Vloeren in woningen (I)doorP.J. van Tu s s e nb re e k, ing.,.hoofdingenieur Bouw. en Woningtoezicht, RotterdamDe G.B.V. 1962 geven voor vierzijdig opgelegde vloeren intabel VIII momenten-co?ffici?nten, terwijl tevens gedacht isaan vloeren, waarbij lyjlx > 2,5 is. Volgens art. 39 mogenplaten, die slechts in ??n richting overspannen, worden bere-kend met tabel VIII, mits de breedte groter is dan de helft vande overspanning, waarbij dan het gestelde in art. 40 onder1] en 12in acht moet worden genomen. In dit art. 40-11 wordtvoorgeschreven, dot het steunpuntsmoment steeds aanwezigmoet kunnen zijn,onverschillig of het naast-gelegen veld belastis of onbelast. Nu dit artikel vele moeilijkheden voorvloeren in wonineen.Ten eerste is de grootte van de breukbelasting, die op ??n veldkan worden aangebracht, don niet gelijk aan een constante co-effici?nt maal de som van de nuttige belasting p en het eigengewicht g. Ook moet in zeer veelgevaHen een bovennetworden aangebracht voor opbuigende momenten.In ort. 40 - 12 staat toch dat eerst de momentennulpunten in hetonbelaste veld moeten worden berekend en dot ten minste dehelft van de voor het steunpuntsmoment benodigde bovenwa-pening dan nog 0,1 I daar voorbij moet reiken. Als het momen-tennulpunt dus op 0,4 I vanaf de oplegging ligt, is er reeds eenboven net over de gehele veldlengte nodig.In fig. 1 is een voorbeeld met gelijke veldlengten gegeven.Nu de breukbelasting die op ??n veld kan worden aangebracht.Indien bij een dakvloer wordt aangenomen dat p = 0,5g, is deberekening als volgt (zie fig. 2):In het onbelaste veld volgt het momentennulpunt uit:(p +g) = 9 (I. x x2) ofwaaruit1/' 3De helft van de wapening moet dan reiken tot 0,25I + 0,1 I =I voorbij het steunpunt. Hoeveel belasting er nu op hetbelaste veld kan worden aangebracht isin fig. 3 aangegeven.breukbelastIngfig. 2fig. 49p+gX 0,91 g. + 1,8 X "6 (p +g)en dit moet weer gelijk zijn aan 0 X (p + g)Met p= 0,5g geeft dit: 1,82+ 2,7 = 30 of 0=1,51.AI heeft men met de voorgeschreven momenten de wapeningbepaald meteen veiligheidsfactor van 1,8, dan kan de breuk-belasting rekenkundig toch niet meer don 1,51 maal de nuttigebelasting plus 0,51 maal het eigen gewicht bedragen (het eigengewicht is reeds 1 maal aanwezig).Terloops kan hier worden opgemerkt, dat bij een fabrieks-matig vervaardigde plaat de op te brengen breukbelasting2,5 maal de nuttige belasting plus 1 maal het eigen gewichtmoet zijn.fig. 3Het onbelaste veld geeft een maximum steunpuntsmoment van9 . 129 = X 0,91 9 . daar op I vanaf hetsteunpunt de bovenwapenmg stopt en daar dus het moment nulmoet zijn als het beton geen trekspannnig opneemt (door an-dere oorzaken dan de belasting kan daar ter plaatse eenscheur ontstoon].In het belaste veld is het positieve breukmoment gelijk aan1,8 X "6 (p + g) daar zonder veiligheid dit moment op"6 (p + g) is gesteld. De som van veld- ensteunpuntsmomentis dus:Met = 12 en p = 9 is de berekening als volgt:In het onbelaste veld moet de helft van de wapening boven hetsteunpunt doorgaan over de gehele veldlengte (zie fig. 4). Deandere helft mag stoppen als het moment X 9 . 12=9 .12is.fig. 1..I9I 1p =0,228gIn zeer veel gevallen zal dan ook in vloeren voor woningen eenboven net nodig zijn.Volgens tabel VIII is:Mvx = -Mix = (p + g)Met 12 = I] is in het onbelaste veld het positieve veldinomentgelijk aan:9 = 0,0059 . 