D.W.E.Smitdirecteur N.v. BEFARO - RotterdamzetmaatproductieUit de zetmaat van het gerede produktkunnen consequenties getrokken wordent.a.v. de samenstellingCement XXI (1969) nr. 9Statistische hulpmiddelen bijde .kwaliteitscontrole van betonU.D.C.666.972:658.562.012.7InleidingVolgens Van Dale's 'Groot W?erdenboek der Nederlandse Taal' is kwaliteitscontrole, al watdient om de kwaliteit van industri?le produkten te verzekeren, inzonderheid de toepassingvan wiskundig statistisch? methoden daartoe. Kwaliteit wordt gedefinieerd als hoedanigheidvan stoffen en waren met betrekking tot het gebruik, dat ervan gemaakt moet worden, dedeugdelijkheid. Dit laatste kan kort samengevat worden als:'Kwaliteit is het beantwoorden aan het gestelde doel'Om de juiste kwaliteit te kunnen leveren moet men:1. het gestelde doel kennen2. weten, op welke wijze de afnemer de kwaliteit beoordeelt3. in staat zijn aan deze eisen te voldoen.Kwaliteit van beton wekt dikwijls associaties met druksterkte, wellicht ook door de aanhefvan artikel 12 van de GBV 1962: 'Het beton wordt onderscheiden in drie kwaliteiten: K 160,K 225 en K 300'.In de praktijk zijn er een groot aantal kwaliteitsaspecten, wa~rvan sommige afzonderlijk enandere gecombineerd kunnen voorkomen, zoals bijv. specietemperatuur, mobiliteit, stabiliteit,tijdstip van aanvang binding, krimp, sterkte-ontwikkeling (als eigenschappen, die slechts ge-durende een korte periode van belang zijn) naast eigenschappen van het verhard beton als:eindsterkte, bestendigheid, volumegewicht, waterdichtheid, enz.Helaas zijn er in Nederland nog weinig beoordelingsmethodieken ontwikkeld om deze kwali-teitsaspecten te bepalen. Hier bestaat m.i. grote behoefte aan normalisatie, zowel wat betreftde methoden als ook de criteria. 'Sommige van de genoemde eigenschappen lenen zich voor een directe terugkoppeling, om-dat ze snel en eenvoudig te bepalen zijn. Het eenvoudigste voorbeeld is de temperatuur vanverwarmde betonspecie. Men meet de temperatul,lr van de specie en regelt aan de hand vandeze waarneming bijv. de temperatuur van het mengwater. Ook de plasticiteit van de beton-specie leent zich voor terugkoppeling (fig. 1).Men controleert van het produkt de eigenschap 'zetmaat' en wanneer men constateert datdeze gaat afwijken van de gewenste waarde, stuurt men bij door middel van de water-dosering. Uiteraard moet men aan deze terugkoppeling grenzen stellen om te zorgen, dat deuitlevering en het cementgehalte, respectievelijk de water-cementfactor, niet ontoelaatbaargaat afwijken. In de praktijk betekent dit, dat men aan de mengmeester de limieten opgeefttussen welke de hoeveelheid toe te voegen mengwater zich mag bewegen.Wanneer men echter het produktie-proces moet regelen met als einddoel een produkt meteen bepaalde 28-daagse kubussterkte (bijv. K 300), dan kan er natuurlijk van een dergelijketerugkoppeling geen sprake zijn.Men moet dus vast kunnen rekenen op het te zijner tijd bereiken van de vereiste sterkte endit is alleen mogelijk door te zorgen voor:een goede kwaliteitsbeheersing op basis van kennis en ervaring.Een regelmatige controle van de factoren, die van invloed zijn op de kwaliteit (zoals de toe-gepaste water-cementfactor bij levering op sterkte) voorkomt onaangename verrassingen.Hoe beter men het proces 'stuurt', hoe kleiner de spreiding in de resultaten.De meest