Problemen van het moderne bouwen in gewapend betonBeitr?ge zu ausgew?hlten Problemen des Massivbauesvolgens manuscripten uit de nalatenschap van Prof. Dr. P. Lardy, Zurich, Leemann, 1961 ; 15 ? 22 cm, 108 biz., 56 fig.; Zw Jr. 15,--Dit boek dankt zijn verschijnen aan het initiatief van zes van degewezen assistenten van de overleden professor Dr. PierreLard/, die waardevolle gedachten uit diens nagelaten manu-scripten bewerkt hebben en deze zodoende in brede kringenbekendheid hebben gegeven. De zeven behandelde onderwerpenzullen in het kort na elkaar worden besproken.I. N?herungsberechnung f?r das exzentrischeKnicken von Eisenbetonst?tzenbewerkt door H. Hauri, Dipl.-Ing. S.I.A.De schrijver leidt zijn verhandeling in met het knikprobleem vaneen op excentrische druk belaste staaf, vervaardigd uit een ideaalelastisch materiaal, waarvan de as volgens een sinuskromme ver-loopt, en waarvan de oorspronkelijke excentriciteit van de mid-delste staafdoorsnede eo bedraagt. Hierbij is sprake van eensterkteprobleem van de tweede orde. Dit betekent, dat de breuk-belasting afhankelijk is van de sterkte van het constructiedeel ?nvan diens vervorming onder de invloed van de belasting. Een be-rekening op excentrische knik moet steeds worden ingesteld,indien de volgens de belasting optredende vervorming een ver-groting van de maximale spanningen tot gevolg heeft.Dat is d?n het geval, wanneer behalve een axiale drukkracht ookbuigingsmomenten optreden, hetzij ten gevolge van een excen-triciteit van de normaal kracht, hetzij ten gevolge van een in dedwarsrichting werkende kracht.In ons geval verkrijgt men als resultaat van een eenvoudige aflei-ding voor de afhankelijkheid tussen de belasting en de uiteinde-lijke excentriciteit e in de middelste staafdoorsnede de betrekking:"?k)............................."indien PE de knikbelasting volgens Euler betekent.De maximale belasting, gevormd door de normaalkracht en hetmoment P.e treedt op in de middelste staafdoorsnede.Daaruit blijkt dat:ffmax = y-(l + J) ................................................... (2)WK= -- = kernwijdtevan de doorsnede F.Uit een op vergelijking (1) gebaseerde grafische voorstelling meteen horizontale e-as en een verticale P-as blijkt, dat met aan-groeiende ook de uiteindelijke excentriciteit groter wordt. De(P-e)-lijnen staan, uitgaande van punt e0 op de e-as, bol tegenoverde e-as en benaderen met voortschrijdende e de door PE getrok-ken horizontale lijn asymptotisch. Met behulp van vergelijking (2)kunnen, indien de staafdoorsnede, de excentriciteit e0 en PE be-kend zijn, op de (P-e)-lijnen de punten worden bepaald, die aan devoorgeschreven breukspanning max beantwoorden. De er bijbehorende last is de breuklast, de er bij behorende excentriciteitde 'knikexcentriciteit'. Uit een en ander blijkt, dat de berekeningvan excentrisch gedrukte staven door middel van een spannings-berekening kan geschieden, waarbij de elastische vervormingenvan de staaf een rol spelen. De voorgeschreven veiligheidsfactors geeft de doorslag voor de toelaatbare belasting P.De schrijver gaat dan over tot de bespreking van het knikpro-bleem bij gewapend beton, dat essentieel ingewikkelder is, aan-gezien de stijfheid van de constructie doorgaans niet constant is.Immers ten gevolge van scheurvorming verschillen de werkendedoorsneden van elkaar. Bovendien vertonen het beton en hetstaal plastische eigenschappen, waardoor de stijfheid met hetaangroeien van de belasting vermindert, zodat de behartiging vanal