prof.dr.ir.F.MortelmansKatholieke Universiteit Leuven,departement BouwkundeDe relatie tussen buigendmo.ment en dwarskrachtDiagrammen die de relatie tussen buigend moment endwarskracht aangeven, waarbij rekening is gehouden met demaximale belasting van gescheurd en niet-gescheurd beton.NOTATIESIn dit artikel worden enkele notaties gebruikt waarvoor de Nederlandse voorschriften anderesymbolen kennen.R~m =de gemiddelde druksterkte,van betonkubussen (in de VBf~k);De staalaanduiding BE komt overeen met de Nederlandse Fe;Rbu* = de rekenwaarde van de druksterkte op betoncilinders, in uiterste grensspanning.1. INLEIDINGHet is gebruikelijk zowel bij elastisch berekenen als bij de breukmethode, eenbetondoor-snede'afzonderlijk te berekenen op buiging en afschuiving. De hoofd- en verdeelwapeningworden onafhankelijk van elkaar bepaald. Hiermee aanvaardt men derhalve het beginsel vansuperpositie van krachtswerking. Strikt genomen is dit echter niet toelaatbaar.Prof.G.Magnelheeft reeds vroeger aangetoond dat, wanneer beugels in werking treden, ereen horizontale krachtscomponent in delangswapening ontstaat. Meer recent is dit in inter-nationale aanbevelingen tot uitdrukking gekomen door het 'verschuiven' van de momenten-lijn.In deze bijdrage willen wij nagaan hoe een rechthoekige doorsnede geleidelijk onder span-ning komt, hoe de scheuren zich ontwikkelen en hoe krachten kunnen worden opgenomen,niet alleen in de ongescheurde zone van het beton, doch ook in de gescheurde zone. Webaseren ons daarbij hoofdzakelijk op het onderzoek dat enerzijds werd uitgevoerd in hetLaboratorium van Gewapend Beton van de Katholieke Universiteit van Leuven en anderzijdsin het Stevin Laboratorium van de TH-Delft.Het gaat hier om een nieuwe aanpak van het berekenen van een doorsnede, gelijktijdigonderworpen aan een buigend moment en een dwarskracht. De eventuele aanwezigheid vaneen langskracht kan zonder veel problemen in de berekeningen worden betrokken. Wij be-perken ons hier tot een rechthoekige doorsnede met een onderwapening Aa en een beugel-wapening Ab' De onderlinge beugelafstand bedraagt p.2. ALGEMENE KRACHTSWERKING IN EEN DOORSNEDEIn doorsnede aa van figuur 1 werken gelijktijdig een buigend moment M en een dwarskrachtD. Worden Men D geleidelijk opgevoerd, beginnend van een nulwaarde, dan ontstaat bijeen bepaalde belasting een scheur BO. Deze scheur begint aan de onderzijde van de balk(punt B), gaat loodrecht op de onderzijde omhoog en buigt dan af, meestal met een hellingvan ongeveer 45? ten opzichte van de aslijn van de balk ter hoogte van de neutrale lijn.We kunnen redelijkerwijZe aannemen dat de scheur stopt ter hoogte van de neutrale lijn bijpunt 0, ofschoon dit niet helemaal juist is. Het punt o ligt in de doorsnede aa. Van 0 tot C'wordt het beton op druk belast. Het scheurvlak (BO), verlengd door het denkbeeldige vlak(OC'), verdeelt de balk in twee stukken (I) en (11). Wanneer de belasting verder wordt opge-voerd, ontstaan er meerdere gelijksoortige scheuren, maar de vorm van de scheuren wordttijdens de belastingstoename niet noemenswaard meer gewijzigd.Men stelt ook vast dat vanaf een bepaalde belasting er praktisch geen scheuren