ir.A.B.M. van der PlasirJ. van Leeuwen Het bela.st.inggevalwring.ing bij betonBeknopt overzicht van de werkzaamheden vanCUR-commissie A 15 'Wringing' 1)?zuivere1Schematisch verloop m.b.r, de combinatiesvan een buigend moment en een wring-moment, die tot bezw?ken leiden van eengegeven (gewapende) betondoorsnedeMsu = breukmoment bi] zuivere buigingMTU = breukmoment bij zuivere wringingMruCEoEIL.oc bezwijkenMBUbuigend moment1. InleidingWringing komt inde praktijk voor bij bijv.:randbalken van platen,??npotige viaducten,funderingsbalken waaronder de palen niet in de as van de balk staan,in het geval van dubbele buiging bij kolommenen stijve kernen, die niet symmetrisch zijn geplaatst in de plattegrond van gebouwen.Meestal komt wringing voor in combinatie met buiging, dwarskracht of normaalkracht.De commissie heeft de werkzaamheden echter beperkt tot zuivere wringing en een onderzoekingesteld naar het scheur- en breukmoment alsmede naar de wringstijfheid van rechthoekigebalken met volle doorsneden van ongewapend en gewapend beton. Bij de gewapende balkenzijn alleen balken met beugels en langswapening beschouwd.Het onderzoek omvatte:a. een litteratuurstudie, waardoor een inzicht werd verkregen in bestaande theorie?n omtrenthet gedrag van op wringing belaste balken en beschikt kon worden over een groot aantalresultaten van proeven;b. door de commissie opgestelde en door het IBBC-TNO uitgevoerde proevenseries;c. een toetsing van twee rekenmethoden aan de hand vanuit de litteratuur bekende beproe-vingsresuitaten en van recente proevenseries van het Stevin-Iaboratorium TH-Delft en IBBC-TNO;d.een voorstel voor een voorschrift 'wringing' passend in de VB 1972 - deel E.Ter ori?ntatie is in fig. 1 schematisch het verloop weergegeven met betrekking tot die combi-naties van buigend moment en wringmoment die leiden tot bezwijken van een gegeven beton-doorsnede. De commissie heeft zich ten aanzien van bezwijken uitsluitend beziggehoudenmet de grootheid MTU.2. Litteratuurstudie2.1 AlgemeenUit de litteratuur blijkt, dat ten aanzien van wringing op liggers met rechthoekige doorsnedenveel onderzoekingen zijn verricht. Zo gaf reeds ongeveer honderd jaar geleden De Saint-Venant de juiste oplossing, gebaseerd op de (lineaire) elasticiteitstheorie. In fig. 2 is de bij-behorende schuifspanningsverdeling schematisch weergegeven. Omstreeks 1910 werden doorSamenstelling CUR-commissie A 15'Wringing':ir.J.G.Baas - mentorir.A.B.M. van der Plas -voorzitterir.J. van Leeuwen - secretarisir.S.C.Haagsmair.B.Kuytir.B. van Rossumir.Ch.J.vosEen volledig verslag van de werkzaamhedenvan de commissie is gegeven in de IBBC-TNO rapporten BI-69-21/04.3.01.170, BI-70-9/04.3.01.170 en het eindrapport BI-70.107/04.3.01.170. Deze rapporten kunnen doorhet Secretariaat van de CUR (Postbus 61,Zoetermeer) tegen kostprijs worden gele-verd.2Spanningsverdeling volgens De Saint-Venantin een op wringing belaste, homogenerechthoekige doorsnede3aSchema van het scheurenverloop van eenop zuivere wringing belaste balk3bGewelfd breukvlak van een op zuiverewringing belaste ongewapende balk3a3bCement XXIV (1972) nr. 2 67zeepvliesanalogonht0Ir I/ \2e-graads par.a b cBach en Graf [1] 2) en later door M?rsch wringproeven verricht op ongewapend en gewapendbeton. Van de latere onderzoekers kunnen worden genoemd Andersen I13], Cowan [3],Rausch, Ernst [15] alsmede Gvozdev, Lessig en Lyalin [3]. Van meer recente datum zijn