ir.W.A.Eisma, ir.C.M.I.M. van DrielTH-Delft, afdeling der Bouwkunde, vak-groep Toegepaste mechanica - draagcon-structiesSpelen met raamwerken (II)InleidingIn het eerste doel van dit artikel, gepubli-ceerd in Cement 1981 nr. 5, is aandacht be-steed aan het gedrag van ??nbeukige raam-werken. De nadruk is gelegd op de invloedvan de verschillende wijzen van uitvoeringop het uiteindelijke krachtenspel in de con-structieten gevolge van uitwendige belastin-gen.Als vervolg is het onderzoek uitgebreid tottweebeukige raamwerken. Hierbij is tevensde invloed van normaalkrachtvervormingophet krachtenspel van de constructie in be-schouwing genomen.OnderzoekHet onderzoek is uitgevoerd door voor vijfverschillende methoden van uitvoering tij-dens het bekisten en ontkisten de krachts-verdeling in een raamwerk, als gevolg vanhet eigen gewicht van de constructie, te be-palen.methode 1Berekening van een raamwerk volgens hetconstructieschema, zonder rekening te hou-den met de wijze van uitvoering.methode 2aBerekening van een raamwerk indien wordtaangenomen dat tijdens het storten van eenvloer ook de onderliggende vloer nog volle-dig in de bekisting staat (doorstempelen).methode 2bBerekening van een raamwerk indien wordtaangenomen dat tijdens het storten van eenvloer de onderliggende vloer, na aanvanke-lijk te zijn ontkist, weer is onderstempeld(herstempelen).methode 2cBerekening van een raamwerk indien wordtaangenomen dat tijdens het storten van eenvloer alleen deze vloer in de bekisting staat.methode 3Berekening van een gestapelde portaal-constructie, waarbij de kolommen scharnie-rend zijn verbonden met de onderliggendeconstructie. Hierbij moet bovendien reke-ning worden gehouden met de methodenvan uitvoering zoals omschreven in methode1, 2a, 2b en 2c. Dit om reden van het feit datmethode 3 niet alleen een afwijkende wijzevan u itvoering, doch ook een afwijkende wij-ze van construeren is.In het eerste deel van dit artikel zijn figurenopgenomen waarin de verschillende wijzenvan uitvoering staan afgebeeld.UitgangspuntenBij het onderzoek is uitgegaan van een twee-beukig raamwerk van vijf bouwlagen, metkolommen 300x400 mm2en balken300x600mm2(fig. 1). Het raamwerk wordt belast dooreen verticale belasting van 30 kN/m op debalken, waarvan 15 kN/m veranderlijke be-lasting is (dakvloer7,5 kN/m). De funderingwordt als star beschouwd. De berekening isu itgevoerd voor een geschoord en een onge-schoord raamwerk (het ongeschoorderaamwerk wordt belast door horizontalewindkrachten van 14,4 kN per bouwlaag en7,2 kN voor de dakverdieping).Voorts is uitgegaan van een lineair-elastisch gedrag van de constructie tijdensde uitvoering. Niet meegenomen is de in-vloed van scheurvorming (?/-waarde),krimp en kruip van de constructie-elementen en een geleidelijke groei van dewaarde van de ?t>-modulus, belangrijk bijeen hoog bouwtempo.Verder is uitgegaan van de veronderstellingdat het stortgewicht van een vloer zich bij demethoden 2a en 2b gelijk verdeelt over debeide onderliggende vloeren (50%-50%-verdeling). Dit zal in het algemeen niet hetgeval zijn omdat de onderste vloer beter isingeklemd dan de bovenste en een hogereouderdom bezit.ResultatenDe resultaten van de berekeningen voor deverschillende uitvoeringsmethoden zijn voorhettweebeukig raamwerk weergegeven in fi-guur 2a en 3. Het betreft hier momenten, ont-staan ten gevolge van het eigen gewicht vande constructie.In figuur 2b en 2c zijn de momenten weerge-geven die ontstaan ten gevolge van de veran-derlijke belasting en wind.In figuur 4a en 4b zijn de momenten weerge-geven die ontstaan in de gestapelde portalenten gevolge van het eigen gewicht voor deverschillende uitvoeringsmethoden.In figuur 4c en 4d zijn de momenten weerge-geven die ontstaan in de gestapelde portalenten gevolge van de veranderlijke belasting enwind.In figuur 2, 3 en 4 zijn de momentenlijnen terlinkerzijde in de afbeeldingen getekend zon-der dat met de invloed van normaal-krachtvervorming op het krachtenspel vande constructie rekening is gehouden, terwijldit voor de momentenlijnen ter rechterzijdein de afbeeldingen