meer bijko-men, maar ze gaan wel verder openstaan.1Balk onderworpen aan buigend moment Men dwarskracht DCementXXXVII (1985) nr. 10n758DJ1_ b .12aNormaaldrukspanningen enschuifspanningen werken op het vlak OC;de spanningen worden overgedragen opbalkdeell2bSchematische voorstel/ing van descheurvormo.ahf:h(l-U)b.a5(5)Cement XXXVII (1985) nr. 10De inwendige krachten MlD worden in de vorm van spanningen overgedragen naar balkdeelI. Op het vlak OC'werken normaaldrukspanningen lJb en schuifspanningen 'tb' De resultanteervan is Nb. respectievelijk Db (fig. 2a-b). We beschouwen voorlopig uit"erste spanningen enkrachten; achteraf zullen aangepaste veiligheidsco?ffici?nten worden gegeven.De scheur Ba is aan de onderzijde open, met een scheurwijdte w. Deel 11 van de balk draaitals het ware over een hoek lp rond het punt 0 ten opzichte van deel I. Bovendien kan OC'een neerwaartse beweging (~) ondergaan ten opzichte van B'Bo door de dwarskrachtswer-king in het balkdeel OC'B'Bo. Uit metingen is echter gebleken dat ~ zeer klein is. Bij gebrek. aan gegevens wordt in de verdere theoretische ontwikkeling ~ verwaarloosd. Dit betekentniet dat de erdoor veroorzaakte kracht klein is; nader onderzoek is noodzakelijk.Het als gescheurd (microscheurtjes) beschouwde deel onder de neutrale vezel (B'B) wordtstar en onvervormbaar verondersteld ten opzichte van de scheurwijdte. Door de aanwezig-heid van grindkorrels is het scheurvlak 80 niet glad maar ruw. Deze ruwheid is er de oorzaakvan da~ door de beweging lp een haakweerstand langs Ba wordt opgebouwd. Deze kanaangeduid worden door de schuifsparming 'th en de normaalspanning lJh' elk met een eigenverloop langs OB,De resultante van de haakweerstand kan voorlopig geformuleerd worden door een compo-nent evenwijdig aan 0 werkend in het vlak aa (Dh)' een component loodrecht op het vlak aa(Nh) werkend ter hoogte van de neutrale lijn en een buigend moment werkend rond het punto (Mh) (zie fig. 2b)..In de onderwapening werkt een spanning lJa; daarmee komt een kracht AalJa overeen.De deuvelwerking in de beugels en in de onderwapening draagt eveneens bij tot het opnemenvan de inwendige krachten. De invloed is eerder beperkt en wordt hier verwaarloosd.Tenslotte zijn er nog de beugels met onderlinge afstand p. De resultante van de krachtenopgenomen door de beugels die de scheur BO snijden noemen we 0a' AI deze krachtensamen moeten het evenwicht verzekeren.Om dit evenwicht (of deze gelijkwaardigheid) uit te drukken worden alle krachten en scheur-afmetingen (a. f) kritisch onderzocht en in formule gebracht. Sommige zijn analytisch tebepalen. andere worden proefondervindelijk vastgelegd.3. ONDERZOEK NAAR DE PARAMETERS IN DE KRACHTSWERKING3.1 ScheurontwikkelingDe horizontale projectie van de scheur noemen we a; de hoogte van de scheur f = h (1-a).Bij de praktische uitwerking van de berekeningen blijkt dat hoofdzakelijk de horizontaleuitgestrektheid van de scheur van belang is. De neutrale lijn ligt vast wanneer de betonstuik(Ebb) aan de bovenzijde van de balk en de staalrek (Ea) in de onderwapeninggekozen ofberekend zijn:Ebb h - fa = Ebb + Ea= h .... ........................... ........................... (1)Een