56 Rekenvoorbeeld uit 2006 aangepast aan Eurocode 2 Dwarskracht- capaciteit ronde kolommen Dwarskrachtcapaciteit ronde kolommen 7 2015 57 De berekening van de dwarskrachtwapening in ronde doorsneden krijgt in de constructeurswereld niet de aandacht die het verdient. In 2006 werd dat al gesignaleerd door D.G. Schaafsma en I. Feltham. In een artikel in Cement 2006/2 hebben zij ruime aandacht besteed aan dit fenomeen [1]. Dat artikel is echter op de VBC gebaseerd. Wat zijn de conse- quenties van Eurocode 2 op de betreffende theorie en het gebruikte rekenvoorbeeld? De gebruikte afleidingen uit het genoemde artikel worden in dit nieuwe artikel omgeschreven naar Eurocode 2 (NEN-EN 1992-1-1, verder EC2). Hierbij wordt geen aandacht besteed aan de zogenoemde 'spiraalwapening'. In de achterliggende theorie voor het berekenen van dwarskrachtcapaciteit van doorsneden, is in EC2 in feite niets veranderd ten opzichte van de VBC. Wel zijn er enkele verschillen ten aanzien van de uitwerking. Zo moet volgens EC2, als de betoncapaciteit wordt overschreden, de gehele dwarskracht worden opgenomen door beugels en niet meer door het betonaandeel plus de beugels. Verder werd in de VBC uitgegaan van een hellingshoek van de betondrukdiagonaal gelijk aan 45°. In EC2 is deze hellingshoek variabel te kiezen met een ondergrens van ? = 21,8°, waarbij dient te worden gecontroleerd of de spanning in de drukdiago- nalen niet te hoog wordt. Nu is deze hellingshoek een maat voor de hoeveelheid 'doorgesneden beugel-benen' en dus een directe maat voor de dwarskrachtcapaciteit van een doorsnede. Het berekenen van de dwarskrachtcapaciteit van een ronde doorsnede, zoals ook weergegeven in het genoemde artikel, moet daarom enigszins worden herzien. Betonaandeel dwarskrachtcapaciteit Het betonaandeel van de dwarskrachtcapaciteit V Rd;c wordt berekend in EC2, formule 6.2. In deze formule is het dwars- krachtoppervlak (weergegeven door b w ? d) een belangrijke parameter. Het dwarskrachtoppervlak van een ronde door - snede is gebaseerd op het zwaartepunt van de wapening in de onderste helft van de doorsnede. EC2, formule 6.2 wordt als volgt herschreven: V Rd;c = [C Rd,c k (100? l ? fck)1/3] A v waarin: ? = (2/?) ? (D s/D) ? (2/?) A v = ¼D 2 [?/2 + ? + sin(?) cos(?)] ? 0,67 ? D 2 k = 1 + ?[200/d] ? 2 = 1 + ?[200/833] = 1,49 d = ½D + ½D s tan(2/?) = 833 mm V Rd;c ? 0,67 [C Rd,c k (100? l fck) 1/3] D 2 Merk op dat de vereenvoudiging die is toegepast bij het bepalen van de openingshoek ?, alleen geldig is bij relatief grote door - sneden. Praktisch gezien geeft de formule aan dat circa 85% van de ronde doorsnede als dwarskrachtoppervlak kan worden gebruikt bij voldoende langsstaven (? D 2 / ¼?D 2 ? 0,85). Bovengrens doorsnedecapaciteit De bovengrens van de doorsnedecapaciteit wordt bereikt bij het bezwijken van de betondrukdiagonalen. Deze bovengrens V Rd;max wordt berekend in EC2, formule 6.9. Ook bij de boven- grens is het dwarskrachtoppervlak A v een belangrijke parameter. Formule 6.9 kan daarom worden herschreven tot: V Rd;max = ? cd sin(?) cos(?) A v = ? f cd sin(?) cos(?) 