122en het steunpuntsmoment:. 1220,0059 . = 0,120g .Nu moet 0,1209 gelijk zijn aan (p + g) 112; dus 0,0625 p+ 0,06259 = 0,120 g, p = (0,0575 : 0,0625) g= 0,92g.Is p gelijk of groter don 0,92g dan moet eenbovennet wordentoegepast over de volle lengte.Met 12 =0,91] is:0,120g = (p + g) 1]2 ofX 0,92g= 0,0625 p + 0,0625 9P = (0,0347 : 0,0625) 9 = 0,5559Met 12 = 0,81] is:0,120g .122 = (p + g) 1]2 of0,120X 0,82 g = 0,0625 p + 0,0625 9Hierbij volgt x uit:(1- 1=0,1461Zonder rekening te houden met een verankeringslengte kan inhet breukstadium op deze het breukmoment 1,8 X g.zijn en daardoor het steunpuntsmoment:Cemenl XVI (1964) Nr. 3 1451,8X 116 g . [2 + daar de pijl-grootte van van de parabool niet kan wijzigen (zie fig. 5).fig. 6i 1,55 (p+g)I 9x ix I.1: . I' :\2~mnmTt1mTIrrmrrrf~~llllIIlIiJlljJll"~3.-1vloeigrens aangenomen; een werkelijke vloeigrens bestaatniet. Meteen laag wapeningspercentage zal x klein zijn ten op-zichte van h, waardoor de uitrekking van het staal groot kanzijn voordat het gedrukte beton bezwijkt. Bij deze grote uit-rekking nadert de spanning in het staal reeds de breukspon-ning.Een andere gunstige factor is dat, naarmate bij een staaf deaanhechtkracht toeneemt ten opzichte van de trekkracht in diestaaf, ter plaatse van een scheur in het beton, de staaftrekkrachteerder in het beton afvloeit, waardoor de spanningspiekin hetstaal steiler wordt. Hierdoor kan de contractie in het staalworden belemmerd en treedt als het ware een versteviging vanhet staalop.Daar bij kleine diameters de verhouding van de omtrek tot dedoorsnede groter is dan bij grotere diameters, zal deze ver-steviging het meeste effect geven bij dunne staven.Indien nu aan het hiervoor gestelde wordt voldaan, dus eenlaag wapeningspercentage en kleinediameters,kan men derekenkundige breukveiligheid terugbrengen tot ongeveer 85%van 1,8, dus ca. 1,55.Gaat men nu, voor wat de momenten in de vloeren betreft, te-rug naar de G.B.V. 1950, dan waren de veldmomenten voorplaten, die in ??n richting dragen, gelijk aan die van art. 38van de G.B.V. 1962. De grotere steunpuntsmomenten van deG.B.V. 1950 konden bij een proefbelasting op ??n veld nooitten volle benut worden, omdat de bovenwapening niet vergenoeg in de naastgelegen velden doorliep. Het is dan ook teverdedigen om de steunpuntsmomenten niet groter dan .[2te nemen; in de gebruikstoestand is het steunpuntsmomentq .[2 en daar, ter voorkoming van ongewenste scheuren,men niet te veel van de gebruikstoestand mag afwijken, is hetniet raadzaam om het steunpuntsmoment ook kleiner te nemendan 116q . [2.Voor het bepalen van de lengte der steunpuntswapening is hetechter wel mogelijk om in de breuktoestand een kleiner mo-ment dan de veiligheidsfactor maal q .