ir.A.J.Hogeslagir.W.A.Eismanamens Stupr?-commissie Q*Berekening van een gebouwmet geprefabriceerdedragende gevelelementensamenstelling commissie Q:ir.H.Nieuwland, voorzittering.W.van Spaendonck, secretarisir.W.A.Eisma, rapporteur?r.A.J.Hogeslaging.G.J.W.van WentInleidingEen van de onderwerpen, die bij de Stupr? zijningebracht als zinvol om te bestuderen, is destabiliteit van gebouwen opgebouwd met zelf-dragende, geprefabriceerde gevelelementen.Door het Stupr?-bestuur werd voor het uitvoe-ren van deze studie commissie Q ingesteld.Als start voor haar studie koos de commissiehet artikel 'De stabiliteit van en middelhooggebouw zonder kern, uitgevoerd in geprefa-briceerde beton' van ir.W.A.Eisma, J.I.Bontaen ir.J.K.Vrijling, gepubliceerd in CementXXVI (1974) nr. 10. Deze publikatie bleek deenige die handelde over het specifieke pro-bleem van de dragende buitengevel, welkeook de gehele horizontale belasting naar defundering moet overbrengen en de stand-zekerheid moet waarborgen. De resultatenvan het onderzoek (een afstudeeropdracht),dat aan dit artikel ten grondslag lag, wezen deweg naar een handzame manier van bereke-nen van de te bestuderen constructie. Eenvoortzetting van dat onderzoek zou kunnenleiden tot meer inzicht in de krachtverdeling inen de schematisering van de gevelconstruc-tie, speciaal wat betreft de samenwerkingtussen kop- en langsgevels. Tevens werd hetbelastingsgebied uitgebreid met het geval vancalamiteit en de invloeden van temperatuuren vochtigheid.Het modelgebouwOm het gestelde probleem een meer concreetkarakter te geven is besloten het onderzoek teverrichten op een realistisch model. Uitge-gaan is van een gebouw van vijf verdiepingenmet een plattegrond van 14,4x57,6m2(ffg 7).Zowel de langs- als de kopgevels zijn opge-bouwd gedacht uit gevelelementen van1,8 3,6 m2, afgeleid van het standaardgevel-element zoals door Ergon-Spanbeton wordtgeleverd {fig. 2). Verder is aangenomen, datde vloeren in hun vlak oneindig stijf zijn enscharnierend zijn opgelegd op de langs-gevels.Rondom de vloer is een randbalk veronder-steld, die de onderlinge samenwerking tussende vloerelementen en tussen de gevelele-menten door deuvelwerking waarborgt(fig. 3). Deze randbalk kan bovendien in gevalvan calamiteit verhinderen dat het gebouwverloren gaat door het wegvallen van ??n ofmeer gevelelementen. Het maakt het mogelijkdat een tweede draagweg zich instelt. Voor dehoogte van de randbalken is 300 mm aange-houden.Tevens is ervan uitgegaan, dat het gebouw isopgetrokken vanaf een oneindig stijve funde-ring.De belastingen tengevolge van eigen gewichten wind worden verondersteld geconcen-treerd aan te grijpen in de knooppunten van degevelelementen (fig. 4).Het bekendeDe horizontale belastingen loodrecht op eengevel kunnen door deze niet rechtstreeksnaar de fundering worden afgevoerd. Viaschijfwerking van de vloeren zullen zij moetenworden overgebracht naar de gevels, diehaaks op de direkt getroffen gevel staan endie de stabiliteit van het gebouw moeten ver-zorgen.In de literatuur is aangegeven, dat bij een uitelementen opgebouwde kopgevel, die hori-zontaal in zijn vlak wordt belast, de opleg-reacties niet rechtlijnig verlopen zoals bij eengesloten schijf. De normaalkracht in de bui-tenste kolom is duidelijk groter, dan zou vol-gen uiteen lineair verloop. Dit wordt verklaarduit het optreden van vervorming door buigingen dwarskracht van de regels.Het onbekendeBij koppeling van de kopgevels met de langs-gevels zullen deze laatste