ir.W. J. Beranekir.Th. MonnierTNO/IBBCNieuweberekeningsmetho.denvoor rechthoekige platen in deBetonvoorschriften 1970 (11)*UD.C.389.6(492):624.012.4:693.55:624.073Berekening van platen in de Nederlandse Gewapend-Betonvoorschriften*6. De vloeilijnentheorieBU de vloeilijnentheorie kiest men in eerste instantie de verhouding van de wapening in deverschillende vloergedeelten en zoekt vervolgens het meest ongunstige vloeilUnenpatroon,waaruit dan weer de totaal benodigde wapening volgt. Bij rechthoekige platen met starreondersteuning kan het juiste vloeilUnenpatroon en de verhouding m/p echter rechtstreeks inIn deel I van het artikel (Ce-ment 1970, nr. 2) is getracht een inzicht te geven in de krachts-werking van rechthoekige platen.In dit gedeelte worden de verschillende berekeningsmethoden besproken.In de paragrafen 5, 6 en 7 worden de mogelijkheden van de elasticiteitstheorie, de vloeilijnen-theorie en de evenwichtsmethoden in meer algemene zin aangegeven, terwijl in ? 8 de drietheorie?n onderling vergeleken worden. In ? 9 wordt nader ingegaan op het staalverbruik.In ? 10 die in het komende nummer van Cement gepubliceerd zal worden, wordt in hoofd-trekken aangegeven hoe de opzet zal zUn van de afdeling liggers en platen in de nieuweBetonvoorschriften.5. De lineaire elasticiteitstheorie 1}Voor rechthoekige platen met ideale randvoorwaarden staan vele analytische oplossings"methoden ter beschikking. Uiteraard kan de spanningsverdeling ook voor niet ideale rand-voorwaarden steeds worden bepaald met behulp van numerieke rekenmethoden (differentie-methode, elementenmethode) of een modelonderzoek. Bij de dimensionering van de wape-ning neemt men aan dat de berekende momentenverdeling ook bij volledig gescheurde door-snede ongewUzigd blUft. Uiteraard treedt na scheurvorming een herverdeling van de krachts-werking op. In het bezwUkstadium moet echter in hoofdtrekken de krachtsverdeling volgensde elasticiteitstheorie weer optreden, aangezien de wapening hi?rop ten slotte is gedimensio-neerd. De bezwijkbelasting zal daarom gelUk of groter zUn dan de berekende; met de elastiC?-teitstheorie bepaalt men een ondergrens van het draagvermogen.De benodigde wapening kan in elk punt van de vloer worden bepaald met behulp van deformules voor d? wapeningsmomenten [4,7] 2).Voor rechthoekige netten luiden deze:~=~?~ ~~=~?~ ~Het wringende momel'Jt wordt op deze wijze in elke wapeningsrichting ??nmaal bU het buigen-de moment opgeteld en ??nmaal afgetrokken; volgen hieruit wapeningsmomenten van het-zelfde teken dan is het grootste maatgevend, bezitten ze daarentegen een verschillend tekendan moet zowel op het positieve als het negatieve wapeningsmoment worden gewapend(fig. 17).Indien de randen van een veld volledig zijn ingeklemd,zUn de wringende momenten klein tenopzichte van de buigende mbmenten. Men kan de wapening dan evengoed rechtstreeks opde maximale buigende momenten dimensioneren, aangezien de wringende momenten weiniginvloed hebben (zie 1e artikel tabel 2 en fig. 7; gevallen 1.1: volledig ingeklemde vloer en1.3: vlakke plaatvloer).Indien de randen van een veld echter geen inklemming ondervinden, zUn de wringendemomenten van dezelfde orde van grootte als de buigende momenten en be?nvloeden ze hetwapeningsbeeld