ir.A. van den Beukeisecretaris CUR-VB-commissie A 24 RotatlecapaciteitVoordracht gehouden ti?dens de CUR-VB-dag te Amersfoort,29 april 198DWoord voorafIn de periode, gelegen tussen de CUR-VB-dag 1980en heden, is het inzicht van de commissiein enkele aspecten, die in het verslag worden genoemd, enigszins gewijzigd. Het leek decommissie daarom verstandig in dit verslag de oorspronkelijke tekst van de inleiding waarnodig aan te passen aan de jongste inzichten. In de tekst wordt daarvan melding gemaakt.InleidingHet openbare verslag van CUR-commissie A 24 heeft als titel 'de rotatiecapaciteit vangewapend beton met speciale aandacht voor de gecombineerde invloed van buigend mo-ment en dwarskracht'. De inhoud van dit verslag is aangegeven infiguur 1.Onder punt 1 wordt kort ingegaan op de rotaties die onderscheiden dienen te worden enwaartoe rotatiecapaciteit nodig is. Onder punt 2 komen enkele basisbegrippen aan de orde.De punten 3en 4behelzen de 'hoofdmoot' van de inleiding, namelijk twee dwarskrachtaspec-ten. Totslot zal onder punt 5 naarde resultaten worden gekeken.Rotatiecapaciteit is de hoekverdraaiing dieeen betonconstructie kan leveren tussen hetogenblik dat de wapening begint te vloeienen het tijdstip van bezwijken.Tijdens het onderzoek naarde rotatiecapaci-teit van vloeischarnieren in betonconstruc-ties, bleek dat meer inzicht in de invloed vande dwarskracht op de rotatiecapaciteitnoodzakelijk was. Experimenteel onderzoektoonde onder meer aan dat de dwars,krachtcapaciteit, bepaald volgens de va1974, in enkele gevallen onvoldoende wasom de beoogde draagkracht te behalen.Het artikel geeft een berekeningsgang voorhet bepalen van de rotatiecapaciteit, niet al-leen gebaseerd op het door de commissie 1.0ptredende rotatie en rotatiecapaciteituitgevoerde onderzoek,maarookop buiten- Deze begrippen worden ge?llustreerd aan de hand van een eenvoudig voorbeeld (fig. 2).lnlandse proefresultaten. deze figuur is een tweezijdig ingeklemde balk met doorbuigingslijnen en momentenlijnen intwee stadia weergegeven.Na het opvoeren van de gelijkmatig verdeelde belasting q zal het steunpuntsmoment hetvloei moment Mu bereiken. Die toestand wordt beschouwd als heteinde van hetelastische sta-dium meteen corresponderendebelasting q1. Dus q1 == 12 ~~. De belasting kan echter verderworden opgevoerd indien nabij de steunpunten plastische vervormingen optreden. Hetsteunpuntsmoment zal daarbij vrijwel constant bi ijven (gelijk aan het vloeimoment Mu) en hetveld moment zal toenemen. Ditplastische gedrag wordt gesimuleerd dooraan te nemen datdeligger ter plaatse van de inklemmingen scharnieren bezit. Aan het plastische stadium komteen eind zodra in het veld eveneens het vloeimoment (of breukmoment) wordt bereikt. Menkan zich dan in hetveld eveneens een scharnier denken en de balk zal bezwijken. Indien devloeimomenten van steunpunt en veld gelijk zijn, bedraagt in dit voorbeeld de bezwijkbelas-ting: q2 == 16 ~. Volgens de elementaire bezwijkanalyse wordt de gegeven balk geschemati-seerd tot een samenstel van scharnieren en daarmee verbonden relatief onvervormbarebalkdelen, dat in het bezwijkstadium een zogenaamd bezwijkmechanisme vormt, zoalsrechtsonder in figuur 2 is getekend.~!,,!!!!!!!!!!!,,!!!!n"!!!!!B a"!!""""