O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor spanningcement 1999 5 79Kolommen worden bij voorkeur voorgespannen alsde drukkracht kleiner is dan de zogenoemde opti-male normaalkracht. Door de voorspanning zal descheurvorming dan beperkt worden en zullen hetdraagvermogen en de stijfheid toenemen. Dezeoptimale normaalkracht is globaal gelijk aan [1]:N'd= (0,4 ? 0,5) Ab? f 'b(1)Deze kolommen vinden we bijvoorbeeld in hallen,dakopbouwen en geluidsschermen. Voor de dimen-sionering van de doorsnede en de voorspanwape-ning van deze kolommen bepalen we achtereenvol-gens de vervorming, de stijfheid, het draagvermo-gen en de scheurvorming. De volgende ontwerp-procedure is dan aan te houden:- schematiseer de constructie en bepaal debelastingen;- bepaal de afmetingen van de kolom inovereenstemming met de vervormingseis;- bepaal voor de uiterste grenstoestand hettweede-orde-effect en het draagvermogen;- bepaal de voorspanning.V o o r b e e l dMet een voorbeeld wordt het ontwerpen van voor-gespannen kolommen toegelicht. De constructievan een industri?le laagbouw (veiligheidsklasse 2)bestaat uit portalen met een hart-op-hart afstandvan 5,4 m. Deze portalen zijn samengesteld uit eengeprefabriceerde ligger met een overspanning van18 m en twee geprefabriceerde kolommen met eenlengte van 6,0 m. De kolommen zijn scharnierendmet de ligger verbonden en ingeklemd in een fun-deringspoer. Op verzoek van de opdrachtgevermoeten de kolommen zo slank mogelijk gedimen-sioneerd worden.BelastingenOp het portaal grijpen de volgende belastingen aan:dakbedekking en isolatie 0,2 kN/m2dakplaten 1,6 kN/m2op de balk 1,8 x 5,4 = 9,7 kN/meigen gewicht van de balk 4,9 kN/mtotaal permanente belasting 14,6 kN/mDoor de windbelasting wordt op het portaal eenhorizontale kracht van 17,0 kN uitgeoefend, zodatper kolom een kracht Hrep= 17/2 = 8,5 kN naar defundering moet worden afgedragen (fig. 1).SchematiseringDe kolom wordt geschematiseerd als een verendingeklemde staaf, aan de top belast door een hori-zontale en een verticale kracht. De rotatie van depoer wordt bepaald door de grondgesteldheid, depalen en de paalafstand. Eenvoudigheidshalvenemen we aan dat de poer en de palen zo gedi-mensioneerd worden dat de scheefstand ten gevol-ge van de rotatie van de fundering kleiner is dan dehelft van de maximaal toegestane scheefstand. Descheefstand van een industrieel gebouw met eenverdieping mag volgens NEN 6702 niet meer zijndan l/150 (l is de hoogte van het gebouw). De kolommag nu niet meer dan l /(2 ? 150) vervormen, of-tewel u < l /300.Het ontwerpen vanvoorgespannen kolommenir. M.W. Kamerling, Technische Universiteit Delft, faculteit der Bouwkunde1 | Ongeschoord portaal: geprefabriceerde ligger op twee kolommen die momentvast metde fundering zijn verbondenVoor de dimensionering van betonkolommen zijn naastesthetische randvoorwaarden vooral draagvermogen,stijfheid, vervorming en scheurvorming bepalend. Maarwelk aspect is voor de dimensionering het belangrijkst?Een ervaren constructeur weet voor een bepaalde con-structie welk aspect voor de dimensionering maatgevendis, maar in het algemeen, onafhankelijk van de toepas-sing, is deze vraag niet te beantwoorden. Daarom moetper geval worden onderzocht welk aspect bepalend isvoor de dimensionering. Overigens zijn de genoemdeaspecten