Berekening van massieve en holle ronde betonkolommenvolgens de breukmethode (G.B.V. 1962, art. 47) (II)*doorir. A. J. Chr. D e k k e r (ingenieur Gemeentewerken Rotterdam, afd. Tunnelbouw) enJ. C. S e h i l p e r o o r d (technisch ambtenaar Gemeentewerken Rotterdam, afd. Tunnelbouw)I. InleidingIn het voorgaande artikel * zijn voor massieve en holle kolom-men formules afgeleid, die u n i v e r s e e l zijn (d.w.z. geldendvoor elke afmeting, elke beton- en staalkwaliteit, elk wape-ningspercentage en elke betondekking), terwijl in een bijbeho-rende tabel (tabel 1 op blz. 752 van Cement XIV (1962) Nr. 12) debij deze formules behorende hulpgrootheden zijn verzameld.Met behulp hiervan zijn in dit aansluitende artikel de grafieken1 tot en met 6 samengesteld, waarmee de (ontwerp)berekeningzeer vlot kan verlopen.Voorts is een formulier uitgewerkt, waardoor de eventuele con-troleberekening overzichtelijk en tabellarisch uitgevoerd kanworden.Het gebruik van de grafieken en het formulier wordt aan dehand van voorbeelden toegelicht.II. Praktische vorm van de afgeleide formulesDe uitdrukkingen en formules van het voorgaande artikel *zullen in een enigszins gewijzigde -- voor de praktische bereke-ning zo eenvoudig mogelijke -- vorm worden weergegeven.1. cos , cos , cos en cos cos = 1 -- cos = ---?-(1 -- .t)--dR Rcos = ---(-- 1+p. q) cos = -- (1 -- )R --d rIn deze uitdrukkingen is:xP =Td = afstand van hart wapening tot rand kolom(dus Ra = R -- d)t=l_^3,5Voor de verschillende staalkwaliteiten worden t en q:QR 22 QR 24 QR 32 QR 40 QR 48t 0,701 0,673 0,565 0,456 0,347q 1,299 1,327 1,435 1,544 1,6532. Formules voor V = 0De vergelijkingen la, Ib en /c van het voorgaande artikel (blz.750van Cement XIV (1962) Nr. 12) worden:a. (0 2 is kB = 0.c. (x > 2R)| N',,=o'u..R2{1--^)+0,01(0../.' In deze vereenvoudigde formules is het wapeningspercentage.In de oorspronkelijke formules komt de breuk --?^ voor; hoewel * Het eerste gedeelte van dit artikel is gepubliceerd in Cement XIV (1962)Nr. 12, blz. 745-752.160teller en noemer hiervan variabel zijn, is deze breuk toch constant en stelt niets anders voor dan de elasticiteitsmodulus (zieook figuur 22 van de G.B.V. 1962). Alleen moet eraan gedachtworden, dat in de formules la, /b en /c is uitgedrukt in %o,waardoor -~ = 2,1 .103kg/cm2wordt.eIn het bijzondere geval van de holle kolom, kan in de tweedeterm van de vergelijking l'a, l'b, l'c en I'd (Cement XIV (1962)Nr. 12, blz. 750/751) ? op dezelfde wijze worden vervangen doorp.R.3. Formules voor = 0De vergelijkingen IIa, IIb en Ilc van het voorgaande artikel(blz. 750 van Cement XIV (1962) Nr.12) worden:a. (0 < ? < 2R)N'u(e0 + e, + e2) = ',, . R3. k2 + 0,5 .73,5 XX(R~d/{Tt-k9-k]0)N.B. Boven een bepaalde waarde van wordt de uitdrukkingvoor cos > 1 en daardoor k10 = 0b. (x > 2R)N'u (e0 + e, + e2) = ',,. . R3.^-= + 0,5 . 