!",,,!,,,,~,t"!"!rFiguur 12Kan rotatie e geleverd worden?2rotatie- optredende rotatie 9- rotatiecapaciteit 8p- .eis: 8p ;>- 8moment-kromming (M -}? )kromming-rotatie (lC - 8 )elastisch plastischCement XXXIII (1981) nr. 33 dwarskracht en plastische lengte4 dwarskrachtcapaciteit5 resultaten19516MU/~E?:~12MuIP- arotatieMs (extr.lFiguur 3momenfenlijnen, behorendbij \o1l!rs~hillendebelastinggevallenUit het voorgaande blijkt dat de scharnieren ter plaatse van de inklemmingen zodanig moetenroteren, ofwel dat de balk nabij de inklemmingen plastisch moet vervormen, dat in het veldjuist het vloei- of breukmoment wordt bereikt. In dit kader wordt verwezen naar art. A-301.4van de VB 1974 dat handelt over de elementaire bezwijkanalyse. Daar staat, onder meer, hetvolgende: 'de scharnieren moeten voldoende rotatiecapaciteit bezitten en in staat zijn deoptredende dwarskrachtte bi ijven overbrengen'. Gewe;zen wordtop een nuttig aspect vanhetplastisch dimensioneren: bij doorgaande liggers is het mogelijk om veld- en/of steun-puntswapeningen te dimensioneren op kleinere buigende momenten dan die welke uit eenelastische berekening volgen. Dieelastische momenten zijn meestal piekwaarden, behorendbij extreme belastingsituaties en zouden daardoor de dimensionering beheersen (fig. 3).Indien echter de momentcapaciteit van veld en steunpunt te zamen voldoende is voor hetopnemen van de som van veld- en steunpuntsmoment van elk afzonderlijkbelastinggeval(deze som is dus kleiner dan desom van de extreme momenten), dan kan deze capaciteit ooktoereikend zijn voor de extreme belastinggevallen. In deze gevallen zal dan de volledigemomentcapaciteit worden benut nadat, hetzij boven het steunpunt, hetzij in het veld (afhan-kelijk van de belasting), een plastisch scharnier met constant blijvend vloeimoment isgevormd.Uit het voorgaande volgt de centrale vraag van deze inleiding: wat is de rotatiecapaciteit 8 pwelke een gegeven constructie bezit? Daarbij wordt dan als voorwaarde gesteld: 8 p 3' 8.Ms < Ms (extr.)/\ 1\LS: \. ,. :zs: lS: )" ./ voor dimensionering.,9-....... ai3ngehouden mitsMv< Mv (extr.) voldoende rotatiecapacill!it2. BasisbegrippenVolgens de toegepaste mechanica is de rotatie 8 van een liggerdeel ter lengte {gelijk aan desommatie van krommingen over die lengte. Daarbij is Kgelijk aan de specifieke lengteveran-dering, gedeeld door de nuttige hoogte h (fig. 4). De krommingen IC worden veelal ontleendaan een M-K-diagram, zoals weergegeven in figuur 5. Dit diagram geeft het verband weertussen het bu igend moment M dat in een doorsnede werkt en resu Iterende krommingen Kvandie doorsnede. De hier weergegeven relatie is enigszins geschematiseerd en geldt voorgemiqdelden van Men Kover een relatief kleine lengte van een prismatische ligger.In deze relatie zijn gegevens als beton" en staalkwaliteiten en staalhoeveelheid reedsverwerkt. Op de theoretische of experimentele afleiding wordt hier niet ingegaan. Wel wordter op gewezen dat uit het oogpunt van rotatiecapaciteit de grootte van de plastischekromming Kp van essentieel belang is.Figuur 4 1 I of Figuur 5mIJ\ /l,-- -/. M~u=la= Jl:: .duu=Oo+-------~--~--~oa= IIC .du ~ lap =Itp .lp IDe wijze waarop bij een gegeven constructie en met een gegeven