niet onafhankelijk: de vervorming wordt doorde stijfheid en de stijfheid wordt door de scheurvormingbe?nvloed.O n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor spanningcement 1999 580Bepaling van de afmetingenDe vervorming van de kolom door een horizontalekracht die aan de top aangrijpt, kunnen we bereke-nen met:n Hrep? l3u = __ [ ______ ] < umaxn?1 3 (EI)rep(2)In deze formule wordt het tweede-orde-effect ver-disconteerd in de vergrotingsfactor n/(n-1). Hetknikgetal n is gelijk aan het quoti?nt van de Eulerseknikkracht en de belasting: n = N'cr/N'rep.2? (EI)repn = ______________N'rep? lc2(3)In de formule voor de vervorming speelt de stijf-heid een belangrijke rol, voornamelijk bepaald doorde scheurvorming. De stijfheid van een kolom ismaximaal bij een zodanige voorspanning, dat dezeongescheurd is in het gebruiksstadium. De stijf-heid van een rechthoekige, ongescheurde kolomkunnen we berekenen met:(EI)rep= E'b? b ? h3/12 (4)Omdat de windbelasting een kortdurende belastingis, mogen we voor de dimensionering rekenen meteen ongereduceerde elasticiteitsmodulus. Voor B 45is: E'b= 33500 N/mm2.Eenvoudigheidshalve schatten we eerst de vergro-tingsfactor: n/(n-1) = 1,1. Rekening houdend meteen rotatie van de fundering beperken we de ver-vorming van de kolom tot:umax= l/300 = 6000/300 = 20 mm.Vervolgens berekenen we de benodigde stijfheid ende afmetingen van de kolomdoorsnede:1,1 ? 8500 ? 60003umax = ________________< 203 ? 33500 ? b ? h3/12Neem voor de kolomdoorsnede 350 x 350 mm2.De afmetingen van de kolom kunnen ook wordenbepaald met een grafiek (fig. 2). Met deze grafiek is,nadat het product van het moment en de kolom-lengte Mrep? l is berekend, voor verschillende waar-den van de vervorming de dwarsafmeting h van dekolom te bepalen.Voor Mrep? l = 1,1 ? 8,5 ? 6 ? 6 = 337 kNm vinden wevoor u l/300: h = 350 mm.C o n t r o l e v a n h e t d r a a g v e r m o g e nBerekening van de normaalkrachtUitgaande van de kolomafmetingen kunnen we denormaalkracht uit de permanente belastingen bere-kenen:permanente belasting: 14,6 ? 18,35/2 = 134 kNeigen gewicht kolom: 6 ? 0,35 ? 0,35 ? 24 = 17,6 kNtotale permanente belasting 151,6 kNBepaling van het tweede-orde-effectOm te controleren of de kolom sterk genoeg is omde belastingen af te voeren, bepalen we de belastin-gen inclusief het tweede-orde-effect. Het maximalemoment in de kolom berekenen we uit:nMd= ___ Hd? l3(5)n?1n is het knikgetal; voor de uiterste grenstoestandberekenen we n uit:2? (EI)dn = __________ (6)N'd? lc2Omdat de stijfheid van de kolom in de uiterstegrenstoestand kleiner is dan die in de gebruikstoe-stand en de rekenwaarde van de belasting groteris, is het tweede-orde-effect voor de uiterste grens-toestand groter dan voor de gebruikstoestand.De kolom is zeer slank gedimensioneerd, zodat hettweede-orde-effect wel eens aanzienlijk zou kunnenzijn. Het tweede-orde-effect kunnen we reducerendoor de kolom zodanig voor te spannen, dat deze inde uiterste grenstoestand niet scheurt. Eventueelkunnen we later bij de uitwerking besluiten scheur-vorming in de uiterste grenstoestand te accepteren;wellicht dat de voorspanning dan enigszins vermin-derd kan worden.De rekenwaarde van de stijfheid in de uiterstegrenstoestand van de ongescheurde kolom kunnenwe berekenen met:2 | Ontwerpgrafiek voor het dimensioneren van ongeschoorde voorgespannen kolommen,die ter plaatse van de top worden belast met een horizontale krachtkolomdoorsnede h ? h lengte lO n d e r z o e k & t e c h n o l o g i eVoor spanningcement 1999 5 81(EI)d= E'd? b ? h3/12 (7)De elasticiteitsmodulus van de ongescheurde door-snede kunnen we voor de uiterste grenstoestandbepalen met het voorgeschreven -?