Buiging met normaalkracht22009821Bij buiging met normaalkracht mag de bi-lineaire spanning-rekrelatie met de grenswaarde van de betonstuik ecu3wordenaangehouden mits de betondoorsnede niet geheel aan druk-spanningen is onderworpen. In een grenssituatie (de betondrukzonehoogte is juist gelijk aan de hoogte van de doorsnede)is dan in de minst gedrukte vezel de rek juist gelijk aan nul; inde meest gedrukte vezel is deze gelijk aan ecu3(EC2; fig. 6.1). Isdaarentegen over de gehele doorsnede sprake van drukspan-ningen, dan moet de grenswaarde van de betonstuik wordengereduceerd: in de meest gedrukte vezel is bij bezwijken vanhet beton op stuik e < ecu3. De rekverdeling wordt nu zodanig,dat de rek gelijk is aan ec3op een afstand (1 ­ ec3/ecu3)h vanaf demeest gedrukte kant van de doorsnede. Vervolgens zijn voor devolledig onder druk staande doorsnede rekverdelingen vantoepassing die zijn gebaseerd op het `roteren' van de rekverde-ling om dit punt met de rek ec3. Dit is in EC2 fig. 6.1 geïllus-treerd. Een volgende grenstoestand doet zich voor als de door-snede is onderworpen aan centrische druk; dan treedt bezwij-ken op stuik van het beton op voor e = ec3.Opmerking: Voor betonsterkteklassen = C50/60 is (1 ­ ec3/ecu3)h= (1 ­ 1,75/3,5)h = 0,5h. Naarmate de sterkteklasse vervolgenstoeneemt, neemt (1 ­ ec3/ecu3)h af.Het vaststellen van de normaalkracht-moment-combinaties dieleiden tot bezwijken van de doorsnede, wordt toegelicht aan dehand van een rechthoekige doorsnede met symmetrischewapening (fig. 1). Een aantal grenssituaties wordt onderschei-den; de drukzonehoogte neemt daarbij toe.Buiging metnormaalkrachtRekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (3)In de serie met rekenvoorbeelden voor de Eurocode 2 1) wordtnu buiging met of zonder normaalkracht behandeld. Eerst eentoelichting op de verschillende grenssituaties en vervolgensdrie voorbeelden. De momentweerstand voor een rechthoekigedoorsnede wordt berekend, eenmaal met `normaal' beton entweemaal met hogesterktebeton.1) De artikelenserie is vertaald enbewerkt door dr.ir.drs. C.R.Braam (TU Delft, fac. CiTG) enafgestemd met Voorschriften-commissie 20.hd-- --++-(1-)h1 2 3 4As2eydec3ec3ecu3ec3eydecu3ecu3ecu3ecu3Asd2x1x2Buiging met normaalkracht 22009 83-+ecu3eydx2-+ecu3eydx12 31 Dwarsdoorsnede recht-hoekige betondoorsne-de met symmetrischewapening en de onder-scheiden grenssituaties1 t.m. 42 Grenssituatie 13 Grenssituatie 2Als x bekend is, kan met uitdrukking (2) de spanning in hetstaal aan de drukzijde worden berekend. De momentweerstandis (beschouw het evenwicht om het punt halverwege de hoogtevan de doorsnede):MRd = As fyd (h__2­ d2 )+ As2ss2(h__2­ d2 )+ axbfcd (h__2­ ßx) (6)Zodra x = x1wordt verondersteld dat beide lagen betonstaal devloeigrens bereiken. Dit blijft het geval totdat de rekgradiënt zoklein wordt, dat het betonstaal aan de trekzijde de vloeirek nietmeer bereikt. Nu treedt een nieuwe toestand in, die eindigtzodra de volgende grenssituatie wordt bereikt.In tabel 1 zijn de volheidsgraad a en de zwaartepuntsfactor ßvan de bi-lineaire spanning-rekrelatie van beton gegeven. Voorsterkteklassen