M-K-diagram rotatieskunnen worden bepaald, wordt ge?llustreerd aan de hand van figuur 6. In eerste instantiewordt de situatie beschouwd waarbij g??n dwarskracht aanwezig is; in ditvoorbeeld is tussende puntlasten het buigend moment M constant, zodat daar dwarskracht ontbreekt. Aan degegeven M-Iijn en het gegeven M-K-diagram is de getekende K-lijn ontleend voor de toestandwaarbij het maximum moment gelijk is aan het vloeimoment Mu-Over de lengte tussen de puntlasten zal nu de plastische kromming Kp aanwezig zijn, zodatdeze lengte de plastische lengte {p is. De (plastische) rotatiecapaciteit8pvan het beschouw-de balkdeel is dus gelijk aan Kp. {p, hetgeen overeenkomt met het in de K-Iijn aangegevengearceerde oppervlak.De gevolgde procedure is tot dusver erg eenvoudig. De vraag rijst echter of er in het geval vanmede-aanwezigheid van dwarskracht eveneens gesproken kan worden van plastische lengteen van plastische kromming. In het volgende zal blijken dat deze vraag bevestigend beant-woord kan worden, zij het met bepaalde restricties.3. Dwarskracht en plastische lengte(De inhou d van hetvolgendepu nt3 wijkt af van hetgeen tijdens de CUR-VB dag is gezegd).Uitgangspunt voor de bepaling van de rotatiecapaciteit onder de combinatie van buigendmoment en dwarskracht is dat deze capaciteit het produkt van een plastische lengte {p en eenplastische krommingscapaciteit Kpu is volgens 8 p = {p Kpu.AL=:J Tu~Mf-tu ~xFiguur 6Ml~Lo lt(gegeven)Cement XXXIII (1981) nr. 3 1968Componenten die dwarskracht kunnenoverdragenFiguur?plastische lengte lphhogerecm"k"Iit,itlagerebetonkwaliteitTa+-+-+-t--it---i~--t...L..t-+~-+ Tb? Wdrukzonescheurendeuvelsbeugelsxxxxxx(minderbeugelsTa =0,9wtfet bhTb =0,5 fbbhmeerbeugelsDe grootte van Kpu komt onder punt 4 aan de orde. Voor de invloed van dwarskracht op deplastische lengte is aanvankelijk langs theoretische weg gezocht naar een uitdrukking voorde grootte van ep als functie van deschuifdekkingsgraad. Dit is de verhouding tussen hetdwarskrachtaandeel dat door dwarskrachtwapening geleverd kan worden en de totaledwarskracht. De desbetreffende formule is tijdens de CUR-VB dag getoond maar wordtinmiddels minder bevredigend geacht. De plastische lengte is nu op indirecte wijze aanproefresultaten ontleend door de gemeten rotatiecapaciteiten te delen door de betreffendekrommingscapaciteiten(ep =6 p/Kpu), waarbij aangenomen isdatdekrommingscapaciteitenKpu correct zijn berekend. Het resultaat daarvan is een uitdrukking voor de plastische lengteep die afhankelijk is van het dwarskrachtaandeel Ta dat door de dwarskrachtwapeninggeleverd kan worden, van de grootheid h (= 0,5 fb bh) en van de totaal over te dragendwarskracht Td.ln figuu rliseen en anderweergegeven.Uitdeze figuu r kan afgelezen wordendat de plastische lengte toeneemt naarmate meer dwarskrachtwapening wordt toegepast(grotere Ta/Td) of naarmate de betonkwaliteit toeneemt (grotere Tb/Td). Opgemerkt wordt datde totale dvvarskrachtcapaciteit niet gelijk behoeft te zijn aan Ta + h; het aspect dwars-krachtcapaciteit wordt in het volgende punt behandeld.In het plastische stadium is deze rekencode niet zonder meer toereikend. Er mag wordenaangenomen datde dwarskrachtaandelen van de scheu ren (doorgrote scheurwijdten) en