in sterke mate (zie 1e artikel tabel 2 en fig. 7; gevallen 3.1: vrU opgelegdevloer en 3.3: in vier punten ondersteunde vloer). Voor beide gevallen zUn in fig. 18 en 19hoogtelUnenkaarten voor de wapeningsmomenten weergegeven. Fig. 18 heeft betrekking opde vrU opgelegde plaat uit fig.7b, de benodigde wringwapening in de hoeken van de plaatkomt nu automatisch naar voren. Fig. 19 geldt voor de in de vier hoekpunten ondersteundeplaat uit fig. 7d. Het blUkt dat de wapening die in het midden van de overspanning aanwezigis, moet worden doorgetrokken tot aan de opleggingen, terwijl ook bovenwapening loodrechtop de vrUe randen aanwezig dient te zUn.Om een sterk geschematiseerde benadering van het gedrag van een plaat na scheurvormingte verkrijgen, kan men een vloer ook als een orthotrope plaat berekenen waarbU de stUfhedenbU volledig gescheurde doorsnede worden ingevoerd [8].TmxyImxy*---~ mx1 =mx+mxy_._.- m;2=mX-mxyHet eerste gedeelte van dit artikel is ver-schenen in Cement XXII (1970) nr. 21)Indien in het vervolg wordt gesproken overde elasticiteitstheorie wordt hiermee, zoalsgebruikelUk, de lineaire elasticiteitstheoriebedoeld.2)De tussen vierkante haakjes geplaatste cij-fers verwUzen naar de litteratuur op blz. 200'..... "-onderne? ........ ~"'.....,:--_-17Bepaling van de wapeningsmomenten in eendoorsnede. De maatgevende momenten zijnmet dikke lijnen aangegevenbovennetCement XXII (1970) nr. 5 19218Hoogtel?nenkaarten voor de wapenings-momenten m\ en m\ b? de vr? opgelegdeplaat (? = 1,4); q == gel?kmatig verdeeldebelasting3.1 vrU opgelegde plaatwapeningsmomenten in 0.01 ql:tOl 33 in vier punten ondersteunde plaat?mx negVlapeningsmomenten in 0.01 q1~o----,..-'._-- - ----i -- ------ ~--19Hoogtel?nenkaarten voor de wapenings-momenten m*x en m*y b? de in vier hoek-punten ondersteunde plaatCement XXII (1970) nr. 5formules worden vastgelegd [9], zoals reeds in 1922 door Ingerslev is aangegeven. De bere-keningsgang is in fig. 20 weergegeven.In fig. 20 zijn alle vloeirnomenten uitgedrukt in een eenheidsmoment m. In x-richting treden devloeirnomenten il-m op en in y-richting de vloeimomenten 'Yjm. De oneven indices hebbenbetrekking op de inklemmingsmomenten en de even indices op de veldmomenten.Bij gegeven staalhoeveelheden kiest men bij voorbeeld het vergelijkingsmoment m = 1tfm/m,de waarden van il- en 'Yj zijn dan bekend, zodat men de maximale nuttige belasting p uit for-mule (10) van fig. 20 kan bepalen. Is omgekeerd p gegeven, dan vindt men alle vloeimomentenuitgedrukt in het eenheidsmoment m dat nu een willekeurige waarde kan hebben. Hoewel deverhoudingsgetallen il-1 tlm il-3 en 'Yj1 t/m 'Yj3 willekeurig te kiezen zijn, is het zinvol zichglo-baal te baseren op de gegevens die in de tabellen voor de elastische berekening zijn vermela.De optredende spanningsverdeling kan dan nooit te veel van die in de ongescheurde toestandafwijken terwijl men toch niet meer staal gebruikt dan strikt noodzakelijk is.Voor de balkberekening vindt men in het algemene geval weer belastingen volgens asymme-trische driehoeken en trapezia daar de oplegreactieverdeling gelijkvormig aan de vorm vande breukstukken wordt verondersteld (zie fig. 20).