uitvoerig onderzoek, uitgevoerd in het Laboratorium voor Gewapend Beton van de Kat-holieke Universiteit Leuven heeft uitgewezen dat descheurontwikkeling redelijk goed voor?speld kan worden door iteratie, gesteund op theoretische afleidingen. opgesteld doorir.Camoy en ir.Vandewalle. Teneinde deze theorie te toetsen aan de werkelijkheid werden9 balken (met rechthoekige doorsnede) met verschillende langswapening getest op scheur-vorming (vierpunts- en driepuntsopstelling). Twee belangrijke parameters werden uit dit on-derzoek gedistilleerd.3.1.1 Vorm van de scheurHonderden scheuren zijn opgetekend en statistisch verwerkt. Het blijkt dat een paraboolvan de tweede graad met verticale raaklijn ter plaatse van de onderzijde van de balk. descheurvorm zeer goed beschrijft. Ter hoogte van deneutrale lijn helt de raaklijn aan de scheurdan evenwel minder dan 45?. Toch wordt deze vorm aangehouden wegens de goede over?eenkomst met de opgetekende scheuren in het gebied dat iets verwijderd ligt van de neutralelijn.De spanningen % en 'th in de buurt van de neutrale lijn zijn trouwens niet groot zodat eenkleine afwijking in de vorm van de scheur daar praktisch geen invloed heeft op het krachten-evenwicht. De vorm van de scheur wordt betrokken op een SIT-assenstelsel (fig. 2b):759S t(5 =" T= ?):T = 25 - 52?????????????????????????????????????????????????????????????????? (2)Verder wordt nog gebruik gemaakt v,m de voor een scheur karakteristieke parameter:K =alf :........................ (3)3.1.2 Horizontale projectie van de scheurUit de opmetingen blijkt dat de horizontale uitgestrektheid van de scheur nagenoeg onafhan-kelijk is van het percentage onderwapening, van de ligging van de neutrale lijn en van debetonkwaliteit, t?nminste wanneer de betonkwaliteit binnen normale waarden ligt (R;"'m = 30? 40 N/mm2). De enige effectieve parameter, waarvan a afhangt, blijkt de dimensieloze ver-houding MIDh te zijn. In plaats van a wordt de dimensieloze verhouvoo,??",~2%? '.' , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (5)Ob = Rb voor2 ti.c kan de beweging niet vrij tot ontwik-keling komen. Het lijkt alsof een bepaalde verschuiving niet verenigbaar is met de bewegingin de scheur. De kritieke verschuiving ti.c zou volgens WalraVen worden gegeven door:ti.c=1,40w,,2 voor19K,R:")Dh = bfdh(wmax,K,R:")Mh = b (2 mh (Wmax' K, R:")0a = S Re met s= EafEe voor Ea ,,;;; Ees= 1 voorEa > EeDa = AbS Re da(Te)pCementXXXVII (1985) nr. 10 7665.5Veiligheidsco?ffici?ntenIn grenstoestandberekeningen is het gebruikelijk zgn. rekengrootheden te beschouwen. Debelastingen worden vermenigvuldigd met een ponderatieco?ffici?nt:0* = 0Y.M* = My.Indien de belasting een ongustige invloed uitoefent kan Y.:= 1,5 worden genomen, indien zeeen gunstig effect heeft zou voor Y. eerder een waarde 0,9 moeten worden genomen. Despanningen (Re, Rb) worden gereduceerd tot:R*eR' * _ R~kXO,83xO,85bu -YbHierin is:Ya = 1,15 en 'Yb = 1,5 (gemiddeld)Voor de haakweerstand kiezen we dezelfde Yb (= 1,5). In werkelijkheid is de veiligheidsco?f-fici?nt hoger. Voert men de rekengro'otheden in deevenwichtsvergelijkingen in, dan komt er:nh "anb + (1-a) 1,5 Rbu* ~sooa=O ,.................?....................... (33)(34), 2 (nh + mh) - a 2anb (1-a+!;)+(1-a) 1 R' * +oob(-h) ma=m (35),5 buIn deze formules werd gesteld:?aS = - voor Ea < Ea ....?.?...?..?..?.?...?.?.??..??..?.?.....?.??........? aS '= 1 voor Ea > Ea_ A R*OOa = bh Rb:*???????????????????????."