73,5(0 -"- ? ? (R - d)2( - ,)N.B. Voor p > 2 is k10 = 0c. (x > 2R)I N'u(e0 + e1 + e2) = a'u.u.R32^De verschillende grootheden van de vergelijkingen voor V = 0en M = 0 zijn in het formulier op blz. 170 zodanig gegroe-peerd, dat de berekening tabellarisch, vlot en overzichtelijk kangeschieden. In dit formulier zijn voor verschillende voorbeeldende controleberekeningen uitgevoerd.4. De excentriciteiten e0, e1 en e2M| e, = 0,78 k, = 0,195 Rimmers voor ronde doorsneden is k1 = 1/8ht= ?R waarin k1 =de kernstraal (niet te verwarren met de in het eerste artikel ge-noemde factor k1).R0,22+?51waarin: lc= kniklengte (in m) en R = straal (in cm), terwijl:QR 22 QR 24 QR 32 QR 40 QR 48f=2(0.85 + 6) 1,975 2,000 2,100 2,200 2,300III. Toelichting bij de grafiekenBij het ontwerpen van de kolommen zal gebruik gemaakt wor-den van de grafieken 1 tot en met 6. In deze grafieken zijn vooreen aantal waarden van p = -=-, namelijk p = 0,5 (grafiek 1),p = 0,75 (grafiek 2), p = 1 (grafiek 3), p = 1,25 (grafiek 4), p =1,5 (grafiek 5) en p = 2 (grafiek 6), de opneembare breukdruk-Cement XV (1963) Nr. 3IIIkracht en het opneembare breukmoment bij veranderlijke kolom-diameter (D = 2 R) weergegeven.Voor het staal is uitgegaan van een d van 5 cm en een hoeveel-heid gelijk aan 1 % van de betondoorsnede. Bij een ander per-centage dienen de afgelezen waarden vermenigvuldigd te wor-den met dit percentage. Voor het beton is uitgegaan van een 'uvan 100 kg/cm2. Bij een andere 'u dienen de afgelezen waardenvermenigvuldigd te worden met --^ .Links van de verticale as is de opneembare breukdrukkracht uit-gezet en rechts het opneembare breukmoment. Boven de hori-zontale as is aangegeven wat het staal opneemt, en onder dezeas wat het beton opneemt.Het gebruik van de grafieken zal aan de hand van voorbeeldenworden toegelicht. Eerst wordt echter nog aandacht gevraagdvoor de grafieken 7 en 8, waar als functie van p = -?- voor ver-schillende kolomdiameters het verloop van de opneembarebreukdrukkracht en het opneembare breukmoment is weerge-geven. Kennis van dit verloop is namelijk van belang bij hetberekenen. Opgemerkt wordt nog, dat de waarden van pwaarvoor de grafieken 1 tot en met 6 zijn opgezet, eveneens inde grafieken 7 en 8 zijn weergegeven.Grafiek 7 geldt voor de betonkwaliteit K 300, een gering wape-ningspercentage en een lage staalkwaliteit, namelijk 1% QR 22.Grafiek 8 geldt eveneens voor de betonkwaliteit K 300, maarvoor een groot wapeningspercentage en een hoge staalkwali-teit, namelijk 4% QR 48. In de praktijk zullen het wapenings-percentage en de staalkwaliteit in het algemeen binnen dezegrenzen vari?ren. Voor alle diameters blijkt bij een constantwapeningspercentage de breukdrukkracht nul te worden bij de-zelfde waarde van x 1), welke waarde groter wordt bij toe-nemend wapeningspercentage en hogere staalkwaliteit. Het isduidelijk dat bij deze waarde van x zuivere buiging optreedt.Beneden deze waarde van x treedt zelfs buiging met trek op,wat in de praktijk zelden of nooit zal voorkomen. Daarom is ditgebied weggelaten, behalve de lijn voor D = 100 cm, resp.D = 60 cm. Toch is het wel aardig te bedenken, dat voor x = 01) Doordat in de vergelijking V= O in het rechterlid in de tweede term defactor (R-d) voorkomt, is deze conclusie niet geheel juist, doch de afwijkingis verwaarloosbaar klein.het geval van