worden be?nvloeddoor de vervorming door normaalkracht in dekopgevels en andersom. Het over en weermeewerken van de kop- en langsgevels in hetoverbrengen van de op elk der gevels afzon-derlijk werkende krachten naar de funderingwordt veelal aangeduid als hetgevelbuisprin-cipe. De grootte van de invloed zal afhankelijkzijn van de lengte van het meewerkende deelvan de aansluitende gevel.2StandaardgevelelementCement XXXI (1979) nr. 10 4283Randbalk, voor het waarborgen van deonderlinge samenwerkingMet behulp van modelonderzoek en het op-stellen van rekenmodellen heeft commissie Qgetracht het gewenste diepere inzicht te krij-gen in de werkelijke krachtsverdeling met dedaarbij optredende vervormingen in de top-gevels en de erop aansluitende delen van delangsgevels.Onderzoek kopgevelOmdat bij het modelonderzoek de aansluiten-de langsgevels om technische redenen niet inde modellen konden worden opgenomen, isom vergelijking van de resultaten van beidemanieren van onderzoek mogelijk te makeneen tussenstap gedaan. Eerst is alleen dekopgevel onderzocht.Met modelonderzoekHet modelonderzoek is verricht aan vier mo-dellen, gemaakt uit polystyreen hardschuim-platen van 560 1100 mm2, dik 41 mm. In deplaten zijn, in voor alle vier platen verschil-lende achtereenvolgende stappen, "de raam-openingen en voegen aangebracht, die in dekopgevel van het modelgebouw aanwezig zijn(fig. 5).Zodoende konden in de overgang van de ge-sloten schijf naar gevelmodel verschillendeperforatiecombinaties worden onderzocht.5Vier platen voor modelonderzoek; inverschillende stappen zijn deraamopeningen en voegen aangebrachtHiermee kon een indruk worden verkregenvan de invloed van de verschillende combina-ties op de stijfheid van de kopgevel. De resul-taten zijn weergegeven in figuur 6. Bestude-ring hiervan leidt tot interessante conclusies.HandberekeningDe horizontale verplaatsing van de top van dekopgevel is bij de invoering van enkele bena-deringen ook met een eenvoudige handbere-kening vrij nauwkeurig te bepalen, althans bijhet gekozen model van gevelelementen.Als de boven- en onderregel van de elemen-ten als oneindig stijf worden beschouwd danwordt de horizontale verplaatsing uitsluitendbepaald door de vervorming van de stijlen.Hierbij kunnen worden onderscheiden de ver-plaatsing fd tengevolge van de S-vormlge uit-buiging van de stijlen door dwarskracht(fig. 7a) en de verplaatsing f als gevolg vande lengteverandering van de stijlen door nor-maalkracht (fig. 7b).Wordt verder aangenomen,dat het moment in het koppelvlak, veroorzaaktdoor de horizontale (wind)belasting H, alleennormaalkracht teweeg brengt in de buitenstekolommen,dat de theoretische lengte (/) van de stijlengelijk is aan de werkelijke lengte vermeerderdmet tweemaal de halve kolombreedte,dan wordt voor de horizontale verplaatsingvan de top van de kopgevel gevondenfd = 46,6 -?k-^? en /b = 6,5 Ib^L- E?ACement XXXI (1979) nr. 10 42966erplaatsingen van de modelproeven; deletters D t/m J corresponderen met de stadiain figuur 5RekenmodelZoals bekend kunnen vlakke constructies,welke in of loodrecht op hun vlak worden be-last, worden berekend met behulp van de ele-mentenmethode. Een constructieonderdeelwordt daarbij geschematiseerd tot een ver-zameling elementjes. leder elementje is opeen aantal punten (knopen) verbonden metde naastliggende elementjes. Voor elk ele-mentje wordt de relatie bepaald tussen dekrachten, die op de knopen van dit elementjewerken, en de vervormingen, die daarvan hetgevolg