???????????????????????????????????- Ab R;OOb = bp RbU*???????????????????????????????????????????" .0*d = bhRbu* , ; , .M*m = bh2 RbU* ,.........................?....................(36)(37)(38)(39)(40)Cement XXXVII (1985) nr. 10De formules 33, 34 en 35 beschrijven het fundamentele breukmechanisme van een rechthoe-kige doorsnede.6. BREUKVOORWAARDENIn de klassieke grenstoestandberekeningen stelt men dat minstens ??n van de materialen- staal of beton - tot bezwijken moet komen om over een 'breukgrenstoestand' te kunnenspreken. Voor staal stelt men als grens ?a= 10%0; voor beton (op buiging) ?bb = 3,5%0.Bij het breukmechanismedat hierwordtbeschouwd blijft de voorwaarde Ea= 10%0 behoude:l,doch de bezwijkvoorwaarde voor het beton moet worden aangepast. De doorsnede wordthier gelijktijdig onderworpen aan M* en 0*.Bij elke waarde van Ebb komt het beton voor een bepaalde combinatie van Ob en Nb totbezwijken (zie fig. 7). Deze voorwaarde wordt uitgedrukt door de formule (9).Voert men in (9)Nb=abhRbu*ni;Ob = a b h Rbu* dbwaarin Rb werd vervangen door Rbu" dan ontstaat:nb 4 db 4(0,81) + (0,095) = 1 " . .. .. . . . . .. .. . . .. .. .. .. (41)Voorwaarde (41) vervangt de eenvoudige breukvoorwaarde voor beton Ebb = 3,5%0.Wanneer db =0 wordt de voorwaarde van bezwijken van het beton bij zuivere buiging terug-gevonden.7.RELATIEDIAGRAM M*/O*hWanneer 0* = 0 kan een gegeven doorsnede een eenvoudig te berekenen buigend momentM*o opnemen. Is daarentegen M*= 0, dan kan de doorsnede een dwarskracht 0*0 opnemen.Bij een gegeven buigend moment M*o >M* > 0, kan de doorsnede in uiterste toestand eendwarskracht 0* opnemen: 0*0 > 0* > O.767m/W-=0.5d17Relatie moment/dwarskrachtHet diagram M*IO* (of MlO h) noemt men het relatiediagram M*IO*.Hiermee kunnen we nagaan welke combinatie M*IO* gelijktijdig door de doorsnede kanworden opgenomen. Om zo'n diagram op te stellen gaan we uit van een gegeven doorsnede(b, h, A) en gegeven materiaalkarakteristieken (Re en R~k)' De onbekenden zijn dan:We beschikken over de 'breukvoorwaarde' (41) en over de drie evenwichtsvoorwaarden (33),(34) en (35) om het probleem op te lossen. Beschouwen we in het M*IO*h-diagram eenbepaalde rechte M*IO*h=ctdan is uitformule (4) of uitfiguur2b alhte berekenen of afte lezen.De vi?r betrekkingen (41, 33, 34, 35) bepalen ondubbelzinnig Ea, Eb (en dus) a, M* en 0*.Jammergenoeg is het stelsel niet lineair en kan slechts via meerdere iteraties worden opge-lost, wat zonder de hulp van een geschikt computerprogramma bijna ?