deonderzoekingen en de daaruit ontwikkelde berekeningsmethoden van de Amerikanen Hsu[4,5,6]. In 1968 hield het American Concrete Institute een symposium dat geheel gewijd wasaan wringproblemen bij betonconstructies (Torston of structural constructions, A.C.I. Publlca-tion SP. 18, 1968).2.2 Ongewapend betonWanneer bij een op zuivere wringing belaste ligger het wringmoment zodanig wordt opge-voerd dat deze scheurt, ontstaat een schroefsgewijs verloop van de scheuren onder een hoekvan ongeveer 45? met de lengte-as van de ligger (zie fig. 3a). Bij ongewapend beton is ditscheurmoment Mrs tevens het breukmoment MTUo(zie fig. 4). Door het schroefsgewijs verloopvan de scheuren treedt dus geen breuk op volgens een plat vlak loodrecht op de lengte-asvan de ligger, maar volgens een gewelfd vlak (zie fig. 3b).Om in het ongescheurde stadium een indruk te verkrijgen van de schuifspanningsverdelingineen doorsnede loodrecht op de lengte-as van de ligger kan gebruik worden gemaakt van ver-schillende analogons. Indien men onderstelt, dat beton zich gedraagt als een lineair elas-tisch materiaal kan gebruik worden gemaakt van het zeepvliesanalogon van Prandtl. Hierbijkan men zich een membraan (bijv. zeepvlies) gespannen denken over de dwarsdoorsnede vaneen ligger. Door lucht met een bepaalde overdruk onder het membraan aan te brengen ont-staat de vorm, zoals is aangegeven in fig. 5a (zie bijv. [18]).Uit de analogon volgt:a. de grootte van de schuifspanning is in ieder punt van de doorsnede evenredig met de maxi-male helling van het zeepvlies;b. de richting van de schuifspanning valt in ieder punt van de doorsnede samen met de raaklijnaan de hoogtelijn op het zeepvlies;c. tweemaal de inhoud van het zeepvlies is een maat voor het wringmoment.Het wringmoment Mr kan, overeenkomstig als bij een buigend moment, gelijk worden gesteldaan Mr = Wr. waarin Wr het wringweerstandmoment voorstelt en de maximalewaarde van de schuifspanning die in de doorsnede optreedt.Bij beton verloopt het "t-y-diagram, evenals het c-s-dtaqram, niet lineair (y = specifieke ver-draaiingshoek). Hieruit volgt, dat bij het opvoeren van het wringmoment de verhouding tussenMren zich wijzigt en daarmee de grootte van Wr. Bij kleine waarden van Mr zal Wr meerovereenkomen meteen elastische schuifspanningsverdeling en bij grotere waarden van Mrmeer corresponderen met een plastische spanningsverdeling.De 'volplastische' spanningsverdeling volgt uit het zandheuvel analogon van Nadai (ziefig.5b). Ook voor dit analogon gelden de hierboven genoemde voorwaarden a tlm c. Hieruitvolgt, dat de wringspanningen evenwijdig aan de zijden van de doorsneden lopen en in elkpunt dezelfde grootte bezitten. In de litteratuur wordt voorts nog een groot aantal oplossingengegeven voor andere onderstellingen van de schuifspanningsverdeling (zie fig. 5c en 6). Uitfig. 6 blijkt, dat de resultaten onderling vrij veel verschillen.2.3 Gewapend betonZolang een op wringing belaste gewapende ligger niet is gescheurd, gedraagt deze zichpraktisch als een ongewapende, d.w.z. de wapening in dat stadium heeft nauwelijks invloedop de wringstijfheid. Het scheurmoment Mrs is (afhankelijk van de hoeveelheid wapening)enigszins groter dan het scheurmoment MTUovan de overeenkomstige ongewapende ligger(fig. 7).De wringstijfheid na scheurvorming is sterk afhankelijk van de hoeveelheid wapening (ziebt2.ht0.5hlWr=-'-?bt2.h t(3.,.eh,doorsnede)specifieke