gehanteerde kwaliteitseis is ongetwijfeld de 28-daagse kubusdruksterkte volgensde controleproef, enerzijds doordat deze in de GBV 1962 is vermeld als K 160, K 225 en K 300en anderzijds omdat in veel gevallen de sterkte ook wel een indruk geeft over de kwaliteit inandere opzichten, bijv. slijtweerstand. Eenvoudigheidshalve zal ik mij daarom in het navolgen-de beperken tot de kubusdruksterkte, hoewel andere kwaliteitsaspecten zich ook wel lenentot statistische behandeling.Het verzamelen van gegevensOm door ervaring wijs te worden moeten we zorg besteden aan het verzamelen van belang-rijke gegevens. We zullen dus systematisch de factoren, die van invloed zijn op de verschil-lende eigenschappen van beton, vastleggen benevens de uiteindelijk bereikte kwaliteits-resultaten, dus bijv.:400Cement XXI (1969) nr. 9? de zeefanalyse van de toeslagmaterialen en van het mengsel;? de vochtgehalten van het zand en het grind;? de afgewogen hoeveelheden van de materialen;? soort, .klasse en fabrikaat cement;? de water-c.ementfactor;? de maximum en minimum temperaturen (resp. een thermogram);? de zetmaat;? de kubussterkte vo(gens de controleproef.Nu zullen al deze factoren in de praktijk nooit voortdurend volkomen gelijk blijven, zodat wemogen verwachten, dat daardoor ook in de resultaten fluctuaties zullen optreden (in onsgeval dus de 28-daagse kubussterkten). Onze bedoeling is om het verband tussen de ver-schillende oorzaken en de gevolgen te ontdekken, zodat we daardoor in staat zullen zijn errekening mee te houden.Als voorbeeld gaan we een groot aantal 28-daagse kubussterkten verzamelen, die tot ??nstatistisch? populatie behoren. Dit bereiken we door uit te gaan van grondstoffen met redelijkconstante eigenschappen, die wij steeds gebruiken om een in principe gelijke betonsamen-stelling te maken. Invloeden? als omgevingstemperatuur, betrouwbaarheid van de weegappa-ratuur en toe"gepaste mengenergie vertonen tijdens onze proeven slechts weinig fluctuaties,met andere woorden wij beheers~n ons produktieproces goed.Stel: we produceren 50 charges 1:molenvullingen) van 3 m3elk. Van elke charge nemen weeen representatief monster, dat we gebruiken om ons produkt te controleren, bijv. door dezetmaat, schudmaat, of een soortgelijke maat voor de verwerkbaarheid te bepalen. Ookmaken we van elk monster een kubus met ribben van 20 cm voor de controleproef volgens deGBV, waarbij we gebruik maken van de voetnoot bij art. 15 lid 11:'In die gevallen wa?rin men de kwaliteit van de betonspecie op zichzelf wenst te beoordelen,kunnen de kubussen direct na vervaardiging onder vochtige omstandigheden en bij een temeperatuur van 15 tot 22?C worden bewaard'.Na 28 dagen bepalen we de kubussterkte van al deze kubussen met behulp van een geijktepers. De schaalverdeling van de pers geeft de uitgeoefende kracht aan in tonnen (1000 kgf).We vinden de volgende waarden voor de kubussterkten (in kgf/cm'):300 295 305 317,5 335305 325 370 330 .. 