zuivere trek optreedt. Bij x -> oo treedt zuiveredruk op, de waarde van de opneembare breukdrukkracht nadertvoor x-> oo asymptotisch tot zijn maximum, de waarde van hetopneembare breukmoment asymptotisch tot nul.Voor x < R blijkt bij toenemende normaalkracht het opneem-bare breukmoment toe te nemen. Bij een laag wapeningspercen-tage is deze toename naar verhouding aanzienlijk, bij een hoogwapeningspercentage gering. Bij 4% QR 48 is het opneembarebreukmoment maximaal bij x = R; bij 1?/o QR 22 ligt het maxi-mum ongeveer bij 1,25 R doch uit figuur 7 blijkt toch wel, datook bij kleinere wapeningspercentages het opneembaar mo-ment bij x = R reeds nagenoeg de grootste waarde bereikt. Metenige benadering kan dus gezegd worden, dat bij x = R hetopneembare moment steeds maximaal is. Uitgaande van x = Rzal bij afnemende x en constante diameter zowel het momentals de normaalkracht kleiner worden; bij toenemende x wordtde opneembare normaalkracht groter, maar het opneembaremoment kleiner.Een belangrijke conclusie is voorts, dat tot p = -=- = 1,5 hetRverloop van N'u zowel voor hoge als voor lage wapenings-percentages nagenoeg lineair is, hetgeen betekent dat bij inter-polatie met behulp van N'u een nauwkeurige bepaling van x kanplaatsvinden, zoals ook uit de voorbeelden zal blijken.Met de op deze wijze gevonden waarde van x kan eveneensdoor interpolatie het opneembare breukmoment worden be-paald. Het verloop van Mu is weliswaar niet lineair, doch uit defiguren 7 en 8 blijkt dat het enige gevolg hiervan is, dat het doorinterpolatie bepaalde breukmoment iets kleiner zal zijn dan hetwerkelijk optredende, m.a.w. het gebruik van de grafieken geeftin elk geval tot = 1,5 veilige uitkomsten. Boven p = 1,5 ver-loopt N'u niet meer rechtlijnig, waardoor interpolatie met be-hulp van de waarde van N'u bij p = 1,5 en p = 2 een iets tegrote x zal opleveren. Daar in dit gebied bij toenemende x hetCement XV (1863) Nr. 3 161opneembare breukmoment kleiner wordt, heeft dit tot gevolg,dat ook voor p > 1,5 met de grafieken een iets te klein opneem-baar breukmoment wordt gevonden. Derhalve volgt uit figuur 7en 8, dat het gebruik van de grafieken 1 tot en met 6 in allegevallen veilige uitkomsten geeft.IV. Voorbeelden1. Contro/eberekening, waarbij hettoelaatbare moment Mgevraagd wordt 2)Berekend zal worden een serie kolommen, waarvan de beton-kwaliteit K 300 is en de wapeningshoeveelheid 4% QR 48 be-draagt. De optredende drukkracht N' is steeds 139 ton, terwijlde kniklengte (lc 3,5 m bedraagt. Gevraagd wordt voor kolom-men met diameters D = 90 cm, D = 70 cm, D = 50 cm en D = 37cm de toelaatbare momenten M te berekenen.V o o r b e e l d 1 :D = 90 cm, wapening 31 ? 32 QR 48 = 250 cm2(4%), beugels? 8, betondekking 2,5 cm, d = 2,5 + 0,8 + 0,5 . 3,2 = 4,9 cm, dusgrafieken met d = 5 cm zijn zeer goed bruikbaar.. N' = 1,8.139 = 250 ton.Uit grafiek 3 (x = R) volgt: N'u = 1,8 .189,5 = 341 ton > . 