t.m. C50/60 zijn dit de bekende waarden a = 3/4en ß = 7/18.Tabel 1 Volheidsgraad a en zwaartepuntsfactor ß van de bi-lineaire spanning-rekrelatie van beton.Grenssituatie 2Voor het beton in de uiterste vezel van de drukzone is de rekgelijk aan ecu3(fig. 3). Het op trek belaste betonstaal aan de trek-zijde (As) bereikt nog juist de rekenwaarde van de vloeigrens;de rek is fyd/Es= eyd. Het staal aan de drukzijde heeft de reken-waarde van de vloeigrens dan al bereikt. De hoogte van dedrukzone is:x2 = [ ecu3________ecu3 + eyd]d = k2d (7)Voor x1< x < x2bereiken zowel As2(op druk) als As(op trek) devloeigrens.Voor As2= Asgeeft het normaalkrachtenevenwicht:AchtergrondenEerst worden de achtergronden van de rekenmethodiek toege-licht [1].De beschouwing start met zuivere buiging, gevolgd door hetintroduceren en geleidelijk toenemen van de normaaldruk-kracht. Verondersteld wordt dat in deze situaties het betonstaalaan de trekzijde de vloeigrens bereikt; het betonstaal aan dedrukzijde reageert lineair-elastisch. Deze toestand eindigtzodra de normaaldrukkracht zodanig is toegenomen, dat hetbetonstaal aan de drukzijde ook de vloeigrens bereikt. Op datmoment is sprake van het bereiken van grenssituatie 1 enmoeten de uitgangspunten worden herzien.Grenssituatie 1Het beton in de drukzone bereikt de grenswaarde van debetonstuik ecu3(fig. 2). Het op druk belaste betonstaal aan dedrukzijde (As2) bereikt juist de rekenwaarde van de vloeigrens;de rek is fyd/Es= eyd. De hoogte van de drukzone is:x1= [ecu3_______ecu3­ eyd]d2= k1d2(1)Verondersteld wordt dat het betonstaal aan de trekzijde (As)nog steeds de rek eydoverschrijdt.Voor x < x1bereikt As2de vloeigrens niet en is nog elastischonder druk; Asbereikt de vloeigrens.Voor x = x1bereikt ook As2(onder druk) de vloeigrens; As(onder trek) heeft deze al eerder bereikt.Als x < x1is de drukspanning in het betonstaal As2:ss2= Es (1­d2__x)ecu3(2)Het normaalkrachtenevenwicht in de doorsnede luidt:Ns2+ Nc­ Ns= NEd(3)De betondrukkracht is:Nc= axbfcd(4)Het staal aan de trekzijde heeft de vloeirek overschreden en devloeispanning bereikt, dus Ns= Asfyd. Deze uitdrukking alsmedeuitdrukkingen (4) en (2) substitueren in uitdrukking (3) leverteen vierkantsvergelijking waarmee x kan worden berekend:x2­ [NEd + As fyd ­ ecu3EsAs2__________________abfcd]x ­ [ecu3EsAs2d2_________abfcd]= 0 (5)Van de twee oplossingen moet worden gekozen:x =­b +3_______b2+ 4ac____________2aAfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale Bijlagesterkteklasse fckec3ecu3a ß[N/mm2] [?] [?] [-] [-]= C50/60 50 1,75 3,50 0,75 0,39C53/65 53 1,79 3,26 0,72 0,38C60/75 60 1,89 2,88 0,67 0,36C70/85 70 2,03 2,66 0,62 0,35C80/95 80 2,16 2,60 0,58 0,34C90/105 90 2,30 2,60 0,56 0,34Buiging met normaalkracht2200984-(1-)hecu3ec3ec3ecu3-ec34 Grenssituatie 35 Grenssituatie 4Een volgende grenssituatie wordt bereikt als x = h.Grenssituatie 3Nu is x = h en kunnen de uitdrukkingen behorende bij grens-situatie 2 worden gebruikt, zij het dat de drukzonehoogte dusreeds bekend is. Het beton in de drukzone bereikt de grens-waarde van de betonstuik ecu3. Het op druk belaste