wel het geval is.Uit een vergelijking van de resultaten blijktdat de momenten in de kop van de kolom-men, ten gevolge van het eigen gewicht vande constructie, voorde verschillende metho-den van uitvoering onderling weinig ver-schillen vertonen, met uitzondering van demomenten in de onderste kolommen. Dit kanworden verklaard uit het feit dat de opwaart-se belasting, als gevolg van het ontkisten vande begane-grondvloer, niet in de berekeningCement XXXIII (1981) nr. 6 3772a-cBerekend krachtsverloop volgens methode 1(d.w.z. geen rekening houdend met wijze vanuitvoering)3a-cBerekend krachtsverloopa volgens methode 2ab volgens methode 2bvolgens methode 2c4a-dBerekend krachtsverloop volgens methode 3(gestapelde portaalconstructie, kolommenscharnierend verbonden met onderliggendeconstructie)is meegenomen; aangenomen is dus dat debegane-grondvloer als starre funderinggeldt. Indien was uitgegaan van een funde-ring met een stijfheid gelijk aan die van devloeren dan zou een (nog) regelmatige1- ver-loop van de momentenlijnen over de totalegebouwhoogte van de kolommen zijn gevon-den.Zowel de momenten in de kop van de kolom-men als in de voet van de kolommen vertonenbij de verschillende methoden van uitvoeringduidelijk verschillen met de momenten dievolgen uit berekeningsmethode 1. De mo-menten in de voet van de kolommen wordenaanzienlijk gereduceerd en veranderensoms zelfs van teken (methode 2). Als gevolgvan deze reductie neemt het veldmomenttoe. Deze toename van het veldmoment is bijhet tweebeukige raamwerk veel geringerdan bij het eenbeukige raamwerk. De oor-zaak hiervan ligt bij de middenkolommenvan het tweebeukige raamwerk die ongeachtde gevolgde methode van uitvoering of bere-kening niet roteren aan de voet of aan de kop,zodat het veldmoment in de liggers slechtsvanuit de randkolommen zodanig wordtbe?nvloed dat het toeneemt. Het inklem-mingsmoment bij de middenkolommenneemt echter eveneens toe, welke toenameweer een reducerende invloed heeft op hetveldmoment in de ligger.Cement XXXIII (1981) nr. 6 3785a-bOverzicht van de momenten in deknooppunten en C' en de daaruitvoortvloeiende veldmomenten, berekendvolgens verschillende uitvoeringsmethodena geschoord raamwerkb ongeschoord raamwerkBij het tweebeukige raamwerk uitgevoerdals gestapelde portalen (methode 3) heeft dewijze van uitvoering nauwelijks invloed ophet verloop van de momentenlijnen.De beschouwing over het verloop van demomentenlijnen in het tweebeukige raam-werk geldt zowel voor het geval dat rekeningis gehouden met normaalkrachtvervormingals voor het geval dat dit niet is gebeurd. Uitde berekeningsresultaten blijkt verder dat deinvloed van de normaalkrachtvervormingniet zonder meer is te verwaarlozen, althansbij verticale belastingen. Wanneer rekeningwordt gehouden met normaalkrachtvervor-ming, dan neemt het inklemmingsmomentvan de liggerter plaatse van de middenkolomaf, terwijl het inklemmingsmoment ter plaat-se van de randkolommen daarentegen toe-neemt. Het veldmoment verandert nauwe-lijks onder invloed van de normaalkrachtver-vorming. De verschillen in het verloop van demomentenlijnen ten gevolge van het in reke-ning brengen van normaalkrachtvervormingzijn veel minderspektaculairdan de verschil-len veroorzaakt door het in ogenschouw ne-men van de verschillende methoden van uit-voering, maar zoals reeds opgemerkt, nietzonder meer te verwaarlozen.De toename van de veldmomenten vergele-ken met methode 1, ten gevolge van de ver-schil lende methoden van uitvoering, ligt bin-nen de grenzen die voor de herverdeling vanmomenten is toegestaan. Bovendien moetmen rekenen met momenten ten gevolge vande totale belasting (eigen gewicht + veran-derlijke belasting).Geschoord raamwerkDe voorgaande resultaten en opmerkingengelden uitsluitend voor de momenten tengevolge van het eigen gewicht van de con-structie. Interessanter is het om na te gaanhoe de onderlinge verschillen zijn ten gevol-ge van de totale belasting. In figuur 5a is eenoverzicht gegeven van de momenten inknooppunten CenC'van het raamwerkbij deverschillende uitvoeringsmethoden, alsme-de