[2 te hebben, mits dedaaruit volgende lengten weer niet te veel afwijken van die inde gebruikstoestand.Er is nog een gunstige factor die in acht genomen kan wordenbij het bepalen van het momentennulpunt in het onbelasteveld. Een tussenliggend steunpunt heeft toch een zekere breed-te en het oplegpunt van de vloer zal zich verplaatsen naar dezijde van het belaste veld. De afstand x in fig. 7 kan dan ookvan het verplaatste steunpunt worden gemeten en ook de af-standHet momentennulpunt in het onbelaste veld volgt uit:0,04375 (p +g) [2 ([ . x-x2) = 0Voor p = ggeeft dit:x2-l.x+O,175[2=O, waaruit x=0,227[Men moet nu de veldrnomenten zo kiezen dat het daarbij be-nodigde steunpuntsmoment in de breuktoestand geen kleinerelengten van de steunpuntswapening _geeft als in de gebruiks-toestand vereist is. Ook wordt in het hier volgende zo veelmogelijk getracht de gedachte van de G.B.V. 1962 te volgen.Met gelijke veldlengten, een veldmoment van 1'2 q. en eenrekenkundige veiligheid van 1,55, is het benodigde steunpunts-moment in het breukstadium gelijk aan (zie fig. 6):X 1,55 (p + g) [2-1,8 X (p + g) [2=== 0,04375 (p + g) [2fig. 51 T2eukbeIastin 9====1 a(p+g)Bij fabrieksmatig vervaardigde platen moet, volgens art. 51-3de breukbelasting, met inbegrip van het eigen gewicht, gelijkzijn aan 2,5 maal de nuttige belasting plus 2 maal het eigengewicht. Met p = 9 geeft dit een veiligheidsco?ffici?nt van 2,25.Met de toelaatbare spanningen van de G.B.V. 1950 en een be-rekening volgens de ri-methode was het mogelijk om met lagewapeningspercentages en kleine staafdiameters een breuk-veiligheid van 2,5 te krijgen, mits de vloeigrens van QR 24 eengemiddelde waarde van 27 kgf/mm2bereikte.Met grotere wapeningspercentages en grotere staafdiameterswas de2,5-voudige veiligheid niet te bereiken en moest daaromde spanning in de wapening lager dan 1400 kgf/cm2 wordenaangenomen.In de G.H.V. 1962 is de veiligheidsco?ffici?nt weliswaar watverminderd, maar doordat bij de breukmethode de inwendigehefboomsarm groter is dan bij de ri-methode, gaat dit voor-deel weer voor een groot gedeelte te niet. Het zal dan ookmet de huidige toelaatbare spanningen moeilijk zijn om altijdde vereiste veiligheid van vooraf vervaardigde onderdelen tebereiken.Indien er echter bij een rekenkundige veiligheid van 1,8, die hijeen vooraf vervaardigde plaat op 2 steunpunten aanwezig is,nog geen gunstige factoren zouden zijn, kan nooit een grotereveiligheid dan 1,8 gevraagd worden.Op ??n van deze gunstige factoren is door mij reeds gewezenin Cement VIII (1956) Nr. 15- 16, blz. 369 - 370, onder 'Breuk-moment en vloeigrens'.Hierin is opgemerkt dat, bij een trekproef, door de kIemklau-wen een horizontale druk op de staaf wordt uitgeoefend waar-door de contractie wordt bevorderd en daardoor het vloeieneerder plaats vindt dan in werkelijkheid, aangezien dan deradiaal gerichte druk op de staaf niet aanwezig is. De werkeli]-ke vloeigrens van het staal is dus hoger dan de trekbank aan-geeft.Bij koudvervormde staalsoorten (QRn) is een denkbeeldigeIn het beluste veld is het breukveldmoment gelijk aan1,8 X 116 (p +g)De som van steunpunts- en veldmoment moet weer gelijk zijnaan a X (p + g) dus2,8 X 116g.[2+1,8X 116Met p = 9 geeft dit 2,8 + 3,6 = 4a ofa = 1,6.De rekenkundige breukbelasting bedraagt dan ook niet meerdan 1,6 maal de nuttige belasting plus 0,6 maal het eigengewicht. \Uit het voorgaande blijkt wel dat het merendeel van de vloe-ren in de woningbouw van een bovennet zou moeten wordenvoorzien.In de praktijk is echter gebleken dat bovennetten, juist in dewoningbouw, veelal naar beneden worden getrapt, reeds v??rof ook wel tijdens het betonstorten. Het geeft al heel veelmoeite om de bovenwapening van een uitstekende