betonstaalaan de drukzijde (As2) heeft de rekenwaarde van de vloeigrensal eerder bereikt; het betonstaal aan de trekzijde (As) reageertelastisch (fig. 4).De rek in het betonstaal aan de trekzijde is:es= [d__h­ 1]ecu3Het normaalkrachtenevenwicht in de doorsnede luidt:Ns2 + Nc ­ Ns = NEd (3)De betondrukkracht is:Nc = abhfcdHet staal aan de trekzijde reageert elastisch (onder druk), dusNs= Asss(waarbij esreeds bekend is); het staal aan de druk-zijde heeft de rekenwaarde van de vloeigrens al bereikt, dusNs2= As2fyd(drukkracht).De momentweerstand is (vergelijk uitdrukking (13) met x = h):MRd = As2 fyd (h__2­ d2 )+ Asss(h__2­ d2 )+ abhfcd (h__2­ ßh)Grenssituatie 4De betondoorsnede is over de gehele hoogte onderworpen aandezelfde rek ec3(fig. 5). Voor betonsterkteklassen tot en metC70/85 is ec3< eyden heeft het betonstaal de rekenwaarde vande vloeigrens nog niet bereikt. Dit betekent dat de doorsnede intheorie nog enige normaalkrachtweerstand heeft. Omdat echterwordt verondersteld dat het beton op stuik bezwijkt bij de rekec3, kan deze additionele capaciteit niet worden geactiveerd.Wordt echter uitgegaan van, bijvoorbeeld, het parabool-recht-hoekdiagram voor beton onder druk (EC2, fig. 3.3) dan moetNc= NEd(8)De betondrukkracht wordt gevonden met uitdrukking (4). Dedrukzonehoogte is:x =NEd____abfcd(9)De momentweerstand is:MRd= Asfyd(d ­ d2) + axbfcd (h__2­ ßx) (10)Als x > x2bereikt As(onder trek) de vloeigrens niet meer.Verondersteld wordt dat het betonstaal aan de drukzijde nogwel de vloeirek overschrijdt. Nu is een volgende toestand inge-treden. Deze eindigt zodra de gehele doorsnede juist onderdruk staat: x = h.Voor x2< x < h wordt weer verondersteld dat het beton in dedrukzone de grenswaarde van de betonstuik ecu3bereikt. Het opdruk belaste betonstaal aan de drukzijde (As2) heeft de reken-waarde van de vloeigrens al eerder bereikt; het betonstaal aande trekzijde (As) reageert elastisch.De rek in het betonstaal aan de trekzijde is:es= [d__x ­ 1]ecu3(11)Het normaalkrachtenevenwicht in de doorsnede luidt:Ns2+ Nc­ Ns= NEd(3)De betondrukkracht is:Nc= axbfcd (4)Het staal aan de trekzijde reageert elastisch, dus Ns= Asss; hetstaal aan de drukzijde heeft de rekenwaarde van de vloeigrensal bereikt, dus Ns2= As2fyd(drukkracht). Deze twee uitdrukkin-gen en uitdrukking (4) substitueren in uitdrukking (3) leverteen vierkantsvergelijking waarmee x kan worden berekend:x2­ [NEd ­ As2 fyd ­ ecu3EsAs__________________abfcd]x ­ [ecu3EsAsd________abfcd]= 0 (12)Van de twee oplossingen moet weer worden gekozen:x =­b +3_______b2+ 4ac____________2aAls x bekend is, kan met uitdrukking (11) de spanning in hetstaal aan de trekzijde worden berekend. De momentweerstand is:MRd = As2 fyd (h__2­ d2 )+ Asss(h__2­ d2 )+ axbfcd (h__2­ ßx) (13)4 5Buiging met normaalkracht 22009 85(fyk= 500 N/mm2; fyd= 435 N/mm2) en Es= 2,0 · 105N/mm2.Grenssituatie 1De uiterste betonvezel onder druk bereikt de rek ecu3.Voor x = x1bereikt het betonstaal in de drukzone juist de rekeyd. Het betonstaal aan de trekzijde overschrijdt de vloeirek. Dehoogte van de drukzone is (vgl. (1)):x1= [ 3,5 · 10-3_____________________3,5 · 10-3­ 435 / 200 · 103]50 = 132 mmDe betondrukkracht is dan (vgl. (4)):Nc= 0,75 · 132 · 500 ·30___1,5= 990 · 103NDe drukkracht in het betonstaal in de drukzone en de trek-kracht in het betonstaal in de trekzone zijn aan elkaar gelijk(As= As2):Ns= Ns2= 5000 · 435 = 2175 · 103NDe momentweerstand volgt met uitdrukking (6):MRd= 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+ 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+0,75 · 132 · 500 ·30___1,5(1000_____2­7___18· 132)= 2402 · 106NmmAls NEd= 0 is sprake van zuivere buiging. In uitdrukking (5)zijn de termen dan gelijk aan:a = 1b = 177 mmc = ­23 333 mm2Uitdrukking (5) levert x = 88 mm. De drukspanning in hetbetonstaal aan de drukzijde is (uitdrukking (2))ss2= 302 N/mm2.De momentweerstand volgt weer uit uitdrukking (6), nu metss2= 302 N/mm2(drukspanning) in plaats van de eerder gehan-teerde drukspanning ss2= fydzoals gehanteerd bij x = 132 mm:MRd= 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+ 5000 · 302 · (1000_____2­ 50)+0,75 · 88 · 500 ·30___1,5(1000_____2­7___18· 88)= 1966 · 106NmmGrenssituatie 2De buitenste betonvezel onder druk bereikt de rek ecu3; hetbetonstaal in de drukzone heeft de rek eydal op druk overschre-den. Het betonstaal aan de trekzijde bereikt juist de vloeigrens.De hoogte van de drukzone is (vgl. (7)):worden uitgegaan van de rek ec2. Deze is iets groter dan ec3(EC2, tabel 3.1). De bijdrage van de wapening is dan dus ietsgroter. Dit uiteraard zolang de vloeirek van de wapening nietwordt overschreden.Voor betonsterkteklassen tot en met C70/85 is de normaal-krachtweerstand:NEd= bhfcd+ (As+ As2)Esec3(14)Voor hogere sterkteklassen geldt:NEd= bhfcd+ (As+ As2)fyd(15)OpmerkingEr wordt op gewezen dat in voorgaande beschouwing is veron-dersteld dat x1< x2. Bij een hoge betonsterkteklasse en/of rela-tief grote d2/d-verhouding, kan gelden x1> x2. Is hiervansprake, dan eindigt grenssituatie 1 niet bij x = x1, maar bijx = x2. De situatie waarin zowel het betonstaal aan de trek- alsaan de drukzijde de vloeigrens bereikt treedt nu niet op (vgl. 8t.m. 10); beide reageren lineair-elastisch (voor x2< x < x1). Debijbehorende evenwichtsvergelijkingen zijn niet opgenomen.Voor x > x1treedt nu, tot grenssituatie 3 is bereikt (x = h), eentoestand op met betonstaal aan de drukzijde dat de vloeigrensbereikt en betonstaal aan de trekzijde dat lineair-elastischreageert (vgl. 11 en 12). Voor x2< x < x1worden nu geen resul-taten verkregen. Dit gebied kan worden benaderd door met eenrecht lijnstuk de resultaten verkregen voor x = x1en x = x2teverbinden.Rekenvoorbeeld 1 (EC2, par.6.1)In het eerste voorbeeld wordt de buigend momentweerstandMRdberekend van een rechthoekige tweezijdig symmetrischgewapende kolom met breedte b = 500 mm en hoogteh = 1000 mm.Nuttige hoogte d = 950 mm; d2= 50 mmBetonsterkteklasse C30/37, staalsoort B500Betonstaal: As= As2= 5000 mm2GevraagdBereken de rekken en spanningen in de maatgevende situatiesen bereken het N-M-interactiediagram.BerekeningVoor beton C30/37 is de rekenwaarde van de druksterktefcd= fck/ 1,5 = 30 / 1,5 = 20 N/mm2. De grenswaarde van debetonstuik