Modelleren zonder kromming8201128Modellerenzonder krommingKokerliggerbruggen komen vaak voor in rivierkruisingen enverkeersknooppunten. Bij laatstgenoemde toepassing heeft dittype bruggen een vrij krappe horizontale boogstraal. Om deberekeningen te vereenvoudigen, wordt een gekromde brugvaak gemodelleerd tot een rechte brug. Nu rijst de vraag wat deinvloed is van deze kromming op de krachtsverdeling. In ditartikel wordt voor een fictieve kokerliggerbrug de invloed vande kromming op het wringend moment bepaald.1Invloed wringende belasting op rechte en gekromde kokerliggerbrugIn de loop der jaren is het verkeer op onze bruggen flink toege-nomen. Dit komt tot uitdrukking in een wijziging van deverkeersbelasting in de ontwerpnormen. In de huidigeontwerpbelasting voor verkeersbruggen volgens NEN 6706/NEN-EN 1991-2 is vooral de belasting op de zwaarst belaste(rechter) rijstrook sterk toegenomen ten opzichte van de belas-ting volgens NEN 6723/VOSB 1963. Hierdoor moet voor debestaande betonnen kokerliggerbruggen in het Nederlandsewegennet op een veel groter wringend moment worden gere-kend, dan waarop destijds is ontworpen. Door middel vanherberekeningen kan worden onderzocht of de desbetreffendebruggen voldoen aan de huidige vigerende normen.Modelleren zonder kromming 82011 291 Mogelijke oplossing ten gevolge van een stabiliteitsprobleem2 Configuratie van de belastingen3 Typen modellen die zijn beschouwd in het onderzoek4 Oplegsysteem voor het staafmodel en het schaalmodelOntwerpVoor een fictieve kokerliggerbrug is een totale lengte aange-houden van 180 m, verdeeld over vier overspanningen. De tweehoofdoverspanningen hebben beide een lengte van 50 m en detwee zijoverspanningen zijn 40 m lang. De kokerliggerbrugheeft een horizontale boogstraal van R = 300 m. Als dwars-doorsnede is een eencellige koker met een kokerbreedte van 8m en een 14 m brede bovenflens aangehouden. Deze biedtruimte aan vier fictieve rijstroken, die 1 m vanaf de rand zijngeplaatst. Voor het verkrijgen van het maximale wringendemoment moeten alleen de twee fictieve rijstroken aan debuitenbocht belast zijn. De dikte van de boven- en onderflensbedraagt 250 mm en de dikte van de lijven bedraagt 750 mm.De tussensteunpunten zijn opgebouwd uit ??n kolom met ??nrubber oplegblok. Ter plaatse van de landhoofden zijn tweerubber oplegblokken per eindsteunpunt aangehouden.Met behulp van een eindige-elementenprogramma zijn driemodellen (fig. 3) gemaakt. Het eerste model is een recht staaf-model waarvan de uiteinden verend zijn ingeklemd om de x-as.Het tweede model is op dezelfde wijze opgezet als het eerstemodel, maar dan met een horizontale boogstraal. Hierbij is hetbelangrijk de brug als een gebogen staaf te modelleren in plaatsvan een boog opgebouwd uit rechte stukken. Door de kniktussen twee staven wordt in een model met rechte staven, hetwringend moment om de x-richting (Mx) deels omgezet in eenbuigend moment om de y-richting in de aansluitende staaf envice versa. De gevonden buigende en wringende momentenwijken dan erg af van de verwachtingen. Het derde model isopgebouwd uit 2D-schaalelementen. Deze moeten om dezelfderedenen ook met een horizontale boogstraal worden ingevoerd.De oplegcondities van model 2 en 3 zijn in figuur 4 schema-tisch weergegeven.De wringende verkeersbelasting is voor de eerste twee model-len als een lijnmoment om de x-as ingevoerd. Ter controle zouhet rechte staafmodel moeten overeenkomen met de gevondenwaarde voor het wringend moment in de handberekening. Hetwringend moment kan in een recht model immers alleenworden opgenomen door de eindopleggingen, die als koppelwerken.In de analyse is alleen de gelijkmatig verdeelde