deze invloeden als kansloze poging zal moeten worden be-schouwd. Om dezelfde redenen kan ook een empirisch onderzoekniet tot algemeen geldige conclusies leiden. Derhalve wordt naareen benaderende berekening gestreefd, die ten minste een be-vredigende, zij het ook niet nauwkeurig bekende veiligheid ver-zekert. Deze berekening is er op gericht, door aanpassing van deelasticiteitsmodulus aan de feitelijke toestand, dit doel te berei-ken. Dit zal het geval zijn, wanneer voor de beide grensgevallenvan excentrische knik, namelijk centrische knik enerzijds en zui-vere buiging anderzijds, de in de voorschriften genoemde waardenniet worden overschreden.Voor de oplossing van het vraagstuk is het. nodig een fictieveelasticiteitsmodulus zodanig te bepalen, dat de volgens Eulerberekende kniklast overeenkomt met de inderdaad optredendekniklast. Men verkrijgt:PE = --^- = Pk = s? Pktoel = sSktoel -Fwaaruit blijkt dat de 'fictieve' elasticiteitsmodulus Ef . s . ffk toel?f =^ --------------hierin betekent:s = veiligheidsco?ffici?ntk toel = de toelaatbare knikspanningHet andere grensgeval, de overgang tot zuivere buiging, indien verdwijnt, wordt verzekerd door voor de statische berekeningde voorgeschreven toelaatbare spanningen toe te passen.Vaak wordt een benaderende berekening van de 'knikexcentrici-teit' nodig geacht. Voor het meestal voorkomende geval, eenexcentrisch gedrukte kolom zonder belasting in dwarsrichting,wordt als benadering op de kolom teruggegaan, waarvan de asvolgens een sinuskromme verloopt; men verkrijgt als grootstevervorming:e0stel = s. P, indien de aanwezige belasting is; verder Pg == s. Pk toel; dan is ten slotte:e0?k toelDe benaderende berekeningsmethode wordt door de schrijverop verschillend gerichte excentrische lasten toegepast; de resul-taten zijn bevredigend.11. Zusammenwirken von Bogen und Aufbaubewerkt door Chr. M enn, Dr. sc.techn.Benaderende methodenGezien het feit, dat de nauwkeurige berekening van dit veel-voudig statisch onbepaalde systeem zeer omvangrijk en tijd-rovend is, worden steeds weer de drie onderdelen van de draag-constructie, namelijk de boog, de kolommen en de rijvloer, on-afhankelijk van elkaar behandeld.Al zijn dan de fundamentele evenwichtsvoorwaarden vervuld en isdaarom ook de stabiliteit van het bouwwerk gewaarborgd, tochkomt de zo verkregen spanningsverdeling slechts tot een zekeregrens met de inderdaad optredende overeen. De rijvloer blijkt telicht, de boog te zwaar belast, met het gevolg dat niet overal de-zelfde veiligheid heerst. Door M. Ritter werd voor het eerst eenbenaderende berekeningswijze ontwikkeld voor de constructiein haar geheel, en wel met de vooronderstelling, dat, indien derijvloer als doorlopende constructie is uitgevoerd en de vervor-ming van de kolommen verwaarloosd wordt, de boog en de ver-stijvingsligger gelijke doorbuigingslijnen bezitten. Voortbouwendop dit beginsel kan de draagconstructie vervangen worden dooreen boog met een ide?el traagheidsmoment 1':I' = (1 + k). / , waarin = -^--^-------------------/ . cos variabel over de gehele booglengte; is de hoek tussen de raak-lijn in het beoogde punt aan de boogas en de horizontale richting.250 Cement 14 (1962) Nr. 4De oplossing van de elasticiteitsvergelijkingen levert de momen-tensom M' = MB + V; de indices 'B' en 'V' betekenen resp.M''boog' en 'verstijvingsligger'; ten slotte is / = ; =ir 1 4"= ...M'.1 +De methode van Ritter is uitermate eenvoudig en elegant, maarslechts binnen tamelijk beperkte grenzen van