ir.W.A.Eismair.G.J.HobbelmanTH Delft, afdeling der Bouwkunde.m.m.v. de studenten S.Bennema, A. den Boeren C.GroeneveldToegepaste mechanicaen architectuurIn Cement XXXI (1979) nr. 10zijn in het kort deresultaten vermeld van een onderzoek naar deberekeningswijze voor een gebouw met gepre-fabriceerde dragende gevelelementen (fig. 1).Gebleken is dat een berekening met behulp vande computer mogelijk is door gebruik te makenvan de elementenmethode, waarbij voor ??ngevelelement de stijfheidsmatrix wordt be-paald. Een analyse van de gevonden krechts-verdeling heeft het mogelijk gemaakt om tekomen tot een globale handberekening.Het onderzoek naar de krachtsverde/ing in dekop- en langsgevels en de vormveranderingvan de constructie tengevolge van de horizon-tale belasting op het gebouw is verricht door desector 'toegepaste mechanica' van de Afdelingder Bouwkunde TH Delft. Door de opgedanekennis en ervaring is het voor de medewerkersvan deze sector mogelijk om studenten in teschakelen bij een nader onderzoek als vervolgop genoemd onderzoek, dat immers slechtsbetrekking had op een gebouw, samengestelduit standaardgevelelementen die door Ergon-Spanbeton worden geleverd (fig. 3a).1Modelgebouw met dragende gevelelementenCement XXXII (1980) nr. 4ArchitectuurDe studenten hebben in het kader van hunbouwkunde-studie, hoofdzakelijk op basis vanarchitectonische overwegingen, een 'eigen' ge-velelement ontworpen (fig. 2). Van elk elementisde stijfheidsmatrix bepaald. De krachtsverdelingin de gevels is vergeleken met die welke volgt uithet onderzoek met de standaardgeveIelemen-ten.Omdat het uiterlijk van de gevels van eengebouw met (vlakke) dragende gevelelementenveelal als saai wordt ervaren, mede door hetgrote repetitie-element, hebben de studentenmet een vormstudie onderzocht of een verle-vendiging van het uiterlijk van hun elementenmogelijk is (foto 2a).Door de staf van de sector toegepaste mecha-nica zijn nog twee gevelelementen ontworpen;om aansluiting tehoudenmethet reeds verrichteonderzoek is de vormgeving van deze elemen-ten direct afgeleid van het standaardgeveIele-ment (fig. 3).OnderzoekDe stijfheidsverhouding van de regels en stijlen(Eh/Els) en van de hoogte/lengte?verhoudingvan de stijlen (h/I) van de ontworpen gevelele-2aVormstudie voor verlevendiging van gevels vangeprefabriceerde dragende elementen195menten verschillen aanmerkelijk. Onderzocht isof dit verschil van invloed is op de krachtsverde-ling in de gevels, indien het gebouw wordt belastdoor horizontale (wind)krachten.KrachtsverdelingKopgevelBij beschouwing van een m-beukige portaal-constructie (fig. 4) waarbij de portalen ter plaatsevan de regels scharnierend aan elkaar zijnverbonden en waarop een horizontale kracht Haangrijpt, blijkt dat:- elk portaal wordt belast door een horizontalekracht S = .H en een verticale dwars-m1 Lkracht Or = - . H . -'m B'- de verticale oplegreacties zich concentrerenin de buitenste steunpunten, zodat1 LRv=-?H?-.m BDit geldt indien de rekstijfheid van de eindstijlenals oneindig groot wordt aangenomen, Aange-zien deze rekstijfheid in het algemeen nietoneindig groot zal zijn, zullen verstoringen in dekrachtsverdeling optreden. De horizontale ver-Iopp. 39 %f top' 37.2 mm+-'200%f top - 30.9 mm1800-37.2 mm! 1900raarnepp.. 