verkeersbelas-ting (UDL) beschouwd (fig. 2). De twee geconcentreerde aslas-ten van het tandemstelsel leveren namelijk het maximale wrin-gende moment op indien deze direct boven een eindsteunpuntworden geplaatst. De kromming heeft hierop geen invloed.Het wringend lijnmoment mt,qdoor de gelijkmatig verdeeldeverkeersbelastingen wordt bepaald door de verticale belasting(qi) te vermenigvuldigen met de breedte van de rijstrook (wth,i)en de afstand (ai) van het hart van deze rijstrook tot het hartvan de kokerligger. Het wringend lijnmoment (fig. 5) voor debeschouwde kokerliggerbrug wordt dan:mt,q = i=1,2(wth,i . qi . ai)mt,q = 10,35 . 3 . 4,5 + 3,5 . 3 . 1,5 = 155,5 kNm/mOmdat alleen de eindopleggingen een wringend momentkunnen opnemen is hier het wringend moment door de gelijk-matig verdeelde verkeersbelasting voor een rechte brug gelijkaan:ir. Sophie Weusthof enir. Rob VergoossenHaskoning Nederland b.v.2341000 3000 3000 3250 750 3000140002000Modelleren zonder kromming82011305 Invoer belastingsgevallenvoor het staafmodel en hetschaalmodel6 Schematisatie van derotatieveren van deeindopleggingen7 Staafmodellen met ver-schillende kromtestralen8 Wringmoment uitgezettegen de kromtestraalOm de invloed van de verticale stijfheid op de krachtsverdelingte onderzoeken is ??n keer een 10 x zo kleine en ??n keer een10 x zo grote veerstijfheid aangenomen voor alle opleggingen.Tabel 1 geeft de uitvoer van de staafmodellen en tabel 2 hetschaalmodel.ResultatenUit deze gevoeligheidsanalyse (tabel 1) blijkt dat de grootte vande veerstijfheden weinig invloed heeft op de grootte van hetwringend moment bij de eindsteunpunten. Een model metstarre steunpunten resulteert in nagenoeg dezelfde resultaten.Uiteraard heeft het aanpassen van de veerstijfheden voor hetrechte model geen invloed op de grootte van het wringendmoment.Ook bij het schaalmodel (tabel 2) heeft de veerstijfheid van desteunpunten een beperkte invloed op de grootte van het wring-moment. Er is echter wel een duidelijk verschil in de grootte vande wringende momenten tussen de twee modeltypen. Voor hetschaalmodel is het wringend moment door met name het eigengewicht hoger. Dit komt niet doordat in het schaalmodel in deaansluitingen van de platen deze elkaar deels overlappen, aange-zien deze extra massa is verdisconteerd in een lager soortelijkgewicht van de lijven. Wel is dit te verklaren uit het feit dat het lijfin de buitenbocht langer is dan het lijf in de binnenbocht. Ookvoor de flenzen geldt dat er meer massa zit aan de buitenzijdevan de koker dan aan de binnenzijde. Door het eigengewichtontstaat hierdoor een extra wringend lijnmoment.Het beperkte verschil in wringend moment door de gelijkmatigMT,q =1__2mt,q . LMT,q =1__2155,5 . 180 = 13 990 kNmwaarin:L = de totale brugdeklengteDit is de representatieve waarde zonder belastingsfactoren.VeerstijfheidIn tegenstelling tot een recht model is het voor een gekromdmodel van belang de juiste veerstijfheden van de steunpuntente bepalen, omdat deze wellicht een invloed uitoefenen op degrootte van het wringmoment. Bij horizontaal gekromdebruggen worden veelal ronde opleggingen toegepast. In ditartikel is voor de stijfheid uitgegaan van gewapende rondeoplegblokken. Vaak worden echter pot- of bolsegmentopleg-gingen toegepast, die een grotere stijfheid hebben.De veerstijfheid voor translatie in de z-richting is op basis vanNEN 6723 (1995) bepaald uit:d;tot = F . nlagen ( 8 . hlaag3______________3 . G .d2. ? . d2+hlaag_________C . ? . d2)waarin:h = hoogte oplegblokd = middellijn van de rubberplaatG = glijdingsmodulus (1,0 MPa)C = volumecompressiemodulus (1000 MPa)Volgens NEN-EN1337-3 geldt voor ronde oplegblokken (innotatie