de daaruit voortvloeiende veldmomenten(tweede verdieping). Uit het overzichtblijkt dat voor de totale belasting het balk-moment in C, bij een uitvoering volgensmethode 2c, tot circa 70% wordt geredu-ceerd vergeleken met methode 1, zowel inhet geval dat geen rekening is gehoudenmet normaalkrachtvervorming, als in hetgeval dat hiermee wel rekening is gehou-den. Het balkmoment in blijkt ten gevolgevan de reductie van het balkmoment incirca 10% toe te nemen. Deze toename isgeen bezwaar aangezien knooppunt C' eenkruisverbinding vormt, zodat de doorgaan-de balk gemakkelijk van extra wapening kanworden voorzien.De reductie van het balkmoment in isechter wel belangrijk, aangezien uit hetonderzoek van de CUR-VB-commissie isgebleken dat de sterkte-effectiviteit van eenkolom-balkverbinding afneemt naarmatehet wapeningspercentage in deze verbin-ding toeneemt. Reductie van het balkmo-ment in werkt dus gunstig. Bovendienblijkt dat circa 75% van het gereduceerdebalkmoment in kan worden opgenomendoor de kolom onder de balk. In het ge-bruiksstadium, waarin meestal slechts eengedeelte van de veranderlijke belasting per-manent aanwezig is, wordt een nog groterdeel van het balkmoment ?n opgenomendoor de kolom onder de balk. Dit alles zoukunnen betekenen dat de doorgaande ko-lombalkverbindingen bij een uitvoering vol-gens methode 2c, en in mindere mate bijeen uitvoering volgens methoden 2a en 2b,veel gunstiger wordt belast dan uit een be-rekening volgens methode 1 volgt; hetCement XXXIII (1981) nr. 6 379dichtgedrukte gedeelte van de verbindingneemt immers een groter aandeel op vanhet over te brengen, reeds gereduceerde,balkmoment.Ten gevolge van de reductie van het balk-moment in en de toename van het balk-moment in C' neemt het veldmoment metcirca 10% toe. Dit lijkt nauwelijks een be-zwaar, omdat in het balkmidden, evenals hijC', meer ruimte aanwezig is voor het aan-brengen van wapening dan ter plaatse vande kolom-balkverbinding in In de gesta-pelde constructie (methode 3) wordt hetbalkmoment in nog verder gereduceerdtot circa 45% en neemt het balkmoment inC' verder toe met circa 30%. Het veldmo-ment geeft een toename van 10-15% te zien.De voorgaande beschouwing over het ge-drag van de balkmomenten in de knooppun-ten en C' en het veldmoment ten gevol-ge van de verschillende methoden van uit-voering, gaat zowel op voor het geval datgeen rekening is gehouden met normaal-krachtvervorming, als in het geval dat hier-mee wel rekening is gehouden. In het gevaldat wel rekening is gehouden met normaal-krachtvervorming ten opzichte van het gevalwaarin dit niet is gebeurd, zijn de balkmo-menten in 10-20% groter, de balkmomen-ten in C' 5-10% kleineren de veldmomenten/ nagenoeg gelijk gebleven. Hieruit blijktdus dat knooppunt zwaarder belast wordtin het geval dat met normaalkrachtvervor-ming rekening wordt gehouden. Alhoeweldit ongunstig is, blijft de toestand gunstigerdan in het geval dat geen rekening is gehou-den met normaalkrachtvervorming volgensmethode 1.De invloed van de normaalkrachtvervormingblijkt aanzienlijk te zijn. Bij de gestapeldeconstructie is de invloed het minst, terwijlbovendien nog eens extra is rekening ge-houden met de methode van uitvoering.Ongeschoord raamwerkVoor ongeschoorde raamwerken is in figuur5b een overzicht gegeven van de momentenin knooppunten en C' van het raamwerk bijde verschillende uitvoeringsmethoden, als-mede de daaruit voortvloeiende veldmo-menten (tweede verdieping). In de linker-kolommen treden de grootste momenten opbij wind van rechts. Ook nu weer blijkt dekrachtsverdeling het gunstigst te zijn bij uit-voeringsmethode 2c. Het balkmoment ?n ismet circa 20% gereduceerd en wordt voorcirca 65% opgenomen door de kolom onderde balk en verschilt nauwelijks met het balk-moment in ten gevolge van uitvoe-ringsmethode3,althansin het geval dat geenrekening is gehouden met normaalkracht-vervorming. De balkmomenten in nemen10-15% toe/af, terwijl de veldmomenten eentoename van circa 10% laten zien.Ook bij het ongeschoorde raamwerk is deinvloed van de normaalkrachtvervormingaanzienlijk. Hierbij