de werkelijkheid en heeft het geen zin zijn toevlucht tenemen tot kunstharsen.De problemen, waarmee het modelonderzoek door de schaal-constructies geconfronteerd wordt, komen vooral duidelijk aande dag bij die meettechnieken, waarbij op bijzondere wijze vanlichtstralen gebruik gemaakt wordt, te weten de spannings-optische methode en de moir?-methode.Bij de normale spanningsoptische bepaling van de krachtswerkingin een schijf, waar over de gehele dikte dezelfde spanningenheersen, krijgt men door middel van doorlichten met gepolari-foto 8. gipsmodel van kegelvormig fundament (Oost-Duitsland)15seerd licht twee gegevens: de richting van de hoofdspanningen het verschil in hoofdspanningen. Gewapend met de evenwichts-voorwaarde kan men daarna van de randen uit, waar de span-ningen bekend zijn, het gehele oppervlak van de schijf binnen-trekken. Bij een schaal is dit alles niet zo eenvoudig. Zo heeftmen bijvoorbeeld geen constante richting van de hoofdspanningenover de dikte van de schaal, zodra men een combinatie van buigingen normaalkrachten heeft met verschillende hoofdrichting.Bovendien heeft men niet genoeg aan twee gegevens -met deevenwichtsvoorwaarde mee drie- maar heeft men er in totaalzes nodig: drie voor de normaalspanningen en drie voor debuigende momenten. Men heeft dit probleem aangepakt dooruitsluitend de buitenste lagen van het model spannings-optischgevoelig te maken en door een spiegelende middenlaag aan tebrengen.Daarmee verkrijgt men vier gegevens; de twee ontbrekende zijndoor de 'gevoelige' combinatie van normaalkrachten en momen-ten slechts bij uitzondering nauwkeurig te verkrijgen, eigenlijkalleen, wanneer de spanningen door de momenten een onder-geschikte rol spelen.Tot slot een Nederlandse bijdrage van Prof. De josselin de jong,die op bijzonder ingenieuze wijze getracht heeft de door Ligten-berg ontwikkelde moir?methode bruikbaar te maken voorschaalconstructies. De normale moir?methode, gebruikt voor hetonderzoek van bij voorbeeld platen, berust op het gebruik vanhet vlakke model als spiegel. Nu is het bijzonder moeilijk om eengebogen spiegel dienstbaar te maken voor dit onderzoek. Prof.Dejosselin de Jong is daarom afgestapt van het idee van terug-kaatsing en heeft gezocht naar een methode om de breking vanhet licht door een model te gebruiken: een lichtstraal die dooreen vlak model van constante dikte gaat, verandert uiteindelijkniet van richting, ongeacht de hoek van inval (zie fig. 10).Bij een gebogen model van constante dikte is dat niet geheel juist,maar het zou te ver voeren hier uit te weiden over de invloed, diede vorm van het model op de meetresultaten heeft. Hier volgtdan ook slechts een zeer vereenvoudigde en niet exacte voor-stelling van zaken.Neemt men niet een enkel model maar een tweeling model metdaartussen een stof, waarvan de brekings-index afwijkt van deomringende stof, dan kan men het geheel als lens laten werkendoor de twee modellen tegengesteld te belasten (zie fig. 11).Een bepaalde hoekverandering in een punt van het model zal daneen bepaalde deviatie van de lichtstraal door het beschouwdepunt ten gevolge hebben. Het resultaat is vergelijkbaar met defoto's bij een normaal moir?-onderzoek: de moir?-Iijnen zijnfoto 9. gipsmodel uit Spanjeisoclinen, dus zij geven de punten aan van gelijke hoekverdraaiingin een bepaalde richting.Een van de bezwaren van de beschreven methode is, dat het vo-lume tussen de twee modellen niet constant is. Men heeft dus ge-zocht naar een methode, waarbij de twee modellen in dezelfderichting belast kunnen worden. De opzet is daarbij iets gewijzigd:Men laat het licht onder een bepaalde hoek door het dubbelemodel vallen. Een lichtstraal komt bij voorbeeld in punt hetmodel binnen en verlaat het in punt Q' (zie fig. 12). Wordt hettweeling model door belasting gekromd, dan zal deze krommingeen verschil in hoekverdraa?ng geven in de punten en Q' metals gevolg een wijziging van de richting van de uittredende licht-straal. Terwijl bij de eerste methode dus geldt: hoe groter dehoekverdraa?ng, des te groter de deviatie, wordt dit bij detweede methode: hoe sterker de kromming, des te groter dedeviatie. De moir?-Iijnen zijn hier dan ook geen isoclinen, maarisoflexen en isotorsen: zij geven de punten met gelijke krommingin een bepaalde richting.Zoals reeds is opgemerkt is de juiste toedracht veel gecompli-ceerder; bovendien is dit onderzoek nog maar jong en zijn de toe-passingsmogelijkheden dus nog moeilijk te beoordelen.Uit dit korte overzicht van het symposium te Delft moge blijkenwelke problemen de schaalconstructies het modelonderzoek be-zorgen en vooral met hoeveel fantasie en vindingrijkheid de mo-delonderzoekers elk nieuw probleem attaqueren, en tenslotteook hoezeer deze instelling bij het researchwerk bepalend is voorhet inzicht in en de ontwikkeling van nieuwe schaalvormen.Want ook hier geldt hetgeen Felicien Marceau ons leert in zijntoneelstuk 'Het Ei': 'men is er pas, wanneer men weet door tedringen tot binnen in de schaal'.f?e. 12. lichtstraal valt onder een bepaalde hoek op een dubbel modelfig. 10. lichtstraal, die door een vlak model van constante dikte gaat16fig. 11. tweeling-model met daartussen een stof met afwijkendebrekingsindexCement 14 (1962) Nr. 1