verdraaiingshaekongewapend en gewapendlicht gewapendangewapendbetan0,3WT0,2 .0,1003) Klopper [16]:5) Timoshenko [lS}ei vcr-ptcsusct- [7]0.49) ver-parabolisch [12]41 ?moshenkc7) vol [11]61 elostisch [7]1) 1962 [s];5Schuifspanningsverdelingen volgens hetzeepvliesanalogon en het zandheuvel-analogongewapendzi ccsrrcnsc-e4Samenhang tussen wringmoment en speci-fieke verdraaiingshoek van een op wringingbelaste ongewapende en gewapendebetonligger2De tussen vierkante haakjes geplaatste cij-fers verwijzen naar de litteratuur op blz. 73.6Vergel?king tussen verschil/ende formulesvoor het wringweerstandsmoment Wr vooreen rechthoekigeCement XXIV (1972) nr. 2 68zweer gewapendspecifieke7Relatie tussen wringmoment specifiekeverdraaiingshoek bij verschillende weoe-ningspercentages (langswapening +beugels)MTUo I_ 'onder' .1_ 'over" .1. 'over'gewapend gewapend gewapendfig. 7). Het wringbreukmoment neemt toe met de hoeveelheid wapening, echter minder danevenredig (fig. 8), d.w.z. de wapening wordt minder effectief naarmate de hoeveelheid toe-neemt. In dit verband onderscheidt men:a. onder-gewapend d.w.z, bij het bereiken van het breukmoment vloeit zowel de langs- als debeugelwapening;b. gedeeltelijk over-gewapend, d.w.z. bij het bereiken van het breukmoment heeft de langs- danwel de beugelwapening nog niet gevloeid;c. over-gewapend d.w.z, bij het bereiken van het breukmoment vloeit noch de langs- noch debeugelwapening; het bezwijken van het beton is bepalend. .Naast de hoeveelheid wapening speelt ook de opdeling van de vereiste langs- en beugel-wapening een belangrijke rol; een fijnere verdeling heeft een gunstige invloed.Opgemerkt wordt, dat bij alle beschouwingen er steeds van wordt uitgegaan dat in elke hoekvan de doorsnede een staaf aanwezig is en dat de eventuele overige staven gelijkmatig overde omtrek zijn verdeeld.2.4 VoorschriftenMet betrekking tot zuivere wringing op volle rechthoekige doorsneden zijn in verschillendelanden bepalingen gesteld met name ten aanzien van de berekening van de maximaal in dedoorsnede optredende schuifspanning, de wringwapening en de wringstijfheid, alsmede tenaanzien van de toelaatbare schuifspanning. In fig. 9 wordt een overzicht gegeven van toelaat-bare schuifspanningen als functie van de betonkwaliteit, zowel bij ongewapend als bij gewa-pend beton. Ten aanzien van de betrekking tussen het wringbreukmoment en de wringwape-ning bestaan twee opvattingen (fig. 10):a. Het breukmoment is uitsluitend evenredig met de hoeveelheid wapening (bijv. FIP-CEB-richt-lijnen 1970 en Westduitse opvatting); ook kleine wringmomenten moeten door wapeningworden opgenomen.b, Het moment wordt bepaald als som van twee termen, t.w. een term MTo gebaseerd op hetbeton en een term evenredig met de hoeveelheid wringwapening (Australisch-Amerikaanseopvatting); voor kleine wringmomenten behoeft geen Wapening te worden aangebracht. Op-gemerkt wordt dat MTo een rekenqrootheld Js, kleiner dan het breukmoment MTUo van deovereenkomstige ongewapende doorsnede.De wringstijfheid van een ongescheurde betonligger kan redelijk worden benaderd met be-hulp van de (lineaire) elasticiteitsleer met als glijdingsmodulus G = 0,3 E. Volgens de FIP-CEB-richtlijnen 1970 bedraagt de wringstijfheid na scheurvorming ongeveer 15 ? 20% van dievan de ongescheurde ligger. Het is echter niet duidelijk of deze uitspraak betrekking heeft opde hoek a dan wel op de hoek Bin fig. 11.Volgens de Amerikaanse opvatting bedraagt de wringstijfheid van scheurvorming 2 ? 