(vervolg tekst op blz. 195)193a. korte overspanning is de hoofddraagrichting l'x l'y(9a)(9b)voorts is:2IxYl == l/6rTIpm V'Yjl +'Yj2 ,~V""""iJ . Xl V&1 + &2(7a) (7b)Y3 == ~ V"fJ2 +'Yj3 X3 V&2+&3Eliminatii:l van de waarden Xl, X3, Yl en Y3 levert de volgende vierkantsvergelijking in ~:6m (~ + V&2+&3)2 + 11'6"rt?. 2(~ + ~) _ 3 == 0 (8)P Ix V""""iJ IyStelt men:Bepaalt men het evenwicht van de vier breukstukken om de opleggingen, dan vindt men:("fJ 1+ "fJ2) mIx == 1- plxYl2. (6a)("fJ2 + "fJ3) mIx == 1- plxY32. (6b)(lh + &2) mly == 1- PX12 [3Iy-2 (Yl + Y3)] (6c)(&2 +&3) mly == 1- PX32 [3Iy- 2 (Yl + y3) ] (6d)waaruit volgt:1'x ==20Enveloppe-vormig vloeilijnenpatroon bij starre ondersteuningen en gelijkmatig verdeeldebelasting PIytl1m tl2m tl3m Iy1111)2m? I 1)3m.I14 IXFiguur 20dan volgt als oplossing van (8):(10)== P1'/[1/ (1'x)2_1'x]2m 24 V3 + l'y I'y'Het vloeilijnenpatroon ligt vast door de formules (7a) en (7b).Indien in de berekening I'x> I'y, treedt het vloeilijnenpatroon op volgens fig. 20b; in de platte-grond dient men dan x- en y-as te verwisselen, zodat nu de kleinste overspanning met Iywordt aangegeven en formule 10 van toepassing blijft.l'x en 1'y stellen de zgn. gereduceerde overspanningen voor die gelden voor een equivalentevrij opgefegde plaat met dezelfde veldwapening als de oorspronkelijke plaat..21Kruisvormig vloeilijnenpatroon.Bepaalt men in fig. 21a het momentenevenwicht van beide breukstukken resp. om de lijnenA-A en B-B, dan vindt men:mly (&1 + &2) + M (&1' + &2') + M (&1" + &2") == i plyXl2 ? (11)mly (&2 + &3) + M (&2' + &3') + M (&2" + &3") == i plyx3' . (12)Stelt men &{ + &1" == %1, &2' + {I'2" == %2, &3' + &3" == %3 en M == mly == (?mlx), dan vindtmen uit (11) en (12) door Xl en X3 op te lossen en op te tellen:Figuur 21r--IIIIIIL __@a. vloeien in x-richtnigb. vloeien In y-richtingc. gel?kt?dig vloeien in beide richtingenIII--'m == t pI"/waarin:Op overeenkomstige wijze vindt men voor het patroon van fig. 21b:m == t pI"/waarin:1" _ 21yy - V('Yjl + 'Yj2) + ?('Yjl + 'Yj2) + V('Yj2 + 'Yj3) + ?('Y)2 + 'Yj3)I"x en I"y stellen weer de gereduceerde overspanningen voor.(13)(14)(15)(16)Cement XXII (1970) nr. 5 19423Stripmethode (type 4 van fig. 24)q = gel?kmatig verdeelde belastingDe vloeilijnenpatronen volgens tig. ~u kunnen Slechts optreden bij stijve randbalken die infeite zijn overgedimensioneerd. Dan zal de plaat immers volgens het geschetste patroon be-zwijken, daar het 'frame' van randbalken waar de plaat op rust nog intact is.Dimensioneert men de balken echter zoals gebruikelijk, op de oplegreacties volgens deenveloppe, dan bezwijken de balken op hetzelfde ogenblik als de plaat en moeten bezwijk-patronen volgens fig. 21 ontstaan.Bij slappe randbalken zal zich een scheurenpatroon ontwikkelen dat rechtstreeks leidt totbezwijkpatronen zoals die in fig. 21 zijn weergegeven. De berekening voor dergelijke patro-nen is in dezelfde figuur uitgevoerd, waarbij de vloeimomenten in plaat en balken weer zijnuitgedrukt in de respectievelijke eenheidsmomenten m en M.De formules (13) en (15) leggen geen enkele beperking op aan de verdeling van de wapeningtussen plaat en balken. De mogelijkheden worden echter begrensd, daar ook andere patronendan dat van fig. 21 maatgevend kunnen worden.De minimum plaatwapening wordt bepaald door het enveloppevormige patroon van fig. 20.In fig. 22 