ir.W.J.CopierIBBC-TNO, RijswijkCijfers tussen vierkante haakjes verwijzennaar de literatuur aan het eind van het artikel.Cement XXXI (1979) nr. 4Platen met VZA; toename vande voorspankracht in het be..zw.ijkstadiumInleidingHet is bekend dat bij platen met VZA (voorspankabels zonder aanhechting) de voorspankrachtin het bezwijkstadium in het algemeen slechts weinig afwijkt van de voorspankracht die inhet gebruiksstadium aanwezig is. Dit is vooral het geval indien wordt uitgegaan van ver-plaatsbare opleggingen, waarbij zich geen horizontale krachten kunnen ontwikkelen. Voor diegevallen is het voldoende nauwkeurig en veilig om de breukveiligheid te berekenen uitgaandevan de grootte van de zg. werkvoorspankracht. Een en ander is het resultaat van een onderzoekdat in samenwerking met CUR-commissie C 26 bij IBBC-TNO werd verricht enwaarover reedsin [1] *, [2] en [3] werd gerapporteerd. Het resultaat van de gehele studie zal binnenkort in eenCUR-rapport [4] verschijnen. lridien toch een berekening van de toename van de voorspan-kracht gewenst is, blijkt dat de mathematische beschrijving van hetbezwijkmechanisme, dat opgrond van proeven werd opgesteld, tamelijk ontoegankelijk is. Tot voor kort was dan ook hetgebruik van een computer vaak niet te vermijden.Daarom wordt in dit artikel een 1:1Oalytische benadering ontwikkeld, waarbij wordtuitgegaan vanhet punt waar commissie C 26 haaronderzoek heeft afgesloten. Het gebruik van de benaderingmaakt het mogelijk los te komen van de dikwijls toegepaste formule van Mattock, die in veel ge-vallen een te optimistische waarde voor de toename van de voorspankracht geeft.Het gebruik van de benaderende oplossing zal worden toegelicht aan de hand van eenvoorbeeld. Tevens zal aandacht worden besteed aan de voorwaarden die bij deze berekeningvan platen met VZA in acht genomen moeten worden.Gebruikte symbolenDe symbolen die zullen worden toegepast zijn gelijk aan die welke reeds in [3] werden gebruikten verklaard. Aan deZe lijstworden de volgende symbolen toegevoegd.a een afstand (fig. 1) .b een afstand (fig. 2)fb de buigtreksterktei het rangnummer van een willekeurige vervormingszone uit de verzameling van ver-vormingszones j = 1 ngij een geometriefactorr een willekeurig getal? de grootste doorbuiging in een veld? een constante (fig. 3)~(Ja de toename van de spanning in de voorspankabelwp Ap/bhtWaj Aaj/bhtI!i een dimensieloos getalI!j een dimensieloos getal;i een dimensieloos getal~j een dimensieloos getalOverzicht van de basisverg~lijkingenBij platen met VZA blijkt dat in het bezwijkstadium slechts in bepaalde zones rotaties optreden.Tussen deze zones blijft de plaat nagenoeg recht (fig. 1). Elk gebied waar rotaties optredenwordt aangeduid met een rangnummer j waarbij j van links naar rechts de waarde 1,2, 3 aan-neemt (fig. 1). Is in een zone j een moment werkzaam dan zal de rotatie ter plaatse gepaardgaan met scheurvorming in het beton. De lengte Is v?n het gescheurde gebied in j wordt aange-geven als:ISj = Eljhj . (1)hierin is:hj de nuttige hoogte met betrekking tot het voorspanstaalElj een dimensieloos getal1731Bezwijkmechanismen en het aantalvervormingszones nj=2Als e'bj de gemiddelde betonstuik in zone j en Xj de hoogte van de betondrukzone voorstelt, danis de rotatie 'IjIjgelijk aan:'Ijl" ~ e'bjE>jhj (2)J- XjIn elke zone j treedt een verlenging I:!>./j van de voorspankabel op die gelijk is aan:I:!>./j == 'IjIj (hj - Xj)Is L de lengte van de kabels tussen twee verankeringen en is de stijfheid van de kabel gelijk aan(EpAp)/L dan geldt dat I:!>.P, zijnde de toename van de voorspankracht, kan worden afgeleid uit decompatibiliteitsvergelijking:I:!>.P == EpAp ~ Mj == EpAp ~ 'IjIj (hj _ Xj) . (3)Lj=1 Lj=1Zoals uit figuur 1 blijkt zal n :;;; 3 zijn. Verder geldt dat slechts die rotaties 'IjIj inde sommatieworden betrokken die voldoen aan (2).Voor elke zone waar scheurvorming optreedt geldt verder de evenwichtsvergelijking:I:!>.P == ujbf6 Xj - Naj - Po. (4)Voor een verklaring van de symbolen zoals gebruikt in de vergelijkingen (3) en (4) wordt ver-wezen naar [3]. De geldigheid van de vergelijkingen (3) en (4) is gebonden aan de volgendevoorwaarden:? de dimensionering wordt per veld uitgevoerd [2], [3];? de bijlegwapening bezit een gelijkmatige rek die groter is dan 25%0 (VB 1974, Art. E-601.1);? de bjjlegwapening vloeit;? de toename I:!