4van die v??r scheurvorming, waarbij deze uitspraak betrekking heeft op de hoekB in fig. 11.Hierbij is het volumepercentage van de totale wringwapening.MTSspecifieke verdraaiingshoek11Definitie wringstijfheid10Verband tussen het wringbreukmoment MTUen de hoeveelheid wringwapeningwringwopening/ //'. ///.'/- - - werkelijk verbond (zie ook fig.S)verbond volgens FIP-CE8- enWest-duitse opvattingenverband volgens Australisch-Amer ikoonseopvottingen2.5 Overzicht proevenseriesUit de litteratuur zijn de hierna volgende proevenseries met betrekking tot balken met recht-hoekige doorsneden gebruikt voor de toetsing van de onder 4 te behandelen rekenmethodenvoor het wringbreukmoment.2.5.1 Ongewapend betonHsu [4]. De afmetingen van de doorsneden van de 10 onderzochte proefstukken varieerdentussen b, = 15 ? 25 cm en hl = 25 ? 50 cm. De kubusdruksterkte bedroeg 360 kgf/cm2?Bach-Graf [1]. Deze serie omvatte 8 proefstukken; de afmetingen waren 30 X 30 cm en 21 X42 cm. De kubusdruksterkte was 245 kgf/cm2?Andersen [13]. Er werden 6 balken beproefd met afmetingen van 20 X 20 ? 30 cm. De kubus-druksterkten waren 360 en 600kgf/cm2?Cowan [14]. Onderzocht werd ??n balk met afmetingen van 15 X 25 cm; dekubusdruksterktewas 300 kgf/cm2?onqewcpend200 300 soo30crrit)3010209a-bRelatie de toelaatbare wringspanningen de kubusdruksterkte van het beton8Verband tussen het wringbreukmoment ende hoeveelheid wringwapeningCement XXIV (1972) nr. 2 693Bovendien zijn door het Stevin-laboratoriumnog 10 balken beproefd waarbij vooral debeugelafstand werd gevarieerd (zie CementXXIII (1971) nr. 12, blz. 617-619). Deze resul-taten zijn niet in de toetsing opgenomen.Cement XXIV (1972) nr.22.5.2 Gewapend betonHsu [5]. Er werden 49 balken onderzocht waarbij de afrnetingen varieerden tussen bI = 15 ?25 cm en hl= 30 ? 50 cm. De andere variabelen waren: de hoeveelheid langs-en beugel-wapening en de beugelafstand, terwijl de kubusdruksterkte was gelegen tussen 200 en 575kgf/cm2.Ernst [15]. De 15 balken hadden een doorsnede van 15 X 30 cm. De kubusdruksterkte bedroeg345 kgf/cm2. Variabel waren de hoeveelheid langs- en beugelwapening en de beugelafstand.Stevin-/aboratorium [22]. Er werden 23 balken beproefd. De doorsneden hadden afmetingenbI = 15 cm en hl = 15 ? 45 cm. De kubusdruksterkten varieerden van 170 tot 410 kgf/cm2.Voorts waren de betondekking, de hoeveelheid langs- en beugelwapening, de beugelafstanden de staalkwaliteit variabel. Tevens waren er balken waarvan de beugels werden gelast, resp.bevestigd met binddraad aan de langsstaven. Ten slotte werd de verdeling van de langs-wapening over de omtrek gevarieerd.3)3. Proeven door IBBC-TNO en CUR-commissie A 153.1 Ongewapend betonHaagsma [7, 19]. Deze serie, uitgevoerd bij het IBBC-TNO, bestond uit 11 balken op model-schaal. De dwarsafrnetingen waren 5 X 5 cm (3 stuks) en 3,5 X 6,5 cm (8 stuks). De kubus-druksterkte was 420 ? 