0,67D 2 waarin: ? = hellingshoek drukdiagonaal f cd = cilinderdruksterkte = f ck / ? M;C ? = 0,6 (1 - f ck / 250) 1 ing. Bart Vosslamber MSEng RC Heijmans Integrale Projecten 1 Dwarskrachtoppervlak van een ronde doorsnede kolomdoorsnede Dbeugelwijdte D s Zs ? Dwarskrachtcapaciteit ronde kolommen 7 2015 58 Formule 1 sv yd 1, 3 4c o t Af D s formule 2 sv yd 0, 67 cot A fD s ?? ?? ?? formule 3 1, 3 4 c o t s ydAf D s formule 4 113 435 1, 34 1000 2, 5 150 formule 5 v 2 cos s ydAf s formule 6 v 2 cos s yd x Af d s ? formule 7 sv 1 sin( \f tan 1 sin( \f r x r + + formule 8 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f rd + + formule 9 2 2 v 2 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f s ydAf rd s + ? + formule 10 v 1 sin( \f 1 cot sin( \f cos( \f 2 1 sin( \f 2 s ydAf D s + ?? ++ ?? + ?? formule 11 2 formule 12 Formule 1 sv yd 1, 3 4 c o t Af D s formule 2 sv yd 0, 67 cot A fD s ?? ?? ?? formule 3 1, 3 4 c o t s ydAf D s formule 4 113 435 1, 34 1000 2, 5 150 formule 5 v 2 cos s ydAf s formule 6 v 2 cos s yd x Af d s ? formule 7 sv 1 sin( \f tan 1 sin( \f r x r + + formule 8 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f rd + + formule 9 2 2 v 2 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f s ydAf rd s + ? + formule 10 v 1 sin( \f 1 cot sin( \f cos( \f 2 1 sin( \f 2 s ydAf D s + ?? ++ ?? + ?? formule 11 2 formule 12 In de kolom worden 20 staven Ø20 langswapening toegepast. De langswapening in de trekzone bedraagt A sl = 10 × 314 = 3140 mm 2. De kolom in betonklasse C35/45 wordt belast met een dwars- kracht V Ed = 900 kN. Stap 1. Dwarskrachtweerstand betondoorsnede De dwarskrachtweerstand van de (ronde) doorsnede wordt berekend met: V Rd;c = [C Rd,c k (100? l fck)1/3] A v waarin: C Rd;c = 0,18 / 1,5 = 0,12 k = 1 + ?[200/d] ? 2 = 1 + ?[200/833] = 1,49 d = ½D + ½D s tan(2/?) = 833 mm 100 ? l = 100 ? 3140 / (¼? 1000 2) = 0,4 f ck = 35 N/mm 2 Av = ¼D 2 [?/2 + ? + sin(? ) cos(?)] ? 0,67D 2 = 670 000 mm 2 Hieruit volgt: V Rd;c = [0,12 · 1,49 · (0,4 · 35)1/3] · 670 000 = 289 kN Stap 2. Bovengrens doorsnedecapaciteit De bovengrens van de dwarskrachtweerstand, dat wil zeggen de belasting waarbij bezwijken van de betondrukdiagonaal optreedt, wordt berekend met: V Rd;max = ? f cd Av sin(?) cos(?) waarin: ? = hellingshoek drukdiagonaal = 21,8° f cd = 35/1,5 = 23,3 N/mm 2 ? = 0,6 (1 - f ck /250) = 0,6 (1 - 35/250) = 0,516 Hieruit volgt: V Rd;max = 0,516 ? 23,3 ? 670 000 ? sin(21,8) ? cos(21,8) = 2782 kN Het is overigens aardig om op te merken dat het product ? ? f cd sin(?) cos(?) voor normale betonklassen, bij een hellingshoek ? = 45° redelijk in de buurt komt van 0,2 f' b, de bovengrens aan de dwarskrachtcapaciteit volgens de VBC. Capaciteit dwarskrachtwapening Als de optredende dwarskracht V Ed groter is dan V Rd;c maar kleiner dan V Rd;max , dan is dwarskrachtwapening vereist. Zoals aangegeven moet conform