zijn deze minimale plaatmomenten uitgezet als percentage van de momentensom Mavoor plaat + balken in de betreffende richting. Tevens is de benodigde plaatwapening aan-gegeven voor evenwichtssysteem type 1 volgens fig. 24, dat een bijzondere vorm is van hetkruisvormige vloeilijnenpatroon uit fig. 21 c: de oplegreactiesop de balken zijn hierbij gelijk-matig verdeeld in de betreffende richting.De maximale plaatwapening (balken ontbreken) treedt op bij vlakke plaatvloeren. De verde-ling van de wapening moet dan zodanig zijn, dat rond de ondersteuning geen partieel bezwij-ken kan optreden door het ontstaan van een stervormig vloeilijnenpatroon volgens fig. 22a.Voorts zijn aanvullende eisen nodig om een goed gedrag in hetgebruiksstadium te waar-borgen.Indien men eenmaal evenwichtsmethoden heeft aanvaard als een volwaardige rekenmetho-diek voor platen, komt men er vanzelf toe om een overeenkomstig systeem van belastings-afdracht toe te passen als bij de 'twistless case' werd besproken, zonder echter de juistevoorwaarden hiertoe te scheppen door het aanpassen van de balkstijfheden. Met anderewoorden: men kan star ondersteunde vloeren eigenlijk net zo goed met een eenvoudig even-wichtssysteem berekenen, mits men maar geen belastingsafdracht aanneemt die al te zeertegen de elasticiteitstheorie indruist. Men combineert dan de voordelen van de vloeilijnen-theorie en de stripmethode: de wapening is gelijkmatig verdeeld in breedterichting en boven-dien is in elk punt van de plaat het momentenverloop bekend. Voorts schept het de mogelijk-heid uit te gaan van een gelijkmatige oplegreactieverdeling over de gehele balklengte, danwel een gedeelte daarvan. De keuze van de belastingsafdracht is echter van grote invloed ophet staalverbruik, zoals moge blijken uit de bespreking van de vier typen evenwichtsmetho-den die zijn weergegeven in fig. 24.7. EvenwichtsmethodenBij een berekening volgens een evenwichtsmethode bedenkt men zelf een systeem van belas"tingsafdracht dat men consequent moet doorrekenen. De samenhang van de constructie wordtechter volledig buiten beschouwing gelaten.In feite wordt het principe van de evenwichtsmethode vrij veel toegepast bij benaderings-berekeningen van platen met ingewikkelde plattegronden. Door het aanbrengen van 'verbor-gen balken' wordt de plattegrond in rechthoekige platen onderverdeeld die men met tabellenkan berekenen, terwijl de verborgen balken zodanig worden gewapend, dat ze de opleg-reacties naar de ondersteuningen kunnen afvoeren. Hierbij kan men gemakkelijk tot systemenkomen die met het elastische gedrag van de plaat niet veel overeenstemming meer vertonen.Een dergelijke rekenwijze kan daarom alleen maar worden gebruikt voor materialen die vloei"verschijnselen vertonen. Alleen dan bestaat de mogelijkheid dat de aangenomen krachts-werking waarop men heeft gewapend, zich ten slotte inderdaad instelt. In feite is het dus eenbezwijkmethode die r~sultaten levert die aan de veilige kant zijn (evenwichtssystemen leverenimmers een ondergrens voor het draagvermogen). Het verdient echter aanbeveling de belas-tingsafdracht zodanig te kiezen, dat deze niet fundamenteel afwijkt van die volgens de elasti-citeitstheorie, zowel om een goed gedrag in hetgebruiksstadium te waarborg.en