zijn. Deze relatie wordt vastgelegd inde stijfheidsmatrix van het elementje. Door opde juiste wijze de stijfheidsmatrices van deelementjes van het constructie-onderdeelsamen te voegen tot ??n stijfheidsmatrix ligtde relatie tussen de op het constructie-onder-deel werkende krachten en de vervormingen,die daarvan het gevolg zijn, vast.9Grootte van de oplegreacties in de knopenvan de kopgevelconstructie t.g.v.horizontale belasting7 a-bHorizontale verplaatsing, bepaald doorvervorming van de stijlenBij sommige programma's volgens de ele-mentenmethode (o.a. ICES-STRUDL) is hetmogelijk een eigen type element in te voeren.Deze mogelijkheid is benut bij het nauwkeuri-ger berekenen van de kopgevel met behulpvan de computer. Als eigen type element isdaarbij ingevoerd een element dat alle stati-sche eigenschappen van ??n enkel gevel-element bezit. Die eigenschappen van datene gevelelement zelf zijn ook weer bepaaldmet behulp van de elementenmethode.Geheel probleemloos verliep het proces ech-ter niet. Maakten de berekende oplegreactieskeurig evenwicht, de uitgevoerde verplaat-sing van de top van de kopgevel week aan-vankelijk te veel af van de uitkomst, die opgrond van het modelonderzoek werd ver-wacht. Een nader onderzoek voerde tot deconclusie, dat- het 'normale' elementje minder geschikt isvoor het beschrijven van een in zijn vlakbelast constructie-onderdeel, omdat vooreen passend nauwkeurige beschrijving vanhet onderdeel een groter aantal elementjesnodig is; een goede keus is het 'constantshear' -elementje;- afrondingsfouten (ook die ogenschijnlijkklein zijn) in de getallen van de stijfheids-matrix van ??n gevelelement aanleidingkunnen geven tot beduidende onnauwkeu-righeden.8 a-bSchematisering van een gevelelementa. in de vier hoekpunten scharnierendb. ook scharnierpunten aan de onderzijdevan de randbalkOok zijn afzonderlijk tussentijdse onderzoe-ken uitgevoerd om de invloed van de beschre-ven randbalk op het gedrag van de kopgevelna te gaan. Uit een beschouwing van het ver-vormingsgedrag van het gevelelement opzich, kon reeds worden geconcludeerd, datook de knooppunten bij de randbalken alsscharnieren konden worden geschemati-seerd. Om de invloed in de totaliteit te kunnenbeoordelen, is het gevelelement als elementvan de gehele constructie op de volgendewijzen geschematiseerd:a. in de vier hoekpunten scharnierend onder-steund (fig. 8a)b. in de vier hoekpunten en aan de onderzijdevan de randbalk scharnierend onder-steund [fig. 8b).Uit het onderzoek bleek, dat de grootte van deoplegreacties in de knopen van de kopgevel-constructie volgens beide schematiseringengeheel overeenkomen en de verplaatsing aande top van de kopgevel slechts een zeer ge-ring verschil vertoont.De kopgevelconstructie is berekend volgensschematisering a met toepassing van het'constant-shear'-element.De uitkomsten staan in figuur 9. Voor de ver-plaatsing van de top van de kopgevel werd bijeen aanname van E'b = 10 000 N/mm2eenwaarde gevonden van f = 37,2 mm.ConclusieBij controle bleken de uitwendige krachtenevenwicht te maken. De horizontale ver-plaatsingen van de kopgevel, bepaald bij deverschillende onderzoeken, naast elkaar uit-gezet en vergeleken (fig. 10), kwamen zeerbehoorlijk met elkaar overeen. Het ontwikkel-de rekenmodel had zich als goed bruikbaarbewezen.10Horizontale verplaatsing van de kopgevel bijverschillende onderzoekenCement XXXI (1979) nr. 10 43011Oplegreacties in de knooppunten bijsamenwerking in de krachtsoverdrachttussen kopgevel en