toepassing. Immersde veronderstelde inklemming van boog en verstijvingsligger zalzelden worden uitgevoerd, terwijl ook de overspanningen vandeze constructiedelen meestal niet met elkaar overeenkomen.Er bestaat nog een andere benaderende methode, namelijk eeniteratieve berekeningsmethode voor extreme stijf-heidsverhoudingen. Indien de berekening voor boog, kolom-men en verstijvingsligger apart is uitgevoerd, kunnen, indien hettraagheidsmoment van de boog of van de ligger duidelijk over-heerst, corrigerende spanningen voor bepaalde doorslaggevendebelastingsgevallen berekend worden.Men gaat te werk als volgt:Om te beginnen wordt de doorbuigingslijn van de stijfste con-structie bepaald. Aangezien de verplaatsingen van boog en ligger,indien de vervormingen van de stutten verwaarloosd worden, terplaatse van de stutten even groot zijn, worden nu in het minderstijve gedeelte de door deze verticale verplaatsingen veroorzaaktemomenten bepaald. Deze bijkomende momenten veranderenweer de belasting van de stutten, waardoor in het stijfste con-structiedeel een nieuw momentenvlak wordt gevormd ; de bere-kening kan nu worden herhaald, totdat de gewenste nauwkeurig-heid is bereikt; meestal zijn de berekeningsresultaten sterkconvergerend.De nauwkeurige methodeVolgens de schrijver komt de krachtenmethode hiervoor in aan-merking. Aangezien de constructie veelvoudig statisch onbepaalden de volgens het gebruikelijke schema uitgevoerde berekeningzeer omslachtig en onoverzichtelijk was, werd door F. St?ssieen rekenmethode ontwikkeld waarbij het probleem met inscha-keling van een statisch onbepaald hoofdsysteem in twee etappenwordt opgelost. Hierdoor wordt de overzichtelijkheid van deberekening noemenswaardig verhoogd. Bovendien is de afwikke-ling van twee berekeningssystemen achter elkaar veel eenvou-diger dan de oplossing van ??n complex.De schrijver laat dan de nauwkeurige berekening van een voor-beeld volgen. Hij sluit zijn verhandeling met er op te wijzen, datde tijdrovende numerieke berekening met de grootste zorgvul-digheid moet worden gemaakt, aangezien reeds een geringe foutontoelaatbare onnauwkeurigheden kan veroorzaken. Mocht ech-ter toch een onnauwkeurigheid zijn ingeslopen, dan moet de be-rekening in haar geheel worden overgemaakt. De schrijver is danook van plan, een programma voor elektronische rekenmachineste laten uitwerken. Hierbij zij opgemerkt, dat Walter Stamp inzijn boek 'Der durchlaufende Bogentr?ger auf elastischen St?tzenmit und ohne Versteifungstr?ger'* (uitgever: Springer-Verlag,Berlin), een zuivere vervormingsmethode ontwikkeld heeft, dievergeleken met de krachtenmethode het rekenwerk aanmerke-lijk vereenvoudigt en zeker ook voor het door M en uitgewerktevoorbeeld met succes zou kunnen worden toegepast.111. Modellversuchebewerkt door H. von Gunten Dr. sc.techn.De schrijver begint zijn betoog met algemene beschouwingen,waarbij de methoden van onderzoek, namelijk de analytische ennumerische enerzijds en de modelmetingen anderzijds, met elkaarworden vergeleken. Hij komt tot de concl usie, dat deze beidemethoden elkaar aanvullen en als wederzijdse controle moeilijkevraagstukken definitief tot een oplossing kunnen brengen. Deproefnemingen met modellen beslaan een omvangrijk gebied; zijdienen er voornamelijk toe, het probleem van het onderlingeverband tussen verschillende constructie-elementen, zoals: tussenplaten en kolommen van paddestoelvloeren, platen en liggers vanbalkroosters en bij rijvloeren van bruggen enz., te onderzoeken;dan het onderzoek van het gedrag van bouwwerken in de plasti-sche fase, bij grote vervormingen, bij breuk enz.De experimentele methoden kunnen principieel in twee groepenworden ingedeeld:o. metingen aan modellen, die de constructie op verkleindeschaal weergeven;b. analogieproeven, die de overeenstemming van de differentiaal-vergelijkingen van twee natuurwetenschappelijke problemenbenutten.