volgens NEN 6723):d;tot = F . nlagen ( 16 . hlaag3______________5 . G .d2. ? . d2+hlaag____________2 . C . ? . d2)KT,z =F__De opleggingen bij de tussensteunpunten zijn groter en hebbendaarom ook een grotere veerstijfheid. De rotatieveerstijfheid (fig.6) van de eindsteunpunten voor rotatie om de x-as wordt bepaalddoor de verticale veerstijfheid van de twee eindopleggingen en deafstand (x) ten opzichte van het hart van de kokerligger:KR,x = 2 . x2. KT,zVoor de tussensteunpunten is een verticale veerstijfheid vanKT,z= 4500 MN/m aangehouden. De twee eindopleggingenhebben elk een verticale stijfheid van KT,z= 1000 MN/m. Derotatieveerstijfheid is dan KR,x= 32000 MNm/rad. De rotatie-veerstijfheid van de opleggingen zelf is verwaarloosd.Tabel 1 Uitvoer staafmodel met verschillende veerstijfhedenFz,eig[kN] Fz,mob[kN] Mx,eig[kNm] Mx,mob[kNm]verende oplegging 2888,2 619,6 849,7 13561,8verende oplegging /10 2905,4 623,3 911,5 13082,4verende oplegging x10 2886,5 619,1 842,5 13612,5Tabel 2 Uitvoer schaalmodel met verschillende veerstijfhedenFz,eig[kN] Fz,mob[kN] Mx,eig[kNm] Mx,mob[kNm]verende oplegging 2894,7 585,9 1627,6 13921,2verende oplegging /10 2908,5 496,7 1659,6 13426,1verende oplegging x10 2893,2 555,8 1624 13973,65Modelleren zonder kromming 82011 31020004000600080001000012000140001600018000R = 150 R = 300 R = 600 R = 1200 R = 2400Mwr,eigMwr,mobOm te onderzoeken welke relatie bestaat tussen het wringendmoment bij de eindsteunpunten en de totale booglengte, is eenaantal extra modellen gemaakt. De dwarsdoorsnede van dekokerliggerbrug is hetzelfde als voorheen. De boogstraal ishierbij constant gehouden op 300 m. Per opvolgend model zijner twee extra hoofdoverspanningen met een lengte van 50 mtoegevoegd (fig. 9).Het eerste model, L = 180 m, is gelijk aan het eerder genoemdegekromde staafmodel. In tabel 7 is de uitvoer te zien voor eenstaafmodel met verschillende totale booglengtes. Dit is deuitvoer uit SCIA, dus zonder de correctiefactor voor eigenge-wicht. De genoemde hoek is de ingeschreven hoek van deboog. Dit is de hoekverdraaiing tussen de eindsteunpunten.verdeelde verkeersbelasting tussen het schaalmodel en hetgekromde staafmodel, wordt ook door de grotere lengte van debuitenbocht veroorzaakt. In de staafmodellen wordt derhalveeen fout gemaakt. Tabel 3 biedt inzicht naar de grootte van dezefout voor verschillende horizontale boogstralen. De resultatenzijn gebaseerd op vijf staafmodellen (figuur 7), waarin alleen dekromtestraal varieert. Er is uitgegaan van verende opleggingen.De gevonden fout voor het wringend moment door eigenge-wicht bij een boogstraal van R = 300 betreft een factor 1,75.Deze factor is vrijwel onafhankelijk van de boogstraal. Welneemt de absolute waarde van de fout bij afnemende boogstraalsterk toe. Met name bij een boogstraal kleiner dan 200 m is deabsolute waarde dusdanig dat een schaalmodel aan te bevelenis. Voor een boogstraal tussen 200 m en 1500 m kan wordenvolstaan met een gekromd staafmodel. Hierbij kan dan alsbenadering het wringend moment door eigengewicht met eenfactor 2 worden vermenigvuldigd. Hierin is tevens de beperktefout in het wringend moment door gelijkmatig verdeeldeverkeersbelasting verdisconteerd. Bij een boogstraal groter dan1500 m kan de brug als recht worden gemodelleerd.Om een duidelijk beeld te krijgen van het verloop van hetwringend moment bij de eindsteunpunten voor de verschil-lende boogstralen, is dit geplot in figuur 8. In deze figuur wordthet duidelijk dat een grotere boogstraal een kleiner wringendmoment geeft voor het eigengewicht en dat het wringendmoment voor de mobiele belasting naar zijn asymptoot gaat,een recht model.Tabel 3 Uitvoer