aansluitende delen vande Iangsgevel (gevelbuisprincipe)Onderzoek gevelbuisAls volgende stap kon nu het gebouw wordendoorgerekend, waarbij werd uitgegaan van desamenwerking in de krachtenoverdracht tus-sen de kopgevel en de aansluitende delen vande Iangsgevel.De oplegreacties in de knopen zijn uitgezet infiguur 11. De verplaatsing van de top van dekopgevel werd berekend op 33,8 mm.Direkt te maken gevolgtrekkingen zijn:- het meewerkende deel van de langsgevelsis beperkt; voor het bepalen van de krachts-verdeling in de kopgevel is het, zoals hetzich laat aanzien, voldoende een strookvan de langsgevels mee te rekenen terbreedte van de halve kopgevelbreedte.- door de koppeling van de kopgevel met delangsgevels wordt de verplaatsing van detop van de kopgevel onder horizontale be-lasting nauwelijks kleiner.Dit laatste is plausibel; immers deze verplaat-sing wordt voor 80 ? 90% veroorzaakt doorhet uitbuigen van de kolommen in de kop-gevel, wat voortvloeit uit het overbrengen vande dwarskracht in de gevelconstructie alstotaliteit. Dit uitbuigen zal niet noemenswaar-dig worden be?nvloed door het al of nietfunctioneren van het gevelbuisprincipe.Bij nadere bestudering valt op, dat de gevel-elementen en wel in het bijzonder de eind-elementen in de kopgevel bij de gevelbuisaanzienlijk minder worden belast - de nage-noeg gelijk blijvende dwarskracht uitgezon-derd - dan bij het opnemen van de horizontalebelasting door de kopgevel alleen.Opgemerkt zij, dat de hiervoor genoemde op-72aOplegreacties per gevelelement, alleenkopgevel, bij horizontale belasting12cOplegreacties in de knopen, kopgevel +Iangsgevel, bij verticale belastinglegreacties per knoop de resultantes zijn vande oplegreacties in de aangrenzende onder-steuning van de elementen links en rechts vande betreffende knoop. In figuur 12 zijn de op-legreacties per element getekend bij het gevalvan horizontale belasting resp. het geval vanverticale belasting. Men ziet nu, dat op alleverdiepingen in de ondersteuningen, ookwanneer de verticale belasting uit het eigengewicht wordt meegerekend, trekkrachtenkunnen optreden. Dit betekent, dat tussen defundering en de gevelelementen als ook tus-sen de boven elkaar liggende gevelelementen12 bOplegreacties per gevelelement, kopgevel+ Iangsgevel, bij horizontale belasting12dOplegreacties per gevelelement, kopgevel+ Iangsgevel, bij verticale belastingonderling trekverbindingen moeten wordengemaakt, danwei dat de verbinding van naastelkaar gelegen gevelelementen (randbalk) instaat moet zijn naast de berekende dwars-kracht ook de trekkracht van de ondersteu-ning op te nemen. Dit laatste zal zowel con-structief als montagetechnisch tot de eenvou-digste oplossingen leiden. Het zal echter eenandere krachtenverdeling in de gevelelemen-ten tot gevolg hebben.De consequenties daarvan zijn nog niet nage-gaan. Dit zal echter zonder twijfel gebeuren inde afrondende fase van het onderzoek.Cement XXXI (1979) nr. 10 43113aMeerbeukig portaal waarvan debuigstijfheden van binnen- enbuitenkolommen zich verhouden als 2:1Rekenkundig treedt er een spreiding op naarde topgevels toe van de verticale belastingenop de langsgevels (oplegreacties uit de vloe-ren). Hierdoor kunnen de hierboven gesigna-leerde trekkrachten in de ondersteuningengeheel of gedeeltelijk worden gecompen-seerd. De invloed, die kruip hierop uitoefent,kan in dit stadium van het onderzoek nog nietgeheel worden ingeschat. Vooralsnog lijkt hetgeoorloofd de krachten, die uit het elastischegedrag