'dus x < R. De waarden in de onderstaande tabel volgen uit degrafieken 2 en 3. De dimensies in deze en de volgende tabellenzijn t (ton) en tm (tonmeter).Voorts worden in het vervolg ter vermindering van schrijfwerkbij de berekening N'u1 en N'u2 geschreven als N1 resp. N2 enMu1 en Mu2 als M1 resp. M2.INDEX Db Da N'u Mb Ma Mu2 1 341 0 341 84,6 280 364,61 0,75 232 --250 --18 69,4 280 349,4. N'--N1=268 N2 --N1= 359M2 -- M1, = 15,2Uit figuur 9a volgt:, .'-- , , . ,,_. , 268 n7,,P = Pi + N2_Nl ?P2-Pi) = 0,75+ ^.(1-0,75)= 0,75 + 0,187 = 0,937.Uit figuur 9b volgt:Mu = M,+ YN2NJ~N^(M2 - M,) = 349,4 + . 15,2= 349,4+ 11,4 = 360,8 tm.Aan de hand van figuur 8 kan, zoals reeds is vermeld, voorspeldworden, dat de rechtlijnige interpolatie tussen M1, en M2 een ietste klein opneembaar breukmoment zal opleveren. Dit blijkt ookuit de controleberekening met het formulier (blz. 170), waaruitvolgt Mu = 364 tm. De uitkomst met de grafieken is dus ongeveer1% te laag.3) Bij de bepaling van e2 ie voor de overzichtelijkheid van de berekening deuiteindelijke waarde van 8 ingevuld; vanzelfsprekend moet normaal dooriteratie bepaald werden.Er rest nog de berekening van het toelaatbare moment M.M = N'.eo = N'(^-e,-e2)Mu 36080 _.,',--- = ,,,.,,- = 144,5 cm. ' 250e, = 0,195 R = 0,195 . 45 = 8,8 cm023+ 3-??- 0 23+ 3-l^5-62??0,22 + 1^ ' -^0,22 + 1?3^5-45= 1,2 cm2)e0 = 144,5 -- 8,8 --1,2 = 134,5 cmHet toelaatbare moment is derhalve M = '. e0 = 139 .1,345 =187 tm.V o o r b e e l d 2D = 70 cm, wapening 25 ? 28 QR 48 = 154 cm2(= 4%), beugels? 8, betondekking 3 cm.d = 3 + 0,8 + 1,4 = 5,2 cm ~ 5 cm, dus grafieken met d = 5 cmzijn zeer goed bruikbaar.Uit grafiek 3 (x = R) volgt: N'u = 207 ton < . ', dus x > R.INDEX Db Da N'u Mb MaM2 1,25 279 180 459 44 102 1461 1 207 0 207 40,3 125,5 165,8.'--N1=43 2 -- 1 = 252 M2 -- M1,=--19,8Volgens de in het voorgaande gegeven berekening is:43P = l+ 252-(1,25-1) = 1,043 en43M,, = 165,8 -- -~ . 19,8 = 162,4 tm.252De berekening met het formulier op blz. 170 geeft:voor d = 5 cm: N'u = 247,0 ton en Mu = 165,0 tm envoor d = 5,2 cm: N'u = 247,4 ton en Mu = 164,1 tm.Ook nu blijkt uit de controleberekening voor d = 5 cm weer, datde grafieken een veilig resultaat geven. Voorts blijkt, dat voord = 5,2 cm een iets kleiner breukmoment optreedt. Uit de be-schouwing in het voorgaande en de eerste twee voorbeeldenblijkt wel, dat de controleberekening met het formulier achter-wege kan blijven als d niet te veel afwijkt van d = 5 cm.Mu 16240 ,rnn!5( = 65 )e, = 0,195. 35 = 6,73 cm0 23 + 3^67o 52 '^+35e2 = 2,3 -? .-------------- = 1,56 cm 2)350,22+ ^^f7ODe0 = 65.00 -- 6,73 -- 1,56 = 56,7 cmHet toelaatbare moment M = '. e0 = 139. 0,567 = 78,8 tm.V o o r b e e l d 3D = 50 cm, wapening 16 ? 25 QR 48 = 79 cm2(= 4%), beugels? 6, betondekking 3 cm.d = 3 + 0,6 + 1,2 = 4,8 cm ~ 5 cm, dus grafieken met d = 5 cmzijn zeer goed bruikbaar.Uit grafiek 3 (x = R) volgt: N'u = 111 ton < . ', waarschijn-lijk is 1,25 < p < 1,5.Volgens de in het voorgaande gegeven berekening is:p = 1,25 + ^ . 0,25 = 1,25 + 0,025 = 1,275 enu = 51,6 -- ^ . 10,3 = 51,6 --1,0 = 50,6 tm.Van deze kolom is geen controleberekening gemaakt.MDaar e0 = --^-, -- e, -- e2 = 20,2 -- 4,9 -- 2,0 = 13,3 cm, is het. toelaatbare moment:M = '. e0 = 139. 