vande deuvels (dooraxiale vloei) in hetplastischestadium verwaarloosbaarzijn. De dwarskracht-overdracht zal nu praktisch alleen geschieden door de drukzone en de dwarskrachtwape-ning, zodat voor dit stadium een andere kwantificering nodig is dan in het v??r-plastischestadium. Voor het plastische stadium is weliswaar het staalaandeel Ta nog steeds gebaseerdop het vloeien van de beugels, maar voor het betonaandeel wordt een nieuwe uitdrukking Tbingevoerd. Het is aannemelijk dat bijtoenemende vervorming deoverdrachtvan dwarskrachtin de drukzone, in combinatie met een overigens ongeveer constant blijvende normaaldruk-kracht, in? afnemende mate kan plaatsvinden. Dit wordt tot uitdrukking gebracht door Tbomgekeerd evenredig te stellen met de krommingK volgens Tb = c? fbb .! (fig. 9).K4. DwarskrachtcapaciteitDe invloed van dwarskracht op het draagvermogen van een constructie is een probleemomdat het nog steeds niet mogelijk is gebleken een goede kwantificering te leveren van decomponenten die voor de dwarskrachtoverdracht zorgdragen. In figuur 8 zijn deze compo-nenten opgesomd. Het beton kan dwarskracht overdragen zowel in de drukzone als terplaatse van scheuren (door haakweerstand van de korrels). Voorts kan er sprake zijn vandeuvelwerking van het staal van z:owel hoofd- als dwarskrachtwapening. Tot slot kan dedwarskrachtwapening (gemakshalve aangeduid met beugels) door axiale trek een deel vande totale dwarskracht overdragen.De onbekendheid met de juiste kwantificering van deze componenten, onder meer vanwegehet ontbreken van correcte kracht-vervormingsrelaties, dwingt ertoe om bij de praktischedimensionering op dwarskracht pragmatisch te werk te gaan. Deze dimensionering is inwezen gebaseerd op een v??r-plastisch stadium omdatbij een bezwijken 'op dWarskracht' ervanuit wordt gegaan dat het breukmoment Mu niet is bereikt. Voor de dwarskrachtwapeningwordt aangenomen dat deze de vloeispanning fet bezit; dit levert een wapeningsaandeel Ta.Daarbij wordt het betonaandeel Tb =O,S fbbhopgeteld. Deze uitdrukking is in devoorschriftenterug te vinden en is in beginsel aan vele proefresultaten ontleend. In de waarde 0,5 fb wordende aandelen van drukzone, scheuren en deuvels verdisconteerd geacht.ICTu = Ta + Tb"staal" +"beton"Ta =wtfetbz\\O-+------,f-------~o9Dwarskrachtcapaciteit TuCement XXXIII (1981) nr. 3 197Figuur 10 en 11 TTugrotere Tu ------i>- grotere )? pu(plastische lrotatiecapaciteit Sp-Elp (max)o 1,0. kk" Tschulfde mg TFiguur 12meer beugels;hogere betonkwaliteit1,0or SpSplmaxlreductie rotatiecapaciteit! als gevolg van dwarskracht..?0.5("minder beugels;lagere betonkwaliteitIn deze uitdrukking is c een dimensieloze co?ffici?nt, tb de betondruksterkte en b deliggerbreedte. Een dergelijke uitdrukking kan ook ontleend worden aan een beschouwin?van normaal- en schuifsP?.lnningen in de drukzone, in combinatie met een bezwijkcriteriurrvoor deze spanningen. Detotale dwarskrachtcapaciteit Tu is nu gelijk aan de som van Ta en Tben is weergegeven in figuur 9. Als bovengrens wordt voor Tb de 'conventionele' waardeTb = 0,5 tb bh aangehouden.Benadrukt wordt dat de dwarskrachtcapaciteit, voor wat het betonaandeel betreft, in helplastische stadium aanzienlijk kleiner kan zijn dan volgt uit toepassing