>.P wordt .niet be?nvloed door wrijving; in zeer lange kabels zal wellicht enigewrijving optreden waardoor I:!>.P groter is dan volgt uit formule (3); dit effect zal echter gering zijn,waarbij de grootte die uit een berekening zou kunnen worden gevonden, tamelijk ongewis is;? er kunnen zich geen horizontale krachten ontwikkelen; dit geldt met name voor platen die geenenveloppe-achtig breuklijnenpatroon vertonen [3];? bezwijken optreedt door het bereiken van de breukstuik van beton in ??n of gelijktijdig in meer-dere zones j.Of in ??n of gelijktijdig in meerdere zones j de breukstuik wordt bereikt hangt af van de toege-paste hoeveelheid wapening. Dit kan aan de hand van de volgende analyse worden ingezien.::;tel dat de breukstuik wordt bereikt in een willekeurige zone i uit de verzameling van zonesj metj == 1 ... i ... n.Voor zone i geldt dan dat de rotatie 'Ijl; gelijk is aan:Zoals uit (4) blijktwordtxi en volgens (2) dus ook 'Ijl; bepaald door de totale kracht in de wapening(voorspanning en bijlegwapening).Zodra 'Ijl; bekend is, zijn ook de rotaties 'IjIj in de van i verschillende zones j bekend en uit tedrukken in de rotatie 'IjIj. De relaties die gelden tussen 'Ijl; en 'IjIj kunnen worden gevonden metbehulp van de doorbuiging ? zoals gegeven in figuur 1.enkel veld n =18f1r~ P_2_>_P_1 ~.,...;::--_P'P~2_'r(ITabe/1Grootheden behorende bij figuur 4a voorm = LI/= 3formulelOa10b10c10d1112131415161718grootheid!!i!!jSi~j!:!.P/bhl!:!.OaE'bjxi/hlXj/hlEaj~jMILjj = 11,4441,1583,14?10~0,16214,86?10~0,34528,82kNmj= i =21,2221,4511,7730,125 N/mm2138,89 N/mm23,5?10~30,12522,50?10~0,35418,30 kNmj = 31,4441,1583,14?10~0,16214,86.10-30,34528,82 kNmWordt de lengte L als variabel ingevoerd dan vindt men:!:!.P =bhl.126,70 [2444 - 409JL ' . , .+96,00 [24,44 - 0,18JL2578,35L+ 2328,96L(19). (11 a)!!iOao L+---'--~-----n h'!!i Oaowp Ep ai E'bi f'b ei hi L gij-Lj= 1 hlVervangt men Ep?a?E'bi door het getal 350 in plaats van de juiste waarde van 450N/mm2danblijkt voor dit geval dat (11 a) goed overkomt met het resultaat in figuur 4b.Tot slot zij opgemerkt dat slechts die factoren gij ingevoerd worden voor zover deze behoren bijzones waar scheurvorming optreedt.Deze relatie is uitgezet in figuur 4b als functie van L. Hieruit blijkt dat !:!.P sterk afneemt bij toe-nemende L. Formule (19) laat zien dat niet alle termen voor het beschouwde geval evenveelgewicht in de schaal leggen. Worden de minder belangrijke termen verwaarloosd dan ver-eenvoudigt (11) tot:!:!.P = ~_~ ---'-~ _bhlVoorwaarden bij de berekening van platen met VZA volgens de elementairebezwijkanalyseDe berekening van de draagkracht van platen met VZA volgens de elementaire bezwijkanalyseis alleen verantwoord wanneer aan een aantal voorwaarden wordt voldaan, met name metbetrekking tot het vereiste vervormingsvermogen.Bij de toepassing van de elementaire bezwijkanalyse wordt namelijk voldaan aan hetevenwichten wordt de samenhang van de vervormingen ter plaatse van de omschreven rotatie-zonesverzorgd. Om zeker te stellen dat een effectief bruikbare draagkracht is berekend, moet hetvolgende vaststaan:1. de vervormingen in het bezwijkstadium mogen niet zo groot zijn, dat de constructie daardooronbruikbaar wordt en de vervormingen in feite de 'bezwijktoestand' bepalen;2. er moet voldoende rotatiecapaciteit beschikbaar zijn, waarmee een bovengrens wordt gelegdvoor de hoeveelheid wapening en voorspanning;3. scheurvorming moet 'stabiel' zijn, wat leidt tot een minimum hoeveelheid wapening en voor-spanning.Ad 1Zoals gesteld in [3J geldt dat e2 (in het veld) toeneemt naarmate wpen/of Wa2 toeneemt. Ergeldt:2 < e2 < 15 . . (20a)Dit houdt in dat voor statisch bepaalde platen in het bezwijkstadium zeer grote doorbuigingenkunnen optreden.Het lijkt echter weinig zinvol om een veiligheid tegen bezwijken te defini?ren ten opzichte vaneen toestand waarin de doorbuiging groter is dan (1/100 ? 1/50) /. Om deze reden wordt daaromgedacht om in de voorschriften de waarde voor e2 te beperken tot:2