0,133 = 18,5 tm.162 Cement XV (1963) Nr. 3INDEX Db Da N'u Mb Ma Mu2 1,5 178 170 348 15,3 26 41,31 1,25 144 95 239 15,6 36 51,6.'--2 = N2 -- N1= 109 M2 -- M1, =--10,3V o o r b e e Id 4D = 37 cm, wapening 15 ? 19 QR 48 = 42,6 cm2{= 4%), beugels? 8, betondekking 3 cm. d = 3 + 0,8 + 0,95 = 4,75 = ~ 5 cm.Uit grafiek 3 (x = R) volgt: N'u = 56 ton R. Uit de figuren 7 en 8 blijkt, dat in dit gebied bij een con-stante diameter het opneembare moment kleiner wordt bij toe-nemende p. Hieruit kan de conclusie getrokken worden, dat bijeen constante breukdrukkracht N'u en een kleiner wordendbreukmoment de diameter niet zo snel afneemt als volgt uit dein het voorgaande genoemde relatie tussen D en Mu. Het zal uitde getallenvoorbeelden blijken, dat voor p>l de relatie-,4/~M7D2 = Di I/ ~rr~ de werkelijkheid beter benadert.V Mi163In het gebied voor p < 1 wordt bij een constante diameter hetopneembare moment kleiner als afneemt. Dit betekent dat bijeen constante breukdrukkracht N'u en een toenemend breuk-moment Mu de diameter sneller zal toenemen dan volgt uit de13/Morelatie D2 = D1 /-? Omdat deze relatie zo eenvoudig is ende werkelijkheid toch wel redelijk benadert zal deze formulegehandhaafd worden. In de praktijk moet men in dit gebiedmaar naar boven afronden.Wanneer het voorgaande toegepast wordt op de in de voor-beelden berekende kolommen, dan levert dit het volgende resul-taat op:D0 = 76,7 cm M0 = 225tm(diameter en breukmoment voor x = R en . N' = 250 ton)D =70 cm Mu = 162,4 tmontwerpformule D = 76,7 ' = 70,7 cmD =50 cm Mu = 50,6 tm4/ ?ontwerpformule D = 76,7 1/ -=^=- = 52,7 cm 225D =37 cm Mu = 12,8 tm4/ in ontwerpformule D = 76,71/ -==^- = 37,4 cmD =90 cm Mu = 360,8 tm3/ozn ~Qontwerpformule D -- 76,71/ ' = 89,6 cmDe uitkomsten tonen aan, dat met de ontwerpformule een prach-tige eerste benadering wordt verkregen. Een praktische regel is:'wanneer de diameter kleiner is dan D0, dan naar beneden af-ronden, is de diameter groter dan D0, dan bij de eerste benade-ring naar boven afronden'.Wel is het zo, dat deze uitkomsten alleen betrekking hebben opeen groot wapeningspercentage en een hoge staalkwaliteit,namelijk 4% QR 48, maar het momentverloop van figuur 7 wekthet vertrouwen dat de ontwerpformules ook voor kleine wape-ningspercentages en lage staalkwaliteiten goed zullen voldoen.Dat dit inderdaad zo is, zal blijken uit de volgende serie voor-beelden, waarbij uitgegaan wordt van 1% QR 22. De optredendedrukkracht is gelijk aan die van de eerste serie voorbeelden (dusN' = 139 ton). Echter is nu de diameter onbekend.2. Ontwerpberekening, waarbij de diameter D gevraagd wordtBij gegeven drukkracht, staalkwaliteit en wapeningspercentagewordt voor verschillende momenten de diameter D gevraagd.Het verloop van de berekening is volgens het voorgaande alsvolgt:a. Uit de grafiek voor x = R worden bij de optredende breuk-drukkracht de diameter D0 en het breukmoment M0 bepaald.b. Is het optredende breukmoment M1 hetzij groter, dan welkleiner dan M0, dan wordt de gevraagde diameter benaderdmet de formule:?I= Do / resP-Di = ?o / xrf M0 V MaBij de aldus bepaalde diameter D1 wordt geheel overeenkom-164 Cement XV (1963) Nr. 3stig de eerste serie voorbeelden met behulp van de grafiekenhet opneembare breukmoment M2 bepaald.d. De berekening wordt zonodig afgerond door herhaling van-13/de onder b aangegeven handeling, dus met D = D, 1/ -?