volgen, aan te houden.10-verdiepingen gebouwAls controle is het modelgebouw ook met 10verdiepingen doorgerekend. Deze extrapola-tie naar een hoger gebouw leverde geen pro-blemen op.Gunstig is het vast te stellen, dat bij eengebouw als het model slechts in de aanslui-ting op de fundering op de hoeken van het ge-bouw de gesommeerde oplegreactie eentrekkracht kan zijn.Analyse van de krachtsverdelingOm de krachtverdeling in de topgevel te kun-nen analyseren zijn de getalswaarden van dekrachten, die op elk gevelelement werken ten-gevolge van de horizontale belasting op hetgebouw, bepaald en in schema gezet.Bestudering van de resultaten roept duidelijkde suggestie op dat er een aantal eenvoudigerelaties tussen de getallen van de verschillen-de verzamelingen bestaan. De vraag dringtzich op: is dit toeval of wetmatigheid? Verge-lijking van een rij gevelelementen met eenmeerbeukig portaal waarvan de buigstijfheidvan de binnenkolommen en de buigstijfheidvan de buitenkolommen zich verhouden als2 : 1, of - een stap verder - met een rij gekop-pelde gelijke, eenbeukige portalen, toont eenwetmatigheid aan (fig. 13). Dit opent perspec-tieven voor een eenvoudige ontwerpbereke-ning, omdat het schema met een handbere-kening gemakkelijk is te benaderen.Het schema is ook een duidelijke steun bij deverdere analyse van de resultaten van hetrekenmodel. De geconstateerde krachtenver-deling in de topgevel is verklaarbaar gewor-den. In het door commissie Q uit te brengenrapport wordt de uitwerking en daaruit volgen-de rekenregels voor een ontwerp- respectie-velijk controleberekening opgenomen.Een principi?le conclusie is, dat bij de bena-dering van een uit prefab elementen samen-gestelde gevel niet moet worden uitgegaanvan een schijf met de daarbij behorendelineaire verdeling van de oplegreacties, maarvan onderling gekoppelde portalen, wat leidttot oplegreacties, die geconcentreerd zijn totbij de eindkolommen aangrijpende punt-lasten.Cement XXXI (1979) nr. 10 43214Krachtverdeling in het gevelelementGevelelementWanneer nu de krachten in de ondersteuning-en bekend zijn is het betrekkelijk eenvoudig- uiteraard wel afhankelijk van de meer otminder ingewikkelde vorm van het element -de krachtsverdeling ?n het gevelelement zelfte bepalen, zowel bij de definitieve bereke-ning als in de ontwerpfase. Een illustratie vanhet laatste is gegeven in figuur 14.CalamiteitenIn het nog lopende, afsluitende deel van hetonderzoek wordt door de commissie aan-dacht besteed aan de gevolgen van een cala-miteit (b.v. explosie). In veel gevallen blijkt,indien aan bepaalde voorwaarden wordt vol-daan, zich een tweede draagweg te kunnenontwikkelen en blijft de situatie met het ge-hanteerde programma berekenbaar. Het zieter echter naar uit, dat de hoeken van de ge-bouwen in dit opzicht zorgelijke punten zijn.RapportageDe ervaringen van commissie Q worden op ditmoment vastgelegd in een rapport. Het wordtin twee fasen uitgebracht. Dit artikel kan alseen samenvatting van de inhoud van het eer-ste deel worden beschouwd. Naar aangeno-men mag worden zal het eerste deel in hetbegin van 1980 verkrijgbaar zijn.Nota beneIn het voorgaande zijn een aantal conclusiesen getalswaarden vermeld. Gesteld mag wor-den, dat de algemene conclusies (o.a. tenaanzien van het rekenmodel) algemene gel-digheid bezitten. De meer specifieke conclu-sies (o.a. meewerkend deel van de langs-gevel) en de getalswaarden hebben echteruitsluitend betrekking op het modelgebouw.Cement XXXI (1979) nr. 10 433