* besproken in Cement 14 (1962) Nr. 2, blz. 128Aan de E.T.H, in Z?rich worden uitsluitend modelmetingen vol-gens de categorie a. verricht. Omrekeningswetten worden afge-leid, om uit de vervormingen van de randen van het model con-clusies te trekken ten opzichte van de in de werkelijke constructieoptredende inwendige krachten. Modelmaterialen zijn plexiglasvoor platen en schijven, en kunsthars wanneer ingewikkeldevormen moeten worden uitgebeeld. Rekmetingen worden ver-richt met behulp van elektrische rekstroken, de zogenaamde'Strain-Gages' van Dr. Huggenberger en van Philips A.G.,terwijl voor compensatie van schadelijke temperatuursinvloeden'Kompensations-Gages' worden gebezigd. De belastingen, ookgelijkmatig verdeelde, worden als puntlasten opgebracht.De omrekeningswettenVerondersteld wordt, dat de modelproef aan een vlakke draag-constructie wordt uitgevoerd. Conclusies per analogiam vormende basis voor de waardering en de interpretatie van de gemetengrootheden ten opzichte van de overbrenging op het werkelijkebouwwerk.De overbrengingsparameters zijn: de reductieschaal, de belas-tingsschaal, de verhouding tussen de elasticiteitsmodulussen ende dwarscontractie.De omrekening kan op twee manieren geschieden:'Methode 1': Men bepaalt de vlakke spanningstoestand van hetmodel uit de aan het model gemeten verlengingen volgens dewet van Hooke. De overbrenging van de modelspanningen ophet bouwwerk geschiedt op grond van conclusies per analogiam(de spanningen van het model worden hierbij vergeleken met dievan het bouwwerk).'Methode 2': Uit de aan het model gemeten verlengingen wordenop grond van conclusies per analogiam de voor het bouwwerkte verwachten verlengingen bepaald uit de verlengingen vanmodel en bouwwerk, en hieruit volgens de wet van Hooke-diebij het bouwwerk optredende spanningen berekend.IV. Schubspannungen im Rissestadium f?rBiegung mit Axialkraftbewerkt door R. Mathys, Dr. sc.tech.De auteur behandelt volgens de -methode de bepaling van deschuifspanningen die optreden in een op buiging en druk belasterechthoekige doorsnede, een onderwerp, dat in de meeste studie-boeken nauwelijks wordt vermeld. Het valt niet binnen het kadervan deze boekbespreking, de wiskundige afleiding, die vijf blad-zijden beslaat, weer te geven, maar in het kort hierover het vol-gende:Uit de algemene theorie over buiging met axiale druk blijkt debetrekking r + = ^.............................................................................. (1)SinDoor het moment is de excentriciteit van de normaalkracht vast-gelegd, hierin betekent r de afstand tussen de bovenkant van dedoorsnede en de werklijn van de excentrische normaalkracht; de afstand tussen de bovenkant van de doorsnede en de neutralelijn van de doorsnede; /?,, het traagheidsmoment van de gehele,ide?le doorsnede ten opzichte van de neutrale lijn van de door-snede; S?,, het statische moment van de gehele ide?le doorsnedeten opzichte van de neutrale lijn.Beschouwt men een liggerelement ds, dan treedt in een horizon-taal vlak t, op een bepaalde afstand van de bovenkant van dedoorsnede de schuifspanning op, en wel is:**=?"