465 kgf/cm2. Van de serie van 8 stuks verhardden 4 balken bij 20?C en60% r.v. en 4 balken bij 98% LV. Gesteld moet worden dat de vochtigheidstoestand vaneenmodelbalk geheel anders is dan die van een balk met gebruikelijke afmetingen. Bij deze laat-ste zal de mate van uitdroging van buiten naar binnen afnemen, d.w.z. in de schil ontstaantrekspanningendie het wringbreukmoment ongunstig be?nvloeden. Bij een kleine doorsnedezal de vochtigheidstoestand over de doorsnede vrijwel gelijk zijn.3.2 Gewapend betonHaagsma [19]. Dit onderzoek omvatte 15 balken op modelschaal vervaardigd met afmetingenvan 3,5 X 6,5 cm. De kubusdruksterkten varieerden sterk nl. van 90 tot 645 kgf/cm2. Voortswaren variabel de betondekking, de hoeveelheid langs- en beugelwapening en de beugel-afstand. Opmerkelijk bij deze balkjes was dat de beugels zeer lange stekeinden bezaten dietot in de kern van de doorsnede doorliepen.CUR-commissie A 15. Dit onderzoek, uitgevoerd bij het IBBC [20,21], bestond uit drie seriesvan resp. 16,8 en 6 op verkleinde schaal vervaardigde balken.De aanleiding tot de eerste serie proeven was het door de commissie geconstateerde verschilin resultaten tussen de proeven van Haagsma [19] en Hsu [5]. Overwogen werd, dat dezeafwijkingen kunnen zijn ontstaan door verschillen in de wapeningskorven van balken, metoverigens gelijke hoeveelheden wapening, of door verschillen in beproevingsomstandigheden.De serie omvatte dan ook proefbalkjes waarvan de beugels normale stekeinden resp. langestekeinden hadden, resp. waarvan de beugels aan de langswapening waren gelast. Voortswerd onder 'natte' en 'droge' omstandigheden beproefd.Het doel van de tweede serie was om een eventuele invloed van de schaalfactor te bepalen.Hiertoe werd een aantal door Hsu [5] beproefde balken op verkleinde schaal uitgevoerd. Dedoorsnede was steeds 4 X 8 cm en de kubusdruksterkte 265 kgf/cm2.Aanleiding voor de derde serie was het ontbreken van wringproeven op modelbalken voor hetgehele geldigheidsgebied van de formule van Hsu (zie onder 4). De keuze van de proefstuk-ken was zodanig dat over een breed gebied een vergelijking met de formule mogelijk zou zijn.De afmetingen waren 4,6 X 4,6 cm en de kubusdruksterkte 265 kgf/cm2.Uit de gegevens die deze proevenseries hebben opgeleverd over de invloed van de wijze vanvlechten van de wapeningskorven op de wringbreuksterkten en de invloed van het 'nat' t.o.v.het 'droog'beproeven op de beproevingsresultaten, kon slechts ten dele het verschil in resul-taten tussen de modelproeven van Haagsma en de ware-grootteproeven van Hsu wordenverklaard.Het onderzoek naar de invloed van de schaalfactor (zie 3.2) leidde tot naar verhouding hogerescheurmomenten bij de modelbalken dan bij de balken op ware grootte van Hsu, waarschijn-lijk weer .door de meer gelijkmatige vochtigheidstoestand; de breukmomenten waren, naarverhouding, aan,elkaar gelijk.4. Rekenmethoden voor het wringbreukmoment4.1 AlgemeenDe volgende rekenmethoden werden door de commissie onderzocht:Voor ongewapend beton:de rekenmethode gebaseerd op een 'vol-elastische' schuifspanningsverdeling en de methodevolgens Hsu;Voor gewapend beton:de rekenmethode volgens Lessig/Lyalin [3], Kuyt [11], Haagsma[19] en de methode volgensHsu,De methoden van Hsu zijn gekozen op grond van het feit dat Hsu het meest omvangrijkeexperimentele onderzoek heeft verricht. Voor de toetsing van de verschillende formulesstonden ter beschikking de resultaten van:36 ongewapende balken (Zie 2.5 en 3.1)132 gewapende balken (zie 2.5.2 en 3.2)Opgemerkt moet worden dat, voor zover kon worden nagegaan, alle proeven als zgn. korte-duurproeven werden uitgevoerd. Omtrent de invloed van langdurige en/of wisselende belas-ting op het wringbreukmoment heeft de commissie geen aanwijzingen in de litteratuur kunnen7012Methode van de 'vol-elastische' schuif-spanningsverdelingHistogram van het voor alle