-?- resp.e. Indien gewenst kan een controleberekening met behulp vande grafieken 1 t/m 6 en het formulier (blz. 170) plaatsvinden.Berekend zal worden een serie kolommen, waarvan de beton-kwaliteit K 300 is en de wapeningshoeveelheid 1% QR 22, terwijld = 5cm. De drukkracht en de kniklengte zijn gelijk aan die uitde eerste serie voorbeelden, namelijk N' = 139 ton en lc -- 3,5 m.Gevraagd wordt voor M = 44,5 tm, M = 19,7 tm en M = 0 tm dediameter te bepalen.V o o r b e e l d 5 : M = 44,5 tmHet optredende breukmoment is nog niet precies te bepalen,omdat R nog niet bekend is; in elk geval is Mu > . M dusMu > 1,8 . 44,5 = 80 tm. N'u = . ' = 1,8 .139 = 250 ton, hier-uit volgt: D0 = 76,7 cm, M0 = 76 tm (zie grafiek 3 voor x = R).Het blijkt dat Mu > M0 is, dus D1, > D0. Ter bepaling van Muwordt D = 2 R = 85 cm geschat, dan is e1, = 0,195 R = 0,195 .42,5= 8,3 cm. De excentriciteit e2 wordt voorlopig op 1 cm gesteld.Het breukmoment Mu wordt dan :4450M,, = 250 ( --=- + 8,3 + 1 ) = 10 400 tem = 104 tm.Uit de ontwerpformule volgt:D, = 76,7 I/ ~=j- = 86,5 cm, afgerond 87 cm.Berekening opneembaar breukmoment:INDEX p Db Do N'u b a Mu2 1 342 0 342 86 35 1211 0,75 232 --26,3 205,7 69,4 33,4 103,3. N'--N1=44,3 N2 -- 1 = 136,3 M2 -- M1,= 17,7Volgens de in het voorgaande gegeven berekening is:44 3 = o,75 + ^^-. 0,25 = 0,75 + 0,081 = 0,831 en,Mu = 103,3+ 5,8 = 109,1 tm.Een controleberekening met behulp van het formulier (blz. 170)geeft voor x = 0,331 R: N'u = 249,6 ton en Mu = 109,8 tm.V o o r b e e l d ? : M = 19,7tmN'u = . N' = 1,8 .139 = 250 ton. Uit grafiek 3 voor x = R volgtD0 = 76,7 cm en M0 = 76 tm.Mu > 1,8 .19,7 = 35,5 tm, waarschijnlijk is Mu < M0, dus D1 R.Waarschijnlijk is 1,25 < p < 1,5.Uit de grafieken 3 en 4 volgt:168 Cement XV (1963) Nr. 3INDEX p Db Da 'u Mb Ma u = 55 tm2 1,5 185 37,5 185 +37,5 22,8 11,5 22,8 + 11,5 =2,8%1 1,25 147,5 16,3 147,5+16,3 23,5 15 23,5 + 15 =2,1%.'-- N1 = 102,5--16,3 N2 -- N1= 37,5+ 21,2(1)2 -- 1 =-(0,7+3,5 ) 2-- 1 = 0,7%Schat = 2,5%, dan wordt:Hieruit volgt:() = 2,1 + |?^ . 0,7 = 2,1 + 0,48 = 2,58%.Controle met behulp van de grafieken:102,5 -- 16,3.2,58^ = ^+37,5 + 21,2.2,58 -0,25-1,25 + 0,1^-1,415N'u = 147,5 + 16,3 . 2,58 + ?^- XX (37,5 + 21,2 .2,58) = 189,6 + 60,8 = 250,4 ton./ = 23,5+ 15. 2,58-^XX (0,7 + 3,5 .2,58) = 62,2 -- 6,5 = 55,7 tm.Controle met het formulier op biz.. 170:N'u = 252,5 ton en Mu = 57,9 tm.V o o r b e e l d 10: D = 50 cm, N' = 139 ton, M = 0 tmDeze kolom wordt berekend volgens art. 48, lid 13, van deG.B.V. 1962.^ =-^5- = 28 en ^-=0,1 dus = 1,11/ 0,5.25 h, Y 'N'u = 2,5 .1,11.139000 = 1960 .96 + . 1960 . 