balkon-plaat op de juiste hoogte te houden. Daarom is voor woon-huisvloeren door de Bouwtoezichten van Amsterdam, Rotter-dam en 's-Grcvenho?e naar een weg gezocht om, met hand-having van ten minste dezelfde veiligheid als die volgens deberekening met de G.B.V. 1962, een momentenverdeling te vin-den, waarbij de wapening voor opbuigende momenten veelalkan worden gemist.Alvorens hierop nader in te gaan zullen eerst enkele extraveiligheden worden besproken, die soms mede in beschouwingkunnen worden genomen en daardoor voor de vloeren in wonin-gen een lagere rekenkundige veiligheid aanvaardbaar maken.146 Cernent XVI (1964) Nr. 3fig. 9uq.1 21,55 q 1c.1o2fig. 10Uit X 1,55q c2- 0,0217q .12 = 1,8 X q . volgt:c = I = 0,47071Mi X 1,55 q ./2- 0,4707 X 1,55 q ./2+0,0217 q. == 0,0671 q . wat slechts weinig groter is dan de0,0652q . in fig. 8.Ook hier kunnen dus dezelfde lengten van de steunpuntswape-ning worden aangehouden als in fig. 8.Met de rekenkundige veiligheid Van 1,55 is in het breukstcdiumde belasting 1,55 (p +g) en het maximale veldrnoment1,8 (p + g) 12= 5'0 q .geeft =0,4821R= 1,55 X 0,482q [Mi = X 0,482q ./2- X 1,55q .12= -0,Q279q ./2Met q = 2 9 geeft dit Mi = 0,0558 9 . wat kleiner is dan0,0875q .12 bij doorgaande vloeren.Voor uniformiteit en daar men niet te veel af mag wijken vande gebruikstoestand kunnen nu dus weer dezelfde afstandenals bij de voorgaande vloeren worden aangenomen.In fig. 8is het steunpuntsbreukmoment in het belaste veld be-rekend op 0,0652 (p + g) 12enis aangenomen dat hiervan, dus0,217 q . voor rekening van de balk komt.Volgens art. 40.4, kan men, als men een balk voor een gedeelte-lijke inklemming van een plaat rekent (art. 38-1), met behulp vantabel VIII die balk een inklemminesmoment van X " 6 = 3'2 q.van de plaat laten opnernen in het gebruiksstadium.Vooral voor eindopleggingen is dit te optimistisch en wordtin fig. 10 aangenomen dat dit moment in het breukstadium nietgroter is dan 0,0217 q .[2.Dit is nagenoeg gelijk aan het steunpuntsbreukmoment bij vioe-ren op muren dat volgt uif:1,55 2g. [2-1,8 X "2 2g. ./2Men kan dan ook dezelfde formule voor het berekenen van delengte van desteunpuntswapening aanhouden als bij de vloe-ren op ??nsteens muren.Eindvelden van door9aande liggersMet vrije opleggingen geeft de G.B.V. 1950 voor het maxi-male veldmoment q . (:ziefig. 9).9p+gq.1214volgt:x=/2 ( 0,5-Xd i, ( - VI0'292 -0,175Uitdrukkelijk wordt er op gewezen dat dit alleen geldt voor??nsteens muren of muren die daarmee overeenstemmen enniet voor halfsteens muren, daar die reeds op zichzelf slap zijnen dus meegeven.Voor vloeren, die ??n geheel vormen met een balk, kan eengedeelte van het steunpuntsmoment van de vloer door wrin-ging in de balk worden opgenomen. Indien de plaat werkelijkdoor de balk gedragen wordt, dus niet door een balkje vangeringe afmetingen, dat nagenoeg over de volle lengte op eenmuur steunt, en de opleggingen van een balk zo zijn dat dewringing in de balk kan worden overgedragen, wordt aangeno-men dat van het steunpuntsbreukmoment van de plaat doorwringing in de balk wordt opgenomen.Dit is slechts een oanname. Wanneer door een berekeningwordt aangetoond dat het wringingsmoment groter of kleineris, mag of moet dit moment worden aangehouden voor deberekening van de plaat.In de G.B.V.1950 was het veldmoment dan q/2 (zie fig. 8).fig. 7I- x-,12P +9912I" "I" -I"of( 0,175 112)xd+0,04/d=1,081d 0,25----X-1,082Dit is dan de formule voor het berekenen van de lengte vaneen steunpuntswapening bij dunne muren.Bij een ??nsteens muur (dus geen halfsteens muur) of bij eenmuurdikte van ten minste 20 cm zal in fig. 7 de afstand 'd' on-geveer gelijk zijn aan 16 ? 