als om voor-tijdig bezwijken te voorkomen.Voor de enkele rechthoeki~e plaat kan men dan op verschillende manieren te werk gaan.Bij de stripmethode verdeelt men de plaat in strippen in x- en y-richtingdie men als eenstelsel onafhankelijke Iiggertjes beschouwt (fjg. 23). De methode werkt dus prettig bij platendie lijnvormig zijn ondersteund, omdat elk stripje als een Iiggertje over twee of meer steun-punten is te beschouwen; de methode is echter minder geschikt voor puntvormig ondersteun"de vloeren. In bepaalde plaatged~elten laat men alle belasting in x-richting afdragen en inandere plaatgedeelten in y-richting.Bij voorkeur kiest men de scheidingslijnen tussen de plaatgedeelten zodanig, dat in deze schei-dingslijnen geen dwarskracht behoeft te worden overgebracht. Het patroon van de belastings-afdracht komt volledig overeen met dat voor de vloeilijnentheorie volgens fig. 20a; de wape-ningsverdeling is echter geheel anders, zoals blijkt uit de getekende momentenlijnen in enkeledoorsneden. Bij de vrij opgelegde plaat blijkt de benodigde staalhoeveelheid voor beidemethoden gelijk te zijn als men de belastingsafdracht gelijk kiest en geen wapening plaatse"lijk be?indigt (fig. 26). Ter vergelijking is ook de benodigde hoeveelheid wapening volgens deelasticiteitstheorie ingetekend.__ my instrip C-CD@ stervormigvloeilijnenpahoony? 0,2 0,4 0,6 0,8 10/,2____ cx= __x__I)/+/YZminimale plaatwapeningplaatwapeningbU evenwichtssysteem 1----my indsn B-BB-I--~~-+---c--7---l- BtMe:at10..--------~--~~---:;,22Aandeel van het plaatmoment in de belas-tingsafdracht b? enveloppe"vormigevloel/?nenpatronen en kruisvormige vloei-I?nenpatronen met gel?kmatig verdeeldeoplegreacties.Getrokken I?nen = wapening in x-richting;gestippelde I?nen = wapening in y-richtingCement XXII (1970) nr.5 195Type lbMen kan de belastingsafdracht echter ook anders regelen. Bij de vloeilijnentheorie blijkt detotaal benodigde staalhoeveelheid bij toenemende ly/lx minimaal te worden voor kleine waar"den van fJ. = my/mx (zie fig. 26). Gaat men bij de evenwichtsmethode overeenkomstig te werk,dan verloopt de berekening als volgt:Moment in x-richting: mxMoment in y-richting: my = fJ.mx (waarin fJ. ~ 0,2)Belastingsafdracht in x-richting: Px apBelastingsafdracht in y-richting: py = (1 - a) pType 1: de belasting wordt overal in x- en y-richting afgedragen.Type2: de belasting wordt in bepaalde plaatgedeelten alleen in x-richting afgedragen en in deoverige plaatgedeelten zowel in x- als in y-richting.Type 3: de belasting wordt in bepaalde plaatgedeelten alleen in x-richting afgedragen en in deoverige plaatgedeelten alleen in y-richting.Type 4, als type 3, waarbij de plaatgedeelten weer zijn opgebouwd uit driehoeken en trapezia.Om het overzicht niet te verliezen, is. het verloop van de berekening voor vrij opgelegdeplaten in tabel 4 schematisch weergegeven. Daarna volgt bij elk type een korte toelichting,terwijl het staalverbruik voor alle gevallen in fig. 25 is weergegeven.Type laDaar de enveloppe van fig. 1 de oplegreactieverdeling bij starre ondersteuningen alleszinsredelijk weergeeft, zou men zowel de driehoekige als trapeziumvormige oplegreactieverdelingmet redelijke benadering kunnen vervangen door een even grote gelijkmatig verdeelde opleg-reactie