37 %I"500 .00 Iraarnopp. 27%flop _ 10.3mm'800flop _ 10.3mmI 1800IIIraarncpp., 31%1200raarnopp.2Architectonisch ontwerp voorgevelelementen3Standaardgevelelement van Ergon-Spanbeton(links) en afgeleiden daarvanplaatsing van de regel vaneen binnenportaal is,indien de regel als oneindig stijf wordt be-schouwd.qelijk aan =_1_. HL3 (fig. 5a). Dit2m 3EIsgeldt ook voor de verplaatsing van de regel vaneeneindportaal.Door de lengteverandering van de buitenstijl vanzo'n portaal wordt de verplaatsing (fig. 5b)echter vergroot met de waarde1 L HLf2 =-' (_)2._.m B EAsVoor fbu = f1 + f2en fbi = f1 geldt dan, als h dehoogte is van de doorsnede van de stijlen, dat:fbu= fbi' [1 + '/2Indien de regels van de portalen niet alseindig stijf worden beschouwd dan neemt de. Els Bverplaatsinq f1 toe met de factor (1 + '/2--' -i.LD?ze factor is meestal klein, zodat in het alge-meen kan worden gesteld dat, als gevolg van descharnierende knooppunten in de regels, destijfheidsverhouding van de regels enstijlen vrijwel geen rol van betekenis speelt in deuiteindelijke krachtsverdeling in de portaalcon-structie.De verplaatsingen fbu en fbi zullen in werkelijk-heid gelijk moeten zijn. Dit betekent dat dehorizontale kracht H niet gelijkmatig wordt ver-deeld over de portalen. Tengevolge van de'correctiekrachten worden de oplegreactiesRv kleiner en ontstaan in de middensteunpuntenoplegreacties, die ongelijk zijn aan nul (fig. 6).Voor een m-beukig raamwerk met n bouwlagen,waarop per bouwlaag een horizontale kracht Haangrijpt, kan op overeenkomstige wijze voor deonderste bouwlaag worden afgeleid"' [ Lh]fbu = fbi' 1 + '/4 (n + 1) .Hierbij is er van uitgegaan dat het buigendmoment, dat door de horizontale krachten wordtopgewekt, uitsluitend zal worden opgenomendoor de eindstijlen van de onderste bouwlaag.4Portaalconstructie metscharnierendeknooppunten5a binnenportaalb buitenportaalLJ.I 8 8o,HElrEls Els Els Els Els Els8 8 binnen6Correctiekrachten Ci7Invloed van meerdere bouwlagen op decorrectiekrachtenI II II II II 111 H DrI IDrbinnen buitenI, fI f, ,, ,1, 5 /ICement XXXII (1980) nr. 4 196, 0o1 H Lr r-:IVL//1IJoOrRvL8Schematisering tot 'tiubbetpotteleri'B B10Concentratie de verticale oplegreacties inde buitenste steunpuntenIndien de verticale oplegreacties zich concentre-ren in de buitenste steunpunten dan geldt voorde grootte Rv van deze reactiekrachten (fig. 10):ResultatenVoor de gevelelementen van figuur 2a en figuur 3(L = 2B) is, voor vijf bouwlagen, met behulpvan de computer het verloop van de oplegreac-ties in de onderste bouwlaag bepaald, indien dehorizontale windkrachten H = 110 kN wordenopgenomen door de kopgevel alleen. Voor dezeelementen varieert de factor tussen de waar-den 1,1 en 1,2. Deze variatie heeft nauwelijksinvloed op het verloop van de oplegreacties(Rv = 290 - 296kN) (fig. 11). Uit een analyse vande krachtsverdeling blijkt dat de binnengevel-elementen vrijwel in evenwicht worden gehoudendoor de schuifkrachten S = . H en de verticalemdwarskrachten DJ= .H . in de randbalk term Bplaatse van de bovenzijde van de elementen.Voor de buitengevelelementen