-diagram:E'b= f 'b/?'bu.Voor B 45 vinden we:E'b= 27/0,0035 = 7714 N/mm2. Voor een gescheur-de kolom kunnen we de stijfheid bepalen met eenmoment-krommingdiagram of met de fictievewaarde voor de elasticiteitsmodulus volgens VBC-tabel 15.Voor de ongescheurde kolom vinden we metEI = 7714 ? 3504/ 12; N'd= 1,2 ? 151600 N enlc= 2 ? 6000 mm:2? EI 2? 7714 ? 350 4/12n = ______ = __________________ = 3,6N'd? lc21,2 ? 151600 ? 120002De vergrotingsfactor is dan tamelijk groot:3,6/(3,6-1) = 1,4 Doordat de fundering niet onein-dig stijf is, zal het tweede-orde-effect door de rotatievan de fundering nog toenemen. Eenvoudig-heidshalve verwaarlozen we dit aspect bij de ont-werpberekening. Bij de definitieve controle moetdit wel meegenomen worden.Controle van het draagvermogenVervolgens controleren we het draagvermogen vande kolom voor de rekenwaarden van de belastingenmet de grafiek voor het uiterste draagvermogen(fig. 3).Nd1,2 ? 151600_____ = ___________ = 0,055Ab? f 'b350 ? 350 ? 27Md1,3 ? 1,4 ? 8,5 ? 6 ? 106________ = __________________ = 0,08Ab? h ? f 'b350 ? 350 ? 350 ? 27In de grafiek lezen we het wapeningspercentage af:0t= 0,4%:Ap= 350 ? 350 ? 0,4/100 = 490 mm2.De benodigde voorspankracht berekenen we met:P =Ap? fpw= 490 ? 1015 = 49735 N.B e p a l i n g v a n d e v o o r s p a n n i n gUit de controle van het draagvermogen volgdetevens de benodigde voorspanning. De voorspan-ning wordt niet alleen door draagvermogen, maarmede door stijfheid en scheurvorming bepaald.Voor de berekening in de uiterste grenstoestandwerd aangenomen dat de kolom ongescheurd is.De kolom mag volgens VBC 7.2.2 in de uiterstegrenstoestand beschouwd worden als niet gescheurdals de trekspanning in de kolom kleiner is dan degemiddelde treksterkte: max fbm(8)Voor B 45 vinden we in VBC-tabel 3:fbm= 3,3 N/mm2.De spanningen in de ongescheurde doorsnede kun-nen we lineair-elastisch berekenen. De spannings-controle luidt dan:N'pwN'dMd_ _____ _ ___ + ____ fbm(9)AbAbWBij deze constructie is de voorspankracht op dekolom gelijk aan de voorspankracht in het staal:N'pw= FpwMet de gegeven waarde voor de normaalkrachtNd= 1,2 ? 151600 N en het momentMd= 1,3 ? 1,4 ? 8,5 ? 6 kNm vinden we voor eendoorsnede van 350 x 350 mm2:Hieruit volgt: Fpw 1005 kNDe benodigde voorspanwapening volgt uit:Fpw= Ap? fpw(10)Uitgaande van een werkvoorspanning vanfpw= 1015 N/mm2vinden we voor de benodigdewapening:Ap= 1005000/1015 = 990 mm2; 0t= 0,81%.Om scheurvorming in de uiterste grenstoestand tevoorkomen moeten we het wapeningspercentage0tverhogen van 0,4% naar 0,81%. Voor het3 | Grafiek voor het dimensioneren van de voorspanwapening voor kolommen B 45;FeP 1860; d'/h = 0,2Fpw1,2 ? 151600 1,3 ? 1,4 ? 8500 ? 6000_ ____ _ __________ + _________________ + 3,3Ab350 ? 