van de artikelenE-504.1 en E-504.2 Van de huidige voorschriften.5. Resultaten .Hetprobleem is nu in beginsel opgelost. Bekend isde relatie tussen Tu en K. Eriseveneenseenrelatie tussen de optredende dwarskracht Td en de kromming K. In de grafiek van figuur 10levert het snijpunt van de Tu-K en Td-K krommen het gezochte, maatgevende punt. Bij hetsnijpunt behoren enerzijds de grootst mogelijke dwarskracht Tu en anderzijds de krommingKu Waaruit de grootst mogelijke plastische kromming Kpu resulteert. Invulling van Kpu in deformule E>p = f p -Kpu levert de gezochte rotatiecapaciteit.Uit figuur 10 valt direct op te maken op welke wijze een grotere Kpu verkregen kan worden:namelijk door vergroting van de dwarskrachtcapaciteit Tu_ Doet men dat door alleen dehoeveelheid beugels te vergroten, dan wordt het beeld van figuur 11 verkregen. In dezefiguurstaat horizontaal uitgezet de schuifdekkingsgraad, zijnde hetquoti?nt van de door beugels televeren dwarskracht Ta en van de totaal over te dragen dwarskracht Td. Verticaal staat derotatiecapaciteit E>p uitgezet. Het hier geschetste verband geldt voor een bepaald,gekozengeval. Voor een ander geval kan de krommehoger liggen, maar de tendens blijft dezelfde:namelijk dat bij toenemende hoeveelheid dwarskrachtwapening de rotatiecapaciteit sterktoeneemt.Indien, behalve het staalaandeel Ta, ook het betonaandeel wordt gevarieerd door variatie inde betonkwaliteit, dan ontstaat hetbeeld van figuur 12. Verticaal staat de rotatiecapaciteitE>p,gedeeld door de grootst mogelijke rotatiecapaciteit E>p (max) welke behaald zou wordenindien geen dwarskracht aanwezig zou zijn of indien de dwarskracht geheel door wapeningwordt opgenomen. Toename van zowel Ta als Tb zalE>p doen toenemen. Gewezen wordt op deomstandigheid dat de waarde 1,0 langs de abscis, dus Ta = Td - 0,5 tb bh, correspondeert metde situatie waarbij de hoeveelheid dwarskrachtwapening precies gelijk is aan de minimaalvereiste hoeveelheid volgens de VB 1974. Dit betekent dat men in het algemeen geen hogeverwachtingen mag hebben van de (plastische) rotatiecapaciteit indien de hoeveelheiddwarskrachtwapening volgens de huidige voorschriften juist voldoende is. De oorzaakhiervan is de snelle afname van de dwarskrachtcapaciteit van het beton bij toenemende"vervorming in het plastische stadium, zoals reeds in het voorgaande is aangegeven,In figuur 12 zijn tevens de tien proefresultaten van de door de commissie beproefde liggersweergegeven. Geconcludeerd wordt dat de uit de proefresultaten volgende tendens tot eensterke toename van de rotatiecapaciteit naarmate de hoeveelheid dwarskrachtwapeningtoeneemt (in dit geval Ta gevarieerd en Tb constant) bevredigend overeenstemt met het min ofmeer theoretische verband.Overigens moet worden opgemerkt datdeontwikkeldemethode niet alleen aan deze proefre-sultaten, maar ook aan enkele tientallen andere proefresultaten is ontleend. Als bijzonder"heid zij nog vermeld dat de proefstukken die corresponderen met de in figuur 12meest rechtsgelegen drie waarnemingen, niet alleen een zeer geringe rotatie bezaten, maar dat ook deexperimenteel bepaalde dwarskrachtcapaciteit kleiner was dan zij op grond van de VB 1974hadden moeten bezitten.Cement XXXIII (1981) nr. 3 198