geldt dit nietomdat de kracht D, niet kan optreden aan debuitenzijde van zo'n element (fig. 15). Hierdoorontstaan de correctiekrachten Ci.PrognoseDoor de horizontale krachten H per bouwlaagwordt een inklemmingsmoment Mopgewekt,waarvoor geldt:M = '/2 n (n + 1) . H .LDoor de correctiekrachten Ci zal de werkelijkegrootte van Rv kleiner zijn. De vermindering vande grootte van Rv is des te groter naarmate defactor of groter is. Het meewerken van delangsgevels (gevelbuis) zal tot gevolg hebbendat vooral de eindelementen in de onderstebouwlaag van de kopgevel aanzienlijk gunstigerworden belast.de buitenstijlen van de eindportalen gehalveerd.Voor de verhouding van de verplaatsingen fbu enfbi van de buiten- en binnengevelelementen kandan ook worden gesteld dat, door de samenwet-king van kop- en langsgevels, als goede bena-dering geldt dat:fbu = fbi' [1 + '/4 n = fbiHet vervormingsgedrag van de gevelelementenin de kopgevel, tengevolge van de horizontalewindkrachten H, wordt hoofdzakelijk bepaalddoor de S-vormige uitbuiging van de stijlen. Degevelelementen kunnen daarom worden ge-schematiseerd als dubbelportalen (fig. 8). Ditbetekent dat ook de krachtsverdeling in dekopgevel, als samenstel vangevelelementen,vrijwel onafhankelijk zal moeten zijn van destijfheidsverhouding van de regels en stijlen vandeze elementen.Voor de verhouding van de horizontale verplaat-singen fbu en fbi van de buiten- en binnengeveI-elementen van de onderste bouwlaag geldt,indien rekening wordt gehouden met de werke-lijklengte I van de stijlen:fbu + '/2n' )2. J= a'fbiDe grootte van de factor wordt dus bepaalddoor de hoogte/breedte-verhouding van de ge-velelementen (L/B) en door de hoogte/lengte-verhouding van de stijlen (h/I). Deze laatsteverhouding vloeit voort uit de relatie tussen debuig- en rekstijfheid van de stijlen.Ook nu is de verhouding tussen fbu en fbi vrijwelonafhankelijk van de stijfheidsverhoudingElriEls. Door de invloed van het aantal bouwla-gen n zullen de correctiekrachten Ci groterworden (fig. 7). Dit heeft tot gevolg dat deoplegreacties in de middensteunpunten groterworden en de oplegreactie Rv verder afneemt.GevelbuisBij beschouwing van een m-beukige portaal-constructie waaraan twee portalen zijn toege-voegd, loodrecht op de oorspronkelijke con-structie (fig. 9), blijkt dat:- elk binnenportaal wordt belast door een hori-zontalekracht S = . H en een verticalem1 Ldwarskracht Or = - . H .m B- de buitenportalen worden belast door dekrachten S en de verticale dwarskrachten D,en Ohoek = '/2 Or- de verticale oplegreacties zich concentrerenin de buitenste steunpunten, zodat1 LRV=--'H '-2m BDoor het meewerken van de toegevoegde porta-len wordt dus de grootte van de normaalkracht inn.LRvRn(n+l) H Lm.B9Krachtwerking bijgevelbuisprincipeI I II I I I I II " I I IH i l i I 1 II I I I I ,: : " I 'II I , I IH l ' I I I I: I1 1 1, I , I I II I I I I 1I , 1 I II I I I J II , , I , ,I I I I I :I I I I IH 1 1 I I II ' J , I I: :, 'I' 'I, 'I' 'I' 'I' ,: 11\---+ICement XXXII (1980) nr. 4 197hoekelement kopgevel17Normaalkracht stijlenn (n + 1) HI340m Elsf = 1 2. n (n + 1) .2. =top, 2m 3EIsOok voor een gebouw met tien bouwlagen is hetverloop