350 3503/6?O n d e r z o e k e & t e c h n o l o g i eVoor spanningcement 1999 582gebruik is het niet nodig dat de kolom ook in deuiterste grenstoestand ongescheurd is. Daar destijfheid van de kolom afneemt als de kolomscheurt en bij deze kolom het tweede-orde-effect alaanzienlijk is, moeten we voor deze constructiescheurvorming in de uiterste grenstoestand vermij-den. Om het tweede-orde-effect te beperken, moe-ten we de kolom zo voorspannen dat deze ook in deuiterste grenstoestand niet scheurt. Dit lijkt para-doxaal, de kolom wordt extra belast met een kunst-matige belasting om het tweede-orde-effect te ver-minderen. Omdat de kunstmatige belasting geeninvloed heeft op het tweede-orde-effect, maar welde stijfheid vergroot, is het vergroten van de voor-spanning wel degelijk zinvol, mits deze extra belas-ting met voorspanwapening wordt verkregen. Eennormaalkracht ten gevolge van de voorspanwape-ning heeft namelijk, anders dan een normaalkrachtdoor een belasting, geen invloed op het tweede-orde-effect. Vervormt de kolom, dan vervormt ookde wapening, zodat het aangrijpingspunt van dewapening ten opzichte van de as van de kolom nietverandert en dus geen tweede-ordemoment of ver-vorming optreedt. Wordt de kolom met een uit-wendige voorspankracht belast of wordt een voor-spanbelasting aangebracht met niet-aangehechtewapening, dan zal het tweede-orde-effect wel toene-men door de belasting.C o n c l u s i eMet de beschreven procedure kunnen we op een-voudige wijze de afmetingen en de benodigde voor-spanning bepalen van voorgespannen, ongeschoor-de betonkolommen. De lengte-breedteverhoudingvan de voorgespannen kolom in dit voorbeeld isslechts 6000/350 = 17, zodat het ruimtebeslaggering is. Uit de toename van de belasting door hettweede-orde-effect blijkt echter dat de constructievrij slap is, zodat met deze dimensionering degrens van het mogelijke wordt benaderd. sL i t e r a t u u r1. Kamerling, M.W., Voorgespannen drukstaven.Cement 1999, nr. 4.2. Kamerling, M.W., Het ontwerpen en berekenenvan voorgespannen kolommen, methoden voorhet ontwerpen en het bepalen van het draag-vermogen en de stijfheid van voorgespannenkolommen. Technische Universiteit Delft,afdeling der Bouwkunde.3. Kamerling, M.W., The design of prestressedconcrete columns. Paper FIP-congressChallenges for Concrete in the nextmillennium, 1998.4. Walraven, J.C en J.C. Galjaard, Voorgespannenbeton. BetonPrisma, 's-Hertogenbosch.PrijsvraagDe hier geplaatste foto toont een tafel die aan ??nzijde via de zijwand is verankerd in de vloer-constructie. Afmetingen: lengte 2,80 m, breedte1,20 m, hoogte 0,73 m. Het lange blad is niet onder-steund. Het korte blad is dikker.Wat denkt u, zou dat voldoende zijn om de tafelstabiel te maken? Of is er meer gebeurd om de tafelzijn functie van eettafel te laten vervullen?Laat uw creativiteit eens over de tafel gaan. Wij vragen u de bezwijkbelasting te berekenen.Daarbij beschouwen we de belasting voor het gemak als een puntlast die aangrijpt midden op het uiteindevan het lange tafelblad.Wie van de lezers de exacte belasting geeft of deze het best benadert, ontvangt een cadeaubon van 150,-.Twee andere inzenders die het dichtst in de buurt komen van de winnaar, ontvangen ieder een cadeaubonvan 75,-.Wij ontvangen uw oplossing graag voor 30 augustus. In het volgende nummer van Cement maken we dewinnaar(s) bekend en licht de constructeur zijn berekening toe.We wachten uw oplossingen gaarne af: Redactie Cement postbus 35325203 DM 's-Hertogenbosch.