310340 322,5 330 285 357,5292,5 315 350 340 330342,5 327,5 330 355 355335 320 335 287,5 322,5302,5 312,5 315 315 380317,5 365 295 345 .320302,5 340 277,5 335 365342,5 377,5 360 325 327,5De waarden zijn gevonden in de volgorde per kolom van boven naar beneden en de kolom-men van links naar rechts.Het beoordelen van de waarnemingenBij het beschouwen van deze cijfers kunnen we het volgende constateren:1. alle getallen eindigen op een veelvoud van 2,5. Dit is. te verklaren doordat de waarden afge..lezen zijn in hele tonnen, die daarna met een factor 2,5 (= ~o~~ kgf/cm') vermenigvuldigd zijn.2. er is een groot verschil tussen de hoogste en de laagste waarde, die voorkomt. Dit verschilnoemen we de spreidingsbreedte (w). In dit geval bedraagt de spreidingsbreedte: w = 380-277,5 = 102,5 kgf/cm2?Bovendien valt het ons waarschijnlijk tegen, dat de gevonden waarden niet dichter bij elkaarliggen, terwijl we toch zo veel maatregelen hadden getroffen voor een goede beheersing vanhet produktieproces. Het was niet te verwachten, dat alle 50 kubussen volkomen gelijke uit-slagen zouden geven, maar de gevonden verschillen vragen toch wel om een verklaring.De oorzaken van de fluctuaties zijn in drie groepen te verdelen:2.1 variaties t.g.v. het produktieproces, zoals verschillen in de grondstoffen, enz.2.2 variaties t.g.v. het min of meer representatief zijn van het monster.2.3 variaties t.g.v. de proefneming, dus bijv. kleine verschillen in de kubussen, in het verhar-dingsproces en bij het beproeven.Soms werken deze fluctuaties in tegengestelde richtingen en heffen elkaars invloed dus minof meer op, maar bij gelijk gerichte invloeden kan de resultante van de drie een belangrijkeuitwerking hebben.3. als we het rekenkundig gemiddelde (x) van deze 50 waarnemingen bepalen door de som vanalle getallen (2:xi) te delen door het aantal waarnemingen (n), dan vinden we:_ 1 ~ 16385x = - L.. Xi = - - = 327,7 kgf/cm'n i=l 504011I1.....-~tg1 /Gti .z Ii{ 13"1 8 /z 6'" '" Cl''" Cl''" '"r- ro Cl' 0- '" '"N N N OO? 01 n n1 1 I I I I I0 D D D 0 D Dr- c:J cr. D- N ,...,N N N M'" '0 nkubussterkte (kgf/cm2 )2Histogram3n =10-53'"(7,""'" '" '-D,..., n' ,...,1 1 1D 0 D'" Ul ~n ,..., r"l'Normale verdeling' volgens Gauss-LapIaceni5 = buigpuntsafstandCement XXI (1969) nr. 950'" Cl'r- a:;M'"I 10 0r- roM nXi betekent de i-de waarneming, waarbij i het volgordenummer is, In ons geval loopt i van1 t/m 50; X20 betekent dus de 20e waarneming,L = sigma, de Griekse hoofdletter S, die gebruikt wordt als symbool voor som,50L Xi = Xl + X2 + X3 + ............ X49 + X50i=1Nu z~gt het gemiddelde van een reeks waarnemingen nog niet zoveel. Twee reeksen getallenkunnen hetzelfde gemiddelde hebben en toch zeer verschillend van 'karakter' zijn, bijv.het gemiddelde van: 325 -'331 - 330 - 326 bedraagt 328evenals van de getallen: 356 - 287 - 304 - 365.We kunnen het verschil tussen deze twee reeksen laten uitkomen door behalve het gemiddel-de ook de spreidingsbreedte en het aantal waarnemingen te vermelden, dus:1e reeks: x = 328 kgf/cm' w = 6 kgf/cm' n = 42e reeks: x = 328 kgf/cm2w = 78 kgf/cm2n = 4Bij dit kleine aantal waarl1emingen is de spreidingsbreedte een geschikte aanwijzing omtrentde onderlinge afwijkingen in de reeks, maar bij een groter aantal voldoet de spreidings-breedte niet zo goed. E?n enkele uitzonderlijke waarde maakt de spreidingsbreedte veelgroter, terwijl het 'karakter' van de reeks niet is veranderd. We zouden dus willen weten ofdergelijke uitzonderlijke waarden dikwijls voorkomen, met andere woorden hoe veelvuldig ditoptreedt (frequentie).Frequentie-diagramOm de 50 kubussterkten beter te kunnen beoordelen gaan we de waarnemingen uitzetten ineen frequentie-diagram. Hiertoe groeperen we de waarnemingen in een aantal klassen. Hetaantal klassen moet ten minste 10, doch bij voorkeur 13 ? 