2200455 = ^| =4,55%Vergelijkt men de tweede serie voorbeelden met de derde, danziet men dat e?n goede betonkwaliteit vooral van belang is bijeen relatief klein moment. Zo vindt men voor N' = 139 ton bijeen betonkwaliteit k 300 voor de momenten 0 tm, 19,7 tm en44,5 tm bij een diameter van resp. 50 cm, 70 cm en 90 cm steedseen benodigd wapeningspercentage van 1% QR 22; voor eenbetonkwaliteit k 160 worden de benodigde percentages resp.4,55% QR 22, 2,58% QR 22 en 1,68% QR 22.4. Berekening van een holle kolomVan een viaduct, dat in breedterichting slechts gedragen wordtdoor ??n enkele kolom, die buigingsvast met het viaduct en defunderingsplaat is verbonden, bedraagt de kolombelasting1100 ton, terwijl het moment 500 tm is. De kolom is hol met eenuitwendige en inwendige diameter van resp. 190 cm en 80 cm.De kniklengte bedraagt 10 m. De betonkwaliteit is K 300 en hetwapeningspercentage, uitgedrukt in de netto betondoorsnede,is 1,46% QR 48 = 43 ? 32 QR 48 = 347 cm2. Beugels ? 19 en be-tondekking 6 cm. Gevraagd wordt een controleberekening.De diameter is te groot voor de grafieken, doch uit de vergelij-kingen = 0 en V = 0 blijkt, dat bij een constante p vooreen n maal zo grote diameter en afstand d het breukmomentn3maal zo groot wordt en de breukdrukkracht n2maal zo groot.In de grafieken worden derhalve het breukmoment en de breuk-drukkracht van de bruto betondoorsnede opgezocht bij D =95 cm en vermenigvuldigd met resp. de factor 23= 8 en 22= 4,terwiji de bijbehorende waarde van d = 2 ? 5 = 10 cm wordt.Het wapeningspercentage, uitgedrukt in de bruto betondoor-snede, wordt 2Q3^ .1,46 = 1,2%.De invloed van het gat wordt in rekening gebracht door detweede term van de in het vorige artikel (Cement XIV (1962)Nr. 12, blz. 748) afgeleide vergelijkingen /'a en ll'a.Uit de grafiek voor x -- R volgt:bruto N'u = 1530 ton < . N' = 1980 ton, dus p > 1. Waarschijn-lijk is 1 < p < 1,25. Voor p = 1 en p = 1,25 worden D'b en MD'bberekend met behulp van cos = -- (1--) (Zie de tabel onder-aan deze bladzijde).Met behulp van deze tabel en de grafieken 3 en 4 vindt men:INDEX p Db Da N'u Mb Ma Mubruto 2 1,25 2050 378 2428 870 664 1534gat 2 1,25 315 44netto 2 1,25 2113 1490bruto 1 1 1530 0 1530 790 794 1584gat 1 1 142 33netto 1 1 1388 1551 . ' -- 1 = 592 ton 2 --1= 725M2 -- M1 = -- 61Voor de netto betondoorsnede is:592p = 1+^.0,25 = 1,204 en/?o592M,, = 1551 --~F ? 61 = 1501 tm.725Bepaling toelaatbaar moment M:e, = 0,78 (? R + 1^) = 0,195 (R + ~) = 0,195 (95 + 17) == 22 cm0 23 +?^102' ^ 95 _00 100 1,00 _'95 ? 1,5.49,5 ''J'95 '1,79-' +95= 4,3 cme?= !~?'22 _ 0,043) = 49,5 cmM = 1100 . 0,495 = 544,5 tm, dus de kolom is voldoendesterk.Controle van d: d = 6 + 1,9 + 1,6 = 9,5 cm ~ 10 cm, dus accoord.5. Opmerkingen1. De bij de grafieken behorende d = 5 cm kan met een 'kunst-greep' worden aangepast bij de optredende d. Voorbeelden:Cement XV (1963) Nr. 3 169p cos k3 k4 k5 k6RLT.k4T.k6 r4^2r521 0 -- 0,393 1,333 --0,267 0,785 3,160 1,865 283 113201,25 -- 0,594 0,430 3,884 --0,090 1,445 9,210 3,430 181,5 7250D'b = a'u.^(k3 + y/c4) p = 1 0,18. 283. 2,767 =142 ton p = 1,25 0,18.181,5.9,64 = 315 tonMD'b=a'"4(fc5 +Tk6) p = 1 0,18. 11320.1,598 = 3256 tem p = 1,25 0,18.7250. 3,34 =4360 tcma. Van een kolom met een diameter D = 150 cm is d = 7,5 cm.Men zoekt de breukdrukkrachten resp. breukmomenten op bij5D = --jr .150 = 100 cm. De afgelezen waarden voor N'u, Mu en7,5d voor D = 100 cm moeten dan vermenigvuldigd worden metresp. 