......................................... *(2>volgens de algemene theorie is = f . f. N ..................................... (3)Hierin betekent: b de breedte van de doorsnede; ? resp. deelasticiteitsmodulus van de vezel op een afstand van de boven-kant van het beton. Na differentiatie van naar s en na enigetransformaties waarbij ook vergelijking (1) betrokken wordt,d.w.z. na substituties van waarden, afgeleid uit vergelijking (1),verkrijgt men, indien inacht wordt genomen, dat M = N . e, dus i, e,, , r--- = N . -- = D, de formule()s ds = ?-AA-? D ...................................(4)b . S?n ? SieHierin is; Fi de gehele ide?le doorsnede; S?u het statische mo-ment van het boven het vlak t gelegen gedeelte van de ide?leCement 14 (1962) Nr. 4 251doorsnede ten opzichte van de zwaartelijn; = z -zs, indien zsde afstand is tussen de bovenkant van de doorsnede en de zwaarte-lijn van de ide?le doorsnede; S?e = ( + x). Fi - S?n.Voor het geval van zuivere buiging gaat de formule (4) over in debekende vorm= -.0 .......................................... (4a)o . /inaangezien de zwaartelijn in dit geval samenvalt met de neutralelijn.De -methode geeft dus een middel ter hand om voor de belas-tingstoestand : moment + axiale kracht de schuifspanningen tebepalen; mijns inziens weer een aanwijzing, om aan deze reken-code het recht op bestaan niet te kunnen betwisten.V. Die generelle Berechnung von Fahrbahnplattenf?r Radlastenbewerkt door R. Mathys, Dr. sc.techn.In deze verhandeling komt niet de nauwkeurige berekening vanorthotrope, doorlopende platen met variabele stijf heid ter sprake;de bedoeling is namelijk, met behulp van toelaatbare vereenvou-digingen een benaderende berekening van rijvloerplaten volgensde elasticiteitsleer op te stellen.Om te beginnen wordt de rijvloer in haar geheel in enkele platen,resp. plaatstroken verdeeld, waarvan de afmetingen door de aan-wezige langs- en dwarsliggers worden bepaald. De zo verkregenelementen worden langs de randen in de aangrenzende vakken,dat wil zeggen in de langs- en dwarsliggers, als ingeklemd be-schouwd. Verondersteld wordt, dat de stijfheid van de platenconstant is; de verticale verplaatsingen van de langs- en dwars-liggers worden verwaarloosd. Dan is het mogelijk, de momentenvoor de grensgevallen van de elastische inklemming, namelijkvoor vrij opgelegde en volledig ingeklemde randen met behulpvan invloedsvlakken voor de doorslaggevende belasting te bepa-len. Aangezien volgens de moderne bouwwijze het aantal dwars-liggers zo gering mogelijk wordt gehouden, behandelt de schrijverslechts het probleem vari de plaatstrook.Het in de voorschriften omschreven belastingsstelsel voor hoofd-wegen moet met stoottoeslag op de middellijn van de plaatstrookworden opgesteld. Het puntlaststelsel wordt dan door een fictieveconstante rechtlijnige belasting vervangen, die in de beoogdepunten even grote momenten veroorzaakt, als het lastenstelsel.De spreiding van deze fictieve belasting loodrecht op de brugashangt af van de plaatdikte. Voorts wordt een formule opgesteld,waarin de vermindering van het veldmoment bij vrije opleggingten gevolge van de elastische, gedeeltelijke inklemming tot uit-drukking komt, en die luidt:Mmax = M0-(M0-Mi).--?\Hierin is: M0 resp. M; het veldmoment bij vrije oplegging en bijgehele inklemming; ai resp. de afstand tussen oplegging en hetfictieve punt bij volledige en gedeeltelijke elastische inklemming;hierbij is: =------------------------? ; l betekent de overspanning van de