ecu3= 3,5 · 10-3.Voor staal B500 is eyd= fyd/ Esmet fyd= fyk/ 1,15Buiging met normaalkracht2200986MRd= 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+0,75 · 950 · 500 ·30___1,5(1000_____2­7___18· 950)= 1909 · 106NmmGrenssituatie 4Over de gehele betondoorsnede is de rek gelijk aan ec3.De betondrukkracht is:Nc= Acfcd= 10000 · 103NIn beide lagen betonstaal wordt de drukspanningss= Es· ec3= ­350 N/mm2bereikt. Het betonstaal levertdaarmee een bijdrage aan de drukkracht groot:Ns= (As+ As2) · ss= 3500 · 103NDe rekenwaarde van de normaalkracht is dus NEd= 13500 · 103N. De momentweerstand is nul; de normaalkrachten leverengeen koppel ten opzichte van het zwaartepunt van de beton-doorsnede.In figuur 6 is het resultaat van de berekeningen weergegeven.De opgaande tak links in figuur 6 loopt vanaf grenssituatie 1(N = 0; snijpunt met de verticale M-as) tot aan grenssituatie 2(het beton aan de trekzijde bereikt juist de rekenwaarde van devloeispanning). De grootste momentweerstand wordt nubereikt. De dalende tak is ook opgebouwd uit twee gedeelten:Als de hoogte van de drukzone gelijk is geworden aan x = h(grenssituatie 3 wordt bereikt) volgt verder een verondersteldrechtlijnige relatie tot de toestand met centrische druk isbereikt (grenssituatie 4; snijpunt met de horizontale N-as).Rekenvoorbeeld 2 (EC2, par.6.1)In het tweede voorbeeld wordt de buigend momentweerstandMRdberekend van een rechthoekige tweezijdig symmetrischgewapende kolom met met breedte b = 500 mm en hoogteh = 1000 mm, uitgevoerd in hogesterktebeton.x2= [ 3,5 · 10-3_____________________3,5 · 10-3+ 435 / 200 · 103]950 = 586 mmDe betondrukkracht is (vgl. (4)):Nc= 0,75 · 586 · 500 ·30___1,5= 4395 · 103NOmdat het betonstaal aan de drukzijde vloeit op druk en hetbetonstaal aan de trekzijde vloeit op trek, is, vanwege As= As2,de betondrukkracht gelijk aan de rekenwaarde van de normaal-kracht: NEd= 4395 · 103N (vgl. (8)).De momentweerstand is (vgl. (10)):MRd= 5000 · 435 · (950 ­ 50) +0,75 · 586 · 500 ·30___1,5(1000_____2­7___18· 586)= 3153 · 106NmmGrenssituatie 3De buitenste vezel van het beton in de drukzone bereikt degrenswaarde van de betonstuik ecu3. De buitenste betonvezelaan de trekzijde is juist spanningsloos. Hierdoor is de hoogtevan de drukzone x = h.Het op druk belaste betonstaal aan de drukzijde (As2) heeft derekenwaarde van de vloeigrens al eerder bereikt; het betonstaalaan de trekzijde (As) reageert elastisch.De rek in het betonstaal aan de trekzijde is (vgl. (11)):es= [ 950_____1000­ 1]· 3,5 · 10-3= ­0,175 · 10-3, dus ss= ­35 N/mm2.De betondrukkracht is (vgl. (4)):Nc= 0,75 · 1000 · 500 ·30___1,5= 7500 · 103NDe momentweerstand is:MRd= 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+ 5000 · (­35) · (1000_____2­ 50)+0,75 · 1000 · 500 ·30___1,5(1000_____2­7___18· 1000)= 1733 · 106NmmDe normaaldrukkracht op de doorsnede is:N = 5000 · 435 + 5000 · 35 + 0,75 · 1000 · 500 ·30___1,5= 9850·103NAls x = d = 950 mm is het betonstaal aan de trekzijde juistspanningsloos.Dan is Nc= 7125 · 103N. Omdat Ns2= As2· fyd= 2175 · 103N(drukkracht; deze wapening bereikt de vloeigrens) is danNEd= 9300 · 