1,52, 1,53en 1,5.b. Van een kolom met diameter D = 30 cm is d = 4 cm. Menzoekt de breukdrukkrachten resp. breukmomenten op bij D =f- . 30 = 37,5 cm. De afgelezen waarden voor N'u Mu en d voorD = 37,5 cm moeten dan vermenigvuldigd worden met resp. 0,82,0,83en 0,8.2. De ontwerpberekeningen voor holle kolommen behoeven nade gegeven voorbeelden geen toelichting meer. Ze geschiedengeheel op dezelfde wijze als voor massieve kolommen, behou-dens dan, dat de vermindering van ' en ten gevolge vanhet gat afzonderlijk berekend moet worden.3. De berekening van holle kolommen is vooral van belang bijviaducten, die ondersteund worden door slechts ??n rij kolom-men in de as van het viaduct. Bij deze kolommen, die om esthe-tische redenen dikwijls een zo gering mogelijke diameter moe-ten hebben, kan bij relatief grote momenten het gebruik vanvoorgespannen staal, gecombineerd met zachtstaal, van nutzijn. Enerzijds kunnen hierdoor trekspanningen in de gebruiks-t?estand worden onderdrukt, waardoor de veelal dynamischebelasting beter opgenomen kan worden, terwijl anderzijds hetcirkelsymmetrisch aangebrachte voorspanstaal een gunstige in-vloed heeft op de grootte van het breukmoment. In een volgendnummer van Cement kan dit wellicht verder worden uiteengezet.V. SamenvattingIn het voorgaande artikel (Cement XIV (1962) Nr. 12, blz. 745/752)zijn voor massieve en holle betonkolommen formules afgeleidvolgens de theorie van de breukmethode (G.B.V., 1962, art. 47),die universeel geldend zijn, terwijl in een bijbehorende tabel debij deze formules behorende hulpgrootheden zijn verzameld.Met behulp hiervan zijn in dit aansluitend artikel de grafieken1 tot en met 6 samengesteld, waarmee de berekening voorm a s s i e v e kolommen zeer vlot kan verlopen, hetgeen metvoorbeelden is aangetoond.Tevens is bewezen, dat de berekening met behulp van de grafie-ken steeds veilige uitkomsten geeft, waardoor voor normalegevallen de controleberekening met een in dit artikel samen-gesteld formulier achterwege kan blijven.Voorts is aangetoond, dat voor het opnemen van relatief grotemomenten bij beperkte kolomafmetingen grote wapeningsper-centages en hoge staalkwaliteiten belangrijk zijn, en dat daar-entegen voor centrisch belaste kolommen of kolommen metrelatief kleine momenten een goede befonkwaliteit van groterbelang is dan een groot wapeningspercentage en hoge staal-kwaliteit. (In het laatstgenoemde geval kunnen daarom gepre-fabriceerde kolommen met bijzonder goede betonkwaliteiten,bijv. K 500, in aanmerking komen).Voor de berekening van holle kolommen zijn de grafieken 1 toten met 6 eveneens bruikbaar; de invloed van het gat moet ech-ter afzonderlijk berekend worden met behulp van de factorenk3 t/m k6 uit het vorige artikel.Ten slotte zijn de grafieken en de tabel zonder meer geschiktvoor het berekenen van het geval zuivere buiging, zowel voorcirkelvormige als voor ringvormige doorsneden.formulier voorcontroleberekeningen(met uitgewerktevoorbeelden)170