ing.A.PallandAdviesbureau ing.G.Alferink BV, Zwolle Enkele beschouwingenover de niet-lineaireelasticiteitstheorie*In het kader van het afstuderen aan deHTS teZwolle, afdeling Bouwkunde, is eind 1976 eenstudie verricht naar een door de VB 1974 toe-gestane berekeningsmethode, namelijk deniet-lineaire elasticiteitstheorie.Het onderhavige artikel vormt een samenvat-ting van deze studie, die bekroond werd metde ENCI-jubileumprijs 1978.Cement XXXI (1979) nr. 11InleidingIn Cement XXVIII (1976) nr. 11, werd het arti-kel 'Shell kantoorgebouw aan het Hofplein inRotterdam', geschreven door ir.J.C.van derPlas, opgenomen. Onder meer wordt daarinde berekening van de stijve kern van datkantoorgebouw behandeld. Deze berekeningis eerst opgezet met de bekende ec-methodeuit de VB 74. Het optredende breukmomentvan 408 MNm was groter dan het breuk-moment van de kern namelijk 336MNm. Hier"na is door TNO een berekening opgezetvolgens de nieHineaire elasticiteitstheoriewaaruit bleek dat het optredend breukmomentslechts 242 MNm was, zodat de kern bere-kend met de niet"lineaire elasticiteitstheorieeen voldoende veiligheid bleek te bezitten.Uit dit onderzoek mag blijken dat de bereke-ning volgens de niet-lineaire elasticiteits-theorie economisch zeer aantrekkelijk kanzijn.Berekeningsmethodes volgens de va 74Volgens de VB 74 is het toegestaan de bere-kening van een betonconstructie volgens vierverschillende theorie?n uittevoeren, namelijk:? de niet-lineaire elasticiteitstheorie, in hetvervolg afgekort met NLE;? de lineaire elasticiteitstheorie, afgekort LE.Hieronder vallen bijv. de methode 'Cross' ende gaapvergelijkingen;? de elementaire bezwijkanalyse. Ook dezgn. vloeilijnentheorie, waarmee platen be-rekend kunnen worden valt onder dezetheorie. Het woord 'elementaire' betekent datalleen in de plastische scharnieren arbeidwordt verricht en dat de elementen tussen descharnieren geen vervormingen ondergaan;? de evenwichtsmethode. Deze methode isde meest eenvoudige in de uitvoering van deberekening, maar vraagt een goed inzicht inde belastingafdracht om een economischeconstructie te realiseren.kenmerken van de NLEVan de vier genoemde theorie?n isde NLE demeest gecompliceerde en de meest onbeken-de. Bij de berekening volgens deze theorie ishulp van een computer onmisbaar. Het voor-deel van de NLE is dat in veel gevallen econo-mischer kan worden geconstrueerd dan metandere rekenmethodes.Het essenti?le verschil tussen de NLE en deandere rekenmethodes is, dat bij de NLE het516verband tussen de inwendige krachten in eenconstructie en de bijbehorende vervormingenniet lineair is. Dit heeft de volgende conse-quenties:? De NLE is een controleberekening.? Bij statisch bepaalde constructies is de ver-vorming niet recht evenredig met de op deconstructie werkende krachten. Bijvoorbeeldeen uitkragende constructie wordt met eenhorizontale kracht belast (fig. 1). Als dezeconstructie met de LE wordt berekend, wordtbij verdubbeling van de kracht H de uitbuiging? ook verdubbeld. Bij de NLE wordt door hettoenemen van het moment de buigstijfheidkleiner. Dit resulteert in een vervorming diemeer dan tweemaal zo groot is als de ver?vorming v??r de verdubbeling.? Bij statisch onbepaalde constructies is zo-wel de grootte van de momenten als dekrachtsverdeling afhankelijk van de vervor-ming.Een en ander houdt in dat het verband tussenhet moment, de buigstijfheid en de vervor-ming voorgesteld kan worden als weerge-geven in figuur 2.? Het moment is afhankelijk van de vervor-ming: als ?groter wordt, wordt het 2e-ordemoment groter (fig. 1).? De vervorming is afhankelijk van de buig-stijfheid.? De buigstijfheid is afhankelijk van hetmoment.Uit figuur 2 blijkt ook dat de berekening met deNLE een controleberekening moet zijn: zowel.het moment als de vervorming en de buigstijf-heid in de eindtoestand zijn niet bekend.In het volgende zal een voorbeeld worden ge-geven van de berekening van twee construc-ties:een kolom die van onderen volledig is inge-klemd (fig. 1),een enkelvoudig spantportaal met eenvou-dige belastingen (fig. 9).Uitgangspunten en aannamen:Betonkwaliteit B 17,5Staalkwaliteit FeB 400 HWDe kolommen en de ligger zijn symmetrischgewapend, dit vanwege de antimetrischemomentenlijn in het spant.De wapening is over de gehele lengte van deligger en de kolom constant. Er is dan voor de+6+~L;;iI/iIFiguur 14-5Doorsneden, H = hoogte van de constructie6M-N-K-diagram1111L..jt:--L_-lL_.J.LI_~ ~.L.