103N. De momentweerstand is:00 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000500100015002000250030003500rekenwaarde normaalkracht NEd(103N)momentweerstandMRd(106Nmm)6Buiging met normaalkracht 22009 876 Moment-normaalkracht-interactiediagram van rechthoekigebetondoorsnede C30/37 met symmetri-sche wapening As= As2= 5000 mm2..a = 1b = 25,3 mmc = ­7738 mm2Uitdrukking (5) geeft x = 76 mm. De drukspanning in hetbetonstaal aan de drukzijde is (uitdrukking (2))ss2= 178 N/mm2.De momentweerstand volgt weer uit uitdrukking (6) metss2= 178 N/mm2(drukspanning) (eerder was de drukspanningss2gelijk aan fydals x = 132 mm):MRd= 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+ 5000 · 178 · (1000_____2­ 50)+0,56 · 76 · 500 ·90___1,5(1000_____2­ 0,34 · 76)= 1985 · 106NmmVoor x < x1reageert het betonstaal aan de drukzijde lineair-elastisch.Grenssituatie 2De buitenste betonvezel onder druk bereikt de rek ecu3; hetbetonstaal in de drukzone heeft de rek eydal op druk overschre-den en het betonstaal aan de trekzijde bereikt juist de vloei-grens. De drukzonehoogte is (vgl. (7)):x2= [ 2,6 · 10-3_____________________2,6 · 10-3+ 435 / 200 · 10-3]950 = 517 mmDe betondrukkracht is (vgl. (4)):Nc= 0,56 · 517 · 500 ·90___1,5= 8686 · 103NHet betonstaal aan de drukzijde vloeit op druk; het betonstaalaan de trekzijde vloeit op trek. Omdat As= As2is de betondruk-kracht gelijk aan de rekenwaarde van de normaalkracht: NEd=8686 · 103N (vgl. (8)).De momentweerstand is (vgl. (10)):MRd= 5000 · 435 · (950 ­ 50) +0,56 · 517 · 500 ·90___1,5(1000_____2­ 0,34 · 517)= 4774 · 106NmmGrenssituatie 3De buitenste vezel van de betondrukzone bereikt de grens-waarde van de betonstuik ecu3; de buitenste betonvezel aan detrekzijde is juist spanningsloos. De hoogte van de drukzone isdus x = h.Het op druk belaste betonstaal aan de drukzijde (As2) heeft derekenwaarde van de vloeigrens al eerder bereikt; het betonstaalaan de trekzijde (As) bevindt zich in het elastische stadium.Nuttige hoogte d = 950 mm; d2= 50 mmBetonsterkteklasse C90/105, staalsoort B500Betonstaal: As= As2= 5000 mm2GevraagdBereken de rekken en spanningen in de maatgevende situatiesen bereken het N-M-interactiediagram.BerekeningVoor beton C90/105 (fcd= fck/ 1,5 = 90 / 1,5 = 60 N/mm2) is degrenswaarde van de betonstuik ecu3= 2,6 · 10-3(EC2; tabel 3.1).Voor staal B500 is eyd= fyd/ Esmet fyd= fyk/ 1,15(fyk= 500 N/mm2; fyd= 435 N/mm2) en Es= 2,0 · 105N/mm2.Voor de bi-lineare spanning-rekrelatie van beton (EC2; fig. 3.4)is voor C90/105 a = 0,56 en ß = 0,34 (hetgeen volgt uitec3= 2,3 · 10-3en ecu3= 2,6 · 10-3(EC2; tabel 3.1) en tabel 1 vandeze bijdrage).Grenssituatie 1De uiterste betonvezel onder druk bereikt de rek ecu3. Veronder-steld wordt dat het betonstaal in de drukzone de rek eydheeftoverschreden of bereikt. De hoogte van de drukzone is(vgl. (1)):x1= [ 2,6 · 10-3_____________________2,6 · 10-3­ 435 / 200 · 103]50 = 306 mmControleer of de rek in het op druk belaste betonstaal dewaarde eydbereikt:es2= [306 ­ 50_______306]2,6 · 10-3= 2,175 · 10-3= eydDe betondrukkracht is (vgl. (4)):Nc= 0,56 · 306 · 500 ·90___1,5= 5141 · 103NDe drukkracht