>nmogelijk is.Herhalen we deze berekening voor meerdere waarden van M*IO*h, dan krijgen we hetzoge-naamde relatiediagram. In plaats van M*IO*h kan men ook mld uitzetten, wat op ??n constan-te na hetzelfde is. Het voordeel is echter datm en d dimensieloze grootheden zijn (fig. 17).Het heeft niet veel zin waarden? van mld < 0,5 te beschouwen, aangezien deze situatie slechtskan voorkomen wanneer een doorsnede wordt beschouwd opeen afstand h/2 van het steun-punt. De krachtsoverdracht is in die zone verzekerd wanneer de onderwapening voldoendeverankerd wordt in het beton (sch,oorwerking). De juiste ondergrens 0,5 of 0,604 (zie fig. 2b)is vooralsnog niet met zekerheid aan te geven. De waarde mld = 0,5 wordt dan ook als eenondergrens beschouwd.8.TOEPASSINGEN1.11'1 de eerste toepassing wordt nagegaan wat de inbreng is van het gedrukte beton (db)' vande haakweerstand (dh) en van de beugels (da) bij het opnemen van de dwarskracht.Geg?ven is:Rw =27N/mm2Wa = 0,2 (hoofdwapening)sm = 100mm~e = 0,15(Ob = 0,1 (beugelwapening)Toepassing van de berekening voorgesteld in par. 7 leidt tot het diagram in figuur 18. Perm-waarde leest men het aandeel van het gedrukte beton (db)' van de haakweerstand (dh) envan de beugelwapening (da) af in de opneembare dwarskracht d.18Buigend moment/dwarskracht diagrammRw=27N/mm2Wo=0.2 (BE 400)5m=100mmwe =0.15Wb=0.1 (BE 400)152o =10'1"h=3.33 'I..0.150.100.050.20o0-fE'''''--~0-r-.0-1-Q"--02--Qr'-03-~Qr'-04~""'Q-05-0-'-.o-6--dCementXXXVII (1985) nr. 10 768Er is tevens een aantal rechten mld = x getekend met aanduiding van de overeenstemmendeeaen eb' Desgewenst kunnen we nog de waarde a bijschrijven, wat in feite aangeeft hoeveelde momentenlijn moet worden opgeschoven.Opvallend is dat het aandeel van het gedrukte beton groot is en praktisch onafhankelijk vanm. Het aandeel van de beugels is hier relatief beperkt. Naarmate x = mld (rechten vanuit deoorsprong) stijgt, wordt hel aandeel van het buigend moment groter, de horizontale uitge-strekheid van de scheur kleiner en dus de invloed van de beugelwapening beperkter.2. In de tweede toepassing wordt een gegeven doorsnede volledig geanalyseerd. Normaaidaalt M wanneer D stijgt (bijv. balk op twee steunpunten). HeUs gebruikelijk de langswape-ning te reduceren en de dwarskracht op te nemen met de. beugels met afnemende tussenaf-stand naar het steunpunttoe. Aangezien de haakweerstand stijgt met afnemende Wmax (dusmet toenemende langswapening) en aangezien de uitgestrektheid van de gedrukte zone -en dus ook de opneembare dwarskracht- stijgt metafnemende staalrek, is het te verwachtendat de dwarskracnt misschien opgenomen kan worden door de doorsnede van de langswa-pening te vergroten (of niet te verminderen) naar de steunpunten toe.Gegeven is:Rw = 27N/mm2b = 300mmh '" 650mmAmax = 4liQ 20 BE 400c = 20mmR' * 27xO,83xO,85 NI 2bu = 1,5 = 12,7 mmWe berekenen:- 1 x 256,6 400roa = 300x650 x 1,15x12,7 =0,176.580 20sm = 2x(20 + 10 )xO,05 1 x 256,6300x(7,5x20 + 30)=99mmWe == 0,26Wanneer ??n staaf ophoudt (dus A'" 3 liQ 20), is:Wa = 0,1324sm = 121,3mmRW=27 N/mm2Wa= 0.1765/0.1334/0.08825sm= 99mm/121.3/173.9we =0.26m0.150.10o~~2a:2~m~~~~WU~~~dLo 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080.050.2019Buigend momentldwarskrachtdiagram, bijverschillende wapeningsverhoudingenCement XXXVII (1985) nr. 10 769CementXXXVII (1985) nr. 10Wanneer nog een staaf ophoudt (dus A : 2 \lll 20), is:iiJa =0,08825Sm = 173,9mmDe resultaten zijn samengebracht in figuur 19.Zoals verwacht stijgt bij iiJb =0deopneembare dwarskracht.met de doorsnede van de langs-wapening. Anderzijds