18 cm, wat bij een vloeroverspanningvan 4 m overeenkomt met 0,04/. Hierdoor wordt12 = ld + 0,081d = 1,081d en Xd = x - 0,04ld'UitIndien 12 kleiner is dan IJ moet toch in de breuktoestand hetinklemmingsmoment van 0,04375 (p +g) IJ2 worden geleverd.In fig. 7 volgt dan x uit:0,04375(p +g) (12' x-x2)P = 9 geeft:x2- /2 . x +0,175/12= 0Hieruit volgt:x= 12 (fig. 8Het veldmoment kan in het breukstadium oplopen tot1,8 X +g) 12.Met een 1,55-voudige rekenkundige veiligheid is de sorn vanveld- en steunpuntsmoment dan weer gelijk aan1,55 (p +g)Het steunpuntsbreukmoment is:1,55 (p +g) 1,8 X (p +g) 12= 0,0652 (p +g) 12Met p =g en aannemende dat van dit moment door wringingin de balk wordt opgenomen, blijft voor de naastliggendeonbelaste plaat over 0,087 9 .Bij de vloeren over meer dan 3 steunpunten is voor balken opde tussensteunpunten een wringingsmoment van 0,0217 q .IJ2 =0,0434 9 . lJ2 aangenomen. Een ??nsteeens muur boven eensteunpunt kan per 1000 kgf/m muurdruk een moment van1000 X X 0,22 = 37 kgfm opnemen, zonder dat in die muurtrek ontstaat.Indien de muur een druk van (0,0434 9 ./]2: 37) X 1000 kgfper meter hoven op de vloer uitoefent, kan die ??nsteensmuur geliik worden gesteld oen een balk.Alvorens een resum? te maken moet er met nadruk op wordengewezen dat de berekening van de lengte van de wapeningin een onbelast veld berekend is uit de breuktoestond.Cemenl XVI (1964) Nr. ]47wordt vervolgd0.750.80- - - o p l e g g i n g op halfsteens muuroplegging op ??nsteens muur in Ieningewapend-betonbolkln enm0.900.2OAbogen voor de veldwapening, steeds eindigen met een rondeof schuine haak, behoudens als het staal voldoet aan de eisenvan art. 17 lid 2b of 2c.Minimum wapeningIndien men l,S maal de wapening toepast die uit de sterkte-berekening volgens de voorschriften volgt, behoeft niet aanart. 32-7, te worden voldaan.Vloeren op 3 steunpuntenIn een volgend nummer van Cement zal nader op deze vloerenworden ingegaan.1 1/1 of /21:ql2.1.10 12 12holf-of??nsfeens muur1 1ldQ.121 1 i,10bolk1 1 1~mo 1 112fig. 11Resum?Voor vloeren in woningen waarbij:a. de nuttige belasting p niet groter is dan 200 kgf/m2enniet groter dan het eigen gewicht 9b. de overspanning per veld niet groter is dan 4,50 mc. het wapeningspercentage niet groter is dan:0,75% voor staal QR240,5 % voor staal QR 40 en QRn 400,45% voor staal QR48 en QRn 48d. de diameter van de wapening niet groter is dan 12 mm voorstaal QR 24 en 10 mm voor staal met grotere treksterkte,moeten voor het berekenen van de wapeningsdoorsneden tenminste de momenten van fig. 11 worden aangehouden, waarbijde lengte van de helft van de benodigde wapening voor hetsteunpuntsmoment geen kleinere lengte mag hebben dan in debijbehorende grafiek is aangegeven.De andere helft van deze wapening mag eerder eindigendoch niet korter zijn dan de halve lengte volgens de grafiek.Deze steunpuntswapening moet, indien