in het betonstaal in de drukzone en de trek-kracht in het betonstaal in de trekzone zijn aan elkaar gelijk(As= As2):Ns= Ns2= 5000 · 435 = 2175 · 103NDe momentweerstand is (zie uitdrukking (6)):MRd= 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+ 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+0,56 · 306 · 500 ·90___1,5(1000_____2­ 0,34 · 306)= 3993 · 106NmmAls NEd= 0 is sprake van zuivere buiging. In uitdrukking (5)zijn de termen dan gelijk aan:Buiging met normaalkracht22009887 Moment-normaalkracht-interactiediagram vanrechthoekige beton-doorsnede C90/105 metsymmetrische wapening As= As2= 5000 mm2..8 Moment-normaalkracht-interactiediagram vanrechthoekige beton-doorsnede C90/105 metsymmetrische wapening As= As2= 10000 mm2.9 Moment-normaalkracht-interactiediagrammen van een rechthoekigebetondoorsnede (b = 500 mm; h = 100 mm)met betonsterkteklasse C30/37 of C90/105 enmet symmetrische wapening As= As2= 5000mm2en 10000 mm2.Es·ec3= 460 N/mm2groter dan fyd= 435 N/mm2zodat debijdrage van het betonstaal aan de drukkracht beperkt wordtdoor laatstgenoemde:Ns= (As+ As2)·fyd= 4350 · 103NDe rekenwaarde van de normaalkracht is danNEd= 34350 · 103N. Er is geen momentweerstand omdat denormaalkrachten geen koppel ten opzichte van het zwaartepuntvan de betondoorsnede leveren.Figuur 7 toont het resultaat van de berekeningen.Rekenvoorbeeld 3 (EC2, par.6.1)In het derde voorbeeld wordt de buigend momentweerstandMRdberekend van een rechthoekige tweezijdig symmetrischgewapende kolom met breedte b = 500 mm en hoogteh = 1000 mm, wederom uitgevoerd in hogesterktebeton, nuechter met twee keer zoveel betonstaal.Gegevens als in rekenvoorbeeld 2, echter:Betonstaal: As= As2= 10000 mm2GevraagdBereken de rekken en spanningen in de maatgevende situatiesen bereken het N-M-interactiediagram.BerekeningDe berekeningswijze zoals toegepast in rekenvoorbeelden 1 en 2leent zich voor automatisering. Daarom worden de resultaten nugetoond die zijn verkregen met een spreadsheetberekening.Omdat de resultaten in belangrijke mate aansluiten bij die vanrekenvoorbeeld 2, worden deze slechts op hoofdlijnen besproken.Grenssituatie 1x1= [ 2,6 · 10-3_____________________2,6 · 10-3­ 435 / 200 · 103]50 = 306 mmwaarbij:es2= [306 ­ 50_______306]2,6 · 10-3= 2,175 · 10-3= eydDe betondrukkracht is (vgl. (4)):Nc= 0,56 · 306 · 500 ·90___1,5= 5141 · 103NDe drukkracht in het betonstaal in de drukzone en de trek-kracht in het betonstaal in de trekzone zijn aan elkaar gelijk(As= As2):De rek in het betonstaal aan de trekzijde is (vgl. (11)):es= [ 950_____1000­ 1]· 2,6 · 10-3= ­0,13 · 10-3, dus ss= ­26 N/mm2De betondrukkracht is (vgl. (4)):Nc= 0,56 · 1000 · 500 ·90___1,5= 16800 · 103NDe momentweerstand is:MRd= 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+ 5000 · (­26) · (1000_____2­ 50)+0,56 ·1000 ·500 ·90___1,5(1000_____2­ 0,34 · 1000)= 3608·106NmmDe bijbehorende normaaldrukkracht is:N = 5000 · 435 + 5000 · 26 + 0,56 · 1000 · 500 ·90___1,5=19105·103NAls x = d = 950 mm is het betonstaal aan de trekzijde juist span-ningsloos en is Nc= 15960 · 103N. Met Ns2= As2·fyd= 2175 · 103N(drukkracht) is NEd= 