-I k...f'F'"Cement XXXI (1979) nr. 11Figuur 2kolom ??n M-N-K-diagram nodig alsmede??n voor de ligger.De veerstijfheid van de inklemming van despantpoot is constant.De belasting is aangenomen zoals aange-geven in de figuren 1 en 9. Indien de liggerbelast zou worden met een gelijkmatig ver-deelde belasting, dan heeft dit invloed op deveerstijfheid CB. De berekening zou dan ge-compliceerder worden omdat de momenten-lijn niet meer antimetrisch is.In de berekening is voor alle belastingen de-zelfde waarde voor de kruipco?ffici?nt cp aan-gehouden. Zie ook art. E-204.S.4 van deVB74.Het 2-orde moment in de ligger is verwaar-loosd omdat dit moment klein is ten opzichtevan het 2e-orde moment in de kolom. Ookheeft het 2e-orde moment in de ligger vee.1minder invloed.U-NoK-diagramOmdat er in de meeste constructies sprake isvan vari?rende momenten, moet men bijeengroot aantal verschillende momenten de bij-behorende buigstijfheid (El) zoeken. De ver-houding tussen het moment, de normaal-kracht en de kromming kan worden vastge-legd in het zgn. M-N-K-diagram (K is de krom-ming).De relatie tussen en de aannamen over despanning (a) en de relatieve lengteverande-ring (E) bepalen de verhouding tussen M, Nen K.Beton kan geen trekspanning opnemen.Verlengingen en verkortingen die de vezelsondergaan, zijn recht evenredig met de af-stand tot de neutrale lijn.Voor het verband tussen aaen Earesp. a~en E?moet het in art. A-204.2.3 voorgeschrevena-E-diagram worden aangehouden.Voor het verband tussen a'aen a'b moet het inart. A-204-S.4a voorgeschreven a-E-diagramworden aangehouden.Uit figuur 3 kan worden afgeleid datK = 11R = (El-E2)IHAls de normaalkracht constant is, hoort bijelke kromming een bepaald moment. Dit blijktuit een doorsnedeberekening (fig. 4 en 5).Door P te laten vari?ren, van groot naar klein,kunnen steeds El en E2 alsmede het momentworden bepaald. Als nu M enK bekend zijn,dan kan El worden bepaald: El= MIK.5173K=IIR=(Ej-E2)IHInvloed van de wapening en de normaal-krachtBezien we nu een M-N-K-diagram (fig. 6), danblijkt dat El in heteerste stadium constant is;dit is het ongescheurde stadium, het betonwerkt nog volledig mee. Daarna neemt El ge-leidelijk af; dit is het stadium tussen het ogen-blik dat beton scheurt en het ogenblik dat detrekwapening begint te vloeien. Na het berei-ken van het vloeimoment neemt El zeer snelaf, terwijl het moment slechts weinig toe-neemt. Op het momentvan bezwijken is El hetkleinst, namelijk Els.In het gebruiksstadium ligt El meestal tussenElaen E12. Het is dus van belang om te wetenof EI in dat gebied snel afneemt of niet.In ons onderzoek is nagegaan wat de invloedis van veel of weinig wapening en van de nor-maalkracht op de EI. In figuur 7 zijn de M-N-K-diagrammen te zien voor een doorsnede van300 x 300 mm2met een vari?rende wapeningen een constante normaalkracht van 200 kNoBovendien is de normaalkracht bij 1600 mm2wapening een keer gewijzigd in 400 kNoHet blijkt dat een groot wapeningspercentageeen zeer stijve constructie geeft: EI is veelgroter dan bij weinig wapening. Ook blijkt dater dan nauwelijks een overgang te zien istussen EI(ongescheurd) en EI(gescheurd).De maximale vervorming die optreedt bij be-zwijken, blijkt langzaam terug te lopen naar"mate het wapeningspercentage stijgt.Een grote normaalkracht heeft een gunstigeinvloed op de stijfheid, maar de constructiekan veel minder vervormen.Berekening van een uitkragende kolom(fig. 1)In dit geval is niet de krachtsverdeling maarwel de grootte van het uiteindelijke momentafhankelijk van de buigstijfheid!Het moment dat in eerste instantie optreedt isHL; dit moment zorgt voor een verplaatsing ?.In ons geval is deze ? berekend met de stijf-heid Elaover de gehele ligger.Het moment wordt nu H?L + N??.Wordt de kolom nu bekeken, dan blijkt dat EIniet meer constant