deze niet wordt afge-Ook moet nog het minimum wapeningspercentage van 0,25%,respectievelijk 0,20% van art. 32 - 7 nader worden toegelicht.Dit wapeningspercentage is vastgesteld met het oog op plotse-linge breuk bij overbelasting.Het is echter niet nodig om de plaat zo te wapenen dat bijzeer grote overbelasting de vloer nog niet plotseling kan be-zwijken. Met p = 9 en een werkelijke veiligheid van 1,8, kande op te brengen belasting (2 X 1,8-1) p = 2,6 p zijn voor-dat breuk optreedt. Indien men de veiligheidsco?ffici?ntverhoogt tot l,S X 1,8 = 2,7 dan kan de breukbelasting(2 X 2,7-1) p = 4,4 p zijn.Heeft men toch bij een vloerdikte van 8 cm volgens de bere-kening 2,0 cm2 aan staal QR 24 nodig, dan voldoet deze wape-ning juist aan de 0,25% van art. 32 -7.Maakt men deze vloer dikker, bij voorbeeld 16 cm,dan moetde dubbele hoeveelheid wapening worden toegepast en is deop te brengen breukbelasting (4 X 1,8- 2) p = 5,2 p.Voor woonhuisvloeren is een veiligheidsco?ffici?nt vanl,S X 1,8 = 2,7 voor plotselinge breuk bij overbelasting welvoldoende.De h oe vee I hei d wapening boven een steunpunt en delengte daarvan mag echter niet te veel afwijken van die, welkeinde gebruikstoestand nodig is; vandaar dat voor het bereke-nen van de wapeningsdoorsnede boven een steunpunt geenkleinere momenten mogen worden genomen dan die in tabel VIIIvan de G.S.V. 1962.Rapporten van de Commissie voor Uitvoering van Research (C.U.R.)1. 'Literatuurstudie over de opbouw van beton' (j 1,50) 76. 'Betonplaten onder geconcentreerde lasten', 2 delen2. 'De slip bij ende sterkte van eindverankeringssystemen (j 7,-) ook verkrijgbaar in het EngelsFreyssinet en Magnel' (f 2,50) 77. 'Vibration problems in prestressed concrete' (j 5,-)3. 'Onderzoek van hoogwaardig betonstaal voor voorge- 78. 'Niet-destructief onderzoek van beton' (f 6,-)spannen beton' (j 3,50) 79. 'Temperatuureffecten in zware betonconstructies t.g.v.4. 'Brandproeven op voorgespannen betonliggers' (j 1,50) de hydrateringswarmte van cement' (j 6,-) .5. 'Niet-destructief onderzoek van beton (j 2,-) 20. 'Onderzoek naar het effect van beugels in gewapend-6. 'Het verwerken van beton bij lage temperaturen (/3,-) betonkolommen bij gebruik van staal =R 24 (j 6,-)7. 'Versnelde verharding van beton door verwarming' 21. 'Metingen op de bouwplaats' u5,-)(/3,-) 22. 'Weerbestendigheid van beton' (f 6,-)9. 'Vergelijking plasticiteitsberekening met de n-methode 23. 'Onderzoek naar de samenwerking van geprofileerdbij zuivere buiging (j3,50-) staal met beton' (j 4,-)71. 'Onderzoek van de voorspankracht bij de verankering 24. 'Betonplaten onder geconcentreerde lasten' (j 4,-)met een holle drukdoos/ (j 2,-) 25. 'Onderzoek betreffende het stomen van beton' (j 4,-)14. 'Onderzoek van hoogwaardig betonstaal voor voorge- 26A.'De berekening van platen velgens de vloeilijnentheorie'spannen beton' (j 6,-) (j 4,-)75. 'Onderzoek van de statische druk uitgeoefend door ce- 27. 'Onderzoek Over injectieproblemen bij voorgespannenment op silowanden bij pneumatische aftapping' (f 1,80) beton' (j 6,50-)Deze C.U.R.-rapporten kunnen schriftelijk of telefonisch besteld worden bij het Secretariaat van de Betonvereniging,Nassau Dillenburgstraat 42, 's-Gravenhage, telef. (070) - 24.36.46.]48 Cement XVI (1964) Nr. 3