van de opleqreacties bepaald. In ditgeval kan het verloop van de oplegreactiesworden geschematiseerd volgens figuur 18c,Mzodat geldt dat Rv = 1/2 - - ,m?BVoor de dimensionering van de randbalken aande achterzijde van de gevelelementen moetworden gerekend meteen dwarskracht2n -1 L2m BDe horizontale verplaatsing aan de top van hetgebouw wordt grotendeels (80-90%) bepaalddoor de S-vormige uitbuiging van de stijlen. Alsgoede benadering kan worden aangehouden:n L= 1/2 (Rv - -' - '2m BVoor een gebouw met vijf bouwlagen kan, zoalsblijkt uit de resultaten (fig. 11-14), het verloopvan de oplegreacties worden geschematiseerdvolgens figuur (kopgevel alleen) of volgensfiguur 18b (gevelbuis). Uit beide figuren is af teleiden dat Rv = Als gevolg van dem?Bhoogte h van de stijlen, die is vereist voor hetopnemen van het moment MSlijl (scheurvor-ming!), zal deze waarde voorRv in het algemeenniet worden overschreden.Voor het maximale buigende moment in destijlen geldt:n?H nMSlijl = - - ' '/212m 4mDe stijlen kunnen veilig worden gedimensio-neerd indien wordt gesteld datRv indienm?BM het inklemmingsmoment is dat door de hori-zontale krachten H wordt opgewekt. Voor denormaalkracht in de stijlen van de hoekelernen-ten 17) geldt dan dat:LNstijl = 1/2 (Rv - '/2 S .Bbuiten - elementbuiten-elementVoor de gevelelementen van de figuren 2b en 2ckan worden gesteld dat de waarde = 1,2 resp.circa 1,3. Door de grotere waarde van zal degrootte van de reactiekracht R; in de buitenstesteunpunten afnemen, zoals ook blijkt. uit hetverloop van de oplegreacties (fig. 13-14).ConclusieDe vormgeving van de gevelelementen heeftenige invloed op de krachtsverdeling in degevels. Deze invloed is niet het gevolg van destijfheidsverhouding van de regels en de stijlenvan de gevelelementen, maar van deverhouding tussen de buig- en rekstijfheid (h/I)van de stijlen.Hbinnen elementVoor het standaardgevelelement (fig. 3a) is ookhet verloop van de oplegreacties bepaald (fig.12) indien wordt uitgegaan van een sarnenwer-king tussenkopgevel en aansluitende delen vande langsgevels (gevelbuis). Veilig kan wordenaangenomen dat dit verloop ook geldt voor degevelelementen van de figuren 2a, 3b en 3cwaar de factor varieert tussen de waarden 1,05en 1,1. Uiteen analyse van de krachtsverdelingblijkt dat de binnengevelelementen vrijwel inevenwicht worden gehouden door de krachten2n -1 L2m BAan de buitenzijde van de buitengevelele-menten werkt nu echter een dwarskrachtDhoek 1/2 . 16). Dit heeft tot gevolg datdecorrectiekrachten Ci ongeveer worden gehal-veerd. Hierdoor wordt ook de reactiekracht in hetsteunpeunt direct naast de hoek van het gebouwgelegen, ongeveer gehalveerd (fig. 11-12).16Krachtswerking In binnen- en bultenelementbij'gevelbuisprincipe'binnen element15Krachtswerking in binnen- en buitenelementbij'kopgevel alleen'5 bouwlagen( gevelbujs]Mw?ndm.S12volgensfig.2een 3{kop?evet alleen}Rv5(kopgevel alleen}10 bcuwta?env (gevelbuis)18[Bs-cVerloop van de oplegreacties in de onderstebouwlaag, geschematiseerd11-14Verloop van de oplegreactie in de onderstebouwlaag, voorverschillendeelementtypen, bij'kopgevel alleen'en bij 'ge vetbuisprincipe,Cement XXXII (1980) nr. 4 198