EC2 de volledige dwarskracht door wapening worden opgenomen. De dwarskrachtweerstand is de sommatie van de door de drukdiagonaal doorsneden beugelbenen, waarbij telkens de verticale component van de vloeicapaciteit wordt gebruikt. De afleiding van de dwarskrachtcapaciteit door beugels is gegeven in het tekstkader 'Afleiding formule capaciteit dwarskrachtwapening'. Hieronder is de resulterende formule voor de capaciteit van de dwarskrachtwapening gegeven: V Rd;s = Of met de veelgebruikte indicatie voor wapening [A sv / s]: V Rd;s = waarin: s = h.o.h.-afstand beugels in langsrichting D = diameter ronde doorsnede ? = hellingshoek drukdiagonaal (21,8° ? ? ? 45°) A s = oppervlak toe te passen dwarskrachtwapening = ¼?? v2 Asv = totaal oppervlak per snede = 2A s Rekenvoorbeeld Om de hierboven beschreven theorie duidelijker te maken, wordt een rekenvoorbeeld uitgewerkt. Bij dit rekenvoorbeeld horen de volgende uitgangspunten: Kolomdiameter D = Ø1000 [mm] Beugelwijdte D s = Ø900 [mm] Beugeldiameter ? b = 12 [mm] Beugelafstand s = 150 [mm] Dwarskrachtcapaciteit ronde kolommen 7 2015 59 Formule 1 sv yd 1, 3 4c o t Af D s formule 2 sv yd 0, 67 cot A fD s ?? ?? ?? formule 3 1, 3 4 c o t s ydAf D s formule 4 113 435 1, 34 1000 2, 5 150 formule 5 v 2 cos s ydAf s formule 6 v 2 cos s yd x Af d s ? formule 7 sv 1 sin( \f tan 1 sin( \f r x r + + formule 8 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f rd + + formule 9 2 2 v 2 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f s ydAf rd s + ? + formule 10 v 1 sin( \f 1 cot sin( \f cos( \f 2 1 sin( \f 2 s ydAf D s + ?? ++ ?? + ?? formule 11 2 formule 12 Formule 1 sv yd 1, 3 4 c o t Af D s formule 2 sv yd 0, 67 cot A fD s ?? ?? ?? formule 3 1, 3 4 c o t s ydAf D s formule 4 113 435 1, 34 1000 2, 5 150 formule 5 v 2 cos s ydAf s formule 6 v 2 cos s yd x Af d s ? formule 7 sv 1 sin( \f tan 1 sin( \f r x r + + formule 8 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f rd + + formule 9 2 2 v 2 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f s ydAf rd s + ? + formule 10 v 1 sin( \f 1 cot sin( \f cos( \f 2 1 sin( \f 2 s ydAf D s + ?? ++ ?? + ?? formule 11 2 formule 12 Stap 3. Tussentijdse conclusie De optredende dwarskracht V Ed = 900 kN is meer dan de dwarskrachtweerstand van de betondoorsnede V Rd;c, maar minder dan de toelaatbare dwarskracht V Rd;max . Hieruit kan worden geconcludeerd dat er dwarskrachtwapening is vereist en dat de aangenomen hellingshoek ? = 21,8° is toegestaan, zonder de drukdiagonalen bovenmatig te belasten. Stap 4. Capaciteit dwarskrachtwapening In de doorsnede zijn beugels Ø12?150 toegepast. Hieruit wordt de dwarskrachtweerstand V Rd;s bepaald met: V Rd;s = Waarin: s = h.o.h.-afstand beugels in langsrichting = 150 mm D = diameter ronde doorsnede = 1000 mm ? = hellingshoek drukdiagonaal (21.8° ? ? ? 45°) = 21,8 A s = oppervlak toe te passen dwarskrachtwapening = ¼? ? 