20 bedragen. In ons geval bedraagtde spreidingsbreedte w = 102,5 kgf/cm', zodat we 12 klassen met elk een interval-grootte van10 kgf/cm2kiezen. We kiezen de intervalgrenzen zo, dat iedere waarneming ondubbelzinnigaan een bepaald interval kan worden toegekend. Bovendien kan in dit geval de keuze zoworden gemaakt, dat elke waarneming vanzelf in de juiste klasse terecht komt door alleenop de cijfers voor de honderttallen en de tier.l,tallen te letten. Kiest men namelijk de interval-grenzen als volgt:270-279 280-289 290-299 enz. dan zijn de klassenbepaald door 27 28 29 enz.Fig. 2 stelt een grafische uitbeelding voor van een frequentie-verdeling, het zgn. histogram.Daarin zijn als het ware de kubussen opgestapeld boven het klasse-interval waarin de sterktevan de kubus thuishoort. Om de werkwijze te verduidelijken zijn de eerste 15 waarnemingen,die in het histogram zijn verwerkt, voorzien van hun volgnummer. Normaal wordt dit nietgedaan.Wel blijkt hieruit, dat bij een klein aantal waarnemingen (in dit geval 15 'gemerkte' blokken)een beeld ontstaat, dat sterk afwijkt van het uiteindelijke histogram. Dit is ook de reden,waarom een frequentietabel en een histogram eigenlijk alleen toegepast mogen worden bijminstens 50 waarnemingen.Als we nu het histogram bekijken dan zien we dat de meeste waarden (76%) liggen tussen300 en 360 kgf/cm2en dat lagere en hogere waarden weinig voorkomen.Zo kunnen we ook direct uit de figuur zien, dat 6% van alle waarnemingen ligt beneden de290 kgf/cm'.Zouden we dezelfde proef doen, maar met een steeds groter aantal waarnemingen, dan zounatuurlijk het aantal hokjes in het histogram toenemen, maar de vorm van de omtrek van de'stapel kubussen' zou ongeveer gelijk blijven.Uit zeer uitgebreide ervaring is gebleken, dat de frequentie-verdelingen bij veel fysische enchemische waarnemingen een dergelijk beeld opleveren.Normale verdelingBij het toenemen van het aantal waarnemingen kan men de klasse-intervallen kleiner kiezen,waardoor een minder 'hoekige' figuur ontstaat, die steeds meer doet denken aan de grafi-sche voorstelling van de 'normale verdeling' volgens Gauss-Laplace.Fig. 3, die meestal Gauss-kromme wordt genoemd, heeft een typische 'klokvorm", is symme-trisch en heeft 2 buigpunten, waar de kromme van bol naar hol overgaat. De normale verde-ling komt bij de kansverdeling in de statistiek veel voor (statistiek is de leer en methode omconclusies te trekken uit verzamelingen van cijfers).Het blijkt in de praktijk, dat veel frequentie-verdelingen van waarnemingen zo dicht bij denormale verdeling liggen, dat men deze laatste zonder bezwaar als basis voor theoretischebeschouwingen mag aannemen. Het is dus zeker de moeite waard een aantal van de belang-rijkste eigenschappen van de normale verdeling te leren kennen, De kromme is symmetrischt.o.v. de gemiddelde waarde x. In de omgeving van x komen de meeste waarnemingen voor,terwijl er evenveel waarnemingen lager dan xzijn als dat er hoger dan dit gemiddelde liggen.Naast de abscis x van de symmetrie-as is de afstand van deze as tot de buigpunten van dekromme een belangrijke waarde: de standaardafwijking s. Deze zal een zeer waardevolle aan-duiding blijken te zijn voor de mate van nauwkeurigheid van de waarnemingen, Een Gauss-kromme is geheel vastgelegd door de waarden x en s,In analogie met onze 'blokjesfiguur' geeft ook bij de Gauss-kromme het oppervlak tussen dekromme en de horizontale as het totale aantal waarnemingen aan, Door het oppervlak gelijk402nt4In het gearceerde gebied valt ca. 68% vanhet totale aantal waarnemingenCement XXI (1969) nr. 9te stellen aan 100% (alle waarnemingen) wordt de kromme onafhankelijk van de werkelijkewaarde van het aantal n. In ons histogram stelt dan 1 blokje 2% van de waarnemingen voor.