wordt de invloed van de beugelwerking op de opneembare dwars-krachtgroternaarmate de doorsnedevand?,langswapening Aa afneemt. Dit is te verklarendoordat bij afnemende Aa destaalrek - en dus ook wmax - stijgt. Het gevolg is een hogerespanning in de beugels in het opnemen van de dwarskracht.Er dient nog opgemerkt dat het aandeel van het gedrukte beton praktisch onafhankelijk isvan het percentage dwarswapening. De haakweerstand (dh) stijgt met toenemende beugel-wapening.9.BE5LUITDe uiteengezette analyse van het breukmechanisme van een balk met rechthoekige dwars-doorsnedeleidt tot een beter inzicht in het draagvermogen van een b?lk. Enkele belangrijkegevolgtrekkingen kunnen worden vermeld:1. De gedrukte zone neemt een aanzienlijk deel van de dwarskracht op; dit aandeel is praktischonafhankelijk van het op te nemen buigende moment;2. De haakweerstand stijgt naarmate de rek in de onderwapeningdaalt (integraal doortrekkenvan onderwapening tot steunpunt);.3. Voor een gegeven wapening neemt de haakweerstand af (lineair) met een groter wordendbuigend moment;4. Het rendement van de beugels stijgt naarmate de rek in de onderwapeninggroter wordt(wmax neemttoe); bij overgedimensioneerde onderwapening is het rendement van de beugelszeer slecht;5. Het v~rschuiven van de momentenlijn, zoals aanbevolen in de Model Code volgt ondubbel-zinnig uit de verhouding x=mld = M*ID*h; de afstand a (alh) is immers een functie van M*ID*h(zie formule 4); naarmate x stijgt daalt alh; dus hoe groter de dwarskracht hoe meer demomentenlijn opgeschoven mOet worden.Het was niet onze bedoeling een pasklare rekenmethode aan te bieden. Mogelijk leidt dezeanalyse tot een nieuwe opvatting over het detailleren van wapeningen.Een aantal problemen dient nog te worden onderzocht:1. rs x= 0,5 wel een te beschouwen minimum?is x =0,7 ? 0,9 niet een betere grens (teruglopen van cl) (zie fig. 19)?;2. Wat is de invloed van schuine beugels of van netten?;3. Kan met het oog op een praktische rekenmethode een algemene en eenvoudige formuleringworden afgeleid uit datgene wat in figuur 19 is voorgesteld?;4. Stemt de uiteindelijke theorie overeen met de werkelijkheid (proefbalken)?;5. Geldt d.eze theorie ook voor T-balken (eventueel alh in functie van de verhouding flens/door-snede proefondervindeljk te bepalen)?Het is onmogelijk momenteel op deze vragen een afdoend antwoord te geven. Het onderzoekhiernaar wordt aan de Katholieke Universiteit Leuven voortgezet met de bedoeling op degestelde vragen een duidelijk antwoord te vinden.Deze studie heeft in elk geval de invloed van de drukzone, van de haakweerstand en van debeugeiwapening duidelijk aangetoond. Een betondoorsnede afzonderlijk op buiging endwarskracht berekenen, is slechts een benadering. Een globale aanpak is mogelijk wanneermen over een - zij het in geheugencapaciteit beperkte - computer beschikt. Zolang er geen'eenvoudige rekenregels' uit deze theorie zijn gedistilleerd moet de wapening worden be-paald met behulp van een mld-diagram zoals in figuur 19 is gegeven.Naarmate juistere formules bekend worden voor een bepaald deeltje van de puzzel, kan detheorie zonder problemen worden bijgestuurd.770