proefstukkenberekende verhoudingsgetalMwo berekend(ongewapend beton)Mwo proefproeven van Hsu [4JHaagsmaBnch, GrafAndersenCowan0,89[7,19J[13J[14]3,02,52,01,0 1,5__ MTUoberekendMTUo proef0,5o1aantalproefstukken1vinden. De commissie meent dan ook, dat vooral ten aanzien van de experimenteel bepaaldewringbreukmomenten van ongewapend en lichtgewapende balken de nodige voorzichtigheidmoet worden betracht.4.2 Ongewapend betonHet wringbreukmoment bl] een 'vol-elastische' schuifspanningsverdeling volgt uit de formuleMwo WT. . (1)zoals aangegeven in fig. Sc; is de splijttreksterkte van het beton.In fig. 12 is de verdeling weergegeven van het verhoudingsgetal tussen MTuo- berekend enMwo-proef. De waarden zijn gelegen tussen ca. 0,7 en 1,2 met een gemiddelde van 0,89. Hetverhoudingsgetal bleek niet be?nvloed te worden door de verhouding hl/bI. Door Kuyt [12]wordt een weerstandsmoment op basis van een 'vol-parabolische' spanningsverdeling (ziefig. 5) aanbevolen. Dit weerstandsmoment is volgens fig. 6 ca. 20% groter dan dat volgensformule (1).In fig. 13 zou in dat geval de gemiddelde waarde 1,05 ? 0 bedragen.Hsu [4] heeft als uitgangspunt genomen de afleiding van De Saint-Venant maar zUn formuleverder afgestemd op de resultaten van zUn proeven.De formule luidt:voor b.'> 10 cm:3Mwo 0,95 [b12+ 64,5] .voor 5 < b, < 10 cm:(2a)(2b)Mb12. hlWo 3,1 . e;(alle grootheden in cm en kgf)Op overeenkomstige w?ze als in fig. 12 is in fig. 13 de verdeling van het verhoudingsgetaltussen berekende en gemeten waarden uitgezet. Daar een aantal modelbalken niet voldeed1,61,4MTUo berekendMWo proefgem. 0,98I0,8 1.00.6Hsu [4]Haagsma [7, 19JBnch, Graf [1]AndersenCowan [14]0,40,2proeven van-o1aantalproefstukkent20II13Methode van HsuHistogram van het voor alle proefstukkenberekende verhoudingsgetalMwo berekend(ongewapend beton)Mru,proefCement XXIV (1972) nr. 2 7114Optredend bezwijkmechanisme bij zuiverewringing15Schematisch verband volgens formule (4)tussen Mru en W*TMTU t-,--,RT' ?....MTS +------,f-////Cement XXIV (1972) nr. 2?IIiht i,ii!.i~T,/,/,/(bt-x)cota"" ~--:fY'...----~---::-.-:::=>'ItIIIII."L-----------aan de voorwaarden bij formule (2b) is het totaal aantal getoetste balken 28. De waarden zijngelegen tussen ca. 0,85 en 1,25 met een gemiddelde van 0,98. Ook in dit geval bleek het ver-houdingsgetalonafhankelijk van ht/bt.4.3 Gewapend beton4.3.1 De methode Lyalin - Kuyt - HaagsmaDoor Lyalin [3] wordt een vrij ingewikkelde beschouwing gegeven over het belastinggevalwringing + buiging. De methode van Haagsma [19] en Kuyt [11] zijn beide een vereenvoudig-de versie in die zin, dat beide auteurs zich hebben beperkt tot zuivere wringing. De methodeberust op het volgens fig. 14 aangenomen bezwijkmechanisme waarbij, overeenkomstig fig. 3,een schroefsgewijs scheurverloop is verondersteld.Aangenomen wordt dat in het bezwijkstadium zowel de langs- als de beugelwapening vloeiten de hoogte van de betondrukzone klein is. Uit metingen van Hsu [5] blijkt echter, dat nietaltijd vloeien van zowel langs- als beugelwapening optreedt. Het wringbreukmoment wordtafgeleid uit de evenwichtsvergelijkingen. Hierbij kan worden opgemerkt dat in het geval dat- anders dan in fig. 14 - de drukzone evenwijdig aan de korte zijde is gelegen, dezelfde uit-komst wordt verkregen. In principe zijn de afleidingen van Haagsma en Kuyt gelijk.Het verschil ligt in de variatie van de hoek Cl, (zie fig. 14). Kuyt geeft hiervoor aan 0? < Cl