18135 · 103N. De momentweerstand is.MRd= 5000 · 435 · (1000_____2­ 50)+0,56 · 950 · 500 ·90___1,5(1000_____2­ 0,34 · 950)= 3804 · 106NmmGrenssituatie 4Over de gehele betondoorsnede is de rek gelijk aanec3= 2,3 · 10-3. De betondrukkracht is:Nc= Acfcd= 30000 · 103NIn beide lagen betonstaal is de drukspanning volgend uit00 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000100020003000400050006000rekenwaarde normaalkracht NEd(103N)momentweerstandMRd(106Nmm)7Buiging met normaalkracht 22009 89I Literatuur1 Commentary Eurocode 2. EuropeanConcrete Platform ASBL, June 2008.Ns= Ns2= 10 000 · 435 = 4350 · 103NDe momentweerstand MRd= 5950 · 106Nmm.Voor NEd= 0 (zuivere buiging) is x = 102 mm. De drukspan-ning in het betonstaal aan de drukzijde ss2= 264 N/mm2. Demomentweerstand MRd= 3941 · 106Nmm.Grenssituatie 2De drukzonehoogte is:x2= [ 2,6 · 10-3_____________________2,6 · 10-3+ 435 / 200 · 103]950 = 517 mmDe betondrukkracht is:Nc= 0,56 · 517 · 500 ·90___1,5= 8686 · 103NHet betonstaal aan de drukzijde vloeit op druk; het betonstaalaan de trekzijde vloeit op trek. Omdat As= As2is de betondruk-kracht gelijk aan de rekenwaarde van de normaalkracht:NEd= 8686 · 103N (vgl. (8)).De momentweerstand is MRd= 6732 · 106Nmm.Grenssituatie 3De buitenste vezel van de betondrukzone bereikt de grenswaardevan de betonstuik ecu3; de buitenste betonvezel aan de trekzijde isjuist spanningsloos. De hoogte van de drukzone is x = h.Het op druk belaste betonstaal aan de drukzijde (As2) heeft derekenwaarde van de vloeigrens al eerder bereikt; het betonstaalaan de trekzijde (As) bevindt zich nog in het elastische stadium.De rek in het betonstaal aan de trekzijde is (vgl. (11)):es= [ 950_____1000­ 1]· 2,6 · 10-3= ­0,13 · 10-3, dus ss= ­26 N/mm2De betondrukkracht is:Nc= 0,56 · 1000 · 500 ·90___1,5= 16 800 · 103NDe momentweerstand is MRd= 4529 · 106Nmm.De bijbehorende normaaldrukkracht N = 21 410 · 103N.Als x = d = 950 mm is het betonstaal aan de trekzijde juistspanningsloos en is NEd= 20 310 · 103N. De momentweerstandis MRd= 4782 · 106Nmm.Grenssituatie 4Over de gehele betondoorsnede is de rek gelijk aan ec3.De betondrukkracht is:Nc= Acfcd= 30000 · 103NOok nu geldt weer dat voor beide lagen betonstaal de druk-spanning volgend uit Es· ec3= 460 N/mm2groter is danfyd= 435 N/mm2. De bijdrage van het betonstaal aan de druk-kracht is daarom beperkt tot:Ns= (As+ As2) · fyd= 8700 · 103NDe rekenwaarde van de normaalkracht is NEd= 38700 · 103N. Eris geen momentweerstand omdat de normaalkrachten geenkoppel ten opzichte van het zwaartepunt van de betondoorsnedeleveren.In figuur 8 zijn de resultaten van deze berekeningen grafischweergegeven; figuur 9 toont de resultaten van alle drie de door-snedeberekeningen. )0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000010002000300040005000600070008000rekenwaarde normaalkracht NEd(103N)momentweerstandMRd(106Nmm)rekenwaarde normaalkracht NEd(103N)momentweerstandMRd(106Nmm)68000700060005000400030002000100050000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000C90/105 - As= As2= 10000 mm2C90/105 - As= As2= 5000 mm2C30/37 - As= As2= 5000 mm245000089