(50 blokjes = 100%). We kunnen op die manier de Gaus-kromme van alle verschillende ver-zamelingen van waarnemingen gemakkelijk vergelijken.Voorts is wiskundig aan te tonen, dat het oppervlak van de figuur aan weerskanten van degemiddelde waarde x, begrensd door de verticale lijnen bij x-s en x + s ongeveer 68% vanhet total~ oppervlak bedraagt.Omdat? de kromme 'symmetrisch is, zullen de overschietende oppervlakken re?hts en linksvan het aangegeven gebied ieder de helft van het restant (100 - 68 = 32%) bedragen, dusieder 16% van het totaal aantal waarnemingen bevatten (fig. 4). Stel, dat voor een groot aan-tal waarnemingen (bijv. n = 50) gevonden is: X = 350 kgf/cm' en s = 40 kgf/cm2, dan volgthieruit dat ca. 16% van het aantal waarnemingen lager ligt dan 310 kgf/cm2, de andere 16%ligt boven 390 kgf/cm2.Het oppervlak tussen de ordinaten x-2s en x + 2s bedraagt ca. 95% van het geheel, zodatwe kunnen zeggen bij x = 350 kgf/cm2 en s = 40 kgf/cm2, dat slechts ca. 2,5% van de waar-nemingen beneden de 270 kgf/cm2 zal liggen, of wel ongeveer 1 op de 40. We spreken in ditgeval van een onderschrijdingskans van 2,5% voor een waarde van x - 2 s.Achten we eeR onderschrijdingskans van 5% toelaatbaar, dan moeten we dus weten voorwelke waard? van t het oppervlak tussen de ordinaten x - t . s en x + t . s een waarde van90% van het totale bedraagt. Dit bltjkt het geval te zijn voor t = 1,64. In ons voorbeeld blijktdus 5% van de waarnemingen te 'vallen beneden de grens van350 - 1,64 . 40 = 284 kgf/cm2Het bovenstaande toont wel aan hoe belangrijk de standaardafwijking s is bij het beoordelenvan normale of quasi-normale verdelingen.Hoe berekent men nu deze standaardafwijking?De standaardafwijking is de 2e-machts wortel uit de variantie, waarbij de variantie op zijnbeurt berekend wordt als de som van de gekwadrateerde afwijkingen van alle waarnemingent.o.v. de gemiddelde waarde, gedeeld door het aantal waarnemingen verminderd met ??n.Deze omschrijving is dermate ingewikkeld, dat een weergave in formulevorm overzichtelijkerde berekeningsmethode weergeeft.nL (Xi _X)2Variantie = var = '-i=_1'--___n-l(Xl-X)2 + (X2-X)2 + (X3-X)2 + .......... , + (Xn- x)2n-l/ nVL (Xi-X)2Standaardafwijking = s = _i=_1__-:-_n-lDe berekening van de variantie en de standaardafwijking volgens deze formules is zeer om-slachtig en tijdrovend. Door het toepassen van rekenschema's is een grote vereenvoudigingte bereiken (zie hiervoor bijv. de ontwerp Norm V 1047).Het gebruik van waarschijnlijkheidspapier (zie fig. 5)Nog sneller kan men tot een bruikbare benadering van het gemiddelde en de standaard-afwijking komen door toepassing van het zgn. waarschijnlijkheidspapier. Dit is een soortgrafiekpapier, waarbij de ordinatenindeling zodanig is, dat de cumulatieve frequenties vaneen normale verdeling op een rechte lijn (rechte van Henry) komen te liggen.Aan d~ hand van onze 50 waarnemingen zullen we de werkwijze in fig. 5 nagaan.Onderaan zien we een klasse-indeling voor een histogram. We brengen de waarnemingenonder in de verschillende intervallen, zoals reeds eerder gedaan. We zetten in de ondersteregel boven het histogram het aantal waarneming?n in elke klasse. Vervolgens zetten we inde regel daarboven hoeveel waarnemingen er totaal aanwezig zijn tot en met het betreffendeinterval, d.W.Z. we tellen van links naar rechts steeds het aantal waarnemingen bij de reedseerder getelde. In het vakje boven het interval 280-289 kgf/cm2zijn dit er dus 1 + 2; voor hetvolgende vakje komen er 3 bij, waardoor het totale aantal waarnemingen lager dan 300 kgf/cm2komt op 6, enz.Vanzelfsprekend moet het laatste getal in deze rij, gemerkt 'som', gelijk zijn aan het totaleaantal waarnemingen (in ons geval dus 50).We drukken nu de zojuist gevonden getallen uit in procenten van het totaal aantal waarnemin-gen, waarbij wij afronden op hele procenten (in ons geval is 1 waarneming toevallig precies2%).Deze gecumuleerde frequentie in procenten zetten wij nu uit op het waarschijnlijkheidspapierbovenaan. Hierbij moeten we goed opletten, dat de afstanden tussen de lijnen onderling sterkverschillende waarden aangeven, zodat het oplettendheid vraagt om bij het grafisch uitzettenop dit papier geen fouten te maken. Als alle punten (behalve 100%, want dat valt buiten deverdeling) zijn uitgezet, trekt men een rechte lijn, die 'op het oog' zo goed mogelijk in debuurt van alle punten ligt.We weten, dat 50% van alle waarnemingen beneden de gemiddelde waarde x ligt, dus waarde getrokken lijn de horizontale lijn gemerkt 50 snijdt, vinden we de waarde van x op deabscis-schaal (in ons geval ca. 325 kgf/cm2).4035Zgn. waarsch?nl?kheidspapier: uit defrequentieverdeling (onderste figuur)99989795f108480706050403020I I1 1:I I+--1_t~-iI,.1 iiI Il/1-1 II I II - ~~,! II. ,I I II-t-;-;-.-1-- ,-f--' I!IJ+-'-wordt de zgn. rechte van Henry afgeleid 16 I I(bovenste figuur)Cement XXI (1969) nr. 910532som in%somaantal105~~1 11225 1i IVI. 11 12751I I I I I Ia , .2.112,~ ,1II 2- ~ 5'1 1 1 1 I 1 I 11 325 I 1 1 I 375 I I 1II I I 11 1 I16 i2"3D IS''''S8 lof1826I~ iO 44 +. 4f 5'07 8 ! I> 4- 3 ~ (? ??? ?e?. ? ? -? ? ?? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?g ~~U%gg?~ g 0~ ~;; .~ ,~ ~ ~Ii~ ~~ I~N'~ ~~~ I Ic;'I~ I(Y1 ..:t1 1 I I I.61~ 6~ .~ 0 o 0 0 0 o 0 0~1~\O coN ft ~ r;' MI#- ~ ~ SiC\I C\JI N N Mi, II I I I1425 I II III~ ~ .~ ;;..:t ..:t ..:tI' 1 1 I';10:f? 0~Nj"..:t ..=t ..:tII~Ift..:t, 11475 II II~I~?~I~IIg Ijl..:l ..:tVerder weten we, dat 16% van alle waarnemingen ligt beneden x-s, dus kunnen we s be-palen als het verschil van de abscis bij 50% (= x) en de abscis bij 16%. In figuur 5 lezen webij 16% af een waarde van ca. 300 kgf/cm2, zodat s = 325 - 300 = 25 kgf/cm2? De variatie-co?ffici?nt bedraagt:25325. 100% = 7,7%. De grens, beneden welke 5% van de waarnemingen valt, lezen we af alsabscis van het snijpunt van de getrokken lijn met de ordinaat 5%.In figuur 5 blijkt de 5% -grens te liggen op ca. 285 kgf/cm2?Het werken met waarschijnlijkheidspapier gaat betrekkelijk snel, terwijl men een eenvoudigecontrole heeft op het al dan niet toepasbaar zijn van de theorie van de normale verdeling. Depunten die men in de figuur vindt moeten een goede benadering van een rechte lijn vormen.404