staafmodel met verschillendeboogstralen uit SCIAmodel (verend) Mx,eig[kNm] Mx,mob[kNm]R=150 -1635,8 12439R=300 -849,7 13561,8R=600 -429,5 13881,9R=1200 -215,2 13964,8R=2400 -107,7 13985,7R= 0 13990Tabel 4 Bepaling grootte fout ten gevolge van boogstraalgevonden waarde uit staafmodel extra t.g.v. verschil binnen- en buitenboog totale krachtsverdelingMx,eig[kNm] Mx,mob[kNm] Mx,eig[kNm] Mx,mob[kNm] Mx,eig[kNm] Mx,mob[kNm]R=150 1737 12627 1415 374 3152 13001R=300 849 13612 639 182 1488 13794R=600 423 13896 312 90 735 13986R=1200 211 13968 155 45 366 14013R=2400 105 13987 78 23 183 14010R= 0 13990 0 0 0 139906 78R = 150R = 300R = 600R = 1200R = 2400Modelleren zonder kromming82011320500010000150002000025000300003500040000L = 180 L = 280 L = 380 L = 480Mwr,eigMwr,mobMwr,rechttussen de eindsteunpunten. Deze hoek wordt bepaald door detotale booglengte en de horizontale boogstraal van de brug.Afhankelijk van de ingeschreven hoek tussen de eindopleggin-gen kan er worden volstaan met een recht of gekromd staafmo-del of een schaalmodel. Het wringend moment bij de eind-steunpunten kan naast deze computermodellen ook wordenbepaald met de formules van Roark.Voor zeer krappe boogstralen (< 200 m) en/of zeer bredekokers wordt een te grote fout gemaakt in de op de kokeraanwezige belasting, indien een staafmodel wordt gebruikt metde belasting in het hart van de staaf. Voor een verhouding vanR/B < 15 is een schaalmodel aan te bevelen.In een schaalmodel moet rekening worden gehouden met eente groot eigengewicht door overlappende elementen ter plaatsevan de snijpunten van de verschillende platen. Uiteraardmoeten in het schaalmodel ook de dwarsdragers ter plaatse vande steunpunten worden ingevoerd.Voor in de praktijk veel voorkomende situaties kan als vuistre-gel worden aangehouden: een schaalmodel voor boogstralen< 200 m. Voor boogstralen tussen 200 m en 1500 m voldoeteen gekromd staafmodel, waarbij het gevonden wringendmoment bij de eindsteunpunten door eigengewicht met eenfactor 2 moet worden vermenigvuldigd. Bruggen met boog-stralen > 1500 m kunnen als recht worden beschouwd. Uit figuur 10 valt op te maken dat het wringend moment dooreigengewicht slechts beperkt wijzigt bij toename van de totalebooglengte. Dit komt doordat meer tussensteunpunten zijntoegepast, waardoor de oplegreacties door het eigengewicht ietswijzigen.Ten opzichte van een recht model neemt bij toename van detotale booglengte, vooral het wringend moment door de gelijk-matig verdeelde verkeersbelasting af. Uit de omschrijving van deanalytische formules van Roark voor spanningen en rek [1], kanworden aangetoond dat dit niet zozeer ligt aan de booglengte,maar aan de ingeschreven hoek tussen de eindsteunpunten.Bij een grotere lengte hoort ook een grotere hoek . Dit betekentdat niet alleen de kromtestraal, maar ook de booglengte invloedheeft op de nauwkeurigheid van een computermodel. Tot eeningeschreven hoek van circa 45ois het verschil nog beperkt.Het aantal tussensteunpunten heeft geen invloed op het totalewringend moment, zolang het aantal groter is dan twee tussen-steunpunten.ConclusieHet totale wringend moment bij de eindsteunpunten voor eengekromde ligger is veelal groter dan het wringend moment vooreen recht model met dezelfde afmetingen. Dit komt doordat heteigengewicht nu geen symmetrische belasting meer geeft. Hetwringend moment door (verticale) mobiele belasting is echterlager, maar dit is vooral afhankelijk van de ingeschreven hoekTabel 5 Bepaling percentage fout voor staafmodelpercentage`fout'conform tabel 4Mx,eig[kNm] Mx,mob[kNm]R=150 1,93 1,04R=300 1,75 1,02R=600 1,71 1,01R=1200 1,70 1,00R= 1,00 1,00Tabel 6 Bij boogstraal te hanteren modelR