ir.P.StroevenLeerstoel Gewapend Beton TH-Delftfig. Ifig. 11')zie litt. 1, blz. 172)zie Iitt.2, blz. 91-963)zie litt. 3, blz. 458-461; litt. 4, blz. 140,180; litt.5, blz. 3, 4N.B.De litteratuurlijst is gepubliceerd opblz. 558Cement XXI (1969) nr. 12Van asymptotische lijn totkarakteristiekEnige kanttekeningen betreffende de relatie tussen geometrische en stati-sche eigenschappen van een dunne, f/auwgekromde schaa/constructie metnegatieve krommingsindex, speciaal met betrekking tot de cono?de.U.D.C.624.074.4-433.52/.53:513.63:624.04Wiskundige en statische eigenschappen van dubbelgekromde schalenThe derivation presented above is for a one-sheeted hyperboloid on which there are familiesof straight lines. For less simple shells of negative curvature, families of curved characteristicIines instead of straight generatrices may be found. An example will be found in the case ofthe cono?d. Then it should be remembered that the load P at the edge not only trave/s alongthe characteristics but it also influences parts of the shell between the characteristics. ')1. Doel van deze bijdrageBij het berekenen van schaalconstructies met behulp van de (momentvrije-) membraanmetho-de zijn het met name negatief gekromde schalen, die ten aanzien van de formulering van derandcondities extra zorg vereisen.Opzet daarbij is om de premissen die aan de methode ten grondslag liggen zo weinig moge-lijk geweld aan te doen. Een zo 'natuurlijk' mogelijk afvloeien van de belasting zal moetenworden nagestreefd, waarbij de vrijheidsgraad tot het opnemen van zuivere buiging ge?limi-neerd is.De analogie tussen de beschrijvingen van het krachtsverloop en het vervormingspatroonenerzijds en een duidelijke geometrische interpretatie hiervan anderzijds, maken het de con-structeur mogelijk zich een beeld te vormen van de wijze waarop de schaalconstructie deerop werkende krachten doet afvloeien naar de ondersteuningsconstructie. Tevens kan dezebeschouwing in het ontwerpstadium dienen om de voor een stabiele constructie noodzakelijkerandvoorzieningen (-ondersteuningen) te bepalen.Niet alleen voor tweedegraadsoppervlakken, zoals de hyperbolische parabolo?de (hyppar), isdit een bruikbare en veel gebruikte methode2), doch, gesteund door de geometrische inter-pretatiemogelijkheid, is het evenzeer mogelijk, zonder daarbij voor principieel moeilijker pro-blemen gesteld te worden, tot de analyse van hogeregraads (negatief gekromde) oppervlak-ken over te gaan.In deze bijdrage zal de cono?de als vertegenwoordiger van deze categorie schalen wordengehanteerd.2. Geometrie van negatief gekromde oppervlakkenOmdat een oppervlak tweedimensionaal is kan, voor de formulering van geometrische eigen-schappen van twee, bij voorkeur orthogonale co?rdinaatrichtingen, worden uitgegaan. Ditnaar Gauss genoemde co?rdinatensysteem maakt het mogelijk alles in het vlak van de - tothet middenvlak gereduceerde - schaalconstructie te beschrijven. Voor de formulering van degrootte van de kromming is evenwel een derde onafhankelijke co?rdinaatrichting noodzake-lijk. Immers, pas vanuit de de schaal omringende driedimensionale ruimte wordt de krommingwaargenomen. In ieder punt van een gebogen oppervlak valt een raakvlak aan dit oppervlakte construeren. Slechts bij een negatief gekromd oppervlak bevindt zich zowel een gedeeltevan het oppervlak boven als onder dit vlak.Er worden snijkrommen gevormd, die in hun eenvoudigste gedaante - bij de hyppar - rechtenzijn.Is dit een kwalitatieve aanduiding voor de krommingsmaat van Gauss (K), voor een meergedetailleerde, kwantitatieve beschrijving van de krommingseigenschappen is het nodig hetraakvlak over een 'oneindig kleine' afstand 0 te verplaatsen. Er ontstaat dan een kegelsnede,de zgn. indicatrix van Dupin, die voor een flauwgekromde schaal de volgende gedaante heeft:(Fz (l2z (l2zo= (lx2 dx2+ 2 (lx(ly dxdy + (ly2 dy2 3), (1)waarbij de schaal in een gebruikelijk cartesiaans co?rdinatenstelsel (x, y, z) gegeven is doorde functie:z = g(x,y)De hoofdassen van de indicatrix geven de hoofdkromterichtingen, de asymptoten de asymp-totische richtingen in het betreffende punt van het oppervlak aan.Lijnen op het oppervlak die in ieder punt een asymptotische richting bezitten heten de asymp-totische I?nen van het oppervlak.552figuur 1cono?dey.+y(".o')2Grafische bepaling van de hoofdkromte-richtingen en de asymptotische richtingenvan een cono?de4)zie litt 6, blz. 1065)zie litt 1, blz. 29, 30; litt 6, blz. 179Cement XXI (1969) nr. 12In ieder punt van een negatief-gekromd schaaloppervlak worden zo twee richtingen gedefini-eerd, waarin de schaal geen kromming bezitZoals in fig. 1 schematisch is weergegeven voor een 'oneindig klein' elementje dx. dy zal eennormaalkracht N b? voorkeur de 'rechte weg' (asymptotische IUn) zoeken, terwUI ook buigingzich zal concentreren in de richting waarin geen kromming aanwezig is.Een conoide kan in zUn eenvoudigste gedaante beschreven worden door de functie:z = ft(x2_a2) , (2)waarin f, a en L geometrische grootheden zUn, waarvan de betekenis blijkt uit fig. 2.De asymptotische richtingen van de door (1) gegeven kegelsnede volgen uit (1) na nulstellingvan het linkerlid. Immers /) = 0 definieert de richtingen van de snUIUnen ter plaatse van hetraakvlak aan het schaaloppervlak. Voor de cono?de volgt er:2 fy . dx2+ 4 fx. dxdy = 0,met als oplossing voor de asymptotische richtingen:1. dx =0 =tg"(l (3a)dy -y2. dx = 2X = tg "(2 (3b)Op het oppervlak van de cono?de kunnen nu twee typen asymptotische I?nen aangegevenworden. Zij worden beschreven door:1. x.= Cl (4a)2. yx = C2 (4b)De door variatie van Cl en C2, die langs ??n asymptotische lijn constante waarden bezitten,met behulp van (4a) en 4b) te construeren lUnsteiseis worden in het nu volgende met C1- enC2-stelsel aangeduid (fig. 2).C,//IJ voerstroo l :/ Y?"g P/'JKvo."'roo l:Y"'g'I_--r-_ / ":c, Cz%~?..--?_?----..?----?-l----------f---..--'./ iI iI i".............!.J,----'.~!~ i~. j;~?R.c.l.r