is, maar t.g.v. het momentvarieert. Dit kan worden voorgesteld zoals infiguur 8 is aangegeven.De kolom wordt nu in een willekeUrig aantalmootjes verdeeld. Van elk mootje wordt de EIten gevolge van het daarter plaatse optreden-de moment bepaald. Nu kan de hoekverdraai-ing en de verplaatsing van elk mootje worden7M-N-K-diagram voor een doorsnede300 x 300 mm2 met vari?rende wapening8EI is niet constant, maar varieert t.g. v. hetmomente r-'------, 1-1132...te-orde optredend 2e-orde breuk-moment moment moment momentinkNm inkNm in % van in kNm'Ie-orde32,0 instabiel 42,832,0 44,8 40,0 51,632,0 41,7 30,2 60,232,0 38,8 21,4 77,732,0 37,5 17,1 95,332,0 36,6 14,4 112,932,0 36,0 12,4 130,432,0 43,5 36,0 111,1-1"..,_ csk.;;>=rP.......,....mm2 %A totaal400 0,44600 0,67800 0,891200 1,331600 1,782000 2,222400 2,67N = 400 kN1600 1,784/fo I1 04 ? 2 .1( c:.....~/4'20/ II A.';Zo c........?0I /'/I::-sl ,....;A ? .c" .. 400'" ...J01001/ IJ A>lb c::......",0IiI I! i I I !BilIJ1/ / 1 !A'-i2 c::.~I : Ji7011/1/ ,! I 11I!11 I i6"1///,I /,iiIA.ai ! ! A5D/1// V/,) ! :!i i I"'" IJ/lpV I i i At i I~ 30'rjiV !Itie.. I i.. '!-J;:- (-400 IX)E 200l. oo.l.fo ..0.05.....Iz~A CADEI I;....w:I/""k .-:,Figuur 9 Tabel 1INr ~N1i-- ':i..-.e c B c.eAvastgesteld; hieruit vinden we de verplaatsingvan de top.De nieuwe ? die wordt gevonden, geeft eengroter moment N . ?. Met het gevonden totalemoment kan de voorgaande berekening nog-maals worden uitgevoerd. Wanneer de toe-name van de verplaatsing steeds groterwordt, is de constructie instabiel en bezwijktdeze. Wanneer de toename van de verplaat-sing steeds kleiner wordt, kan men de voor-gaande procedure herhalen tot de toenamevan de verplaatsing nog maar een zeer kleinpercentage is van de totale verplaatsing.Door middel van een iteratieproces is hetwerkelijke moment nu zeer dicht benaderd.Enkele resultatenIn dit onderzoek is een kolom berekend meteen lengte van 4 meter, de doorsnede be-draagt 300 x 300 mm2.De horizontale kracht is 8 kNoDe verticale kracht is 200 kNoDe wapening laat men vari?ren van 400 tot2400 mm2.Bij een wapening van 1600 mm2 is de con-structie ook nog een keer berekend meteennormaalkracht van 400 kNoDe resultaten overeenkomstig bovenstaandetabel werden verkregen.Blijkbaar is het 2-orde moment zeer sterk af-hankelijk van het wapeningspercentage.Hieruit blijkt dat de lineaire elasticiteitstheoriein dit opzicht niet erg exact is. Bij de bepalingvan ec (de toegevoegde excentriciteit) wordthet wapeningspercentage niet in rekening ge-bracht.Bij verdubbeling van de normaalkracht blijktdat het 2e-orde moment ook ongeveer 2 keerzo groot is geworden. Hieruit kunnen we con-cluderen dat het voordeel van een stijvereconstructie door een grotere normaalkrachten het nadeel van een kleinere EI door eengroter moment elkaar opheft.Spantberekening (fig. 9)Het te berekenen spant is van onderen verendingeklemd, de veerstijfheden CA en CD zijnconstant.De kolom AB van het spant kan in principeberekend worden als de uitkragendekolom.De berekening is echter wel gecompliceerder,omdat de ligger invloed uitoefent op de kolom.Bij de berekening van de kolom AB is de in-vloed van de ligger in rekening gebracht doorin B een denkbeeldige veerstijfheid CB tecre?ren. Deze veerstijfheid is niet constantmaar afhankelijk van de stijfheid van de ligger.De laatste is weer afhankelijk van het mo-ment.De spantconstructie is berekend met eenvaste hoeveelheid wapening, verdeeld overde kolom en de ligger. Nu is bekeken wat demeest gunstige wapeningsverdeling is, ver-volgens werd de grootte van de veiligheids-co?ffici?nt bepaald. Dit bleek 2,13 te zijn.Hetzelfde portaal is berekend met de LE. Dekrachtsverdeling werd bepaald met demethode Cross. Toen de momenten bekendwaren, kon de kolomworden berekend met deec-methode. Uit de berekening werd bij eengunstige wapeningsverdeling een veilig-heidsco?ffici?nt van 1,49 gevonden.Hieruit blijkt ook dat het economisch kan zijnmet de NLE te rekenen. Vooral bij grotegebouwen of bij constructies die in groteseries worden geproduceerd is het zeker hetoverwegen waard om de NLE te gebruiken.Cement XXXI (1979) nr. 11 518