per zijde. Uitgaande van deze oplegreacties liggen dan de plaatmomenten vast die inbreedterichting nu dus gelijkmatig. zijn verdeeld. Het bezwaar van deze gedachtengangisechter dat zeer veel plaatwapening in de lang.e richting nodig is, die in de gebruikstoestandweinig effectief zal zijn. Dit blijkt duidelijk uit fig. 25a waar het gemiddelde staalverbruik perm2 is weergegeven bij vari?rende ? = ly/lx. Hoe langer de plaat wordt, des te hoger is hetgemiddelde staalverbruik, zonder dat een limietwaarde wordt bereikt. Deze aanname van deoplegreactieverdeling is dus te verwerpen.(17)(18)De momenten worden bepaald met behulp van de verg.elijkingen (2a) en (2b):mx = 0,125 apVmy == 0,125 (1 ~ a) ?2plx2Hieruit volgt:?2a = ?2+fJ. en:?2mx = ?2 /I. 0,125 plx'+r \my = fJ.mx .24Belastingsafdracht b? de typen 1 tlm 4 vande evenwichtsmethodeIn fig. 25 is het gemiddelde staalverbruik als functie van ? weergegeven voor fJ. = 1 enfJ. = 0,2.In beide gevallen bereikt het gemiddelde staalverbruik een limietwaarde, die voor fJ. = 0,2aanzienlijk lager blijkt. te liggen dan voor fJ. = 1. (A = 1,2 resp. A = 2).Een dergelijke handelwijze betekent dat men alle gevallen die in tabel VII en VIII van deGBV 1962 zijn vermeld, in feite ook zonder enige tabel kan dimensioneren. De momentensomin elke richting van een veld wordt bepaald door de formules (17) en (18); de momentennullijnkan dan, binnen zekere grenzen, willekeurig worden ingetekend als bij fig. 8. Voor de balk-berekeningen behoeft men dan ook niet meer te werken met een samenstel van driehoekige,trapeziumvormige en gelijkmatig verdeelde belastingen, maar kan men alle gelijkmatig ver-deelde belastingen rechtstreeks optellen.Berekeningen volgens de elasticiteitstheorie, de vloeilijnentheorie met het enveloppe-vormigevloeilijnenpatroon of de stripmethode zullen echter steeds economischer zijn, daar de belas-tingsafdracht in de lange richting in werkelijkheid slechts over een betrekkelijk beperkt ge-bied plaats heeft. Stapt men nu af van de volledig g.elijkmatige oplegreactieverdeling op debalken, dan vindt men oplossingen die slechts weinig meer wapening vereisen dan ??n vanbovenstaande theorie?n aangeeft.Type 2Men kiest daartoe langs de korte zijden plaatstroken, waar men de belasting zowel in x- alsy-richting laat afdragen. In het resterende plaatgedeelte wordt alle belasting in x-richtingafgedragen (zie tabel 4). Kiest men bij voorbeeld b = ly -lx en voor de belastingsafdracht inde randstroken a = 1- DG =i, dan heeft men een schematisering van de enveloppe verkre-gen, die beter overeenkomt met de werkelijke belastingsafdracht.Bij deze keuze vindt men:mXI = tplx2; mX2 == lh6p!i; my = lh6plx2Wenst men weer een minimale wapening in de lange richting, dan kiest menfJ. = mYmax/mxmax = 0,2, waaruit nu voor de randstroken volgt: a =0,8, zodat:mXI = t plx'; mX2 = 1/10 plx'; my = 1/40 plx2Voor beide gevallen is het gemiddelde staalverbruik voor de plaat weergegeven in fig. 25.Cement XXII (1970) nr. 5 196Tabel 4Berekening van platen met behulp van evenwichtssystemenType 1a 1b 2 3Belastingsafdracht constant over degehele plaat(1-aJpconstant over degehele plaatI, Ix-It apIy ---+(1-a)pin het middendeel alleenin x-richtingin de randstrokenin x- en y-richting(1-alp-=-t- ap1-~C= p-