122 = 113 mm 2 fyd = vloeicapaciteit wapeningstaal = 435 N/mm 2 VRd;s = = 1098 kN Stap 5. Eindconclusie De dwarskrachtcapaciteit van de beugels bedraagt V Rd;s = 1098 kN. Dit is meer dan de optredende dwarskracht V Ed = 900 kN. Hieruit volgt dat de toegepaste wapening voldoende is. ? Afleiding formule capaciteit dwarskrachtwapening Bijdrage beugel op x V Rd;s;x = 2A s fyd cos ? --> V Rd;s;x = V Rd;s = Bepalen relatie tussen x en ? Uit gelijkvormigheid volgt dat: Uit de figuur volgt dat: Z = r sv ? sin? Met deze uitdrukking kan x worden uitgedrukt in ?. Na differentieren d x / d y volgt: d ? = Dwarskrachtcapaciteit V Rd;s = = met kan de uitdrukking worden vereenvoudigd tot: V Rd;s = s yd v 2 cos Af s s yd x v 2 cos Af d s ? s yd 2 2 v 2 1 sin( ) cot cos 1 sin( ) Af rd s + ? + s yd v 1 sin( ) 1 cot sin( ) cos( ) 2 1 sin( ) 2 Af D s + ?? ++ ?? + ?? s yd v 1, 3 4 c o t Af D s Formule 1 sv yd 1, 3 4 c o t Af D s formule 2 sv yd 0, 67 cot A fD s ?? ?? ?? formule 3 1, 3 4 c o t s ydAf D s formule 4 113 435 1, 34 1000 2, 5 150 formule 5 v 2 cos s ydAf s formule 6 v 2 cos s yd x Af d s ? formule 7 sv 1 sin( \f tan 1 sin( \f r x r + + formule 8 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f rd + + formule 9 2 2 v 2 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f s ydAf rd s + ? + formule 10 v 1 sin( \f 1 cot sin( \f cos( \f 2 1 sin( \f 2 s ydAf D s + ?? ++ ?? + ?? formule 11 2 formule 12 s yd v 2 cos Af s s yd x v 2 cos Af d s ? s yd 2 2 v 2 1 sin( ) cot cos 1 sin( ) Af rd s + ? + s yd v 1 sin( ) 1 cot sin( ) cos( ) 2 1 sin( ) 2 Af D s + ?? ++ ?? + ?? s yd v 1, 3 4 c o t Af D s s yd v 2 cos Af s s yd x v 2 cos Af d s ? s yd 2 2 v 2 1 sin( ) cot cos 1 sin( ) Af rd s + ? + s yd v 1 sin( ) 1 cot sin( ) cos( ) 2 1 sin( ) 2 Af D s + ?? ++ ?? + ?? s yd v 1, 3 4 c o t Af D s Formule 1 sv yd 1, 3 4 c o t Af D s formule 2 sv yd 0, 67 cot A fD s ?? ?? ?? formule 3 1, 3 4 c o t s ydAf D s formule 4 113 435 1, 34 1000 2, 5 150 formule 5 v 2 cos s ydAf s formule 6 v 2 cos s yd x Af d s ? formule 7 sv 1 sin( \f tan 1 sin( \f r x r + + formule 8 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f rd + + formule 9 2 2 v 2 1 sin( \f cot cos 1 sin( \f s ydAf rd s + ? + formule 10 v 1 sin( \f 1 cot sin( \f cos( \f 2 1 sin( \f 2 s ydAf D s + ?? ++ ?? + ?? formule 11 2 formule 12 s yd v 2 cos Af s s yd x v 2 cos Af d s ? s yd 2 2 v 2 1 sin( ) cot cos 1 sin( ) Af rd s + ? + s yd v 1 sin( ) 1 cot sin( ) cos( ) 2 1 sin( ) 2 Af D s + ?? ++ ?? + ?? s yd v 1, 3 4 c o t Af D s x v sv 2 cos 1 sin( ) tan( ) 1 sin( ) s ydAf d s r Z x r ??+ ?? = ?? + ?? s yd v 2 cos Af s s yd x v 2 cos Af d s ? s yd 2 2 v 2 1 sin( ) cot cos 1 sin( ) Af rd s + ? + s yd v 1 sin( ) 1 cot sin( ) cos( ) 2 1 sin( ) 2 Af D s + ?? ++ ?? + ?? s yd v 1, 3 4 c o t Af D s ? LITERATUUR 1 Schaafsma, D.G., Feltham, I., Dwarskrachtwapening in ronde kolommen en funderingspalen. Cement 2006/2. Dwarskrachtcapaciteit ronde kolommen 7 2015 kolomdoorsnede Dbeugelwijdte D s ZZ s X S v r  (1+sins)  cotv rsv(1+siny) v d A s  fyd d r sv r r Dwarskrachtcapaciteit ronde kolommen 7 2015