dient te worden opge-merkt dat de invloed van normaalkrachtver-vorming bij alleen windbelasting verwaar-loosbaar klein is.Een vergelijking tussen het geschoorde enhet ongeschoorde raamwerk geeft voor hetongeschoorde raamwerk een toename vanhet balkmoment in te zien van 100-125%.Dit betekent een even grote toename van hetwapeningspercentage in de kolom-balkver-bindingen van de gevelkolommen met alsgevolg een duidelijke vermindering van desterkte-effectiviteit van deze verbindingen,indien dit percentage groter is dan ??n pro-cent. De balkmoment in C' laten een toenamevan circa 30% zien, veel minder dan in dekolom-balk-verbindingen van de gevelko-lommen.ConclusieEvenals bij ??nbeukige raamwerkenbe?nvloedt de wijze van uitvoering tijdens hetbekisten en ontkisten het krachtenspel in enrondom de kolom-balk-verbindingen vaneen tweebeukige raamwerk-constructie. In-dien bij de berekening van een raamwerk dewijze van uitvoering buiten beschouwingwordt gelaten (methode 1) dan zullen de wer-kelijk optredende balkmomenten vrijwel al-tijd minder dan 25% afwijken van de bere-kende balkmomenten. Bij methode 1 zal eenherverdeling van momenten altijd moetenleiden tot een vergroting van de veldmo-menten en derhalve tot een verkleining vande balkmomenten.Het in de beschouwing betrekken van denormaalkrachtvervorming leidt tot groterewaarden van de balkmomenten in de kolom-balk-verbindingen van de gevelkolommenen tot kleinere waarden van de balkmomen-ten van de kolom-balk-verbindingen in demiddenkolommen. Het verschil met dewaarden waarbij geen rekening is gehou-den met normaalkrachtvervorming, doetniet af aan de invloed van de wijze van uit-voering op het krachtenspel in en rondomde kolom-balk-verbindingen.Al snel rijst nu de vraag hoe de invloed vanandere grootheden zoals kruip, krimp enscheurvorming is op het krachtenspel. Deinvloed van deze aspecten wordt als voort-zetting van het gepubliceerde onderzoekafzonderlijk onderzocht in het kader van deafstudeerprojecten bij de vakgroep beton-constructies van de afdeling CivieleTechniek, TH-Delft.Voor aanvullende informatie en literatuur-opgave wordt verwezen naar het vooraf-gaande artikel.ErratumIn het eerste deel van dit artikel, gepubli-ceerd in Cement 1981 nr. 5, is een fout geslo-pen. Op blz. 304 staat in de rechterkolom opde 26ste en 27ste regel vanboven:... veldmomenten Mi (eerste verdie-ping) en (tweede verdieping). Hiervoordient u te lezen :... veldmomenten (twee-de verdieping).Nogmaals de quasi-lineaire elasticiteitstheorieIn het rekenvoorbeeld van het artikel 'Dequasi-lineaire elasticiteitstheorie', gepubli-ceerd in Cement 1981 nr. 4, wordt de indrukgewekt, dat de vergrotingsfactor --- zowelvoor de kolommomenten uit de verticale be-lasting, als voor de kolommomenten uit dehorizontale belasting geldt.Volgens de leer der mechanica houdt de cor-recte rekenmethode in, dat de vergro-tingsfactor geldt:a. voor de momenten uit de horizontale be-lasting;b. voor de momenten, die ontstaan ten ge-volge van verplaatsingen van een spant-constructi? door niet-symmetrische vertica-le belasting en/of door niet-symmetrischespantvorm;niet voor de momenten, die ontstaan tengevolge van symmetrische verticale belas-ting op een symmetrisch spant.In de constructie van het betrokken reken-voorbeeld bestaat de mogelijkheid van niet-symmetrische verticale belasting (al dan nietaanwezig zijn van een der puntlasten). In de,overigens maatgevende, momenten ten ge-volge van de symmetrische verticale belas-ting zijn derhalve ook momenten begrepen,die het gevolg zijn van verplaatsingen bijafwezigheid van een deel van de veranderlij-ke belasting. Om deze reden is, teneinde deaandachtvan het doel van hetartikel niet af teleiden, als wellicht wat grove benadering,gekozen voor toepassen van de vergro-tingsfactor op, zowel de momenten uit verti-cale, als die uit horizontale belasting.Correcter is uiteraard het onderzoeken vanal Ie belastingcombinaties, en berekenen vandedefinitieve momenten met deondera, bengenoemde regels.ir.W.C.Vis en ing.R.SagelCement XXXIII (1981) nr. 6 380